Analiza wymiarowa i równania różnicowe

Transkrypt

1 Część 1: i równania różnicowe Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 5

2 Plan Część 1: 1 Część 1: 2

3 Część 1: Układ SI (Système International d Unités) Siedem jednostek podstawowych: wielkość jednostka symbol długość metr m masa kilogram kg czas sekunda s prad elektryczny amper A temperatura kelwin K natężenie światła kandela cd ilość substancji mol mol

4 Część 1: pochodne wielkość jednostka symbol siła niuton N (kg m s 2 ) energia dżul J (kg m 2 s 2 ) moc wat W (J s 1 lub kg m 2 s 3 ) częstotliwość herc Hz (s 1 ) ciśnienie paskal Pa (N m 2 lub kg m 1 s 2 )

5 Mnożniki Część 1: mnożnik prefiks symbol tera T 10 9 giga G 10 6 mega M 10 3 kilo k 10 2 centy c 10 3 mili m 10 6 mikro µ 10 9 nano n

6 Plan Część 1: 1 Część 1: 2

7 Wymiary Część 1: W mechanice, wszystkie wielkości można wyrazić w kategoriach podstawowych wielkości: masy (M), długości (L) oraz czasu (T). Każda inna wielkość fizyczna będzie ich kombinacja, a konkretna kombinację nazywa się wymiarem danej wielkości. [pole] = L 2 [prędkość] = LT 1 [gęstość] = ML 3 Zauważyć, że wymiary sa niezależne od jednostek.

8 Wymiary Część 1: Każde poprawne równanie musi być wymiarowo spójne, tzn. musi zachodzić [lewa strona] = [prawa strona] Przykładowo, modelowanie siły tarcia spowodowanej oporem powietrza prowadzi do zależności skad czyli F = kv 2 = [F] = [kv 2 ] MLT 2 = [k][lt 1 ] 2 = [k]l 2 T 2 [k] = ML 1 tzn. k musi być mierzone w kg m 1.

9 Część 1: Pytanie Jaki wymiar ma a w wyrażeniach exp(at) oraz sin(at)? Przykład Przypuśćmy, że budujemy model który będzie przewidywał okres wahadła t. Lista czynników może obejmować długość l, masę m, przyspieszenie ziemskie g oraz amplitudę θ. Załóżmy, że t = kl a m b g c θ d gdzie: a, b, c, d oraz k liczby rzeczywiste. Dla wymiarów musi zachodzić [t] = [kl a m b g c θ d ]

10 Część 1: Pytanie Jaki wymiar ma a w wyrażeniach exp(at) oraz sin(at)? Przykład Przypuśćmy, że budujemy model który będzie przewidywał okres wahadła t. Lista czynników może obejmować długość l, masę m, przyspieszenie ziemskie g oraz amplitudę θ. Załóżmy, że t = kl a m b g c θ d gdzie: a, b, c, d oraz k liczby rzeczywiste. Dla wymiarów musi zachodzić [t] = [kl a m b g c θ d ]

11 Część 1: Przykład c.d. Oznacza to, że T = L a M b (LT 2 ) c (k i θ sa bezwymiarowe). Przyrównanie potęg daje skad a + c = 0, b = 0, 2c = 1 t = kl 1/2 g 1/2 θ d Powyżej d może przyjać dowolna wartość, ale możemy to wyrazić ogólniej jako t = f (θ)l 1/2 g 1/2 Funkcję f (θ) trzeba będzie znaleźć w inny sposób.

12 Część 1: Przykład c.d. Uwzględnijmy dodatkowo siłę oporu powietrza R: t = kl a m b g c θ d R e Prowadzi to do M 0 L 0 T 1 = L a M b (LT 2 ) c (MLT 2 ) e = M b+e L a+c+e T 2c 2e i, w konsekwencji, do warunków b + e = 0 a + c + e = 0 2c 2e = 1 d dowolne

13 Część 1: Przykład c.d. Jednym z rozwiazań jest e = b c = b 1 2 co daje a = 1 2 ( ) l 1/2 ( ) mg b t = kl 1/2 m b g b 1/2 R b θ d = k θ d g R ( ) l 1/2 ( = f 1 θ, mg ) g R dla pewnej funkcji f 1.

14 Część 1: Przykład c.d. Alternatywnym rozwiazaniem jest e = c 1 2 a = 1 2 co daje dla pewnej funkcji f 2. b = c t = kl 1/2 m c+1/2 g c R c 1/2 θ d ( ) ml 1/2 ( = f 2 θ, mg ) R R

15 Plan Część 1: 1 Część 1: 2

16 Część 1: Warianty dynamiki populacji miasta 1 Populacja wzrasta o 1000 osób rocznie: P n+1 = P n Populacja rośnie o 1% rocznie: P n+1 = (1.01)P n 3 Populacja wzrastałaby o 2% gdyby nie emigracja 100 osób rocznie: P n+1 = (1.02)P n 100

17 Część 1: Podstawowe rodzaje równań Jednorodne: równanie będzie spełnione po podstawieniu zer pod wszystkie X, np. X n+2 3X n+1 + X n = 0 jest jednorodne, ale nie jest równanie O stałych współczynnikach: jest nim ale nie jest X n+1 2X n = 3n + 1 X n+2 3X n+1 + X n = 0 X n+2 3nX n+1 + X n = 0

18 Część 1: Podstawowe rodzaje równań Pierwszego rzędu, drugiego rzędu,... : Rzad jest różnica maksymalnego i minimalnego indeksu, np. X n+3 3X n+2 X n = 0 jest trzeciego rzędu. Rzad determinuje liczbę niezbędnych wartości poczatkowych. Liniowe: jest nim np. X n+1 = 2X n + 3X n 1 + n 2 + 7

19 Przykład Część 1: Przykład Niech P n wielkość produkcji w roku n. Załóżmy, że ta produkcja podwaja się każdego roku, tzn. P n+1 = 2P n Jeżeli P 0 produkcja w roku 0, to P 1 = 2P 0 P 2 = 2P 1 = 2(2P 0 ) = 2 2 P 0 P 3 = 2P 2 = 2(2 2 P 0 ) = 2 3 P 0 itd. Widzimy więc, że rozwiazaniem ogólnym jest P n = 2 n P 0

20 Przykład Część 1: Przykład c.d. Analogicznie, gdy produkcja rośnie o 25% rocznie, otrzymujemy równanie P n+1 = (1.25)P n i rozwiazanie P n = (1.25) n P 0. W ten sam sposób też, gdy blokujemy na koncie kwotę P 0 z roczna stopa procentowa r%, po n latach otrzymamy sumę spełniajac a równanie P n+1 = którego rozwiazaniem jest P n = ( 1 + r ) P n 100 ( 1 + r ) n P 0 100

21 Przykład Część 1: Przykład c.d. Analogicznie, gdy produkcja rośnie o 25% rocznie, otrzymujemy równanie P n+1 = (1.25)P n i rozwiazanie P n = (1.25) n P 0. W ten sam sposób też, gdy blokujemy na koncie kwotę P 0 z roczna stopa procentowa r%, po n latach otrzymamy sumę spełniajac a równanie P n+1 = którego rozwiazaniem jest P n = ( 1 + r ) P n 100 ( 1 + r ) n P 0 100

22 Przypadek ogólny Część 1: Rozważmy X n+1 = ax n Rozwiazaniem jest (sprawdzić!) X n = a n X 0 Jak zachowuje się rozwiazanie dla poniższych przypadków? 1 a > < a < < a < 0 4 a < 1

23 Plan Część 1: 1 Część 1: 2

24 Część 1: Rozważmy Startujac od X 0 otrzymujemy X 1 = ax 0 + b X n+1 = ax n + b X 2 = ax 1 + b = a(ax 0 + b) + b = a 2 X 0 + (a + 1)b X 3 = ax 2 + b = a(a 2 X 0 + (a + 1)b) + b = a 3 X 0 + (a 2 + a + 1)b Kontynuujac w ten sam sposób mamy X n = a n X 0 + (a n a 2 + a + 1)b = a n X 0 + an 1 a 1 b o ile a 1. (A co dla a = 1?) Przeanalizować również przypadki a < 1 oraz a > 1.

25 Część 1: Przykład W jeziorze jest aktualnie ryb. Gdyby ich nie odławiano, populacja wzrastałaby o 15% rocznie. Proponuje się, żeby jednak odławiać 2000 ryb na rok. Oznaczajac F n liczba ryb po n latach od teraz, otrzymujemy model F n+1 = (1.15)F n 2000, F 0 = Daje to w kolejnych latach 9500, 8925, 8264, 7503,... Po ilu latach populacja ryb zniknie?

26 Część 1: Zadanie Jezioro zawiera m 3 wody zanieczyszczonej w 5%. Każdego dnia do jeziora wpływa 1000 m 3 czystej wody, a wypływa 1000 m 3 wody zanieczyszczonej. Jak długo potrwa obniżenie poziomu zanieczyszczenia do 1% objętości? Rozwiazanie Zauważmy, że objętość wody z jeziorze pozostaje stała. Przyjmujemy krok czasowy jako jeden dzień i oznaczamy P n objętość zanieczyszczenia w jeziorze w n-tym dniu. Mamy P 0 = = 5000 m 3

27 Część 1: Zadanie Jezioro zawiera m 3 wody zanieczyszczonej w 5%. Każdego dnia do jeziora wpływa 1000 m 3 czystej wody, a wypływa 1000 m 3 wody zanieczyszczonej. Jak długo potrwa obniżenie poziomu zanieczyszczenia do 1% objętości? Rozwiazanie Zauważmy, że objętość wody z jeziorze pozostaje stała. Przyjmujemy krok czasowy jako jeden dzień i oznaczamy P n objętość zanieczyszczenia w jeziorze w n-tym dniu. Mamy P 0 = = 5000 m 3

28 Część 1: Rozwiazanie c.d. W n-tym dniu każdy m 3 wody zawiera P n / m 3 zanieczyszczenia, a to oznacza, że z jeziora tego dnia wypłynie 1000 P n / m 3 zanieczyszczenia. Stad P n+1 = P n 1000 P n / = (1 0.01)P n = (0.99)P n czyli P n = (0.99) n P 0 = (0.99) n Zatem P n osiagnie wartość 1000 gdy 1000 = (0.99) n 5000, tzn. n = ln(0.2)/ ln(0.99) 161 dni.

29 Część 1: Rozwiazanie c.d. Załóżmy teraz, że zanieczyszczenie nadal wpływa do jeziora z szybkościa 5 m 3 na dzień, podczas gdy równocześnie wpływa 995 m 3 czystej wody i wypływa 1000 m 3 wody zanieczyszczonej. Modelem jest wówczas P n+1 = P n 1000 P n / = (0.99)P n + 5 Powyższe równanie ma rozwiazanie P n = (0.99) n n = 500[9(0.99)n + 1] Warunek 1000 = 500[9(0.99) n + 1] daje n = ln(9)/ ln(0.99) 219 dni.