BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH

Transkrypt

1 WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH WARSZAWA NR 4/2009

2 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH WYDZIA CYBERNETYKI WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ISSN Warszawa, ul. S. Kaliskiego 2 tel.: (22) , fax: (22) Zespó redakcyjny w skadzie: prof. dr hab. in. Marian Chudy (redaktor naczelny) dr hab. in. Andrzej Walczak, prof. WAT (z-ca redaktora naczelnego) prof. dr hab. in. Andrzej Ameljaczyk dr hab. in. Ryszard Antkiewicz, prof. WAT dr hab. in. Andrzej Najgebauer, prof. WAT dr hab. in. Tadeusz Nowicki, prof. WAT dr hab. in. Bolesaw Szafraski, prof. WAT dr hab. in. Kazimierz Worwa, prof. WAT dr in. Zbigniew Tarapata (sekretarz naukowy) Redaktorzy numeru: dr hab. in. Tadeusz Nowicki, prof. WAT dr hab. in. Kazimierz Worwa, prof. WAT Redakcja techniczna i projekt graficzny: Barbara Fedyna Druk: BEL Studio Sp. z o.o., Warszawa, ul. Powstaców lskich 67B

3 SPIS TRECI 1. A. Ameljaczyk Analiza wpywu przyjtej koncepcji modelowania systemu wspomagania decyzji medycznych na sposób generowania cieek klinicznych A. Ameljaczyk Matematyczne aspekty modelowania pajczynowego obiektów T. Górski Analiza przydatnoci wybranych standardów do modelowania architektury systemu informatycznego dla suby zdrowia P. Kosiuczenko Przydatno jzyka Gello i standardu RIM do obiektowego modelowania systemów medycznych M. Mazurek Wielokryterialne zadanie optymalizacji schematu agregatów A. Najgebauer, R. Kasprzyk Symulator rozprzestrzeniania si zoliwego oprogramowania w sieciach komputerowych G. Sabak Metoda analizy ruchu drogowego na podstawie zachowania uytkowników sieci telefonii komórkowej J. Winiewska Okrelanie priorytetów zmiennych pewnych funkcji decyzyjnych.. 61

4

5 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (2009) Analiza wpywu przyjtej koncepcji modelowania systemu wspomagania decyzji medycznych na sposób generowania cieek klinicznych A. AMELJACZYK aameljaczyk@wat.edu.pl Instytut Systemów Informatycznych Wydzia Cybernetyki WAT ul. S. Kaliskiego 2, Warszawa W pracy dokonano analizy najczciej stosowanych koncepcji modelowych w konstrukcji systemów wspomagania decyzji medycznych pod ktem ich wpywu na sposób generowania cieek klinicznych w obszarze tzw. wzów decyzyjnych. Analizie poddano takie koncepcje modelowania jak modelowanie bazujce na teorii zbiorów rozmytych, teorii zbiorów przyblionych, sieci bayesowskich oraz koncepcji wzorców deterministycznych. Sowa kluczowe: Clinical Decision Support System, Clinical Pathways, Fuzzy Sets, Rough Sets, Multicriteria Optimization. 1. Wprowadzenie Komputerowe Systemy Wspomagania Decyzji Medycznych (Klinicznych) w skrócie KSWDM rozumiane s jako systemy interaktywnych programów komputerowych dziaajcych na okrelonej platformie sprztowo sieciowej, które w wyniku przetwarzania rezultatów bada medycznych i wiedzy medycznej wspieraj proces diagnozy lekarskiej oraz metod leczenia. Z kolei cieki kliniczne (Clinical Pathway CP) definiuje si [13], [17] jako system powizanych dziaa, zapisany w okrelonej notacji (np. BPMN, GELLO, UML, OCL, XML lub innej), sucy wspieraniu lekarzy oraz niszego personelu medycznego na etapie diagnozowania, planowania sposobu leczenia i jego przebiegu, prowadzcy do wzrostu jakoci i efektywnoci usug medycznych. CP moe zatem posiada dowoln form zapisu, niekoniecznie w postaci programu kom- -puterowego, co jest szczególnie znamienne dla KSWDM. Nie mniej jednak kada cieka kliniczna dowolnie zapisana, oprócz sekwencji zada i dziaa zawiera musi tzw. wzy decyzyjne, które s elementami sterujcymi w procesie leczenia konkretnego pacjenta w diagnozowanej chorobie. Z punktu widzenia poprawnoci i skutecznoci leczenia wanie te elementy s w gównej mierze decydujce. W zalenoci od stopnia zinfor- -matyzowania, rozstrzygnicia w wzach decyzyjnych cieek klinicznych odbywaj si bd to z udziaem wycznie lekarza (ewentualnie niszego personelu medycznego) bd te dodatkowo ze wsparciem KSWDM. Niniejsze opracowanie, zgodnie z zaoeniami projektu dotyczy tej drugiej sytuacji. Kompleksowy ksztat (opis w okrelonym jzyku modelowania) cieki zaley zatem od przyjtej koncepcji modelowej zapisu danych medycznych oraz regu wnioskowania KSWDM. W dalszej czci opracowania dokonana zostanie analiza najczciej stosowanych jzyków modelowania matematycznego (koncepcji modelowych), sucych modelo- -waniu i projektowaniu systemów wspomagania decyzji medycznych pod ktem ich zalet i wad w kontekcie aplikacyjnym generowanie cieek klinicznych. Poniej przedstawione zostay najczciej wystpujce wzy decyzyjne w ciekach klinicznych: 1

6 A. Ameljaczyk, Analiza wpywu przyjtej koncepcji modelowania systemu wspomagania decyzji TAK WARUNEK (W) NIE WYKONAJ CZYNNO 1 WYKONAJ CZYNNO 2 Rys. 1. Prosty wze decyzyjny lub bardziej skomplikowany: TAK WARUNEK (W) NIE WYKONAJ CZYNNO 1 TRUDNO POWIEDZIE WYKONAJ CZYNNO 2 WYKONAJ CZYNNO 3 Rys. 2. Zoony wze decyzyjny 2

7 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (2009) W wikszoci przypadków spenienie warunku W mona sprowadzi do rozstrzygnicia czy pewien element w W czy te element ww. Od wyniku tego rozstrzygnicia zaley dalsza sekwencja dziaa zgodnie z moliwociami zapisanymi w ciece klinicznej. W przypadku cieki klinicznej realizowanej bez udziau KSWDM rozstrzygni tych w peni dokonuje personel medyczny odpowiedniego szczebla, w przypadku za moliwoci wsparcia decyzji medycznej przez system KSWDM rozstrzygni tych dokonuje równie personel medyczny wzbogacony jednak sugesti tego systemu. Poniszy schemat zapytania o spenienie warunku W, wedug ekspertów, w wielkim uproszczeniu mona uszczegóowi (rozbudowa) nastpujco: 2. Koncepcja modelowania systemu wspomagania decyzji medycznych oparta na teorii zbiorów rozmytych Problem zoonoci modelowania procesu wspomagania decyzji diagnostycznych przeledmy na uproszczonym przykadzie wstpnej diagnozy choroby serca jak jest zapalenie wsierdzia. TAK CZY WYSTPUJ SYMPTOMY ZAPALENIA WSIERDZIA (W) NIE TRUDNO POWIEDZIE Rys. 3. Diagnostyczny wze decyzyjny cieki klinicznej 3

8 A. Ameljaczyk, Analiza wpywu przyjtej koncepcji modelowania systemu wspomagania decyzji T w 1 N? d 5 T w 2 N? T w 3 N T w 4 N d 1 d 2?? d 4 T w 5 N? d 2 d 3 Rys. 4. Czstkowe wzy decyzyjne wza W Moemy zatem zapisa: W w 1, w 2, w 3, w 4, w gdzie: w czy wystpuje gorczka? 1 w czy wystpuje szybka akcja serca? 2 w czy wystpuj silne dreszcze? 3 5 w czy wystpuje atwe mczenie? 4 w czy wystpuje nadmierna potliwo? 5 Zgodnie z sugesti specjalistów (ekspertów) w zalenoci od poszczególnych rozstrzygni (opcja tak, nie) w wzach decyzyjnych, 4

9 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (2009) diagnoz w zakresie zapalenia wsierdzia mona sformuowa jako jedn z nastpujcych : d bardzo due ryzyko zapalenia wsierdzia 1 d due ryzyko 2 d 3 rednie ryzyko d mae ryzyko 4 d bardzo mae ryzyko 5 D d 1, d 2, d 3, d 4, d 5 Ju powierzchowna analiza rozstrzygni (opcja tak, nie ) w zakresie czstkowych warunków (symptomów) w 1,..., w 5 nasuwa wtpliwoci typu: co to znaczy wystpuje gorczka? co to znaczy szybka akcja serca? co to znaczy silne dreszcze? co to znaczy atwe mczenie si? co to znaczy nadmierna potliwo? Równie globalne rozstrzygnicia decyzyjne nie daj satysfakcji. Có bowiem znaczy bardzo due ryzyko zapalenia wsierdzia? czy te rednie ryzyko? i jak je mierzy lub te porównywa? Jeli wemiemy ponadto pod uwag inne moliwe schorzenia kardiologiczne takie jak na przykad nadcinienie, zawa serca, dusznica bolesna czy te arytmia (o podobnych symptomach), jak równie fakt i pacjent moe cierpie nie tylko na jedn chorob z grupy kardiologicznych lecz na dwie lub wicej to wiarygodno takiej diagnozy staje si jeszcze bardziej problematyczna. Jak te atwo zauway we wszystkich rozpatrywanych wzach decyzyjnych rozstrzygnicie trudno powiedzie nabiera szczególnego znaczenia. Rozstrzygnicie tego typu, kadorazowo uruchomi musiaoby inny fragment cieki klinicznej np. dajc dodatkowego badania. Czstkowe rozstrzygnicie trudno powiedzie przekadaj si zatem w sposób bardzo istotny na globalne rozstrzygnicie diagnostyczne. Przykad ten, cho bardzo uproszczony pokazuje z jednej strony wielk zoono procesu diagnozowania a z drugiej strony konieczno obiektywizacji bada i pomiarów jak równie traktowanie procesu diagnozowanie w szerszym kontekcie. Odpowiedzi nauki na te wyzwania s narzdzia jakie s stawiane lekarzom do dyspozycji gównie przez teori zbiorów rozmytych, teori zbiorów przyblionych, metodologi sieci bayesowskich oraz teori wzorców w analizie wielokryterialnej. Pierwsze koncepcje zastosowania zbiorów rozmytych do modelowania zagadnie biologicznych i medycznych zostay przedstawione w pracy Zadeha [20] ju pod koniec lat szedziesitych ubiegego stulecia. Lata siedemdziesite i osiemdziesite to burzliwy rozwój zastosowa zbiorów rozmytych w diagnostyce medycznej Sanchez [14], [15], Wechsler [18], Smets [16]. Kolejny obszar zastosowa medycznych to analiza elektro- -kardiogramów i elektroencefalogramów Albin [1] i wiele innych. Zbiory rozmyte znalazy zastosowanie w diagnostyce medycznej gównie w modelo- -waniu zbiorów danych i symptomów medycznych (chorobowych). Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X jest zbiór par uporzdkowanych: A x, Axx X (2.1) gdzie: A : X 0, 1 funkcja przynalenoci elementów x do zbioru X Ax0, 1 oznacza wielko prawdo- -podobiestwa (stopie) przynalenoci elementu x do zbioru X. W teorii zbiorów rozmytych [1], [21] najczciej stosowane s nastpujce funkcje przynalenoci: trapezowa, trójktna i tak zwana s funkcja. Przykadow funkcj trapezow przedstawia kolejny rysunek: 1 Ax x 1 Rys. 5. Funkcja trapezowa Najwaniejsze pojcia uywane w modelowaniu danych i symptomów medycznych to: 1) nonik zbioru rozmytego NA x X A x 0 (2.2) 2) rdze zbioru rozmytego RA x X Ax1 (2.3) 3)wysoko zbioru rozmytego h A sup x (2.4) zbiór rozmyty h A. 1 A xx A x 2 jest znormalizowany, jeli x 5

10 A. Ameljaczyk, Analiza wpywu przyjtej koncepcji modelowania systemu wspomagania decyzji 4) Relacja równoci zbiorów A B x X Ax B x (2.5) 5) Relacja zawierania si zbiorów A B x X Ax B x (2.6) Omówione wyej pojcia dotyczce zbioru rozmytego wykorzystywane s do modelowania procesu rozpoznawania choroby. Uproszczony model choroby moemy wprowadzi nastpujco [3], [4]: Symbolem M 1,..., m,..., M oznaczmy zbiór wyrónionych jednostek chorobowych. Chorob m M (jednostk chorobow) oraz jej nasilenie mona zdefiniowa poprzez zakresy chorobowych wartoci parametrów czyli wyników bada i symptomów [4],[5]. Ogólnie symbolem Nm, m M moemy oznacza zbiór parametrów i symptomów wiadczcych o chorobie m M. m m m Symbolem C n c n, cn oznaczamy zbiór wartoci chorobowych parametru n N w chorobie m M. Tworzc w nastpnej kolejnoci iloczyn m kartezjaski zbiorów C n otrzymamy model jednostki chorobowej m M w postaci m zbioru C. Tak wic: m m m m C C1.... Cn.. CN m gdzie N m czna liczba parametrów (symptomów) wiadczcych o chorobie m M C m m N ( m) m n m n c R c C, n N( m) (2.7) jest obrazem chorobowych wartoci parametrów (symptomów) choroby. m M parametrów zdrowotnych do odpowiednich zbiorów chorobowych wartoci tych parametrów gdzie: x n warto parametrów n pacjenta x m n funkcja przynalenoci konkretnej wartoci parametru n do zbioru wartoci tego parametru chorobowego w chorobie m X n zbór, w którym zosta zdefiniowany zbiór wartoci chorobowych parametru n N. W praktyce prawie zawsze X n R, n N Przykady najczciej stosowanych funkcji przynalenoci przedstawiaj ponisze rysunki: 1 m n x n 1 Rdze b a 1 1 a b 2 2 R m C n Rys. 6. Trapezowa funkcja przynalenoci wartoci parametru n w chorobie m m n x n xn Zachodzi przy tym [4],[5]: m C S, m M, n N n n m C W oparciu o zbiory mona utworzy tzw. wzorce chorób W m C m, m M. Idea zastosowania teorii zbiorów rozmytych w KSWDM polega na traktowaniu m poszczególnych zbiorów C n jako zbiorów rozmytych, a w konsekwencji równie modelu m C choroby m M jako choroby rozmytej (zbioru rozmytego). Jeli stan zdrowia pacjenta na konkretnym etapie cieki klinicznej jest okrelony jako x x1,..., x n,... xn to proces diagnozowania polega bdzie na okreleniu wartoci funkcji przynalenoci poszczególnych jego aktualnych 1 b 1 a 1 a 2 b2 Rys. 7. Trójktna funkcja przynalenoci wartoci parametru n w chorobie m (rdze 1-elementowy) xn 6

11 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (2009) 1 Rys. 8. Funkcje przynalenoci typu S wartoci parametru n w chorobie m Nonikiem zbioru rozmytego (parametru n w chorobie m ) w przypadku funkcji trapezowej bdzie zbiór: R C m x X m n n n n xn 0 x R 1 b x b n 1 n 2 Rdzeniem (wzorcem parametru n m ) bdzie natomiast zbiór RC m x R 1 m n n n xn 1 m n x n b1 b 2 b 3 X n w chorobie x 1 n R a1 xn a2 W ramach nonika mona definiowa róne stopnie zagroenia chorob m okrelajc odpowiednie obszary zagroe Z C m n, które bd podzbiorami nonika N C m n. Kompletna diagnoza choroby m M bdzie jednak moliwa do okrelenia po wyznaczeniu cznej wartoci funkcji przynalenoci mx dla stanu zdrowia pacjenta opisanego wektorem x x1,..., x n,..., xn, czyli po okreleniu wszystkich wartoci mx, n N. Bdzie ona pewn funkcj d m n x, n N. I tu pojawia si pierwsza istotna trudno w stosowaniu tej koncepcji modelowania w zagadnieniach diagnostyki medycznej. Zgodnie z teori zbiorów rozmytych [16], [20] funkcja ta ma nastpujc posta: d m m m n xn, n N x min n xn nn co przeczy zdroworozsdkowemu podejciu i opiniom ekspertów. Zastosowanie bowiem powyszej konstrukcji funkcji d powoduje wyeliminowanie z moliwoci wpywania na ostateczn diagnoz wszystkich innych parametrów chorobowych majcych wiksz warto funkcji przynalenoci ni ta minimalna. Znane w literaturze inne próby modelowania funkcji d (w oparciu o sum zbiorów rozmytych lub specjalnie definiowan sum waon) nios ze sob równie zbyt duy adunek subiektywizmu by mona byo je stosowa w modelowaniu tak wanego zagadnienia jakim jest diagnostyka medyczna. Funkcje trapezowa i funkcje typu S s najczciej wykorzystywane w modelowaniu rozmytym procesu diagnozowania. Kluczowym problemem tej koncepcji modelowanie jest tzw. adekwatno funkcji przynalenoci [20]. Ich ksztat ma kapitalne znaczenie w uzyskaniu poprawnej diagnozy. Pomiar empiryczny stopni przynalenoci jest niezwykle trudny i nacechowany przesankami subiektywizmu. Zagadnienie to wchodzi w zakres tzw. skalowania psychologicznego. Brak adekwatnych funkcji przynalenoci a przede wszystkim brak skutecznych metod ich empirycznego wyznaczania jest gówn przyczyn, i ta koncepcja modelowania wzów decyzyjnych w ciekach klinicznych rzadko wychodzia poza modele pogldowe majce znaczenie gównie dydaktyczne. 3. Koncepcja modelowania systemu wspomagania decyzji medycznych oparta na teorii zbiorów przyblionych Teoria zbiorów przyblionych powstaa na pocztku lat osiemdziesitych. Jej autorem jest Zdzisaw Pawlak [11], [12]. Metodologia zbiorów przyblionych zyskaa bardzo du popularno, szczególnie w obszarze eksploracji danych, zoonych zadaniach klasyfikacji oraz w komputerowych systemach wspomagania decyzji. Z racji swojej specyfiki jest niezwykle obiecujca w obszarze Komputerowych Systemów Wspomagania Decyzji Medycznych [10], [11], [12]. Zbiory przyblione s zbiorami definiowanymi w tzw. przestrzeni dyskretnej. Dyskretyzacja przestrzeni nastpuje poprzez okrelenie zbioru elementarnego, którego wielko zaley od stopnia szczegóowoci przyblienia rozpatrywanych zbiorów. Elementy zawarte w zbiorze elementarnym s midzy sob nierozrónialne w okrelonym aspekcie. Elementy te posiadaj wartoci wszystkich cech takie same jak cay zbiór elementarny. Informacja repozytoryjna w koncepcji modelowania opartej na teorii zbiorów 7

12 A. Ameljaczyk, Analiza wpywu przyjtej koncepcji modelowania systemu wspomagania decyzji przyblionych przechowywana jest w postaci stabelaryzowanej w zakresie tak obiektów (pacjentów) jak i wartoci cech (atrybutów) chorobowych. Jest to informacja wytworzona przez ekspertów. Systemy te operuj na wartociach dyskretnych. Jeli dane dotyczce cech (atrybutów) s cige wówczas w fazie pocztkowej musz zosta przeksztacone do postaci dyskretnej. Istota koncepcji zbiorów przyblionych oparta jest na zdefiniowaniu tzw. klas równowanoci obiektów (pacjentów) ze wzgldu na identyczne wartoci cech (symptomów) okrelonego podzbioru rozwaanych cech chorobowych. Jeli X to skoczony zbiór pacjentów, a N skoczony zbiór symptomów chorobowych (cech atrybutów) to relacj równowanoci w sensie podzbioru B N cech chorobowych zapiszemy nastpujco: INDB x, y X X n B fnx fny (3.1) gdzie: f n x warto n-tego atrybutu (cechy) obiektu x X. Klas równowanoci ze wzgldu na podzbiór B cech chorobowych zapiszemy jako zbiór: x INDB y X x, y INDB (3.2) Jest to podzbiór tych elementów ze zbioru X które maj te same wartoci cech chorobowych w grupie cech z podzbioru B. S zatem nierozrónialne. To pojcie pozwala zdefiniowa z kolei brzeg zbioru przyblionego Y jako zbiór [11], [12]: B Y SB Y SB Y (3.3) bdcy rónic przyblienia górnego i dolnego. Powstaa w ten sposób moliwo zdefiniowania zbioru Y w oparciu o jego przyblienie dolne i górne. Podobnie jak w przypadku teorii zbiorów rozmytych, teoria zbiorów przyblionych zyskuje coraz to nowe moliwoci w zakresie wnioskowania i podejmowania decyzji w sytuacji istnienia niepenych lub czciowo sprzecznych danych. Podejcie to, gównie ze wzgldu na stosunkowo niewielk potrzeb dysponowania subiektywnymi danymi typu funkcje przynalenoci oraz bazowaniu na zbiorach skoczonych i skwantyfikowanych wartociach atrybutów (cech i symptomów chorobowych) rokuje znacznie wiksze nadzieje aplikacyjne w obszarze modelowania wzów decyzyjnych w KSWDM i w konsekwencji modelowania cieek klinicznych. Ujemn stron tego podejcia jest konieczno szczegóowego opracowania danych sucych budowie ( wypenieniu ) skomplikowanych tablic decyzyjnych przez ekspertów z dziedziny diagnostyki i leczenia poszczególnych chorób. 4. Koncepcja modelowania Systemu Wspomagania Decyzji Medycz- -nych oparta na metodzie sieci bayesowskich W wielu modelach systemów wspomagania decyzji medycznych zakada si, e badany pacjent choruje tylko na jedn chorob co skutkuje zaoeniem, e jednostki chorobowe objte modelem wzajemnie si wykluczaj. Zaoenie to bardzo upraszcza metody wnioskowania lecz niestety jest bardzo upraszczajce i ograniczajce. W odrónieniu od dwóch poprzednich podej do modelowania repozytorium, metodologia sieci bayesowskich pozwala unikn tego tak bardzo ograniczajcego zaoenia [8], [9], [10]. Sieci bayesowskie [10], [8] s swoistego rodzaju probabilistycznymi modelami graficznymi. Najczciej sie bayesowska jest przedstawiana jako graf acykliczny skierowany. Gównym problemem przy konstruowaniu sieci bayesowskiej jest okrelenie jej struktury oraz okrelenie parametrów probabilistycznych w postaci prawdopodobiestw warunkowych. Idea modelowania opartego na sieci bayesowskiej bazuje na wyznaczeniu rozkadu prawdopodobiestwa a posteriori wystpienia poszczególnych chorób pod warunkiem stwierdzenia konkretnych wartoci parametrów (symptomów) chorobowych x X pm / x, m M. (4.1) Jest to swego rodzaju odleg o zestawu wyników x x1,..., x n,..., x N od jednostki chorobowej m M. Adekwatno diagnozy podjtej w ten sposób bardzo istotnie zaley od stopnia dokadnoci empirycznego wyznaczenia takich rozkadów warunkowych. Zakadajc ostronie, i ilo jednostek chorobowych siga kilku tysicy, ilo parametrów (symptomów) chorobowych kilkuset, a zbiór wartoci kadego z nich rednio kilku kilkudziesiciu wartoci (po dyskretyzacji) otrzymamy prawdziw skal problemu. Nie mniej, jednak praktyka ostatnich dwudziestu lat potwierdzia, i w bardzo wielu przypadkach, modelowanie procesów diagnostycznych oparte na sieciach 8

13 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (2009) bayesowskich przynioso dobre rezultaty [8], [10]. 5. Koncepcja modelowania Systemów Wspomagania Decyzji Medycz- -nych oparta na metodzie wzorców deterministycznych Tej metodzie modelowania powicono midzy innymi prace [2], [3], [4]. Ogólnie filozofia tego podejcia polega na porównaniu otrzymanych wyników bada medycznych pacjenta z wzorcami odpowiednich chorób. Szczególnym przykadem tego podejcia jest propozycja zawarta w [2], [3]. Polega ona na zdefiniowaniu stanu zdrowia pacjenta w tzw. przestrzeni ycia oraz zdefiniowaniu w tej samej przestrzeni wzorców jednostek chorobowych. Kolejnym krokiem jest zdefiniowanie odpowiedniej miary odlegoci stanu zdrowia pacjenta od wyrónionego podzbioru chorób. Istotnym problemem w tym podejciu (sdz, e równie we wczeniej omawianych) jest problem obiektywnej i adekwatnej normalizacji zbiorów wartoci poszczególnych cech i symptomów chorobowych. Jest to jednak gównie problem matematyczno techniczny. Problem wyboru techniki mierzenia odlegoci w przestrzeni ycia jest w zasadzie rozwizany [2], [19] i moe by stosunkowo atwo weryfikowany na podstawie danych a posteriori. 6. Podsumowanie Analizujc pozytywne i negatywne aspekty przedstawionych w pracy koncepcji modelowania repozytorium medycznego oraz niezwykle bogat literatur z zakresu przykadów zastosowania poszczególnych koncepcji modelowania, naley stwierdzi i podejcie oparte na teorii zbiorów rozmytych doczekao si najmniej konkretnych aplikacji, szczególnie kompleksowych. Std te w dalszych pracach w ramach realizowanego projektu zostanie pominite. Podejcia oparte na teorii zbiorów przyblionych jak równie bazujce na metodyce sieci bayesowskich wydaj si bardziej obiecujce i s rekomendowane do dalszych bada. Metoda bazujca na wskanikach odlegociowych zdaniem autora opracowania jest najblisza aplikacji. Rozwizanie problemu normalizacji charakterystyk medycznych jak te wybór najbardziej adekwatnej metody mierzenia odlegoci w przestrzeni ycia otwaryby drog do jej szybkiej aplikacji. 7. Bibliografia [1] M. Albin, Fuzzy sets and their applications to medical diagnosis, Berkely, [2] A. Ameljaczyk, Optymalizacja wielo- -kryterialna w problemach sterowania i zarzdzania, Ossolineum, [3] A. Ameljaczyk, Analiza specyfiki Komputerowych Systemów Wspomagania Decyzji Medycznych w kontekcie modelowania i algorytmizacji procesów decyzyjnych, I Krajowa Konferencja Systemy Komputerowe i Tele- -informatyczne w Subie Zdrowia, Warszawa, wrzesie, [4] A. Ameljaczyk, Matematyczny model przestrzeni ycia w komputerowym systemie wspomagania decyzji medycznych, I Krajowa Konferencja Systemy Komputerowe i Teleinformatyczne w Subie Zdrowia,Warszawa, wrzesie, [5] A. Ameljaczyk, O pewnej koncepcji modelowania repozytorium medycznego, WAT, Warszawa, kwiecie 2009, POIG / [6] ANSI HL7, [7] J. Baszczykowski, K. Krawiec, R. Sowiski, J. Stefanowski, Sz. Wilk, Wspomaganie decyzji i komunikacji w systemach telemedycznych, Politechnika Poznaska, Pozna, [8] J. Makal, System ekspertowy do wspomagania diagnozy agodnego przerostu prostaty, Pomiary Automatyka i Robotyka, 7-8, [9] Medyczne Systemy Ekspertowe, /links3.htm [10] A. Oniko i inni, HEPAR I HEPAR II komputerowe systemy wspomagania diagnozowania chorób wtroby, XII Konferencja Biocybernetyki i Inynierii Biomedycznej, Warszawa, listopad, 2001 [11] Z. Pawlak, Rough Sets, International Journal of Computer and Information Sciences, vol. 11, , [12] Z. Pawlak, Systemy informacyjne podstawy teoretyczne, WNT, Warszawa, [13] Resultmaker, Workflow patterns of the Online Consultant v. 1.1., Opracowanie wewntrzne, Kopenhaga, [14] E. Sanchez, Inverses of fuzzy relations. Application to possibility distributions and medical diagnosis, Proc. IEEE Conf. Decision and Control, USA

14 A. Ameljaczyk, Analiza wpywu przyjtej koncepcji modelowania systemu wspomagania decyzji [15] E. Sanchez, Medical diagnosis and composite fuzzy relations. Advances in fuzzy sets theory and applications, North- -Holland, [16] P. Smets,,,Medical diagnosis: Fuzzy sets and degrees of belief, Fuzzy Sets and Systems, vol. 5, [17] cieki kliniczne jako dynamiczne rodowisko dostpu do informacji medycznej pacjenta, wersja 0.8., Zintegrowany System Informacji Medycznej o Pacjencie, Bielsko-Biaa, Kraków, luty [18] H. Wechsler, Applications of fuzzy logic to medical diagnosis, Proc. Symp. on Multiple Valned Logic, Logan [19] L.P. Yu, G. Leitmann, Compromise sdutions, domination structures and Salukwadze s solution, JOTA, vol. 13, 1974 [20] L.A. Zadeh,,,Fuzzy Sets, Information Control, vol. 8, ( ),

15 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (2009) Matematyczne aspekty modelowania pajczynowego obiektów A. AMELJACZYK aameljanczyk@wat.edu.pl Instytut Systemów Informatycznych Wydzia Cybernetyki WAT ul. S. Kaliskiego 2, Warszawa W pracy omówiono moliwoci wykorzystania tzw. metod modelowania pajczynowego do modelowania i analizy jakociowej obiektów zoonych w procesach eksploracji danych. Zdefiniowano takie pojcia jak: N-wymiarowa przestrze pajczynowa, model pajczynowy obiektu, adekwatno modelu oraz niektóre charakterystyki eksploracyjne modelu. Sowa kluczowe: eksploracja danych, matematyczny model obiektu, modelowanie pajczynowe, model pajczynowy obiektu, model M-dokadny, dokadno modelu, adekwatno modelu. 1. Wprowadzenie Matematyczne modele obiektów (systemów) su najczciej analizom jakociowym i porównawczym. Mog by te podstaw budowy modeli optymalizacyjnych jak równie podstaw definiowania funkcji rankingowych [1], [3]. Formalne modele opisowe znalazy te due zastosowania w procesach i metodach eksploracji danych [5], [6], [7]. Obszarem szczególnie interesujcym z tego punktu widzenia jest modelowanie i analiza danych medycznych, modelowanie stanu zdrowia pacjenta i tzw. jednostek chorobowych, wykorzystywane w komputerowych systemach wspomagania decyzji medycznych [2], [3], [9]. W procesie modelowania matematycznego obiektów bardzo wan rol odgrywa cel modelowania [4], [5]. Z celu modelowania wynikaj przede wszystkim wymogi dotyczce konkretnego, formalnego jzyka modelowania oraz wymagana dokadno (adekwatno) modelu. Dysponujc oryginaem obiektu o nazwie x X, w zalenoci od celu modelowania, moemy zbudowa wiele rónych modeli y F(x), tego samego obiektu. Zbiór nazw modelowanych obiektów, na ogó jest utosamiane z pewnym podzbiorem X zbioru liczb naturalnych. Zbiór X jest wtedy zbiorem numerów obiektów. W szczególnych przypadkach zbiór X nie musi by skoczonym podzbiorem liczb naturalnych. Takim przykadem moe by zbiór moliwych zestaw danych medycznych [2], [3], [9]. Modelowany obiekt x X charakteryzuje si na ogó wieloma rónymi cechami czstkowymi, które decyduj o jego globalnych (systemowych) wasnociach. Szczegóowo (adekwatno) modelu jakkolwiek definiowana jest oczywicie funkcj liczby cech (wasnoci), które zostay uwzgldnione w modelu. Im wicej cech uwzgldnimy, tym na ogó model bdzie bardziej dokadny (szczegóowy) i tym lepiej bdzie odzwierciedla orygina. Taki model zapewne bdzie jednak bardziej kosztowny, skomplikowany oraz bardziej niewygodny do prowadzenia bada i analizy. Problem ustalenia ile cech i które z nich naley wzi pod uwag jest oczywicie problemem wyboru odpowiedniego kompromisu midzy dokadnoci modelu a jego zoonoci i kosztem. Intuicyjnie mona zgodzi si z opini, e w kadym procesie modelowania istnieje pewna graniczna liczba cech do uwzgldnienia, powyej której, przy zadanym celu modelowania przyrost jakoci modelu jest pomijalnie may. 2. Uproszczony model opisowy obiektu x X Oznaczmy symbolem x pewien obiekt ze zbioru X obiektów. Zaómy dalej, e obiekt ten posiada maksymalnie N cech (wasnoci), które mog mie znaczenie jeli chodzi o adekwatno (jako) modelu obiektu x X z punktu widzenia przyjtego celu modelowania. Zaómy, e cechy wiadczce o jakoci obiektu s uporzdkowane wedug ich wanoci, zgodnie z porzdkiem naturalnym. Oczywicie wielko liczby N zaley od stopnia zoonoci obiektów ze zbioru X co N N X. Jeli przykadowo zapiszemy 11

16 A. Ameljaczyk, Matematyczne aspekty modelowania pajczynowego obiektów elementami zbioru X bd proste obiekty np. rodzaje bloczków budowlanych, gatunki serów, itp. to maksymalna liczba wyrónionych cech moe siga kilku. Jeli bd to natomiast zoone urzdzenia elektroniczne czy te zoone mechanizmy, to liczba cech siga moe przykadowo kilkunastu. W przypadku modelowania bardzo zoonych obiektów jak np. stanu zdrowia pacjenta [3], [6] liczba ta moe siga kilkuset i wicej. Teoretycznie moemy rozpatrywa procesy modelowania gdzie liczba N. Symbolem oznaczymy zbiór {1,,n,,N} 1,...,m..., M za symbolem M zbiór. Okrelenie 2.1. Modelem M-dokadnym M N obiektu x nazwiemy model uwzgldniajcy tylko M sporód N, najwaniejszych cech obiektu x X. Okrelenie 2.2. Modelem dokadnym obiektu x X nazwiemy model uwzgldniajcy maksymaln liczb N cech wiadczcych o jego jakoci. Okrelenie 2.3. Funkcj modelowania opisowego nazywa bdziemy funkcj F : X N, przyporzdkowujc kademu modelowanemu obiektowi x X cig wartoci poszczególnych jego cech. Tak wic modelem obiektu x X bdzie jego obraz F x F N 1 ( x),.., Fn ( x),.., FN ( x)) (2.1) dany funkcj modelowania F gdzie F n( x ) warto n-tej cechy modelowanego obiektu x X. Zaómy dalej, e dla kadego n x n wn F n( ) w, x X (2.2) Fakt ten bdziemy zapisywa: y x n n F n( ) wn, w 1, n, x X (2.3) Cigi liczbowe y ( y 1,..., yn,..., y N ) Fx nazywa te bdziemy danymi o obiektach x X. Niech przykadowo N 15, M 9. Modelem dokadnym obiektu x X jest Fx 1, 2,1,1, 3, 4, 8, 7, 2, 5, 4, 3,1, 0, 0 15 za modelem M-dokadnym 9 F M x 1, 2,1,1, 3, 4, 8, 7, 2 Zadanie matematycznego modelowania opisowego obiektów x ze zbioru X moemy formalnie zapisa jako trójk uporzdkowan: ( N Z 0, X, F) (2.4) Obraz zbioru Y zbioru X bdzie zatem zbiorem modeli obiektów x X. Y F( X ) y F( x) N x X N (2.5) Klas równowanoci X(y) obiektów ze wzgldu na ustalone wartoci cech y Y nazywamy przeciwobraz zbioru jednoelementowego { y} Y { y} x X F( x y X ( y) 1 F ) (2.6) Jeli w zbiorze klas równowanoci X ( y) X y Y, istnieje przynajmniej jedna klasa o licznoci X ( y) 1, to zwikszenie iloci uwzgldnianych cech moe by przesank zwikszenia dokadnoci modelowania. Pojawia si tutaj interesujcy problem okrelenia takiej liczby N ( o ile istnieje), e dla kadego y Y, X y 1 3. N-wymiarowa przestrze pajczynowa Zaómy, e dane jest zadanie modelowania opisowego: Z0 ( N, X, F), którego wynikiem jest zbiór Y F( X ) modeli opisowych obiektów x X. Moliwo interpretacji graficznej (tzw. zobrazowania ) takich modeli w celu analizy ich wasnoci jest jednak bardzo ograniczona maksymalnie do N 3. O wiele wiksze moliwoci graficznej interpretacji, a w konsekwencji analizy i wydobywania dodatkowej wiedzy z danych opisujcych modelowane obiekty daje tzw. modelowanie pajczynowe (web modelling). Okrelenie 3.1. N-wymiarow, ograniczon przestrzeni pajczynow nazywa bdziemy par uporzdkowan Pr ( S r, N ) gdzie S r jest pewnym zbiorem wyznaczanym na paszczynie, np. w ukadzie wspórzdnych biegunowych w nastpujcy sposób: S r ( d, ) 0 d r, 0 2 (3.1) Liczba r o zwana jest promieniem (zakresem) przestrzeni, za para ( d, ) to wspórzdne 12

17 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (2009) punktu (elementu) zbioru S r (d odlego od tzw. bieguna, kt skierowany). W przypadku gdy r otrzymamy N -wymiarow przestrze nieskoczon P ( S, N ). Osie wspórzdnych 0xn, n 1,..., N przestrzeni pajczynowej moemy wyznaczy nastpujco: 2( n 1 0x n ( d, n ) 0 d r, n, n N (3.2) Na rys. 1. przedstawiona zostaa piciowymiarowa przestrze pajczynowa z zaznaczon skal odlegoci (dla r 4 ) oraz picioma osiami wspórzdnych 0 x n, n 1, 2, 3, 4, 5 X 2 0 (. ) 2 xn s1 s2 s1 d cos n, s2 d sin n, 2( n 1) 0 d r, n, n (3.5) N Okrelenie 3.2. Funkcj modelowania pajczynowego F P nazywa bdziemy odwzorowanie typu: F P : 2 Sr przyporzdkowujce kademu elementowi y zbiór S N (y) w postaci wieloboku o wierzchokach: A n ( y) ( y n, n ), n (3.6) Symbolicznie fakt ten zapiszemy: S N ( y) A1 ( y),... AN ( y) S r (3.7) Wierzchoki wieloboku S N (y) le na poszczególnych osiach wspórzdnych przestrzeni pajczynowej (patrz tzw. wykresy gwiazdowe [6], [7]). X 3 Okrelenie X 1 Modelem pajczynowym obiektu y (a w konsekwencji obiektu x, takiego, e F( x) y ) nazywa bdziemy zbiór S N Okrelenie 3.4. P y ( y) F S. r X 4 Rys. 1. Piciowymiarowa przestrze pajczynowa o promieniu r = 4 Zbiór S r bywa czasami definiowany wprost jako koo o promieniu r w ukadzie wspórzdnych kartezjaskich: S s 2 r ( 2 2 s s s 2 2 1, 2) 1 r (3.3) Zamieniajc wspórzdne biegunowe na kartezjaskie otrzymamy: (, ) 2 S r s1 s2 s1 d cos, s2 d sin, 0 d r,0 2 (3.4) oraz osie wspórzdnych: X 5 Zadaniem modelowania pajczynowego Z P nazywa bdziemy trójk uporzdkowan (,, P Z P Pr F ). Wynikiem realizacji zadania modelowania pajczynowego jest zbiór P F ( ) P, którego elementami s modele pajczynowe poszczególnych obiektów y F( x), x X y Sr P S N ( ) 2 y (3.8) Przykad 1. Niech 1, 2, 3, N 5 X. Funkcja modelowania opisowego dana jest w tabeli 1. W tabeli tej zapisano równie kracowe wartoci cech, n wn w, n 1, 2, 3, 4, 5 Warto parametru r wyznaczamy nastpujco: r max w n 6 n 13

18 A. Ameljaczyk, Matematyczne aspekty modelowania pajczynowego obiektów X 4 X 3 C 3 Tabela 1. F (x) X F 1( x ) F 2( x ) F 3( x ) F 4 ( x ) F 5 ( x ) w n w n Piciowymiarow przestrze z parame trem r 6 zdefiniujemy jako par uporzdkowan P6 ( S 6, 5), gdzie S 6 ( d, ) 0 d 6,0 2 Na rys. 2. przedstawiono modele pajczynowe obiektów x {1, 2, 3} 6 D 2 2 C 2 C 1 1/2 D 1 4 D 3 E B 2 B 1 Rys. 2. Modele pajczynowe obiektów 1 B 3 x X Na rysunku tym zaznaczono równie modele sztucznych obiektów [1]: 1 w X ( w1,..., w5) (1, 1,, 1, 1) 2 oraz (,..., 5 w X w 1 w ) (3, 4, 6, 4, 5), Zauwamy, e S5( w X ) S5( x) dla kadego x X oraz, e S5( w X ) S5( 3) a ponadto zachodzi S S5( w X 5 ( x) ) S5(3) dla kadego x X. Modelami pajczynowymi obiektów x{1, 2, 3} s odpowiednie zbiory S5( 1), S5(2), S5(3) X A 2 A 1 A 3 2 E E X 5 X 1 S to nastpujce wieloboki zaznaczone na rys. 2.: S A, B, C, D, E S A, B, C, D, E S A, B, C, D, E Modele obiektów sztucznych [1], [2] wx i w X stanowi zbiory: S w X A, B, C, D, E (zbiór ten zosta zakreskowany ). S 3, 3, 3, 3, 3 5 w X A B C D E S5 3 Zbiory te stanowi odpowiednio kres dolny i kres górny zbioru Y F P P X w przestrzeni pajczynowej z relacj inkluzji [1]. Zauwamy, e modele S 5 1, S 52, S 53 róni si midzy sob ksztatem, polem powierzchni, wzajemnym usytuowaniem, dugoci obwodu, liczb boków itp. w przestrzeni P6 S 6,5. Takich dodatkowych charakterystyk modeli S N x moe by wiele. Przykadowymi charakterystykami opisujcymi dodatkowe waciwoci S N x s nastpujce: ps N x pole powierzchni zbioru S N x gs N x rodek cikoci zbioru S N x bs N x dugo obwodu S N x S N x liczba boków (wieloboku) zbioru S N x N x miara kta wierzchokowego trójktów tworzcych zbiór S N x itp. W przypadku ustalonych cigów zbiorów SN x, x X k X, k 1, 2,... dodatkowymi charakterystykami mog by wzajemne usytuowania elementów cigów, wzajemne usytuowanie ich rodków cikoci, odlegoci rodków cikoci, czci wspólne zbiorów SN x, x X k, relacje inkluzji, rónica czy te suma zbiorów itp. Wszystkie te charakterystyki przy odpowiedniej interpretacji mog by bardzo cenne z punktu widzenia analizy jakociowej modelowanych obiektów jak te samego procesu modelowania. Badanie tych charakterystyk pozwala bowiem wydoby wicej informacji o obiektach x X ni wynika to wprost z ich formalnych modeli opisowych y Fx, x X (danych w postaci cigów liczb). Wprowadzajc dodatkowo tzw. gsto cech ( ciar

19 BIULETYN INSTYTUTU SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH (2009) waciwy cech) w postaci n x moemy dokonywa analizy jeszcze bardziej szczegóowej. W dalszej czci pracy, z racji ograniczonej jej objtoci zajmiemy si gównie charakterystyk modelu S N x w postaci ps N x oraz charakterystyk ktow N x. Pole powierzchni zbioru S N x jest pewn funkcj danych opisowych obiektu x X Fx y oraz liczby N uwzgldnionych cech. Dla ustalonych N oraz x X wartoci charakterystyki ps N x moemy okreli nastpujco: p N S N x 1 N yk yk 1 y N y k 1 1 (3.9) 1 2 gdzie N sin (3.10) 2 N za y k F k x, k 1,2,..., N Dodatkowe informacje dotyczce zbioru X modelowanych obiektów nios te jak wczeniej wspomniano charakterystyki zbiorów: S N w X i S N w X Odpowiednio pola powierzchni tych zbiorów okrelamy nastpujco: N 1 p S N w X N wk wk 1 wn w1 X N k 1 (3.11) N w N X w X 1 p S N N w k w k 1 1 w N k 1 (3.12) Modele S N wx oraz S w X N odgrywaj wan rol w analizie jakociowej obiektów x X, gdy zbiory te posiadaj nastpujce ogólne wasnoci: S N w X S N x dla kadego x X (3.13.) X S N x S N w dla kadego x X (3.14) a ponadto X X N p S N x N, x X (3.15) Warto ps N x zaley oczywicie od kolejnoci uwzgldnianych cech, std te w przypadku braku zaoenia ustalajcego kolejno cech, stosowana jest charakterystyka ps N x bdca urednieniem pól powierzchni odpowiadajcych wszystkim moliwym kombinacjom uporzdkowa cech (N!). 4. Znormalizowane przestrzenie pajczynowe Niech Fx F x,..., F x,..., F x 1 n N funkcja modelowania taka, e F : X Y N. O funkcji tej zaoymy, e F n x 0, n, x X. Jeli by tak nie byo to naleaoby od wartoci funkcji F n x odj odpowiedni liczb c n dla kadego x X (przesunicie skali) [1], [4] w nastpujcy sposób : F nx F nx cn, x X, gdzie cn min F n x, n. x X Dalej zakada bdziemy, e funkcja modelowania spenia powyszy warunek. Normalizacji funkcji modelowania mona dokona na wiele sposobów [1], [4]. Jednym z nich jest nastpujcy sposób: x x F F n (4.1) n F n gdzie F n max F nx 0, n (4.2) xx W ten sposób znormalizowana funkcja modelowania ma tak wasno, e 0 F n x1 dla kadego n, x X (4.3) Za obiekty w X i w X maj posta: N w X 0,..., 0 X N w 1,..., 1 Dalej bdziemy zakada, e funkcja F jest znormalizowana w sensie (4.3). Okrelenie 4.1. Znormalizowan N-wymiarow przestrzeni pajczynow nazywa bdziemy par uporzdkowan Pr S r, N gdzie r max 1 n wn Dla uproszczenia zapisu, w przypadku przestrzeni znormalizowanych bdziemy pisa P S, N. Przykad 2. W tabeli 2. przedstawiono wartoci znormalizowanej funkcji modelowania 15

20 A. Ameljaczyk, Matematyczne aspekty modelowania pajczynowego obiektów X 4 X 3 z przykadu 1. (przesunicie skali c jest 1 nastpujce c 1,1,,1, 1. 2 Tabela 2. Warto znormalizowanej funkcji modelowania F (x) X 1 F 1( x ) F 2( x ) F 3( x ) F 4( x ) F 5( x ) wn w n Na kolejnym rysunku przedstawione zostay znormalizowane modele pajczynowe poszczególnych obiektów x X. X=2 6/22 2/3 3/4 1/2 Rys. 3. Znormalizowane modele pajczynowe obiektów x X 5. Problem szczegóowoci i adekwatnoci modeli pajczynowych 0 Wród wielu dodatkowych charakterystyk modelu pajczynowego S N x na szczególn uwag zasuguj charakterystyki, które mog by wykorzystane do oceny jakociowej 16 X 2 X 5 X=1 X=3 1 X 1 modelowanego obiektu lub te samego procesu modelowania. Niniejsza praca jak ju wczeniej wspomniano dotyczy bdzie charakterystyki ps n x, któr mona gównie z racji jej konstrukcji (3.9) wykorzysta do bada jakociowych obiektów jak te wielokryterialnej analizy porównawczej oraz charakterystyki ktowej bdcej wprost, funkcj maksymalnej liczby uwzgldnionych w modelu cech. Zaómy dalej, e dysponujemy modelem M-dokadnym obiektu x X. Maksymalna moliwa liczba cech, które mona teoretycznie uwzgldni w przypadku modelowania obiektów ze zbioru X to NX. Oczywicie M NX. Dla kompletnoci rozwaa przyjmijmy, e M 0,1,..., NX. Jako modelu S M x mona okreli definiujc jego rozbieno z oryginaem x X lub zamiennie dokadno. Okrelenie 5.1. Rozbienoci modelu M-dokadnego S M x z oryginaem x X nazywa bdziemy liczb x 2 M x, M NX DM N gdzie M- liczba cech aktualnie uwzgldnionych w modelu,za x 2 N graniczna miara NX ktowa przyrostu dokadnoci modelu przy uwzgldnieniu maksymalnej (dla elementów zbioru X) liczby cech. Po przeksztaceniu mamy: M D x 2 1, NX M NX (5.1) 0 D M x 2, M NX (5.2) Jeli na N X moliwych do uwzgldnienia cech, uwzgldnimy w modelu wszystkie, to rozbieno takiego modelu z oryginaem bdzie zerowa. Jeli uwzgldnimy tylko jedn cech to rozbieno wyniesie N X 1 D1 x 2. NX Okrelenie 5.2. Stopniem (wspóczynnikiem) rozbienoci modelu nazywa bdziemy liczb D x M x M DM 1 2 NX (5.3) Mamy przy tym 0 x 1, M N X (5.4) D M