NIELINIOWE ZWIĄZKI GEOMETRYCZNE DLA POWŁOK

Transkrypt

1 PIĘĆDZIESIĄTA PIERWSZA KONFERENCJA NAUKOWA KOMITETU INŻYNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN I KOMITETU NAUKI PZITB Gańs-Krynca 005 Wesła BARAN NIELINIOWE ZWIĄZKI GEOMETRYCZNE DLA POWŁOK. Wstęp W referace bęze moa o cench połoach [], [], [], a ęc tach, tórych oległośc pomęzy poerzchnam grancznym są elorotne mnesze o ymaró promen rzyzny tychże poerzchn. Ja aomo, tym przypau analzę tróymaroego stanu naprężena oształcena można przeproazć sposób przyblżony za pomocą elośc torzących pola uymaroe. Wszyste zależnośc oreślamy ten sposób, aby były one opsane zasze poprzez funce oległośc o poerzchn śrooe lub a często oreśla sę, o poerzchn postaoe. Poza tym operamy sę na założenach Krchhoffa-Love a. Istnee szereg prac otyczących ysus na sposobem sproazana zaganena tróymaroego stanu naprężena oształcena o opsu uymaroego, a persze z nch pochozą z persze połoy XIX eu. Są to prace Cauchy ego [4] Possona [5], otyczące rozłau słaoych tensora naprężena szereg potęgoe zmenne z. Zastępuąc szereg nesończone penym ch sumam częścoym, otrzymalbyśmy różne postace teor poło zależnośc o yboru sumy częścoe oraz charateru samego szeregu. Znane rozązana lteraturze proazaą różnego rozau uproszczena oszacoana. Potórzmy tu za pracą Woźnaa [], że ne może stneć uymaroa teora poło, bęąca teorą ścsłą (neprzyblżoną). Co ęce, ne est naet możly enoznaczny ybór aeś optymalne teor przyblżone. Persze ogólne próby przestaena teor nelnoe można znaleźć opero latach czterzestych XX eu pracach Synge Chena [6]. W pracy Woźnaa [] poreślono, że uże znaczene maą teore, tórych nelnoe są rónana geometryczne, natomast ząz fzyczne pozostaą lnoe. W pracach [], [], [], [7] analzoano pły nelnoośc geometryczne na pracę statyczną onstruc połooych. W nnesze pracy zostaną przestaone ząz geometryczne uzglęnaące nelnoośc szystch słaoych etora przemeszczena, czyl, tóre otrzy- mano poprzez bezpośreną analzę członó nelnoych ystępuących słaoych tensora oształcena. Dr nż., Wyzał Buoncta Poltechn Opolse 9

2 . Ops poerzchn śrooe, postaoe zależnośc Rónane etoroe cene poło ma postać R ( u, u ) = r ( u, u ) z m ( u, u ), () gze: u, u parametry rzyolnoe, z oległość arsty rónoległe o poerzchn śrooe poło, z h, h połoa grubośc poło. Rys.. Ops poerzchn śrooe rónoległe poło prze po eformac Przymuąc rónanu () z=0, otrzymamy poerzchnę śrooą S opsaną rónanem r, natomast la z>0, otrzymamy poerzchnę rónoległą, tórą oznaczymy S. Bęzemy rozpatryać peną eformacę poło (rys..), przy tóre poerzchna śrooa S przechoz S, natomast oolna arsta rónoległa o poerzchn śrooe S przeze na poerzchnę S. Wóczas rónane etoroe opsuące poerzchnę śrooą po eformac bęze mało postać r = r, () gze: est etorem przemeszczena. Do yznaczena położena poło po eformac bęze oneczne yznaczene rozłau etora przemeszczena oraz (rys. ) baze oarantne: r, m []. Zastosuemy znane zory: = r m, = r m. () Wtey pochone cząstoe etoró oraz, po yorzystanu zoró Gaussa Wengartena oraz po uporząoanu proazenu pochone ontraarantne przymą postać: = b r b, (4.) ( ) ( ) m ( b ) r ( b ) m =. (4.), 0

3 . Ops tensora oształcena Można przyąć za pracą Belaa [] tensory oształcena: błonoego γ = ( g g ), błonoo-zgęcoego ρ = ( b b ), (5) zgęcoego ϑ = ( c c ), gze spółczynn tensoró metrycznych la poerzchn po eformac () oreślamy z zależnośc: g = r r, b = r m, c = m m. (6) Słaoe tensoró oształcena (5), po yorzystanu zależnośc (6), rozpsanu oraz po przeształcenach, otrzymano postac roznęca uzglęnaącego człony nelnoe: γ = r r, ( r m ) ρ =, (7) ϑ = m m. Oznaczaąc przez nareślene stan lnoy, zależnośc (7) zapszemy postac: γ = γ, ρ = ρ, (8) ϑ = ϑ. W celu przestaena lnoych słanó słaoych tensoró oształceń (7), (8), zapsanych ta sposób, aby ystępoały nch yłączne opsy słaoych etora przemeszczena, oonamy przeształceń ers lnoe zależnośc (7), yorzystuąc yrażena opsuące pochone cząstoe etoró: (4.) oraz (4.). Doonuąc stosonych przeształceń, otrzymue sę znaną lteraturze ersę uproszczoną zązó geometrycznych, uzglęnaącą tylo człony lnoe: γ = g g b, = b b c ρ, (9) = c c b ϑ b.

4 .. Człony nelnoe tensora oształcena W celu oreślena nelnoych zązó geometrycznych, przeanalzuemy nelnoe słan słaoych tensoró oształceń (8). Oblczene : torząc loczyn salarny z yrażeń (4.) otrzymamy = l l ( b )( b ) g ( b, )( b, ) a pomaąc elośc małe uzglęnaąc opse γ ze stanu lnoego uzysamy l l l, Oblczene : = γ. (0.) γ,, loczyn salarny utorzony z yrażeń (4.), (4.) ynese l l l ( b )( b ) g ( b, )( b, ) =. l Postaaąc za, ersę uproszczoną [] l ( b ) g l =, = 0, l proazaąc opoene uproszczena przy prześcu na ersę uśrenoną zastosoaną pracach Belaa, np. [], poążemy oba loczyny zależnoścą, l = ε. (0.) l Oblczene : yorzystamy teraz o utorzena loczynu salarnego yrażene (4.) ( )( ) ( )( ), = l l l b b gl b, bl, a uzglęnaąc poprzene rozażana poązana z rzyznam [], ostateczne bęze ( ε ε ) = ε ε. = (0.) ε Po postaenu o (8) yznaczonych opoench loczynó salarnych, otrzymamy: ( δ ) γ ( δ ),, γ = γ, ρ = εγ ( δ ), ϑ = ερ ε ( δ ), () gze δ to elta Cronecera.

5 Wersę uproszczoną tensoró oształcena uęcu nelnoym zapszemy: γ = γ,,, ρ = εγ, ϑ = ερ. () W yrażenu ϑ zązó () pomnęto człon zaeraący ε, ao elość małą. Uzysane yn ( ) pełn poryaą sę z ersą uproszczoną nelnoych zązó geometrycznych poanych np. pracach: Belaa [] Woźnaa []. Należy poreślć, że uzysane ząz geometryczne otrzymano prosty sposób nżyners. Można sterzć, że ta zapsane yrażena () obemuą szyste teore, bo uzglęnaą nelnoośc szystch słaoych etora przemeszczena, czyl. Wproazone tych rozażanach uproszczena są czysto matematyczne. Dopero przyęta ersa uproszczona () proaza peen zares ogranczonośc yróżnaący przemeszczene. Ja poazano pracy [], można rozązane nelnoe poązać z rozązanem l- noym rónanem aratoym α o ( ) = 0, () o g ze: słaoa przemeszczena oblczana g teor lnoe, słaoa prze- meszczena oblczana g teor nelnoe, α spółczynn oblczony g zależnośc tórym: ξω α = (4) ( ), ξ ξ spółczynn ążący cechy materałoe z geometrą poło zależnoścą: ε n ξ =, n =,,, = H H K, ω ν ω = (5) h 4 ( ) ε, gze: H, K rzyzny: śrena Gaussa, ν spółczynn Possona, h połoa grubośc poło. 4. Przyła lczboy P ośró nelnoośc słaoych przemeszczeń etora przemeszczena, przy oblczanu poło rozpatryanych nnesze pracy, yróżna sę słaoą.. Dla uzysanego rozązana, przeproazono przyłaoe oblczena. rozzał Na przyłaze poło ysoego omna o różnych ształtach (alec, hperboloa enopołooa), la tórego obcążene antysymetryczne płya szczególne neorzystne na otrzymyane artośc sł enętrznych przemeszczeń [7], poazano różnce onesenu o słaoe przemeszczena, oblczone przy uzglęnenu lnoe nelnoe teor se nse geometrycznym. Obcążene tae ystępue np. la płyu cężaru łasnego przy ychylenu onstruc o erunu gratac. Przyrost słaoe

6 polczone z uzglęnenem nelnoośc geometryczne można oneść poobnym stosunu o sł enętrznych, szczególne momentó przerooych sł poprzecznych. Na rysunu. przestaono yresy słaoe, natomast tablcy. zestaono yn oblczeń ybranych elośc. Przeanalzoano róneż zależnośc, przyęte oczyśce sposób umony, tóre oreślaą ey może być zasane stosoane analzy statyczne uzglęnaące pły nelnoośc geometryczne na uzysane rozązana ozn. / tablcy. Przyęto za pracą [] zależność oreślaącą strefy, gze pły nelnoośc może być stotny h 0ξ o ( ) ( ). ν ξ ν h (6) Wtey umoną grancę stosoalnośc teor geometryczne lnoe opsue nespełnona lea strona nerónośc (6). W pracy [] granca ta została oreślona ao funca tylo grubośc ścan, natomast zależność (6) poza różnym cecham geometrycznym, uzglęna róneż parametry fzyczne materału z aego została yonana połoa. Znaczene parametró przyętych przyłaze: L ysoość poło, a promeń przeężenu, a o promeń postay, h grubość poło, E, ν parametry fzyczne materału, φ ąt ychylena,, ( słaoa fzyczna polczona g teor lnoe lub nelnoe geometryczne. W oblczenach przyęto ane: L=50 [m], h=0.5 [m], ν =0.667, E=7.0 [Mpa], φ= [ ], oraz la alca: a=a o =4.8 [m], a la hperboloy enopołooe: a=4.0 [m], a o = 5.6 [m]. ( n ) Tablca. S łaoe: ( la: u = 90 [ ], ϕ = [ ], = 00 [%] z ( Walec Hperboloa enopołooa / / ( [ m] [cm] [cm] [%] [-] [cm] [cm] [%] [-]

7 Rys.. Wartośc słaoe oraz ( n ) la omna ształce: a) alca, b) hperboloy enopołooe. Wyresy la połunó gze ystępuą estremalne artośc 5. Posumoane Przeproazono oblczena poło o różnych ształtach poerzchn śrooe yma- zenętrznych, uzglęnaąc człony lnoe nelnoe. Peen ybrany zares rach otrzymanych ynó przestaono przyłaach lczboych (rozzał 4). Na postae aoścoe loścoe analzy ynó można sterzć, że: naęsze różnce oblczanych elośc g obyu przyblżonych teor otrzymue sę la obcążena antysymetrycznego, ształt poło relaca ymaró: promeń ługość poło oraz nne parametry, maą stotny pły na elość przyro stu otrzymanego la przemeszczeń:, ( 5

8 la poło rępe, np. płaszcz chłon omnoe, przy uzglęnenu rozpatryanego nnesze pracy obcążena, pły nelnoośc na uzysane rozązane est neel ze zglęu na małe elośc przemeszczeń może być pomnęty, la poło smułe, np. yso omn, uż przy małym uzale obcążena antysymetrycznego pły nelnoośc na uzysane rozązane est zauażalny przy ęszych przemeszczenach ponen być uzglęnony oblczenach, przeproazaąc analzę uzysanych ynó można sterzć, że ryterum stosoalnośc teor geometryczne nelnoe, uzglęnaące zaróno cechy geometryczne, a łaścośc materału z aego została yonana połoa, est spełnone la elośc przemeszczena ęsze o.5% o przemeszczena, co poterzaą yn ( zameszczone tablcy. Na postae otrzymanych ynó oraz nnych prac [], [], [ ], [7] można sterzć, że należy ążyć o możle operatynego formułoana założeń rónań teor z puntu - ogólne analzy, a alszych ch zena zastosoań. Lteratura [] BIELAK S., Nelnoa teora poło, cz. II, Wyższa Szoła Inżynersa Opolu, Stua Monografe, zeszyt 8, Opole 995. [] WOŹNIAK Cz., Nelnoa teora poło, PWN, Warszaa 966. [] KONDERLA P., Statya poło o ształce hperboloy enopołooe przy uzglęnenu nelnoośc geometryczne, Praca otorsa, Pol. Wr., Wrocła 97. [4] CAUCHY A., Sur l equlbre et le mouvement une plaque sole, Exerccle e mathématque,, 98. [5] POISSON S., Mémor sur l equlbre et le mouvement es corps soles, Pars, Mem. e l Aca. Sc., 8 (99). [6] SYNGE I. W., CHIEN W. Z., The ntrst theory of elastc shells an plates, Th. v. Karman Annv. Volume, 94, s.0-0. [7] BARAN W., Analza statyczna poło hperboloalne. Uęce nelnoośc geometryczne, Praca otorsa, Poltechna Opolsa, Opole 998. NON-LINEAR GEOMETRICAL RELATIONS FOR SHELLS Summary Problems of statcal structural analyss of shells s scusse n the paper. Geometrcal rela- consere. Non-lnear escrpton of relatons components are propose. Obtane tons are general form of relatons mae t possble to tae nto account the non-lnearty of all components of vector escrbng the shell splacements. The ntrouce smplfe verson of splacement escrpton contans only one non-lnear component the one pertanng to component of splacement vector. Its form s compatble th usually utlze form of relatons. Fnally, calculatonal examples are gven that mae t possble to obtan results for shells of numerous shapes. 6