MODELE ANALIZY NIELINIOWEJ DO OPISU ZARYSOWANIA

Transkrypt

1 Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2013/2014 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Podziękowania: Jerzy Pamin, Andrzej Winnicki

2 Pojęcie uszkodzenia ds n = ds d n + dsu n ω( n) = ds n ds u n ds n = dsd n ds n

3 Mechanika uszkodzeń a teoria plastyczności σ σ E (1 ω)e E E Mechanika uszkodzeń ɛ Teoria plastyczności ɛ

4 Możliwości opisu uszkodzenia Uszkodzenie anizotropowe Równanie konstytutywne dla tensora uszkodzenia czwartego rzędu: σ = (I Ω) : E : ɛ Uszkodzenie izotropowe Równanie konstytutywne dla opisu dwuparametrowego: σ = (I Ω) : E : ɛ; Ω = ω ω 2 I Równanie konstytutywne dla opisu skalarnego: σ = (1 ω) E : ɛ

5 Równoważność odkształceń naprężenie efektywne Postulat Odkształcenie związane ze stanem uszkodzonym ciała pod wpływem danego naprężenia odpowiada odkształceniu związanemu ze stanem nieuszkodzonym tego ciała pod wpływem naprężenia efektywnego. Równoważność ɛ = ˆɛ Naprężenie efektywne σ = (1 ω) ˆσ ˆσ = Eɛ

6 Równoważność naprężeń odkształcenie efektywne Postulat Naprężenie związane ze stanem uszkodzonym ciała przy danym odkształceniu odpowiada naprężeniu związanemu ze stanem nieuszkodzonym tego ciała przy odkształceniu efektywnym. Równoważność σ = ˆσ Odkształcenie efektywne ɛ = ˆɛ 1 ω ˆɛ = σ E

7 Skalarny model mechaniki uszkodzeń Funkcja uszkodzenia w przestrzeni odkształceń ɛ odkształcenie równoważne κ d parametr historii uszkodzenia Warunki obciążenie-odciążenie f d = ɛ(ɛ) κ d = 0 κ d 0 f d 0 κ d f d = 0

8 Definicje odkształcenia równoważnego Powierzchnie uszkodzenia Miara energii sprężystej 1 ɛ = ɛ : E : ɛ E ν = 0.0 ν = 0.2

9 Definicje odkształcenia równoważnego Powierzchnie uszkodzenia Definicja Mazarsa miara dodatnich odkształceń głównych ɛ = I (H(ɛ I )ɛ I ) 2 I = 1, 2, 3 ɛ PSN, ν = 0.2 PSO ɛ 1

10 Definicje odkształcenia równoważnego Powierzchnie uszkodzenia Zmodyfikowane kryterium Hubera-Misesa-Hencky ego (ang. modified von Mises) ɛ = k 1 2k(1 2ν) I ɛ k ( k 1 1 2ν I ɛ 1 ) k (1+ν) 2 J ɛ 2 k = fc f t ɛ PSN, ν = 0.2 ν = 0.0 PSO, ν = ɛ 1

11 Funkcje wzrostu uszkodzenia ω = ω(κ d ) przykłady Osłabienie liniowe Osłabienie eksponencjalne: ( ) ω(κ d ) = 1 κo 1 α + αe η(κd κ o) κ d G f energia pękania czyli energia zużywana w procesie powstawania jednostki powierzchni rysy (charakteryzuje podatność materiału na pękanie)

12 Zjawisko zamykania rys

13 Wspornik z obciążeniem znakozmiennym Przykład P(w) 100 mm 250 mm Które rozwiązanie jest właściwe? Na czym polega zależność rozwiązania od dyskretyzacji? ω animacja ɛ animacja

14 Typy nieciągłości Model ciągły Słaba nieciągłość Silna nieciągłość Literatura G. N. Wells. Discontinuous modelling of strain localisation and failure, Delft University of Technology, 2001.

15 Formy pękania Forma (mode): I. Rozrywanie na skutek rozciągania lub zginania, pękanie w kierunku prostopadłym do sił II. Poprzeczne śninanie powierzchnie rysy ślizgają się w kierunku prostopadłym do frontu rysy III. Podłużne ścinanie powierzchnie rysy ślizgają się w kierunku równoległym do frontu rysy

16 Naprężenie w wierzchołku rysy W liniowo sprężystym modelu mechaniki pękania w wierzchołku rysy (crack tip) niektóre składowe tensora naprężenia mogą zmierzać do nieskończoności, dlatego wprowadzono pojęcie współczynnika intensywności naprężeń. Jako kryterium powstania makrorysy stosuje się miarę odporności na pękanie celem pominięcia nieciągłości naprężeń i przemieszczeń. Opisuje ona prędkość zmniejszania się energii potencjalnej ciała przy wzroście rysy. Wiemy, że nośność materiału jest skończona i nie może przekroczyć wartości naprężenia krytycznego (granicy plastyczności, wytrzymałości), dlatego przed frontem rysy zakłada się pewną strefę niesprężystą.

17 Modele nieciągłości Możliwy jest opis ośrodka nieciągłego, w którym części składowe są połączone (np. konstrukcje zespolone) lub występują pęknięcia (rysy dyskretne). W tym celu stosuje się interfejsowe elementy skończone lub podejście XFEM. Literatura G. N. Wells. Discontinuous modelling of strain localisation and failure, Delft University of Technology, Dyskretne interfejsy wzdłuż granic elementów skończonych Metoda podziału jedności rysa biegnie dowolnie przez elementy

18 Elementy interfejsowe Interfejsy mają zazwyczaj nieliniowe charakterystyki, reprezentując np. tarcie, adhezję, pękanie.

19 Elementy interfejsowe t = D u L = [ ] u = LN a Np. dla ścinania Macierze są obliczane przy użyciu całkowania Lobatto

20 Różne zastosowania elementów interfejsowych Literatura P. Wronka. Interface finite elements in two-dimensional simulations of cracking and of deformation of composite structures, Cracow University of Technology, 2005, master thesis.

21 Zjawiska zachodzące wokół frontu rysy

22 Zakres kontynualnej mechaniki uszkodzeń i mechaniki pękania PROCES USZKODZENIA PROCES PĘKANIA Stan Mikro- Makro- Rysy Dociążenie Całkowite początkowy uszkodzenia uszkodzenia zniszczenie Mikrorysy Mikrodefekty Ubytki Niejednorodności Łączenie Wzrost Propagacja Makrorysy Degradacja materiału Propagacja Wzrost Łączenie Koncentracja naprężeń Rysy wtórne

23 Zakres kontynualnej mechaniki uszkodzeń i mechaniki pękania

24 Rysy dyskretne lub rozmazane Energia pękania G f (zużyta na powstanie jednostki powierzchni rysy)

25 Idea rys rozmazanych Wektor naprężenia: σ nn σ = σ tt τ nt Wektor odkształcenia: ɛ = ɛ nn ɛ tt γ nt

26 Kontynualna mechanika uszkodzenia Mechanika pękania, interfejsy Uszkodzenie a zarysowanie Model rys rozmytych Przykłady obliczeniowe Rysy rozmazane ustalony kierunek Dekompozycja odkształcenia: = e + cr Odkształcenie sprężyste: e = C e σ 1 C e = (D e ) Odkształcenie zarysowania: cr = C cr σ Operator podatności: = (C e + C cr ) σ = C σ C = C e + C cr Operator sztywności: σ = D 1 D = (C e + C cr )

27 Związki dla zarysowania Odkształcenie zarysowania: ɛ cr ɛ cr nn = 0 γnt cr Operator podatności: C = 1 1 ν 0 ν 1 0 E (1 + ν) Operator sztywności: D = C 1 = µe 1 µν 2 µνe 1 µν 2 Związek konstytutywny: σ = Dɛ µνe 1 µν 2 0 E 1 µν βg µ : 1 0, β : µ µe β βg

28 Relacje we współrzędnych globalnych Relacje we współrzędnych lokalnych: σ = Dɛ Transformacja: ɛ = T ɛ gl σ gl = T T σ Macierz transformacji: nx 2 ny 2 n x n y T = tx 2 ty 2 t x t y n x t x n y t y n x t y + n y t x Związek konstytutywny we współrzędnych globalnych: σ gl = T T DT ɛ gl

29 Naprężenie normalne σ nn = µe ɛ cr nn

30 Naprężenie styczne τ nt = βgγ nt β = const lub β = β(ɛ nn )

31 Wyniki z eksperymentu dla betonu (Kupfer) PSN

32 Powierzchnie plastyczności dla betonu PSN

33 Plastyczność a model rys rozmytych

34 Brazylijski test rozłupywania próbki Idealizacja rozłupywania Klinowanie Rysy pierwote i wtórne lin/lin, ɛ quad/lin, ɛ Ewolucja miary odkształcenia ɛ

35 Symulacja zarysowania w murach pakietem DIANA Animacja zarysowania przy ścinaniu

36 Symulacja zarysowania żelbetowej tarczy pakietem ATENA

37 Modelowanie ciągłe-nieciągłe Literatura A. Simone, G.N.Wells and L.J. Sluys. From continuous to discontinuous failure in a gradient-enhanced continuum damage model, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 192 (2003) Belka z jednostronnym karbem pod działaniem niesymetrycznego ścinania Kontinuum nielokalne Model nieciągły

38 Literatura M.G.D. Geers. Continuum Damage Mechanics. Fundamentals, Higher-order Theories and Computational Aspects. Lecture notes, Eindhoven University of Techn ology, R. de Borst and L.J. Sluys. Computational Methods in Nonlinear Solid Mechanics. Lecture notes, Delft University of Technology, B. Karihaloo. Application of Fracture Mechanics in Design. Lecture notes of Summer Course on Mechanics of Concrete, Cracow, G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice kostrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, M. Kwasek Advanced static analysis and design of reinforced concrete deep beams. Diploma work, Politechnika Krakowska, P.B. Lourenço. Computational strategies for masonry structures. Doctoral dissertation, Delft University of Technology, M. Jirásek. Plasticity, Damage and Fracture. Modeling of Localized Inelastic Deformation. Technical University of Catalonia (UPC), Barcelona, DIANA Finite Element Analysis - User s manual, release TNO Building and Construction Research, Delft, 2010.