Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych
|
|
- Paulina Leśniak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Wprowadzenie do metody elementów brzegowych dr inż Jacek Ptaszny Rzeszów, dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 1/32
2 Plan prezentacji I Wprowadzenie do metody elementów brzegowych II Algorytm SWMEB Część 1 III Algorytm SWMEB Część 2 IV Przykłady analizy Część 1 V Przykłady analizy Część 2 dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 2/32
3 Plan prezentacji Wprowadzenie do metody elementów brzegowych 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 3/32
4 Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 4/32
5 Płaskie zagadnienie liniowej sprężystości Cel analizy Wyznaczenie nieznanych przemieszczeń u i i sił powierzchniowych t i na brzegu ciała Oznaczenia: Ω - obszar ciała, Γ = Γ 1 Γ 2 - brzeg ciała, Γ 1 - fragment brzegu z zadanymi przemieszczeniami û i, Γ 2 - fragment brzegu z zadanymi siłami powierzchniowymi ˆt i, b i - znane pole sił objętościowych Płaskie ciało liniowosprężyste w stanie równowagi dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 5/32
6 Rówanie metody elementów brzegowych Sformułowanie bezpośrednie w wersji kolokacyjnej C ij u j (x ) + T ij (x, x) u j (x) dγ(x) = Γ U ij (x, x) t j (x) dγ(x) + U ij (x, x) b j (x) dω(x) (1) Γ Oznaczenia: x - punkt kolokacji, x - punkt całkowania, C ij - współczynniki zależne od położenia punktu kolokacji: C ij = Ω δ ij dla x int Ω, 0 dla x / Ω, 1 2 δ ij dla x Γ gładki brzeg, U ij, T ij - rozwiązania podstawowe (Kelvina) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 6/32 (2)
7 Rozwiązania podstawowe U ij (x 1, x) = 8πµ(1 ν) [(4ν 3)δ ijln(r) + r, i r, j ], (3) { T ij (x 1 r ], x) = [(1 2ν)δ ij + 2r, i r, j 4π(1 ν)r n } (4) (1 2ν)(r, i n j r, j n i ) Oznaczenia: µ - moduł Kirchhoffa, r = x x, ν - liczba Poissona, n i - wersor normalny do brzegu w punkcie x dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 7/32
8 Rozwiązania podstawowe U ij (x 1, x) = 8πµ(1 ν) [(4ν 3)δ ij ln(r) + r, i r, j ], (3) { T ij (x 1 r ], x) = [(1 2ν)δ ij + 2r, i r, j 4π(1 ν)r n } (4) (1 2ν)(r, i n j r, j n i ) Osobliwości (x x, r 0): ln(r) - słaba, 1 - silna r dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 7/32
9 Składniki równania całkowego Potencjał objętościowy o gęstości b j (x): Jij U (x ) = U ij (x, x) b j (x) dω(x), x Ω, x int Ω, (5) j Ω Potencjał warstwy pojedynczej o gęstości t j (x): Iij U (x ) = U ij (x, x) t j (x) dγ(x), x Ω, x Γ, (6) j Γ Potencjał warstwy podwójnej o gęstości u j (x): Iij T (x ) = T ij (x, x) u j (x) dγ(x), x Ω, x Γ (7) j Γ dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 8/32
10 Składniki równania całkowego Składniki objętościowe Zagadnienia: obecność składników źródłowych (np termosprężystość), zagadnienie własne (np drgania swobodne), zagadnienia nieliniowe (np układy sprężysto-plastyczne), układy niejednorodne (np materiały gradientowe), W przypadku zachowawczych pól sił objętościowych całki po obszarze można transformować do całek brzegowych (siły: ciężkości, odśrodkowe oraz siły obecne w zagadnieniu stacjonarnego pola temperatury spełniającego równanie Poissona dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 9/32
11 Składniki równania całkowego Składniki objętościowe Metody analizy układów z uwzględnieniem składników objętościowych: całkowania po obszarze, rozwiązań szczególnych - brak całek po obszarze, wielokrotnej zasady wzajemności - brak całek po obszarze Porównanie metod: Ingber MS, Mammoli AA, Brown MJ, A comparison of domain integral evaluation techniques for boundary element methods, Int J Numer Meth Engng, 52, , 2001 Zdaniem cytowanych autorów metody całkowania bezpośredniego są efektywniejsze pod względem czasu obliczeń (zwłaszcza w przypadku zastosowania metod wielobiegunowych) oraz dokładniejsze od pozostałych dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 9/32
12 Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 10/32
13 Elementy brzegowe i komórki wewnętrzne Elementy brzegowe - aproksymacja wielkości brzegowych Komórki wewnętrzne - aproksymacja sił objętościowych dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 11/32
14 Aproksymacja wielkości brzegowych Oznaczenia: Współrzędne punktów: x i = Przemieszczenia: u i = K k=1 Siły powierzchniowe: t i = Nb k (ξ) - funkcje kształtu elementu brzegowego, ξ - lokalny układ współrzędnych elementu, K - liczba węzłów w elemencie, K k=1 N k b (ξ)u hk i K k=1 N k b (ξ)x hk i N k b (ξ)t hk i k - numer węzła elementu brzegowego, h - numer elementu brzegowego dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 12/32
15 Trójwęzłowy element brzegowy Postać i funkcje kształtu Element w globalnym (a) i lokalnym (b) układzie współrzędnych Funkcje kształtu: Nb(ξ) 1 = 1 ξ(1 ξ), 2 N2 b(ξ) = (1 ξ)(1 + ξ), N 3 b(ξ) = 1 2 ξ(1 + ξ) (8) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 13/32
16 Trójwęzłowy element brzegowy Transformacja do układu lokalnego Różniczka brzegu: Jakobian przekształcenia: dγ(x) = J(ξ)dξ (9) [ ( x1 ) 2 J(ξ) = + ξ ( ) 2 ] 1 2 x2 (10) ξ Składowe wektora jednostkowego normalnego do brzegu - w rozwiązaniu podstawowym T ij (x, x): n 1 = 1 x 2 J(ξ) ξ, n 2 = 1 x 1 J(ξ) ξ (11) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 14/32
17 Aproksymacja wielkości wewnątrz obszaru Oznaczenia: Wspórzędne punktów: x i = Siły objętościowe: b i = L l=1 L - liczba punktów definiujących komórkę wewnętrzną, N l w(ξ, η) - funkcje kształtu, ξ, η - współrzędne układu lokalnego, x ql i - współrzędne węzła komórki wewnętrznej, L l=1 N l w(ξ, η)x ql i N l w(ξ, η)b ql i b ql i - składowe sił objętościowych, l - numer węzła komórki wewnętrznej, q - numer komórki wewnętrznej dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 15/32
18 Sześciowęzłowa komórka wewnętrzna Postać i funkcje kształtu Komórka wewnętrzna w globalnym (a) i lokalnym (b) układzie współrzędnych Funkcje kształtu: Nw(ξ, 1 η) = ξ (2 ξ 1), Nw(ξ, 2 η) = η (2 η 1), Nw(ξ, 3 η) = ζ (2 ζ 1), Nw(ξ, 4 η) = 4 ξ η, Nw(ξ, 5 η) = 4 η ζ, Nw(ξ, 6 η) = 4 ζ ξ, ζ = 1 ξ η (12) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 16/32
19 Sześciowęzłowa komórka wewnętrzna Transformacja do układu lokalnego Różniczka powierzchni: dω(x) = J(ξ, η) dξ dη (13) Jakobian przekształcenia: J(ξ, η) = x 1 ξ x 2 ξ x 1 η x 2 η (14) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 17/32
20 Elementy brzegowe i komórki wewnętrzne Podsumowanie Elementy brzegowe lub komórki wewnętrzne, w których wielkości fizyczne i geometria aproksymowane są za pomocą tych samych funkcji kształtu nazywane są izoparamerycznymi Stopień aproksymacji wielkości brzegowych i wielkości wewnątrz obszaru nie musi być taki sam Różne stopnie aproksymacji mogą jednak prowadzić do zmniejszenia dokładności obliczeń dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 18/32
21 Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 19/32
22 Układ równań C ij u i (x ) + P K t hk i P K h=1 k=1 1 u hk i 1 h=1 k=1 1 R L 1 1 ξ b ql i q=1 l=1 0 0 Oznaczenia: K - liczba węzłów elementu brzegowego, L - liczba węzłów komórki wewnętrznej, 1 T ij [ x, x(ξ) ] N k b (ξ)j(ξ) dξ = U ij [ x, x(ξ) ] N k b (ξ)j(ξ) dξ+ U ij [ x, x(ξ, η) ] N l w(ξ, η)j(ξ, η) dη dξ (15) P - liczba elementów brzegowych, R - liczba komórek wewnętrznych dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 20/32
23 Równanie macierzowe Założenia Punktami kolokacji są wszystkie węzły brzegowe Wprowadza się numerację globalną węzłów 1, 2,, W H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a B W i (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32
24 Równanie macierzowe H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a W a - numer węzła będącego punktem kolokacji b - numer węzła określającego element brzegowy zawierający punkty całkowania (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32
25 Równanie macierzowe H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP t 1 ṣ t h ṣ t P s + dla a b (i, j = 1, 2) - elementy macierzy zawierające całki rozwiązania podstawowego T ij (x, x) H ab ij 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32
26 Równanie macierzowe H aa ij H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP - sumy całek osobliwych zależnych od T ij (x, x) oraz współczynników C ij t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32
27 Równanie macierzowe u b j H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP - składowe przemieszczeń węzła b t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32
28 Równanie macierzowe H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP G ah is (i = 1, 2; s = 1, 2,, 6) - całki zależne od U ij (x, x) t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32
29 Równanie macierzowe H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 Haa ij Hij aw Hij W 1 Hij Wb H ij WW u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP t 1 ṣ t h ṣ t P s + ts h - składowe sił powierzchniowych węzłów elementu brzegowego h (możliwe jest modelowanie nieciągłości sił powierzchniowych) 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32
30 Równanie macierzowe H ij 11 Hij 1b Hij 1W Hij a1 H ij aa Hij aw Hij W 1 Hij Wb HWW ij u 1 j u b j u W j = Gis 11 Gis 1h Gis 1P Gis a1 Gis ah Gis ap Gis W 1 Gis Wh Gis WP B a i - całki po obszarze zależne od U ij (x, x) t 1 ṣ t h ṣ t P s + 1 a W (16) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 21/32
31 Równanie macierzowe Metoda ruchu ciała sztywnego Elementy diagonalne H ij aa (równanie (16)) zawierają sumy współczynników C ij oraz całek osobliwych zależnych od T ij (x, x) (osobliwość typu 1/r - silna; całki istnieją w sensie wartości głównej Cauchy ego) Ruch ciała sztywnego Brak sił powierzchniowych, t h s = 0 Brak sił objętościowych, B a i = 0 Jednostkowe przemieszczenia wszystkich węzłów w kierunku v, u a j = δ jv dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 22/32
32 Równanie macierzowe Metoda ruchu ciała sztywnego Ruch ciała sztywnego Brak sił powierzchniowych, t h s = 0 Brak sił objętościowych, B a i = 0 Jednostkowe przemieszczenia wszystkich węzłów w kierunku v, u a j = δ jv ( H ij aa + ) Hij ab δ jv = 0, i, j, v = 1, 2; a, b = 1, 2,, W (17) b,b a Ciało ograniczone: Ciało nieograniczone: H aa ij = b,b a H ab ij (18) H aa ij = 1 b,b a H ab ij (19) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 22/32
33 Równanie macierzowe Metody całkowania numerycznego Nieosobliwe całki liniowe - kwadratury Gaussa Całki osobliwe zależne od ln(r) - kwadratury logarytmiczne Gaussa Nieosobliwe całki powierzchniowe - kubatury Gaussa Osobliwe całki powierzchniowe zależne od ln(r) - regularyzacja przez transformację współrzędnych - zastąpienie całki po trójkącie całką po prostokącie dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 23/32
34 Równanie macierzowe Zapis w zwartej formie: [H]{U} = [G]{T} + {B} (20) Uwzględnienie warunków brzegowych: [A]{X} = [D]{Y} + {B}, (21) {X} - wektor niewiadomych, {Y} - wektor wielkości znanych, [A], [D] - macierze utworzone przez przegrupowanie kolumn macierzy [H] i [G] Ostateczna postać układu równań: [A]{X} = {Z} (22) Pełne i niesymetryczne macierze dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 24/32
35 Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 25/32
36 Obliczanie naprężeń Punkty wewnętrzne Równanie naprężeń uzyskane w wyniku zastosowania związków geometrycznych oraz uogólnionego prawa Hooke a: σ jk (x ) = U ijk (x, x) t i (x) dγ(x) Γ T ijk (x, x) u i (x) dγ(x) + U ijk (x, x) b i (x) dω(x), Γ U ijk (x, x), T ijk (x, x) - rozwiązania podstawowe równania naprężeń, Równanie stosowane do obliczania naprężeń w punktach wewnętrznych obszaru W przypadku obliczania naprężeń na brzegu należało by obliczać całki o silnej osobliwości oraz hiperosobliwe (osobliwości typu r 1 i r 2 ) Ω (23) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 26/32
37 Obliczanie naprężeń Węzły brzegowe Zastosowanie znanych sił powierzchniowych oraz pochodnych przemieszczeń Naprężenia w lokalnym układzie współrzędnych związanym z brzegiem: σ 11 = 1 1 ν (2µ ε 11 + ν t 2 ), σ 22 = t 2, σ 12 = t 1, (24) t i - składowe sił powierzchniowych transformowane do układu x i, ε 11 - odkształcenie w kierunku stycznym do brzegu Naprężenia w lokalnym układzie współrzędnych dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 27/32
38 Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 28/32
39 Podsumowanie Zalety MEB Dla wielu zagadnień dyskretyzacja tylko brzegu obszaru Łatwe przygotowanie modelu Stosunkowo mały rozmiar układu równań w porównaniu z innymi metodami (MRS, MES) Analiza obszarów nieskończonych lub półnieskończonych bez koniczności wprowadzania sztucznych brzegów dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 29/32
40 Podsumowanie Wady MEB Trudność uzyskania rozwiązań podstawowych dla niektórych zagadnień (anizotropia, niejednorodność ośrodka i inne) Mała efektywność w analizie ciał których jeden lub dwa wymiary są znacznie mniejsze od pozostałych Konieczność dyskretyzacji obszaru lub jego fragmentu w przypadku występowania składników objętościowych w równaniu całkowym Czas obliczeń rzędu co najmniej O(N 2 ) - w zależności od zastosowanej metody rozwiązywania układu równań Zajmowana pamięć komputera rzędu O(N 2 ) dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 29/32
41 Podsumowanie Krytyka MEB Implementacja i porównanie pięciu różnych wariantów metody: Kok Hwa Yu, AHalim Kadarman, Harijono Djojodihardjo, Development and implementation of some BEM variants A critical review Engineering Analysis with Boundary Elements, 34 (2010), Wybrane wnioski Autorów: Spośród wszystkich wariantów MEB wersja kolokacyjna jest najprostszą w implementacji MEB pomimo szybkiego rozwoju nie jest w stanie zastąpić metody elementów skończonych (MES) Aktualnie należy stosować i rozwijać nowe, efektywniejsze wersje metody, a wśród nich szybką wielobiegunową MEB dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 29/32
42 Plan prezentacji 1 Równanie metody elementów brzegowych (MEB) 2 Dyskretyzacja i aproksymacja geometrii i wielkości fizycznych 3 Równanie macierzowe 4 Obliczanie naprężeń 5 Podsumowanie 6 Literatura dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 30/32
43 Literatura Brebbia CA, Topics in boundary element research Volume 3: Computational aspects, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York - London - Paris - Tokyo, 1987 Brebbia CA, Dominguez J, Boundary elements an introductory course, McGraw-Hill, New York, 1992 Burczyński T, Metoda elementów brzegowych w mechanice, WNT, Warszawa, 1995 Dominguez J, Boundary elements in dynamics, Computational Mechanics Publications, Southampton, 1993 Fedeliński P, Metoda elementów brzegowych w analizie dynamicznej układów odkształcalnych z pęknięciami, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Mechanika, z 137, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 2000 Huang Q, Cruse TA, Some notes on singular integral techniques in boundary element analysis, Int J Numer Meth Eng, 36, , 1993 dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 31/32
44 Literatura Ingber MS, Mammoli AA, Brown MJ, A comparison of domain integral evaluation techniques for boundary element methods, Int J Numer Meth Engng, 52, , 2001 Kane JH, Boundary element analysis in engineering continuum mechanics, Prentice-Hall, New Jersey, 1994 Kleiber M (red), Komputerowe metody mechaniki ciał stałych, Mechanika Techniczna, Tom IX, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1995 Schwab C, Wendland WL, On numerical cubatures of singular surface integrals in boundary element methods, Numer Math, 62, , 1992 Tanaka M, Sladek V, Sladek J, Regularization techniques applied to boundary element methods, Appl Mech Rev, 47, 10, , 1994 Telles JCF, The boundary element method applied to inelastic problems, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York - Tokyo, 1983 dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 31/32
45 Dziekuję za uwagę LaTeX Template based on Oxygen, dr inż Jacek Ptaszny Wprowadzenie do MEB 32/32
Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część
Bardziej szczegółowoSZYBKA WIELOBIEGUNOWA METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W ANALIZIE UKŁADÓW OBCIĄŻONYCH SIŁAMI OBJĘTOŚCIOWYMI
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 35, s. 107-114, Gliwice 2008 SZYBKA WIELOBIEGUNOWA METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W ANALIZIE UKŁADÓW OBCIĄŻONYCH SIŁAMI OBJĘTOŚCIOWYMI JACEK PTASZNY, PIOTR FEDELIŃSKI
Bardziej szczegółowoSzybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych
Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Politechnika Śląska, Gliwice Szybka wielobiegunowa metoda elementów brzegowych w analizie układów liniowosprężystych Algorytm SWMEB. Część
Bardziej szczegółowo[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIE PROBLEMU NIELINIOWEGO
Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Dyskretyzacja
Bardziej szczegółowo4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE W MECHANICE
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania
Bardziej szczegółowoZastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D
Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia
Bardziej szczegółowo1 Symulacja procesów cieplnych 1. 2 Algorytm MES 2. 3 Implementacja rozwiązania 2. 4 Całkowanie numeryczne w MES 3. k z (t) t ) k y (t) t )
pis treści ymulacja procesów cieplnych Algorytm ME 3 Implementacja rozwiązania 4 Całkowanie numeryczne w ME 3 ymulacja procesów cieplnych Procesy cieplne opisuje równanie różniczkowe w postaci: ( k x (t)
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
Bardziej szczegółowoMetoda elementów brzegowych
Metoda elementów brzegowych Tomasz Chwiej, Alina Mreńca-Kolasińska 9 listopada 8 Wstęp Rysunek : a) Geometria układu z zaznaczonymi: elementami brzegu (czerwony), węzłami (niebieski). b) Numeracja: elementów
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie Wprowadzenie Metoda Elementów Skończonych (MES) należy do numerycznych metod otrzymywania przybliżonych rozwiązań
Bardziej szczegółowo8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE NANOKOMPOZYTÓW ZA POMOCĄ METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 43, s. 231-238, Gliwice 2012 MODELOWANIE NANOKOMPOZYTÓW ZA POMOCĄ METODY ELEMENTÓW BRZEGOWYCH JACEK PTASZNY, GRZEGORZ DZIATKIEWICZ Katedra Wytrzymałości Materiałów
Bardziej szczegółowoAl.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III
KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoProjektowanie elementów z tworzyw sztucznych
Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Wykorzystanie technik komputerowych w projektowaniu elementów z tworzyw sztucznych Tematyka wykładu Techniki komputerowe, Problemy występujące przy konstruowaniu
Bardziej szczegółowoANALIZA MATERIAŁÓW PIEZOELEKTRYCZNYCH METODĄ ELEMENTÓW BRZEGOWYCH WPŁYW KIERUNKU POLARYZACJI
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 127-134, Gliwice 26 ANALIZA MAERIAŁÓW PIEZOELEKRYCZNYCH MEODĄ ELEMENÓW BRZEGOWYCH WPŁYW KIERUNKU POLARYZACI GRZEGORZ DZIAKIEWICZ Katedra Wytrzymałości Materiałów
Bardziej szczegółowoTARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania
TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika
Bardziej szczegółowoSZYBKA WIELOBIEGUNOWA METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W HOMOGENIZACJI NUMERYCZNEJ MATERIAŁÓW POROWATYCH
MOELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 54, ISSN 1896-771X SZYBKA WIELOBIEGUNOWA METOA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH W HOMOGENIZACJI NUMERYCZNEJ MATERIAŁÓW POROWATYCH Jacek Ptaszny 1a, Marcin Hatłas 2b 1 Instytut Mechaniki
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej,
Bardziej szczegółowoMECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH
dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki
Bardziej szczegółowo6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe
Bardziej szczegółowo7. ELEMENTY PŁYTOWE. gdzie [N] oznacza przyjmowane funkcje kształtu, zdefinować odkształcenia i naprężenia: zdefiniować macierz sztywności:
7. ELEMENTY PŁYTOWE 1 7. 7. ELEMENTY PŁYTOWE Rys. 7.1. Element płytowy Aby rozwiązać zadanie płytowe należy: zdefiniować geometrię płyty, dokonać podziału płyty na elementy, zdefiniować węzły, wprowadzić
Bardziej szczegółowoUOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A
UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A Układ liniowosprężysty Clapeyrona Robert Hooke podał następującą, pierwotna postać prawa liniowej sprężystości: ut tensio sic vis, czyli takie wydłużenie jaka siła W klasycznej
Bardziej szczegółowo4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości
4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP
ZAGADNIENIA ZALICZENIOWE i PRZYKŁADY PYTAŃ z METOD KOMPUTEROWYCH w TSiP. Podstawowe związki (równania równowagi, liniowe i nieliniowe związki geometrczne, związki fizczne, warunki brzegowe) w zapisie wskaźnikowm
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoTEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI (TSP)
TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI (TSP) Wstęp. Podstawy matematyczne. Tensor naprężenia. Różniczkowe równania równowagi Zakład Mechaniki Budowli PP Materiały pomocnicze do TSP (studia niestacjonarne,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH
1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE ZADAŃ BRZEGOWYCH LINIOWEJ PIEZOELEKTRYCZNOŚCI POŚREDNIĄ METODĄ TREFFTZA
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 5, s. 5-22, Gliwice 2008 ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ BRZEGOWYCH LINIOWEJ PIEZOELEKTRYCZNOŚCI POŚREDNIĄ METODĄ TREFFTZA GRZEGORZ DZIATKIEWICZ Katedra Wytrzymałości Materiałów
Bardziej szczegółowoPLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM
Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2013/2014 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Sprężystość
Bardziej szczegółowoŁagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych
Łagodne wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych dr inż. Grzegorz DZIERŻANOWSKI dr hab. inż. Wojciech GILEWSKI Katedra Mechaniki Budowli i Zastosowań Informatyki 10 XII 2009 - część I 17 XII 2009 -
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj
Bardziej szczegółowoRozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA
Księgarnia PWN: Grigorij M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 3 Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA 1. Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju 543. Definicja całki krzywoliniowej
Bardziej szczegółowoMateriały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)
Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich
Bardziej szczegółowoALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
Bardziej szczegółowoAnaliza płyt i powłok MES
Analiza płyt i powłok MES Jerzy Pamin e-mails: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: M. Radwańska, A. Wosatko ANSYS, Inc. http://www.ansys.com Tematyka zajęć Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Elementy
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązania równania Schrödingera
Metody rozwiązania równania Schrödingera Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni potencjału Problem rozwiązania równania
Bardziej szczegółowoModelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,
Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach Krzysztof Żurek Gdańsk, 2015-06-10 Plan Prezentacji 1. Manipulatory. 2. Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych (MES).
Bardziej szczegółowoPŁYTY OPIS W UKŁADZIE KARTEZJAŃSKIM Charakterystyczne wielkości i równania
Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko
Bardziej szczegółowoSpis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
Bardziej szczegółowoPodstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) przedmiotu
Karta (sylabus) przedmiotu [Budownictwo] Studia I stopnia Przedmiot: Metody obliczeniowe Rok: III Semestr: VI Rodzaj zajęć i liczba godzin: Studia stacjonarne Studia niestacjonarne Wykład 15 16 Ćwiczenia
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia
Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoM. Guminiak - Analiza płyt cienkich metodą elementów brzegowych... 8
M. Guminiak - Analiza płyt cienkich metodą elementów brzegowych... 8 1. WSTĘP 1.1. Temat pracy Praca przedstawia analizę statyki, dynamiki i stateczności płyt cienkich w ujęciu metody elementów brzegowych
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: MODELOWANIE I SYMULACJA PROCESÓW WYTWARZANIA Modeling and Simulation of Manufacturing Processes Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy specjalności PSM Rodzaj zajęć: wykład,
Bardziej szczegółowoKubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie)
Kubatury Gaussa (całka podwójna po trójkącie) Całka podwójna po trójkącie Dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnym D. Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty
Bardziej szczegółowoTENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
Bardziej szczegółowoPYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Bardziej szczegółowoMES1 Metoda elementów skończonych - I Finite Element Method - I. Mechanika i Budowa Maszyn I stopień ogólnoakademicki
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2016/2017 MES1 Metoda elementów skończonych - I Finite Element Method - I A. USYTUOWANIE
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami
Bardziej szczegółowo1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych. Anna Stankiewicz
1 Charakterystyka ustrojów powierzchniowych Anna Stankiewicz e-mail: astankiewicz@l5.pk.edu.pl Tematyka zajęć Przykłady konstrukcji inżynierskich Klasyfikacja ustrojów powierzchniowych Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoMES w zagadnieniach nieliniowych
MES w zagadnieniach nieliniowych Jerzy Pamin e-mail: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: A. Wosatko, A. Winnicki ADINA R&D, Inc.http://www.adina.com ANSYS, Inc. http://www.ansys.com TNO DIANA http://www.tnodiana.com
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowonumeryczne rozwiązywanie równań całkowych r i
numeryczne rozwiązywanie równań całkowych r i Γ Ω metoda elementów brzegowych: punktem wyjściowym było rozwiązanie równania całkowego na brzegu obszaru całkowania równanie: wygenerowane z równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do WK1 Stan naprężenia
Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)
Bardziej szczegółowoΓ D Γ Ν. Metoda elementów skończonych, problemy dwuwymiarowe. problem modelowy: w Ω. warunki brzegowe: Dirichleta. na Γ D. na Γ N.
Metoda elementów skończonych, problemy dwuwymiarowe Ω Γ D v problem modelowy: Γ Ν warunki brzegowe: na Γ D w Ω Dirichleta na Γ N Neumanna problem ma jednoznaczne rozwiązanie, jeśli brzeg Γ D nie ma zerowej
Bardziej szczegółowoAnaliza wrażliwości tarczy z wykorzystaniem metody elementów skończonych
Analiza wrażliwości tarczy z wykorzystaniem metody elementów skończonych Mgr inż. Tomasz Ferenc Politechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Projektowanie wszelkiego rodzaju konstrukcji
Bardziej szczegółowoMgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL
Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki dr inż. Marek Wojtyra Instytut Techniki Lotniczej
Bardziej szczegółowo2. Pręt skręcany o przekroju kołowym
2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
Bardziej szczegółowoObliczanie indukcyjności cewek
napisał Michał Wierzbicki Obliczanie indukcyjności cewek Indukcyjność dla cewek z prądem powierzchniowym Energia zgromadzona w polu magnetycznym dwóch cewek, przez uzwojenia których płyną prądy I 1 i I
Bardziej szczegółowoFizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych
Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało sprężyste Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 4 5 Ciało
Bardziej szczegółowoSTAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży
STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj
Bardziej szczegółowoWstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy
Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi
Bardziej szczegółowoTARCZOWE I PŁYTOWE ELEMENTY SKOŃCZONE
PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury. Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej
Wykorzystanie programu COMSOL do analizy zmiennych pól p l temperatury metodą elementów w skończonych Tomasz Bujok promotor: dr hab. Jerzy Bodzenta, prof. Politechniki Śląskiej Plan prezentacji Założenia
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.
Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Dany jest stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć wektor naprężenia w płaszczyźnie o normalnej
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 2
Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Wytrzymałość materiałów Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT 1 N 0 3 19-0_1 Rok: II Semestr: 3 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoRozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Prof. dr hab. inż. Janusz Frączek Instytut
Bardziej szczegółowoDoświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Doświadczalne
Bardziej szczegółowoTRAJEKTORIE WARTOŚCI WŁASNYCH PÓL SIŁ WEWNĘTRZNYCH W TARCZACH I PŁYTACH ANIZOTROPOWYCH
TRAJEKTORIE WARTOŚCI WŁASNYCH PÓL SIŁ WEWNĘTRZNYCH W TARCZACH I PŁYTACH ANIZOTROPOWYCH Aleksander SZWED, Stanisław JEMIOŁO, Marcin GAJEWSKI Instytut Mechaniki Konstrukcji Inżynierskich PW. WSTĘP W przypadku
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia Metody obliczeniowe Informacje ogólne 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Państwowa Szkoła Wyższa im. Papieża Jana Pawła II,Katedra Nauk Technicznych,
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoMetoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop
Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji / Gustaw Rakowski, Zbigniew Kacprzyk. wyd. 3 popr. Warszawa, cop. 2015 Spis treści Przedmowa do wydania pierwszego 7 Przedmowa do wydania drugiego 9
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P
WM Karta (sylabus) przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia I stopnia o profilu: A P Przedmiot: Wytrzymałość Materiałów I Kod ECTS Status przedmiotu: obowiązkowy MBM 1 S 0 3 37-0_0 Język wykładowy:
Bardziej szczegółowoElektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................
Bardziej szczegółowoFLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua
FLAC Fast Lagrangian Analysis of Continua Program FLAC jest oparty o metodę róŝnic skończonych. Metoda RóŜnic Skończonych (MRS) jest chyba najstarszą metodą numeryczną. W metodzie tej kaŝda pochodna w
Bardziej szczegółowo