Matematyczne aspekty modelowania paj czynowego obiektów

Transkrypt

1 BIULETY ISTYTUTU SYSTEÓW IFORATYCZYCH 4-8 (009) atematycze aspekty modelowaia pajczyowego obiektów A. AELJACZYK Istytut Systemów Iformatyczych Wydzia Cyberetyki WAT ul. S. Kaliskiego, Warszawa W pracy omówioo moliwoci wykorzystaia tzw. metod modelowaia pajczyowego do modelowaia i aalizy jakociowej obiektów zooych w procesach eksploracji daych. Zdefiiowao takie pojcia jak: -wymiarowa przestrze pajczyowa, model pajczyowy obiektu, adekwato modelu oraz iektóre charakterystyki eksploracyje modelu. Sowa kluczowe: eksploracja daych, matematyczy model obiektu, modelowaie pajczyowe, model pajczyowy obiektu, model -dokady, dokado modelu, adekwato modelu.. Wprowadzeie atematycze modele obiektów (systemów) su ajczciej aalizom jakociowym i porówawczym. og by te podstaw budowy modeli optymalizacyjych jak rówie podstaw defiiowaia fukcji rakigowych [], [3]. Formale modele opisowe zalazy te due zastosowaia w procesach i metodach eksploracji daych [5], [6], [7]. Obszarem szczególie iteresujcym z tego puktu widzeia jest modelowaie i aaliza daych medyczych, modelowaie stau zdrowia pacjeta i tzw. jedostek chorobowych, wykorzystywae w komputerowych systemach wspomagaia decyzji medyczych [], [3], [9]. W procesie modelowaia matematyczego obiektów bardzo wa rol odgrywa cel modelowaia [4], [5]. Z celu modelowaia wyikaj przede wszystkim wymogi dotyczce kokretego, formalego jzyka modelowaia oraz wymagaa dokado (adekwato) modelu. Dyspoujc orygiaem obiektu o azwie x, w zaleoci od celu modelowaia, moemy zbudowa wiele róych modeli y F(x), tego samego obiektu. Zbiór azw modelowaych obiektów, a ogó jest utosamiae z pewym podzbiorem zbioru liczb aturalych. Zbiór jest wtedy zbiorem umerów obiektów. W szczególych przypadkach zbiór ie musi by skoczoym podzbiorem liczb aturalych. Takim przykadem moe by zbiór moliwych zestaw daych medyczych [], [3], [9]. odeloway obiekt x charakteryzuje si a ogó wieloma róymi cechami czstkowymi, które decyduj o jego globalych (systemowych) wasociach. Szczegóowo (adekwato) modelu jakkolwiek defiiowaa jest oczywicie fukcj liczby cech (wasoci), które zostay uwzgldioe w modelu. Im wicej cech uwzgldimy, tym a ogó model bdzie bardziej dokady (szczegóowy) i tym lepiej bdzie odzwierciedla orygia. Taki model zapewe bdzie jedak bardziej kosztowy, skomplikoway oraz bardziej iewygody do prowadzeia bada i aalizy. Problem ustaleia ile cech i które z ich aley wzi pod uwag jest oczywicie problemem wyboru odpowiediego kompromisu midzy dokadoci modelu a jego zoooci i kosztem. Ituicyjie moa zgodzi si z opii, e w kadym procesie modelowaia istieje pewa graicza liczba cech do uwzgldieia, powyej której, przy zadaym celu modelowaia przyrost jakoci modelu jest pomijalie may.. Uproszczoy model opisowy obiektu x Ozaczmy symbolem x pewie obiekt ze zbioru obiektów. Zaómy dalej, e obiekt te posiada maksymalie cech (wasoci), które mog mie zaczeie jeli chodzi o adekwato (jako) modelu obiektu x z puktu widzeia przyjtego celu modelowaia. Zaómy, e cechy wiadczce o jakoci obiektu s uporzdkowae wedug ich waoci, zgodie z porzdkiem aturalym. Oczywicie wielko liczby zaley od stopia zoooci obiektów ze zbioru co zapiszemy. Jeli przykadowo

2 A. Ameljaczyk, atematycze aspekty modelowaia pajczyowego obiektów elemetami zbioru bd proste obiekty p. rodzaje bloczków budowlaych, gatuki serów, itp. to maksymala liczba wyróioych cech moe siga kilku. Jeli bd to atomiast zooe urzdzeia elektroicze czy te zooe mechaizmy, to liczba cech siga moe przykadowo kilkuastu. W przypadku modelowaia bardzo zooych obiektów jak p. stau zdrowia pacjeta [3], [6] liczba ta moe siga kilkuset i wicej. Teoretyczie moemy rozpatrywa procesy modelowaia gdzie liczba. Symbolem ozaczymy zbiór {,,,,},...,m..., za symbolem zbiór. Okreleie.. odelem -dokadym obiektu x azwiemy model uwzgldiajcy tylko sporód, ajwaiejszych cech obiektu x. Okreleie.. odelem dokadym obiektu x azwiemy model uwzgldiajcy maksymal liczb cech wiadczcych o jego jakoci. Okreleie.3. Fukcj modelowaia opisowego azywa bdziemy fukcj F :, przyporzdkowujc kademu modelowaemu obiektowi x cig wartoci poszczególych jego cech. Tak wic modelem obiektu x bdzie jego obraz F xf ( x),.., F ( x),.., F ( x)) (.) day fukcj modelowaia F gdzie F ( x ) warto -tej cechy modelowaego obiektu x. Zaómy dalej, e dla kadego x w F ( ) w, x (.) Fakt te bdziemy zapisywa: y x F ( ) w, w,, x (.3) Cigi liczbowe y ( y,..., y,..., y ) Fx azywa te bdziemy daymi o obiektach x. iech przykadowo 5, 9. odelem dokadym obiektu x jest Fx,,,, 3, 4, 8, 7,, 5, 4, 3,, 0, 0 5 za modelem -dokadym 9 F x,,,, 3, 4, 8, 7, Zadaie matematyczego modelowaia opisowego obiektów x ze zbioru moemy formalie zapisa jako trójk uporzdkowa: ( Z 0,, F) (.4) Obraz zbioru Y zbioru bdzie zatem zbiorem modeli obiektów x. Y F( ) y F( x) x (.5) Klas rówowaoci (y) obiektów ze wzgldu a ustaloe wartoci cech yy azywamy przeciwobraz zbioru jedoelemetowego { y} Y { y} ( y) F x F( x) y (.6) Jeli w zbiorze klas rówowaoci ( y) yy, istieje przyajmiej jeda klasa o liczoci ( y), to zwikszeie iloci uwzgldiaych cech moe by przesak zwikszeia dokadoci modelowaia. Pojawia si tutaj iteresujcy problem okreleia takiej liczby ( o ile istieje), e dla kadego y Y, y 3. -wymiarowa przestrze pajczyowa Zaómy, e dae jest zadaie modelowaia opisowego: Z0 (,, F), którego wyikiem jest zbiór Y F( ) modeli opisowych obiektów x. oliwo iterpretacji graficzej (tzw. zobrazowaia ) takich modeli w celu aalizy ich wasoci jest jedak bardzo ograiczoa maksymalie do 3. O wiele wiksze moliwoci graficzej iterpretacji, a w kosekwecji aalizy i wydobywaia dodatkowej wiedzy z daych opisujcych modelowae obiekty daje tzw. modelowaie pajczyowe (web modellig). Okreleie 3.. -wymiarow, ograiczo przestrzei pajczyow azywa bdziemy par uporzdkowa Pr ( S r, ) gdzie S r jest pewym zbiorem wyzaczaym a paszczyie, p. w ukadzie wspórzdych bieguowych w astpujcy sposób: S r ( d, ) 0 d r, 0 (3.) Liczba r o zwaa jest promieiem (zakresem) przestrzei, za para ( d, ) to wspórzde

3 BIULETY ISTYTUTU SYSTEÓW IFORATYCZYCH 4-8 (009) puktu (elemetu) zbioru S r (d odlego od tzw. biegua, kt skieroway). W przypadku gdy r otrzymamy -wymiarow przestrze ieskoczo P( S, ). Osie wspórzdych 0x,,..., przestrzei pajczyowej moemy wyzaczy astpujco: ( 0x ( d, ) 0 d r,, (3.) a rys.. przedstawioa zostaa piciowymiarowa przestrze pajczyowa z zazaczo skal odlegoci (dla r 4 ) oraz picioma osiami wspórzdych 0 x,,, 3, 4, 5 0 (. ) x s s s d cos, s d si, ( ) 0 d r,, (3.5) Okreleie 3.. Fukcj modelowaia pajczyowego F P azywa bdziemy odwzorowaie typu: F P : Sr przyporzdkowujce kademu elemetowi y zbiór S (y) w postaci wieloboku o wierzchokach: A ( y) ( y, ), (3.6) Symboliczie fakt te zapiszemy: S ( y) A ( y),... A ( y) S r (3.7) Wierzchoki wieloboku S (y) le a poszczególych osiach wspórzdych przestrzei pajczyowej (patrz tzw. wykresy gwiazdowe [6], [7]). 3 Okreleie odelem pajczyowym obiektu y (a w kosekwecji obiektu x, takiego, e F( x) y ) azywa bdziemy zbiór S Okreleie 3.4. P y S ( y) F. r 4 Rys.. Piciowymiarowa przestrze pajczyowa o promieiu r = 4 Zbiór S r bywa czasami defiioway wprost jako koo o promieiu r w ukadzie wspórzdych kartezjaskich: S s r ( s s s, ) r (3.3) Zamieiajc wspórzde bieguowe a kartezjaskie otrzymamy: (, ) S r s s s d cos, s d si, 0 d r,0 (3.4) oraz osie wspórzdych: 5 Zadaiem modelowaia pajczyowego Z P azywa bdziemy trójk uporzdkowa (,, P Z P Pr F ). Wyikiem realizacji zadaia modelowaia pajczyowego jest zbiór P F ( ) P, którego elemetami s modele pajczyowe poszczególych obiektów y F( x), x y Sr P S ( ) y (3.8) Przykad. iech,, 3, 5. Fukcja modelowaia opisowego daa jest w tabeli. W tabeli tej zapisao rówie kracowe wartoci cech, w w,,, 3, 4, 5 Warto parametru r wyzaczamy astpujco: r max w 6 3

4 A. Ameljaczyk, atematycze aspekty modelowaia pajczyowego obiektów 4 3 C 3 Tabela. F(x) F ( x ) F ( x ) F 3( x ) F 4 ( x ) F 5 ( x ) w w Piciowymiarow przestrze z parame trem r 6 zdefiiujemy jako par uporzdkowa P6 ( S 6, 5), gdzie S 6( d, ) 0 d 6,0 a rys.. przedstawioo modele pajczyowe obiektów x{,, 3} 6 D Rys.. odele pajczyowe obiektów x a rysuku tym zazaczoo rówie modele sztuczych obiektów []: w ( w,..., w5) (,,,, ) oraz (,..., 5 w w w ) (3, 4, 6, 4, 5), Zauwamy, e S5( w ) S5( x) dla kadego x C C / D 4 D 3 E 4 oraz, e B B B 3 S5( w ) S5( 3) a poadto zachodzi S S5( w 5 ( x) ) S5(3) dla kadego x. odelami pajczyowymi obiektów x{,, 3} s odpowiedie zbiory S5( ), S5(), S5(3) A A A 3 E E S to astpujce wieloboki zazaczoe a rys..: S 5 A, B, C, D, E S 5 A, B, C, D, E S A, B, C, D, E odele obiektów sztuczych [], [] w i w staowi zbiory: S 5 w A, B, C, D, E (zbiór te zosta zakreskoway ). S 3, 3, 3, 3, 3 5 w A B C D E S53 Zbiory te staowi odpowiedio kres doly i kres góry zbioru Y P F P w przestrzei pajczyowej z relacj ikluzji []. Zauwamy, e modele S 5, S 5, S 53 rói si midzy sob ksztatem, polem powierzchi, wzajemym usytuowaiem, dugoci obwodu, liczb boków itp. w przestrzei P6 S 6,5. Takich dodatkowych charakterystyk modeli S x moe by wiele. Przykadowymi charakterystykami opisujcymi dodatkowe waciwoci S x s astpujce: ps x pole powierzchi zbioru S x gs x rodek cikoci zbioru S x bs dugo obwodu S x S x liczba boków (wieloboku) zbioru S x x miara kta wierzchokowego trójktów tworzcych zbiór S x itp. W przypadku ustaloych cigów zbiorów S x, x k, k,,... dodatkowymi charakterystykami mog by wzajeme usytuowaia elemetów cigów, wzajeme usytuowaie ich rodków cikoci, odlegoci rodków cikoci, czci wspóle zbiorów Sx, x k, relacje ikluzji, róica czy te suma zbiorów itp. Wszystkie te charakterystyki przy odpowiediej iterpretacji mog by bardzo cee z puktu widzeia aalizy jakociowej modelowaych obiektów jak te samego procesu modelowaia. Badaie tych charakterystyk pozwala bowiem wydoby wicej iformacji o obiektach x i wyika to wprost z ich formalych modeli opisowych y Fx, x (daych w postaci cigów liczb). Wprowadzajc dodatkowo tzw. gsto cech ( ciar

5 BIULETY ISTYTUTU SYSTEÓW IFORATYCZYCH 4-8 (009) x waciwy cech) w postaci moemy dokoywa aalizy jeszcze bardziej szczegóowej. W dalszej czci pracy, z racji ograiczoej jej objtoci zajmiemy si gówie S x ps x oraz charakterystyk ktow x charakterystyk modelu w postaci. Pole powierzchi zbioru S x jest pew fukcj daych opisowych obiektu x Fx y oraz liczby uwzgldioych cech. Dla ustaloych oraz x wartoci charakterystyki p S x moemy okreli astpujco: p S x yk yk y y k (3.9) gdzie si (3.0) za y k F kx, k,,..., Dodatkowe iformacje dotyczce zbioru modelowaych obiektów ios te jak wczeiej wspomiao charakterystyki zbiorów: S w i S w Odpowiedio pola powierzchi tych zbiorów okrelamy astpujco: p S w wk wk w w k (3.) w w p S w k w k w k (3.) odele S w oraz S w odgrywaj wa rol w aalizie jakociowej obiektów x, gdy zbiory te posiadaj astpujce ogóle wasoci: S w S x dla kadego x (3.3.) S x S w dla kadego x (3.4) a poadto x, x p S (3.5) Warto p S x zaley oczywicie od kolejoci uwzgldiaych cech, std te w przypadku braku zaoeia ustalajcego kolejo cech, stosowaa jest charakterystyka p S x bdca uredieiem pól powierzchi odpowiadajcych wszystkim moliwym kombiacjom uporzdkowa cech (!). 4. Zormalizowae przestrzeie pajczyowe iech FxF x,..., F x,... F x, fukcja modelowaia taka, e F : Y. O fukcji tej zaoymy, e F x 0,, x. Jeli by tak ie byo to aleaoby od wartoci fukcji F x odj odpowiedi liczb c dla kadego x (przesuicie skali) [], [4] w astpujcy sposób : F x F x c, x, gdzie c mi F x,. x Dalej zakada bdziemy, e fukcja modelowaia speia powyszy waruek. ormalizacji fukcji modelowaia moa dokoa a wiele sposobów [], [4]. Jedym z ich jest astpujcy sposób: x x F F (4.) F gdzie F max F x 0, (4.) x W te sposób zormalizowaa fukcja modelowaia ma tak waso, e 0 F x dla kadego, x (4.3) Za obiekty w i w maj posta: w 0,..., 0 w,..., Dalej bdziemy zakada, e fukcja F jest zormalizowaa w sesie (4.3). Okreleie 4.. Zormalizowa -wymiarow przestrzei pajczyow azywa bdziemy par uporzdkowa Pr S r, gdzie r max w Dla uproszczeia zapisu, w przypadku przestrzei zormalizowaych bdziemy pisa P S,. Przykad. W tabeli. przedstawioo wartoci zormalizowaej fukcji modelowaia 5

6 A. Ameljaczyk, atematycze aspekty modelowaia pajczyowego obiektów 4 3 z przykadu. (przesuicie skali c jest astpujce c,,,,. Tabela. Warto zormalizowaej fukcji modelowaia F (x) F ( x ) F ( x ) F 3( x ) F 4( x ) F 5( x ) w w a kolejym rysuku przedstawioe zostay zormalizowae modele pajczyowe poszczególych obiektów x. = 6/ /3 3/4 / Rys. 3. Zormalizowae modele pajczyowe obiektów x 5. Problem szczegóowoci i adekwatoci modeli pajczyowych 0 Wród wielu dodatkowych charakterystyk modelu pajczyowego S x a szczegól uwag zasuguj charakterystyki, które mog by wykorzystae do ocey jakociowej 6 5 = =3 modelowaego obiektu lub te samego procesu modelowaia. iiejsza praca jak ju wczeiej wspomiao dotyczy bdzie charakterystyki ps x, któr moa gówie z racji jej kostrukcji (3.9) wykorzysta do bada jakociowych obiektów jak te wielokryterialej aalizy porówawczej oraz charakterystyki ktowej bdcej wprost, fukcj maksymalej liczby uwzgldioych w modelu cech. Zaómy dalej, e dyspoujemy modelem -dokadym obiektu x. aksymala moliwa liczba cech, które moa teoretyczie uwzgldi w przypadku modelowaia obiektów ze zbioru to. Oczywicie. Dla kompletoci rozwaa przyjmijmy, e 0,,...,. Jako modelu S x moa okreli defiiujc jego rozbieo z orygiaem x lub zamieie dokado. Okreleie 5.. Rozbieoci modelu -dokadego S x z orygiaem x azywa bdziemy liczb x x, D gdzie - liczba cech aktualie uwzgldioych w modelu,za x graicza miara ktowa przyrostu dokadoci modelu przy uwzgldieiu maksymalej (dla elemetów zbioru ) liczby cech. Po przeksztaceiu mamy: D x, (5.) 0 D x, (5.) Jeli a moliwych do uwzgldieia cech, uwzgldimy w modelu wszystkie, to rozbieo takiego modelu z orygiaem bdzie zerowa. Jeli uwzgldimy tylko jed cech to rozbieo wyiesie D x. Okreleie 5.. Stopiem (wspóczyikiem) rozbieoci modelu azywa bdziemy liczb x x D D (5.3) amy przy tym 0 D x, (5.4)

7 BIULETY ISTYTUTU SYSTEÓW IFORATYCZYCH 4-8 (009) Okreleie 5.3. Dokadoci modelu S x azywa bdziemy liczb d x Dx (5.5) Stopie dokadoci okrelimy astpujco: d x d (5.6) Zachodzi przy tym 0 d x, (5.7) Gdy zachodzi oczywicie D x 0 i d x Zagadieie adekwatoci czy te rozbieoci modelu jest oczywicie problemem bardziej zooym. Aalizujc charakterystyk ps x jak rówie ksztat zbioru S x moa podj si prób defiiowaia iych, bardziej zwizaych z modelem obiektu x wskaików charakteryzujcych proces modelowaia i sam model. Porówujc ksztaty zbiorów S x przy wzrocie liczby uwzgldiaych cech, ich powierzchi, obwód itp. moa jako modelu zdefiiowa bardziej precyzyjie. Kluczow rol mog odgrywa w tym podejciu graicze wartoci S x, p S x przy jako swoistego rodzaju pukty odiesieia. Poiej zosta przedstawioe pewe rozwaaia dotyczce moliwej iterpretacji charakterystyki ps x w okrelaiu stopia szczegóowoci modelu S x w zaleoci od wielkoci liczby. Rozwaaia te ie maj charakteru ogólego i s susze jedyie dla obiektów x speiajcych pewe szczególe zaoeia. Charakterystyki takie bowiem jak ksztat zbioru S x, pole powierzchi, rodek cikoci itp. su przede wszystkim aalizie jakociowej obiektów x [], [], [3], a ie samego procesu modelowaia. Zaómy, e mamy dae zadaie modelowaia pajczyowego w przestrzei zormalizowaej Z P,, F. Ituicyjie, stopie szczegóowoci modelu (opisu) obiektu x jak ju byo wspomiae powiie ros wraz z wielkoci liczby cech uwzgldioych w procesie modelowaia, jako (adekwato) modelu powia rówie posiada podob waso. Wielko pola powierzchi modelu S x, zgodie z zaleoci (3.9) i (3.0) formalie jest pew fukcj liczby uwzgldiaych cech oraz wartoci tych cech okreloych jako cig liczb: y F x,..., F m x,..., F x co zapiszemy p S x f y, (5.8) Ustalajc kokret warto, moemy bada fukcj f y, yy. Przy pewych zaoeiach jakociowych odoie iterpretacji ym F mx, m wartoci f y moe by iterpretowaa jako uogólioa jako obiektu x, takiego e F x y [], [6]. oa zatem j wykorzysta do budowy tzw. fukcji rakigowej oraz iych fukcji decyzyjych w tym w szczególoci optymalizacji. Z kolei ustalajc y Fx, moemy bada zmieo f y w zaleoci od,,...,, co moe pozwoli a oce zmia szczegóowoci (dokadoci) procesu modelowaia, wyikajcych ze zmia liczby uwzgldioych cech. Przykadowo adekwato modelu S x moemy zdefiiowa jako pew fukcj qs x o postaci astpujcej: p S x q x S, x,,... ps x (5.9) Zauwamy, e dla, q S x. 6. odelowaie obiektów w przestrzei ieskoczeie wymiarowej W dalszej czci opracowaia zakada bdziemy, e dyspoujemy zormalizowa fukcj modelowaia : Y 0, x... x 0, F razy (6.) Biorc dowoly elemet yy moemy przedstawi jego model w przestrzei pajczyowej P jako pewie podzbiór S y zbioru S. Gówymi charakterystykami tego modelu bd szczegóowo oraz adekwato rozumiae astpujco : y y p S ps y oraz q y S (6.) p S Zaómy, e chcemy zwikszy stopie szczegóowoci modelu oraz jego adekwato 7

8 A. Ameljaczyk, atematycze aspekty modelowaia pajczyowego obiektów poprzez zwikszeie maksymalej liczby uwzgldiaych cech. Zwikszajc liczb do ieskoczooci otrzymamy ieskoczeie wymiarow przestrze pajczyow P S,. Ustalajc w kokretym zadaiu modelowaia liczb ajwaiejszych cech otrzymamy model -dokady S y S. Okreleie adekwatoci qs y tak uzyskaego modelu S y wymaga wyzaczeia graiczej wartoci stopia szczegóowoci ps y lim ps y psy (6.3) o ile oczywicie graica taka istieje. p S y moemy O charakterystyce powiedzie,e y Y 0 p S, y,,,.. (6.4) Dla modelu y,...,, przy ps y ps y (6.5) S y jest modelem obiektu yy w ieskoczeie wymiarowej przestrzei pajczyowej S,. Liczba ps y wyraa maksymal (ideal) szczegóowo modelu, za adekwato modelu jest rówa. Badajc model przy ustaloej liczbie uwzgldiaych cech, moemy okreli te dodatkow jego charakterystyk: ps y ps y d y S psy (6.6) ps y qs y psy oczywicie przy, ds y Podsumowaie Przedstawioe powyej rozwaaia staowi prób sformalizowaia procesu modelowaia obiektów, bazujce a tzw. przestrzei pajczyowej. Graficza iterpretacja modeli pajczyowych awet dla duych wartoci liczby jest moliwa i atwa do implemetacji komputerowej. Daje owe przesaki pogbioej aalizy jakociowej modelowaych obiektów. Jest typowym arzdziem aalityczym midzy iymi w procedurach eksploracji daych. Bardzo iteresujce wyiki moa uzyska wprowadzajc w przestrzei dodatkowe relacje p. ikluzji, okrelajce wzajeme zwizki poszczególych par modeli lub ich sekwecji. Wprowadzeie takiej relacji umoliwia porzdkowaie obiektów wg róych kryteriów lub wyzaczaia klas rówowaoci, jak te kostruowaie fukcji rakigowych. Dodatkowe charakterystyki w postaci wielkoci pól powierzchi poszczególych modeli graficzych oraz ich wzajemego usytuowaia i zaleoci w zormalizowaej przestrzei pajczyowej mog by kolejymi przesakami ustale w zakresie wiedzy o aalizowaych obiektach. Pajczyow przestrze modelow moa potraktowa te jako przestrze decyzyj. Wprowadzeie do tej przestrzei modelu preferecji decydeta moe pozwoli a formuowaie, badaie i rozwizywaie odpowiedio sformuowaych zada optymalizacji. 8. Bibliografia [] A. Ameljaczyk, Optymalizacja wielo- -kryteriala w problemach sterowaia i zarzdzaia, Ossolieum, Warszawa- -Kraków, 984. [] A. Ameljaczyk,,,atematyczy model przestrzei ycia w komputerowym systemie wspomagaia decyzji medyczych, materiay I Krajowej Koferecji Systemy komputerowe i teleiformatycze w subie zdrowia, Warszawa, 009. [3] A. Ameljaczyk, O pewej kocepcji modelowaia repozytorium medyczego, opracowaie wewtrze WAT w ramach projektu POIG /08/009. [4] J. Gutebaum, odelowaie matematycze systemów, PW, 987. [5] J. Kacprzyk, Zbiory rozmyte w aalizie systemowej, PW, 986. [6] D. Had, H. aila, P. Smyth, Eksploracja daych, WT, Warszawa, 005. [7] D.T. Larose, Odkrywaie wiedzy z daych, PW, 006. [8] Z. Pawlak, Systemy iformacyje podstawy teoretycze, WT, Warszawa, 983. [9] P. Smets,,,edical diagosis: Fuzzy sets ad degrees of belief, Fuzzy Sets ad Systems, vol. 5, 98. [0] L.A. Zadeh,,,Iformatio Cotrol, Fuzzy Sets, vol. 8,