Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI KRYTYCZNYCH WAŁÓW. 1. Cel ćwiczenia

Transkrypt

1 Ćwiczeie WZNACZANIE RĘDKOŚCI KRTCZNC WAŁÓW. Ce ćwiczeia oiar trzech koejych prędkości krytyczych i obserwacja odpowiadających i iii ugięcia wału oraz porówaie wartości prędkości krytyczych obiczoych aaityczie z wartościai otrzyayi a drodze poiarowej.. Wprowadzeie teoretycze rędkość krytycza jest to pojęcie związae z aszyai wirikowyi, używae da okreśeia prędkości kątowej wału, przy której adierie wzrastają apitudy ugięć wirika i związae z ty drgaia korpusu aszyy. S S. e k r w Rys... Wirik z tarczą. Rozpatrzy ajprostszy wirik jaki staowi krążek o asie, uocoway w środku rozpiętości ieważkiego wału o sztywości k (Rys..). rzyjujey przy ty, iż środek asy krążka S ie pokrywa się z osią wału i jest oddaoy od iego o pewą wartość e, którą azyway iośrodowością ub iewyważeie. iośrodowość ta jest wywołaa iejedorodością krążka ub ieosiowy jego osadzeie a wae. Zakładay, że płaszczyza krążka jest prostopadła do osi wału. Jeżei wirik obraca się ze stałą prędkością kątową, to wał ugia się i wiruje w ugiętej postaci. rzy dowoej prędkości obrotowej wału, siły działające a krążek uszą być w rówowadze. Siła sprężystości wału rówoważy siłę odśrodkową, czyi: k r ( r e) w w. (.) o przekształceiu tego związku otrzyuje się zaeżość 6

2 r w e k -, (.) z której wyika, że proień wału r w będzie coraz większy i teoretyczie staie się ieskończeie duży, gdy iaowik prawej stroy rówaia (.) przyjie wartość rówą zeru. oże to astąpić, gdy prędkość kątowa wału osiągie wartość: k kr. (.) rędkość kr azyway prędkością krytyczą, poieważ jest oa iebezpiecza da pracy aszyy. rzy uwzgędieiu tłuieia, ugięcia wału r w będą ograiczoe, jedakże ich wartość oże być i tak a tye duża, że doprowadzi to bądź do odksztaceń pastyczych wirika, bądź do zatarcia wirika p. o uzwojeie stojaa siika eektryczego. Łatwo zauważyć, że zaeżość jaką otrzyaiśy da prędkości krytyczej jest idetycza ze związkie okreśający częstość kołową drgań własych układu o jedy stopiu swobody. W oawiay przypadku wartości prędkości krytyczej wirującego wału z osadzoy a i krążkie, jest rówa częstości własej drgań poprzeczych układu krążek-wirik. Układy o wieu stopiach swobody (p. wał z kikoa osadzoyi ań tarczai ub wał o asie rozłożoej w sposób ciągły) posiadają większą iczbę częstości drgań własych i większą iczbę prędkości krytyczych... Wirik jako układ o jedy stopiu swobody Okazuje się, że jeżei poiąć wpływ efektu żyroskopowego, to wartości koejych prędkości krytyczych są rówe wartościo koejych częstości poprzeczych drgań własych. Obiczeie prędkości krytyczych sprowadza się więc w większości przypadków do obiczaia częstości drgań własych. Jedy z ajłatwiejszych sposobów wyzaczeia podstawowej częstości drgań jest wykorzystaie zaeżości okreśającej częstość kołową drgań własych układu o jedy stopiu swobody k, (.) przy czy w iejsce k i aeży podstawić wiekości zastępcze k z i z 7

3 k z I. (.5) z W przypadku rozpatrywaego wirika odeowego, czyi beki o stały przekroju podpartej przegubowo w obu końcach jest 8. (.6) k z asę zastępczą okreśa związek, który otrzyuje się po zastosowaiu etody eergetyczej Rayeygha [] 7 z. (.7) 5 odstawiając powyższe wiekości do (.5) otrzyuje się I 8 5, (.8) 7 a wyrażając asę beki przez długość i asę jedostkową µ ( µ ), wyrażeie a częstość drgań własych, a ty say a prędkość krytyczą a postać 9,9. (.9) kri I µ.. Wirik jako układ o skończoej iczbie stopi swobody. etoda ykestada.... Wektor stau i acierz przeiesieia Złożoy ub ciągły układ oże być podzieoy a segety zwae też eeetai skończoyi. Jest to jede ze sposobów aproksyacji układów z ciągły rozkłade asy przez rówoważy układ dyskrety. W ceu przeprowadzeia opisu procesu dyskretyzacji wprowadza się pojęcia wektora stau i acierzy przeiesieia. Wektor stau staowi koua iczb, z których każda wyraża wartość zieej w day iejscu rozpatrywaego układu. Każda składowa wektora stau jest azywaa zieą stau. rzykłady wektorów stau przedstawia Rys... 8

4 a) x b) ϕ c) θ T d) { Z} x F { Z} F { Z} T θ { Z} Rys... Wektory stau da różych staów obciążeia: a) rozciągaie, b) zgiaie, c) skręcaie, d) ściaie. Koejość składowych wektora stau jest dowoa. rzy złożoy staie obciążeia, p. przy zgiaiu i ściaiu wektor stau a postać T { Z} [ ]. (.) acierz przeiesieia służy do wyzaczeia wektora stau w okreśoy iejscu układu przy wykorzystaiu wektora stau w iy iejscu układu. rzykładowy podział układu poddaego zgiaiu a segety bekowe (eeety skończoe) przedstawia Rys... a) - b) przęsło seget X c) X Rys... odział układu poddaego zgiaiu a segety bekowe 9

5 5 ojedyczy -ty seget składa się z bezasowego przęsła, które reprezetuje sprężya o sztywości oraz z asy skupioej. Góre ideksy i w ozaczeiach a Rys.. okreśają odpowiedio ewą i prawą stroę asy. Z uwagi a taką budowę segetu acierz przeiesieia tego eeetu składa się z dwóch części: ) acierzy bezasowej części sprężystej segetu, ) acierzy części asowej. acierz bezasowej części sprężystej wiąże wektory stau {Z} - oraz {Z} a początku i a końcu -tego przęsła. Na podstawie Rys..b) oża zapisać da stau rówowagi ;, (.) gdzie: - oet gący, - siła tąca. Zgodie z Rys..a) ziaę kąta ugięcia okreśa zaeżość. (.) odstawiając (.) do (.) otrzyuje się. (.) Ziaę ugięcia przęsła okreśa zaeżość. (.) odstawiając (.) do (.) jest 6. (.5) acierz części sprężystej otrzyuje się zapisując (.), (.) i (.5) w postaci acierzowej 6. (.6) W ceu wyzaczeia acierzy części asowej -tego eeetu bekowego rozpatruje się asę uwoioą z więzów (Rys..c). Z rówaia sił i

6 5 oetów działających a eeet bekowy wykoujący ruch haroiczy z częstością uzyskuje się zaeżości oraz J. (.7) rzy ruchu jako ciała sztywego spełioe są rówości ;. (.8) acierz części asowej wyzacza się a podstawie (.7) oraz (.8) J. (.9) acierz przeiesieia -tego segetu bekowego okreśa się po wstawieiu wektora (.6) do (.9) J 6 J J J 6 6. (.) W skrócoy zapisie rówaie (.) a astępującą postać: { } { } Z Z, (.) gdzie jest acierzą przeiesieia -tego eeetu. Wektor stau -tego eeetu jest związay z wektore stau Z } { a brzegu układu astępującą zaeżością: { } { }{ } Z Z.... (.)

7 ... etoda ykestada wyzaczaia częstości własych układów Rozpatrywaa jest struktura bekowa, którą dziei się a skończoą iczbę segetów. Zakłada się, że asy segetów skupioe są a ich końcach. Rówaie (.) przedstawiające zaeżość wiążącą wektor stau -tego eeetu z wektore stau a brzegu układu iustruje forułę obiczeń rozpatrywaego układu bekowego. Waruki brzegowe da ajczęściej spotykaych sposobów podparcia w przypadku układów bekowych przedstawia Tabea.. Tabea.. roste podparcie Swobody koiec Zaurowaie Z Tabei. wyika, że w początkowy pukcie (iejscu ) beki ay do czyieia z dwoa iezerowyi warukai początkowyi uzaeżioyi od rodzaju podparcia. odobie dzieje się a drugi końcu beki. rocedura obiczeń częstości własych w etodzie ykestada, poega a założeiu wartości i przeprowadzeiu obiczeń z zastosowaie acierzy przeiesieia. Wartość częstości, która spełia jedocześie waruki brzegowe a obu końcach układu jest poszukiwaą częstością drgań własych. rzykład.. Stosując etodę ykestada wyzaczyć częstości drgań własych giętych beki wsporikowej przedstawioej a Rys..a. a) Dae: µ,,d, kg (asa beki); (długość beki); d,6 (średica beki); J πd /6 6,6 - ; b) E, N/ ; µ /, kg/. Rys... Układ bekowy Rozwiązaie Beka została podzieoa a dwa segety o długości odpowiedio,5 oraz,75 (Rys..b). asę -go segetu skupioo a jego prawy końcu, zaś asę -go segetu podzieoo a dwie rówe części i 5

8 uieszczoo je a obu końcach. Okreśoe w te sposób asy skupioe woszą,875 kg oraz,85 kg. Następie okreśa się acierze przeiesieia segetów, a astępie wykorzystuje się zaeżość (.) wiążącą wektor stau -go segetu z wektore stau a brzegu układu. { Z} { Z}, (a) gdzie: { Z} { } T { } T. (b) odstawiając dae iczbowe do (.) okreśa się acierze przeiesieia da obu segetów,8,5,7,,87,5,95,,5 5,7 (c),75, 5,6 5,6,,75 8, 6,,75,8 (d) o uwzgędieiu (c) i (d) w (a) przy zastosowaiu zapisu ogóego ay { Z} { Z} [ ]{ Z}. (e) oet gący i siła tąca a swobody końcu uszą się zerować (Tabea.). Wykorzystując ozaczeia zastosowae w (e) waruek te oża zapisać w astępującej postaci ; (f). Warukie istieia ietrywiaych rozwiązań układu rówań jedorodych (f) jest zerowaie się jego wyzaczika charakterystyczego, stąd 5

9 . Jest to rówaie pozwaające a wyzaczeie poszukiwaych częstości drgań własych. o podstawieiu daych iczbowych rówaie (g) a astępującą postać 5,,8. 7 8,,,6,8 (h) W postaci rozwiiętej rówaie (h) oża zapisać 7 5,97,69. (i) Rozwiązaie rówaia (i) pozwaa a wyzaczeie poszukiwaych częstości własych,8 [ rd / s] f,7 [ z]; (j) 88, [ rd / s] f [ z]. (g).. Wirik jako układ z ciągły rozkłade asy W ceu wyzaczeia dokładej wartości pierwszej częstości drgań własych, jak rówież obiczeia wyższych częstości w przypadku beki o stały przekroju, posłużyć się oża techiczy rówaie drgań poprzeczych beki, które a postać y y a, x t (.) µ gdzie: a. (.) Rozwiązaie rówaia (.) poszukuje się w postaci ioczyu fukcji współrzędej x oraz fukcji czasu t y ( x, U ( x) T (. (.5) o podstawieiu (.5) do (.) jest U I ( x) T( a U ( x) T& (, (.6) stąd U I ( x) T& ( a. (.7) U ( x) T( 5

10 Spełieie rówaia (.7) da dowoych wartości x i t wyaga aby obie stroy tego rówaia były rówe stałej, którą ozaczoo k U I ( x) T&& ( a k U ( x) T (. (.8) Stąd rozwiązaie probeu drgań poprzeczych beki sprowadza się do rozwiązaia dwóch iezaeżych rówań różiczkowych zwyczajych U I ( x) k U ( x) ; (.9) T& ( T (, (.) k gdzie:. (.) a Rozwiązaie ogóe rówaia (.9) a astępującą postać: U(x) A si kx B cos kx C sih kx D cosh kx, (.) gdzie: A, B, C, D stałe, wyzaczae z waruków brzegowych. W przypadku podparcia przegubowego a końcach, jak w układzie baday, waruki brzegowe ają postać y(, ; y(, ; y( x, t ; y( x, t x x i. (.) odstawiając rozwiązaie (.) do (.) otrzyuje się ostateczie ciąg fukcji własych, okreśających postacie ugięcia beki przegubowo podpartej a końcach π x U ( x) si k x si ;,,... (.) Rozwiązaie rówaia różiczkowego (.) a astępującą postać: T ( K cos t si t, (.5) gdzie: K i są stałyi wyzaczayi z waruków początkowych. Wartości częstości drgań własych, odpowiadające koejy fukcjo własy beki, a podstawie (.) oraz (.) okreśa wzór k π ;,,... (.6) a µ Ostateczie rozwiązaie techiczego rówaia drgań poprzeczych beki, która jest przegubowo podparta a końcach, jest postaci y( x, ( K πx cos t si si (.7) 55

11 . Staowisko poiarowe 5 Rys..5. Scheat staowiska poiarowego Scheat urządzeia poiarowego jest przedstawioy a rysuku.5. Jest to stoisko odeowe pozwaające a obserwację i poiar trzech koejych prędkości krytyczych wału. Wał ułożyskoway w wahiwych łożyskach kukowych, osadzoych w obudowach łożyskowych, jest apędzay poprzez sprzęgło podate siikie prądu stałego. Siik i obudowy łożysk są ocowae a wspóej podstawie. Na końcu wału jest zaocowaa ała tarcza 5 uożiwiająca poiar prędkości obrotowej wału. Układ zasiaia uożiwia ziaę prędkości obrotowej siika. Wyiary wału zostały dobrae w taki sposób, aby w zakresie prędkości obrotowych siika ( 6 obr/i) oża było obserwować trzy koeje prędkości krytycze. Wał staowi pręt staowy o długości i średicy d 6. asa wału, kg.. rzebieg ćwiczeia Dyspoując dayi dotyczącyi wyiarów i asy wału zajdującego się w stoisku poiarowy aeży dokoać obiczeń jego trzech ajiższych prędkości krytyczych. Obiczeia te aeży przeprowadzić traktując wirik koejo jako układ o jedy stopiu swobody, jako układ z ciągły rozkłade asy oraz jako układ dyskrety o skończoej iczbie stopi swobody. Traktując wirik jako układ o jedy stopiu swobody, a podstawie wzoru (.9) ub wzoru (.6) da, oża obiczyć wartość pierwszej prędkości krytyczej. Wartości wyższych prędkości krytyczych (drugiej i trzeciej) oża rówież obiczyć ze wzoru (.6) da koejych wartości, traktując wirik jako układ z ciągły rozkłade asy. Obiczoe wartości aeży zapisać w tabei uieszczoej w sprawozdaiu. Następie aeży przeprowadzić obiczeia prędkości krytyczych wału zajdującego się w stoisku poiarowy, traktowaego jako układ dyskrety o skończoej iczbie stopi swobody. Ze wzgędu a skopikowaą budowę aszy wirikowych przy obiczeiach ich prędkości krytyczych w praktyce iżyierskiej ajczęściej 56

12 przeprowadza się dyskretyzację badaego układu, a astępie prowadzi obiczeia układu zdyskretyzowaego. Sposób dyskretyzacji układu (podziału a eeety), a bezpośredi wpływ a dokładość otrzyywaych wyików. Do obiczeń prędkości krytyczych badaego wału traktowaego jako układ dyskrety w ćwiczeiu zastosowao etodę ykestada. rzy użyciu prograu obiczeń ueryczych aeży wyzaczyć wartości prędkości krytyczych odpowiadających róży podziało a eeety. Obiczoe wartości prędkości krytyczych aeży porówać z wyikai uzyskaayi przy użyciu pozostałych odei obiczeiowych. W części doświadczaej ćwiczeia aeży przeprowadzić obserwację i poiar prędkości krytyczych badaego wału zajdującego się w stoisku poiarowy. Da obserwacji prędkości krytyczych wirika, uruchaia się siik (Rys..5) i zwiększa się powoi prędkość obrotową wału. Naeży dokoać poiaru prędkości obrotowej, przy której wartości ugięć wału osiągają aksiu. oiaru aeży dokoać trzykrotie. W przypadku, gdy ugięcia wału są zbyt duże i astępuje uderzaie wału o ograicziki, iczbę poiarów ograicza się do dwóch i dokouje się ich odpowiedio przy prędkości iższej od krytyczej i wyższej od krytyczej, przy których ie astępuje uderzeie wału o ograicziki. Wyiki poiarów zapisuje się w tabei poiarowej i obicza wartość średią. Da łatwiejszego przejścia przez prędkość krytyczą (bez adierych ugięć wału i uderzaia o ograicziki) aeży ziejszyć prędkość obrotową siika i przechodzić przez rezoas z większy przyspieszeie. Naeży wykoać rysuki zaobserwowaych postaci ugięcia wału odpowiadających poszczegóy prędkościo krytyczy. o przeprowadzeiu wszystkich poiarów aeży porówać wartości zierzoych prędkości krytyczych z wartościai obiczoyi aaityczie przy użyciu różych etod obiczeiowych. Sforułować wioski wyikające z porówaia otrzyaych wyików. 5. iteratura. arszewski Z.: Drgaia i dyaika aszy. WN, Warszawa 98.. Kapitaiak T.: Wstęp do teorii drgań. Wydawictwo oitechiki Łódzkiej, Łódź 99.. Tse F. S., orse I. E., ike R. T.: echaica ibratios - Theory ad Appicatios, Ay ad Baco Ic., Bosto odo Sydey Toroto,

13 6. Sprawozdaie z wykoaia ćwiczeia wio zawierać:. Ce ćwiczeia;. Obiczeia prędkości krytyczych wału jako układu o jedy stopiu swobody i jako układu ciągłego: π µ π µ 9 π µ. Wyiki obiczeń prędkości krytyczych wału etodą ykestada;. Tabeę poiarów i wyików obiczeń w astępującej postaci: d, 6 częstość zierzoa po ob ob % po ob ob % po ob ob % po I prędkość kryt. II prędkość kryt. III prędkość kryt. 5. Rysuki iii ugięcia wału odpowiadające trze koejy prędkościo krytyczy 6. Wioski 58