Podróże po Imperium Liczb

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liz Część. Nierównośi Rozdził 7 7. Różne nierównośi wymierne Andrzej Nowiki 4 mj 0, Spis treśi 7 Różne nierównośi wymierne Nierównośi wymierne ze stłym ilozynem Nierównośi wymierne n zmiennyh Nierównośi wymierne jednej zmiennej Nierównośi wymierne dwóh zmiennyh Nierównośi wymierne trzeh zmiennyh Nierównośi wymierne ztereh zmiennyh Nierównośi wymierne dl liz łkowityh Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liz npisno w edytorze L A TEX. Spisy treśi tyh książek orz pewne wyrne rozdziły moż znleźć n internetowej stronie utor:

2

3 7 Różne nierównośi wymierne 7. Nierównośi wymierne ze stłym ilozynem W tym podrozdzile zęsto zkłdć ędziemy, że ilozyn rozwżnyh liz rzezywistyh jest równy. To złożenie, że ilozyn dnyh liz jest równy, możn wysłowić przy pomoy innyh równowżnyh złożeń. Znotujmy kilk tego typu równowżnośi Jeśli x, y są lizmi rzezywistymi różnymi od, to xy = + x + + y =. D. + x + = + y) + + x) = + x) + y) = + x + y + xy xy =. + y 7... Jeśli x, y, z są dodtnimi lizmi rzezywistymi, to xyz = + x + xy + + y + yz + =. [MS] 4/99, [Mild]). + z + zx D. Złóżmy, że xyz =. Mmy wtedy: + x + xy + + y + yz + + z + zx = + x + xy + x x + xy + xyz + xy xy + xyz + xyzx = + x + xy + x + x + xy + xy + x + xy = + x + xy + x + xy =. Nieh A = s =. + x + xy + + y + yz + = orz s = xyz. Złȯżmy, że A =. Pokżemy, że + z + zx Przypuśćmy, że s >. Wtedy mmy sprzezność: = A = = > + x + xy + x x + xy + xyz + xy xy + xyz + xyzx + x + xy + x s + x + xy + xy s + xs + xy + x + xy + x + x + xy + xy + x + xy = + x + xy + x + xy =. Jeśli s <, to w ten sm sposó otrzymujemy sprzezność = A >. Ztem s =. Złożenie o dodtniośi liz x, y, z jest tutj istotne. Lizy x =, y =, z = spełniją równość + x + xy + + y + yz + + z + zx = 89

4 90 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne i ih ilozyn jest różny od. Dokłdnie tk smo wykzujemy podoną równowżność dl ztereh i więej dodtnih liz rzezywistyh. Znotujmy to dl ztereh liz Jeśli x, y, z, t są dodtnimi lizmi rzezywistymi, to xyzt = wtedy i tylko wtedy, gdy + x + xy + xyz + + y + yz + yzt + + z + zt + ztx + + t + tx + txy =. Zstępują w powyższyh równowżnośih dodtnie lizy x, y, z... odpowiednio ih odwrotnośimi x, y, z,..., otrzymujemy: Dl dodtnih liz rzezywistyh x, y, z, t zhodzą nstępująe równowżnośi. xy = xyz = xyzt = x x + + xy xy + y + + xyz xyz+yz+z+ + y y + =, yz yz + z + + yzt yzt+zt+t+ + zx zx + x + =, ztx ztx+tx+x+ + txy txy+xy+y+ = , dl,, > 0, =. [OM] Czehy-Słowj 00). D. [Ris]). Z nierównośi pomiędzy średnią rytmetyzną i średnią geometryzną mmy: + + = =. Podonie: + + orz + +. Dodjemy te trzy nierównośi i otrzymujemy tezę Jeśli,, > 0, =, to: ) ) , [ME] 4)007)); ) + ) + ), Aron Pixton, [Mild]) Jeśli,, > 0, =, to: ) ) ) 4) + ) + + ) + + ), [IMO] Shortlist 995, [OMm] 995, [ME] )006)); , [IMO] Shortlist 997, [Crux] 998 s.460); , [OM] Rosj 998); , [Pkh] s.45); +

5 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne 9 5) + ) + ) + ), [IMO] 000, [LeH]); 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) 4) 5) 6) + ) + + ) + + ), [Ko00], [OM] Kzhstn 008, [MOD] 4); , [Pkh] s.40); ) + ) + + ) + ) + + ) + ), [Pkh] s.50); , [Pkh] s.40); , [OM] Rumuni 00); ) ) ) + +, [Mild]); , [Kw] 6/997 M597); , [Kw] 6/997 M597); , [OM] Bułgri 997); , [ME] 4)007)); + ) + ) + + ) + ) + + ) + ) 4, [OM] Czehy-Słowj 005, [MOD] ); 7) 8) 9) 0) , [OM] Seri i Czrnogór 005); , [Mth] 006); [OM] Ukrin 998); ) + + +, [OMm] 996); , + + ) + ) + + ) + ) + + ) + ) 4, [IMO] Shortlist 998, [Djmp] 9966)) ) + + ) + + ) > >, dl,, > 0 i =. + ) [Ssm] 05)00) z.4748).

6 9 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne [IMO] 008) ) + ) +, dl,, R {}, =. ) [OM] Rumuni 008, [MOD] 4). 0, dl,, > 0, = , dl,, > 0,. + [IMO] 005, [ME] )006)) ) , dl,, > 0 i =. [OM] Irn 00/004, [Mild]) Nieh x, y, z > 0, xyz =. Jeśli x + y + z dl n N. [OM] Rosj 999). x+y+z, to x n + y n + z n xn +y n +z n, Nieh,,, d > 0, d =. Wtedy: ) ) ) 4) 5) + ) + + ) + + d) +, [ME] 4)007)); d + ) d + d + + d 4, [IMO] 00); d d + d + + d 4, [OM] Rosj 998); + + ) + + ) + + ) +, [OM] Chiny 004, [Pkh] s.6); + d) + ) k + + ) k + + ) k + + d) k k, dl k, Mthlinks Lore, [Mild]) Nieh x,..., x n > 0, x x x n =. Wtedy: ) x + + x n + x + + x x n, [Pkh] s.46); ) ) 4) 5) n + x + n + x + + n + x n, [OM] Rumuni 999, [Mild]); + x + + x x n n, dl n, [OM] Rosj 995); x + + x n + n, dl n, [Mild]); + x + x + x n 4 + x + + x x n, dl n, [Zw] 006);

7 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne 9 6) + x + x x + [OM] Rosj 004, [ME] 4)007)); 7) + x + x x x n + x n x >, dl n 4, x + x + ) + x + x + ) + + x n +, [OM] W.Brytni 005, [Pkh] s.98). x n + ) S. Mliki, Inequlities with produt ondition, [ME] 4)007). 7. Nierównośi wymierne n zmiennyh 7... x + x + x + x + + x n + x n dl x,..., x n > 0. [Mt] 4/997 z.9) x + x n [IMO] Shortlist 998, [Djmp] s.9966)). x + x + x + x n x x n, dl x,..., x n x ) + x ) + x n ) ) x x x n [Cmj] )99) 7). n n+ n ) n. x n + x, n i= i n i n, dl,..., n > 0, + + n =. [Blk] 984) n + + n )) + + n ) ) ) n ) n n+, dl,..., n > 0 i + + n <. [IMO] Shortlist 998) k k [IMO] Longlist 974). + + k n n k+, dl,..., n > 0, n, k N i + + n = n 8n ) n n n, dl,..., n > 0, n, k N orz + + n = n. Phm Kim Hung [Pkh] s.09) Jeśli + + n =,,..., n > 0, to n n + n + n n +. Równość zhodzi tylko wtedy, gdy = = n = n. [OM] ZSRR).

8 94 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne [OM] Mołdwi 00). Jeśli + + n = orz u, v,,..., n > 0, to u + v + u + v + + n u n + v n + n u n + v nu + v) [OM] Mołdwi 009) Jeśli m, n N, n,,..., n > 0 orz + + n =, to m n + m n + + m n + + n n + nm n n Jeśli,..., n,,..., n są dodtnimi lizmi rzezywistymi, to gdzie A = n k, B = k= n k= n k. [Fom] 6/9). k= k k k + k AB A + B, 7... Nieh,..., n ędą długośimi oków n-kąt n ) i nieh p = + + n. Wtedy: ) + + n n, [Kw] /997 44); p p n n ) ) p + + p n n ) + + n n p n n + + n, [IMO] Longlist 979). p p n p n ), [Ko0] 59); 7... Jeśli n orz x,..., x n > 0, x + + x n =, to x 5 x + x + + x n + x 5 x + + x n + x + + x 5 n x + + x n nn ). Równość zhodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = = x n = n. [OM] Turj, [Mild]) Jeśli,..., n > 0 i n+ =, to ) n + n i + i ). [MC] 999) 8, [KoM] 999) A4, [Ko0] 09). i= i+ i= Jeśli,..., n > 0 i n+ =, to ) n + n i + i i+ ). [Ko0] ). i= i+ i=

9 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne Nieh 0 < p < q i nieh,..., n [p, q]. Wtedy n ) ) n + k nq p), n 4pq gdzie k n = n dl przystyh n orz k n = n dl nieprzystyh n. [Pkh] s.77) Jeśli,..., n jest permutją dodtnih liz,..., n, to [Kurs] 595)). + + n n n. Kin-Yin Li, Using tngent lines to prove inequlities, [ME] 05)005) -. N. Sto, Tips on inequlities, [Crux] N. Siedrkjn, O przeksztłeniu pewnej nierównośi, [Kw] 997) Nierównośi wymierne jednej zmiennej 7... x 8 x 5 x + 0, dl x 0. [OM] Irlndi 998). x x n + x n x + x n, dl x > 0, x, n N. [OM] Węgry-Izrel 99). 7.4 Nierównośi wymierne dwóh zmiennyh Nieh x, y > 0 i xy =. Jeśli α β, to D. Nieh β = α + γ. Mmy wtedy: x α + y α x β + y β. x α + y α x β + y β xα + x α xβ + x β x γ x α + ) x α+γ + x α+γ + x γ x α+γ + x α+γ x α+γ x γ + 0 x γ ) x α+γ ) 0. Osttni nierówność jest ozywiśie prwdziw Nieh x > 0. Jeśli α β, to Wynik z 7.4.). x α + x α xβ + x β Nieh x,..., x n > 0, x x x n = i α β. Czy prwdą jest, że wtedy Z 7.4. wynik, że tk jest dl n =. x α + + x α n x β + + xβ n?

10 96 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne ) + + ) dl, > 0. [Pkh] s.6). + + ) + + ) 5, dl, > 0 i + =. [OM] Indie 988) <, dl, > 0 i + =. [OM] Indie 997). x + y x + y, dl,, x, y > 0, + =. [OM] Grej 00). + +, gdy + = 4 i, > 0. [OM] Austri 989) Jeśli 0, to: ) 0, ) 0 + +, + ) 0. [MOD] 4) , dl >, >. [OM] ZSRR 99). + ) m + + m ) m+, dl, > 0, m Z. [IMO] Shortlist 968, [Djmp] s.56)) , dl, > 0, +. [OM] St Petersurg 995) , dl, > 0. [Kw] 5/995). s+ x s + s+ y s + )s+, dl,, x, y, s > 0. [Bryn] 4.). x + y) s +, gdy < i <. [OM] Rosj 99, [MS] /99) Jeśli f : R + R + jest funkją rosnąą, to dl, R +. [Bedn] 6). f) + + f) + f) + + f) +,

11 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne Nierównośi wymierne trzeh zmiennyh Jeśli,, > 0, to: ) , [OM] Indie 997); 0 ) , [OM] Seri i Czrnogór); 4 ) , [MOD] ); + + 4) , M. Assil, [Crux] z.6, [OM] Indie 997, [KoM] 00 A4); ) 5) + + ) ) ) ) 9) 0) [Ssm] 0)00)); ) , W. Jnous, [Pkh] s.45); +, [OM] Rosj 998); +, IBMO 00); , [OM] Grej 005); + + ) ) ) ) + ) + ) + ) + + ) + ) + ), [Kw] 988); + + ) ) > + +, dl różnyh,,, + + ), [A-P] 998, [Pkh] s.8) ) + 4 ) , dl,, >. [ME] 5)009)). ) < + +, gdy,, > 0 i < +. + Stellenosh, Léo Suvé, [Crux] z.54) , dl,, > 0. + [Mt] 4/997 z.9) , dl,, > 0, + + =. [Kw] 6/008 4).

12 98 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne D. [Kw]). Dl dowolnyh dodtnih liz rzezywistyh x, y zhodzi nierówność xy x + y x + y. Mmy owiem: 4xy x + y) 0 x xy + y = x y). Z tej nierównośi wynik, że x + xy x + y = x + xy) + xy x + y = x + xy x + y = x + y. Mmy ztem: ) ) = Jeśli,, > 0 orz + + =, to: ) , [Kw] /007 4); + 4 ) + + 5, [Kw] 6/006 9); + 48 ) ) , [OM] Polsk 987); 4 5) ) , [OM] Rosj 998); 5 7) , [MO] 000, [OMm] 998/999); 4 8) 9) 0) , [AnC]); , [OM] Knd 008); , [OM] Rosj 00, [Kw] /004 M88);, [OM] Jponi 004, [Pkh] s.4); +, [Cmj] 9)988) 9-9); 4 ) ) + + ) ) + ) + ) + + ) + + 4), [OM] Chorwj 999, [MO] 00 z.6);, G. Dospinesu, [Crux] z.06); 4 ) 00, [MOD] 0); , [OM] Kzhstn 000) ) + ) + ) 64, dl,, > 0, + + =. [Crux] 998 s.64).

13 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne ) ) ) 8, dl,, > 0, + + =. [Crux] 998 s.67) ) ) 04, dl,..., 5 > 0, =. [WyKM] ) Jeśli,, > 0 orz + + =, to: ) ) ) 4) 5) 6) 7) , Phm Kim Hung, [Pkh] s.); , [Pkh] s.60); , [Pkh] s.0); , V. Cirtoje, [Pkh] s.56); , [Pkh] s.59); , [Pkh] s.6); , [Pkh] s.7); 8) ) 0) ) ) ) 4) 5) 6) 7) , [Pkh] s.47); +, [OM] Bułgri 00, [Crux] z.994, [Pkh] s.7); +, Phm Kim Hung, [Pkh] s.47); , [Pkh] s.5); , [Pkh] s.0); , [Pkh] s.9); + +, [Crux] z.994); +, [Crux] z.994);, [Pkh] s.9); + +. [Crux] z.994).

14 00 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne , dl,, > 0, + + = 4. [MO] z.556) [Mild]) , dl,, [0, ]. [Fom] 5/90) ) ) ), dl,, [0, ] , dl,, 0, ]. + + [OM] Ukrin 998, [Crux] 00 s.445) x x, dl,, 0, ), gdzie x =. [OM] Irlndi 00) , dl,, [, ]. [OM] Rumuni 006) ) + + ) 0, dl,, [, ]. Ptrz 7..6, [Pkh] s.76) ) + + ) [OM] Wietnm 006, [Pkh] s.46). + + ), dl,, [, ] Lizy,, są długośimi oków trójkąt. ) ) + ) , [Kw]); ) + + ) + +, Vsile Cirtoje, [Mild]); ). [OM] Polsk 99/994); 4) 5) 6) 7) 8) <, [OM] Indie 89, [OM] Norwegi 99, [P97]); , [Pkh] s.0); , [Kw]); , S.Ris,, [Pkh] s.4); + + +, [Zw] z.40);

15 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne 0 9) ) ) + + ), [MM] 44)97) 7); 0) ) >, [OM] Moskw 999); R, [OM] Bośni Heregowin 999) Jeśli,, są długośimi oków trójkąt, to <. [Ie] 989, [OMm] 999/000) Znleźć njwiększą lizę nturlną n tką, że dl kżdego trójkąt o okh,, zhodzi nierówność < n. Odp. n =. P. Kumor, [Mt] 4/004 z.69, rozw. [Mt] /005) Jeśli + + = i,, > 0, to: ) ) ) + + 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) [Ko0] 47);, V. Cirtoje, [Crux] z.0); n + n + n + )n+)/n n n ) [Crux] 00 s.4, [OM] Brzyli 004, [Ko0] 47); T. Zvonru, [Crux] z.95); Hojoo Lee, [Crux] z.5); ), Mediterrnen Mth. Comp. 00);, [Pkh] s.7); [OM] Bośni Heregowin 00); ) + + ) P. E. Tsoussoglou, [Crux] z.946); + + ) ) 4 P. E. Tsoussoglou, [Crux] z.946); ) [OM] Kzhstn 000).

16 0 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne Jeśli + + = i,, > 0, to: ) ) ) 4) 5) 6) 7) , [Pkh] s.65); , V.Cirtoje, [Pkh] s.00); , Phm Kim Hung, [Pkh] s.45)); , [OM] Biłoruś 999); , [OM] Estoni 004); , [Pkh] s.8)); , Phm Kim Hung [Pkh] s.) , dl = i,, > 0. [OM] Mołdwi 005, [Pkh] s.64) , dl = i,, > 0. [Ko0] 47) Jeśli + + = i,, > 0, to: ) ) , [Pkh] s.59). + +, Berkely Mth. Cirle, [Pkh] s.59); P. Aleksiejew, L. Kurlndzyk, Boki trójkąt po rosyjsku), Mtemtizeskij Krużok /99, Nierównośi wymierne ztereh zmiennyh d + d, dl,,, d > 0, d <. [OM] Indie 995). 64d d + d d +, dl,,, d > 0, d =. Równość zhodzi dokłdnie wtedy, gdy = = = d = 4. [OM] Irlndi 999) Jeśli,,, d > 0 orz d = 4, to: ) d + 5 d +, V.Cirtoje, [Pkh] s.7); 5 d

17 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne 0 ) ) 4) 5) 6) 7) d, [Pkh] s.0); d + + d, [Pkh] s.7); d +, [Pkh] s.55); d + + d + 4, [Pkh] s.0); d + + d + + d, [Pkh] s.8); d d + + d + 4, [Pkh] s.0) d d + + 4, dl,,, d [, ]. [OM] Ukrin 99). + d Jeśli,,, d > 0 orz d = 4, to: ) ) ) , Phm Kim Hung [Pkh] s.6); 5 d + + d + + d + + d d + + 4, [Pkh] s.54); + d + d +, Phm Kim Hung [Pkh] s.95). d + + d + + d + + d d + +, dl,,, d > 0, + + d + d =. [IMO] Shortlist 990, [Djmp] s.5540)). 7.7 Nierównośi wymierne dl liz łkowityh < <. [OM] Knd 997) n n > n + ) n + n, dl n N. [Miss] z.5). n n ) n <, dl n N, n >. [Bryn] 4.) ) n ) n > k, gdzie k orz n,..., n k są prmi różnymi lizmi nturlnymi większymi od. [WyKM] z.55).

18 04 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne D. [WyKM] s.6). Nieh m ędzie njwiększą z liz n,..., n k. Wtedy m orz ) n ) n ) n ) k ) m ). Prw stron tej nierównośi jest równ i ozywiśie + m > ) 4) 5) m )m + )) ṁ = m + m = + m ) n + n ) n ) n n n + < <, dl n >. [Putn] 96). n n n n+ <, dl n. [OM] Mołdwi 009). n + n i + ) n n i s + s ), dl,..., n N, gdzie s = + + n. n i= [OM] Wietnm 980) Jeśli x,..., x n są prmi różnymi lizmi nturlnymi, to n n [Bedn] 8) x + x + + x n x + x + + x n + ) + ) + ) x y nn + ). [Mon] /005 z.0). nn + ), gdy {,..., n } jest permutją zioru {,,..., n}. D. Sposó I). Nieh =, =, =, hx) = x orz Hx, y, z) = + ) + x y Zuwżmy, że 50 50, dl prmi różnyh liz nturlnyh x, y, z. ) + z = H,, ). Tez wynik wię z twierdzeni??. Sposó II). Powtrzmy dowód twierdzeni??. Nieh Hx, y, z) = + x) ) ) + y + z. Zuwżmy, że 50 = f,, ). Nieh x, y, z ędą prmi różnymi lizmi nturlnymi. Rozptrzmy 6 przypdków. Przypdek : x < y < z. W tym przypdku x, y orz z. Mmy wię: + x) ) ) ) ) ) + y + z = f,, ) = 50. Przypdek : x < z < y. W tym przypdku x, y orz z. Mmy wię: + x) ) ) ) ) ) + y + z = f,, ) = 49 < 50. Przypdek : y < x < z. W tym przypdku x, y orz z. Mmy wię: + x) ) ) ) ) ) + y + z = f,, ) = 5 < 50. W ten sm sposó postępujemy w nstępnyh trzeh przypdkh. ).

19 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne ) + ) + ) 9, dl prmi różnyh liz nturlnyh x, y, z większyh od. D. Mrghidnu, [Crux] x y z 8 z.040).. Tez wy- D. Nieh Hx, y, z) = nik wię z twierdzeni??. + +x ) ) ) + +y + +z. Zuwżmy, że H,, ) = 9 8 Nstępne dwie nierównośi również są konsekwenjmi twierdzeni?? ,,, d. + ) + ) + ) 4 + ) d ) + ) + ) 4 + ) d,,, d, większyh od. 45, dl prmi różnyh liz nturlnyh 6 40, dl prmi różnyh liz nturlnyh Znotujmy podonego typu nierównośi dl pięiu i sześiu zmiennyh Jeśli x, x,..., x 5 są prmi różnymi lizmi nturlnymi, to + x ) + x ) + x ) 4 + x4 ) 5 + x5 ) 05. ) ) ) D. Nieh Hx,..., x 5 ) = + x + x 5 + x5. Zuwżmy, że H,,, 4, 5) = 05. Tez wynik wię z twierdzeni?? Jeśli x, x,..., x 6 są prmi różnymi lizmi nturlnymi większymi od, to + x ) + x ) + x ) 4 + x4 ) 5 + x5 ) 6 + x6 ) 60. ) D. Nieh Hx,..., x 6 ) = + +x + i tez wynik wię z twierdzeni??. +x ) 6 + +x 6 ). Wtedy H,,, 4, 5, 6) = W poniższyh telkh podno przykłdy tkih trójek n, m, ), że nierówność + ) + ) + ) n + ) < x x x x n zhodzi dl prmi różnyh liz nturlnyh większyh od m. n m n m n m n m n m

20 06 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne W poniższyh telkh podno przykłdy tkih trójek n, m, ), że nierówność + x ) + x ) + ) x n + ) x n zhodzi dl prmi różnyh liz nturlnyh większyh od m. n m 0 6/ / / /58400 n m 5/44 4 9/ / /475 n m /5 4 40/ / /7900 Kżdą lizę wymierną posti, gdzie n N, nzywmy ułmkiem prostym. Przedstwimy nierównośi z ułmkmi prostymi, które pojwiły się w n [N-] Jeśli n ) jest iągiem tkim, że = i n+ = n +, dl n N, to [Fom] 8/86, [N-]) <. n Jeśli x, y są lizmi nturlnymi tkimi, że x + y <, to x + y Jeśli x, y, z są lizmi nturlnymi tkimi, że x + y + z <, to x + y + z [Fom] 5/86) Nieh x, x,..., x n ędą tkimi lizmi nturlnymi, że żdn z nih nie jest pozątkowym frgmentem żdnej innej n przykłd jest pozątkowym frgmentem liz, 5 lu 405). Zhodzi wtedy nierówność: x + x + + x n <. [Blt] 000). kn + kn + + kn kn + n n k + n k, dl n, k N. [OM] Izrel 995) n + + n n >, dl n. [BL] 46, [Szn].70, [G-if] 0) n + + n n >, dl n. [G-if] 04, [N-]) n + n >. [Kurs] 598)). n

21 Andrzej Nowiki, Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne < n + + n <. [BoL] 5 s.55, [Szn].70). n Dl dowolnej lizy nturlnej n oznzmy: Przyjmujemy dodtkowo, że h0) = 0. hn) = n. ) nn + ) n < n + hn), dl n. [Putn] 975). ) n )n n < n hn), dl n. [Putn] 975). ) ) n n n + < hn) < n n ) +. [Kw] 8/77 45). n 4) n < h n ) < n, dl n. [BoL] 40 s.55). 5) Jeśli hn) > m, to hn) > m +. [OM] Litw 99). 6) hn) > h) + h) + + ) n hn), dl n >. [OM] Mołdwi 998) Dl kżdej lizy nturlnej n zhodzi nierówność k ϕm) m gdzie sumownie po lewej stronie przeieg wszystkie lizy nturlne k tkie, że k n i nwdk, m) =. Przez ϕm) oznzmy lizę wszystkih liz nturlnyh mniejszyh lu równyh m i względnie pierwszyh z m. [IMO] 978, [KoM] 0005) A40). n k= k, n <. [Kw] 8/78 47) n <. [Crux] 998 s.70). n n > n. [Crux] z.08). n m n + )n + m + ) < n + ) + n + ) + + n + m) < m. [Siw] 75). nn + m) n + ) <. [BoL] 4 s.55, [Dlt] /77 6) Jeśli n ) jest iągiem rytmetyznym o wyrzh dodtnih i różniy r > 0, to n < + r dl n N. [Bedn] 0).

22 08 Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne Jeśli x, y, z są lizmi nturlnymi tkimi, że x + y =, to nwdx, y). z n < 5. [IMO] Longlist 969, [OM] Grej 005) n <. [OM] Irlndi 990). ) ) ) 4 ) n >. [IMO] Longlist 97) Oznzmy przez n) sumę n n. Dl n > zhodzą nstępująe nierównośi. ) n) > n + ) n. ) n) < n + ) n. ) n n > n) + n + ) + +. [Kw] 6/95 M49). n + ) Nieh n ) ędzie iągiem prmi różnyh liz nturlnyh, któryh rozwinięi dziesiętne nie zwierją yfry 0. Wtedy [Br80] 89, [B-rs] 6). n= n < Nieh n ) ędzie iągiem prmi różnyh liz nturlnyh, któryh rozwinięi dziesiętne nie mją n pozątku yfry 9. Wtedy szereg jest zieżny. [MM] )947) s.). n Nieh n ) ędzie iągiem prmi różnyh liz nturlnyh, któryh rozwinięi dziesiętne nie zwierją yfry 9. Wtedy [Br8] s.77). n= n= n < 8.

23 Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne 09 Litertur [A-P] Asin Pifi Mthemtil Olympid. [AnC] T. Andreesu, V. Cirtoje, G. Dospinesu, M. Lsu, Old nd New Inequlities, GIL Pulishing House, 004. [B-rs] J. Browkin, J. Rempł, S. Strszewiz, 5 lt Olimpidy Mtemtyznej, WSiP, Wrszw, 975. [BL] I. W. Brnow, C. E. Lpin, Zdni z Algery po rosyjsku), Leningrd, 954. [Blk] Blkn Mthemtil Olympid. [Blt] Zwody Mtemtyzne Pństw Błtykih. [Bedn] W. Bednrek, Ziór Zdń dl Uzniów Luiąyh Mtemtykę, Gdńskie Wydwnitwo Oświtowe, Gdńsk, 995. [BoL] W. G. Bołtiński, W. G. Lemn, Ziór Zdń Moskiewskih Olimpid Mtemtyznyh po rosyjsku), Moskw, 965. [Br80] J. Browkin, Zdni z Olimpid Mtemtyznyh, tom 5, -5, 69/70-7/74, WSiP, Wrszw, 980. [Br8] J. Browkin, Ziór Zdń z Olimpid Mtemtyznyh, tom 6, 6-0, 74/75-78/79, WSiP, Wrszw, 98. [Bryn] M. Bryński, Olimpidy Mtemtyzne, tom 7, -5, 79/80-8/84, WSiP, Wrszw, 995. [Cmj] The College Mthemtis Journl, The Mthemtil Assoition of Ameri. [Crux] Crux Mthemtiorum, Cndin Mthemtil Soiety, popolrne mtemtyzne zsopismo kndyjskie. [Djmp] D. Djukić, V. Jnković, I. Mtić, N. Petrović, The IMO Compendium. A Colletion of Prolems Suggested for the Interntionl Mthemtil Olympids: , Prolem Books in Mthemtis, Springer, 006. [Dlt] Delt, populrny polski miesięznik mtemtyzno-fizyzno-stronomizny. [Fom] D. V. Fomin, Snkt-Petersurskie Olimpidy Mtemtyzne po rosyjsku), Politehnik, Snkt- Petersurg, 994. [G-if] [Ie] S. A. Genkin, I. W. Itenerg, D. V. Fomin, Leningrdzkie Kółk Mtemtyzne po rosyjsku), Kirow, ASA, 994. Ieromerin Mthemtil Olympid. [IMO] Międzynrodow Olimpid Mtemtyzn. [Ko00] L. Kourlindthik, Wędrówki po Krinie Nierównośi, Aksjomt, Toruń, 000. [Ko0] L. Kourlindthik, Powrót do Kriny Nierównośi, Aksjomt, Toruń, 00. [KoM] KöMl, Kozepiskoli Mtemtiki Lpok, węgierskie zsopismo mtemtyzne, [Kurs] J. Kürshk, Węgierskie Olimpidy Mtemtyzne po rosyjsku), MIR, Moskw, 976. [Kw] Kwnt, populrne zsopismo rosyjskie. [LeH] H. Lee, Topis in Inequlities - Theorems nd Tehniques, Internet 009. [MOD] R. B. Mnfrino, J. A. G. Orteg, R. V. Delgdo, Inequlities. A Mthemtul Olympid Approh, Birkhäuser, Boston - Bsel - Berlin, 009.

24 0 Nierównośi 7. Różne nierównośi wymierne [MS] Mtemtyk w Szkole, populrne zsopismo rosyjskie. [Mt] Mtemtyk, polskie zsopismo dl nuzyieli. [Mth] The Mthsope. All the est from Vietnmese Prolem Solving Journls. imoompendium.om/otheromp/journ/mthsope.pdf. [MC] [ME] Mthemtis Competitions, populrne zsopismo mtemtyzne Mthemtil Exliur, hińskie populrne zsopismo mtemtyzne, Hong Kong. [Mild] T. J. Mildorf, Olympid inequlities, August 4, 006, [Miss] Missouri Journl of Mthemtil Sienes. [MM] Mthemtis Mgzine, populrne zsopismo mtemtyzne. [MO] Mthemtil Olympids Correspondene Progrm, Cnd, [Mon] The Amerin Mthemtil Monthly, Mthemtil Assoition of Ameri. [N-] [OM] A. Nowiki, Lizy Wymierne, Podróże po Imperium Liz, z., Wydwnitwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydnie pierwsze 008; Wydnie drugie 0. Olimpid Mtemtyzn. [OMm] Mł Olimpid Mtemtyzn. [P97] H. Pwłowski, Zdni z Olimpid Mtemtyznyh z Cłego Świt, Tutor, Toruń, 997. [Pkh] Phm Kim Hung, Serets in Inequlities, Vol.. Bsi Inequlities, GIL Pulishing House, Romni 007. [Putn] Putnm Willim Lowell) Mthemtil Competition. [Ris] S. Rist, Bsis of Olympid Inequlities, Preprint, 008. [Siw] I. H. Siwszinskij, Nierównośi w Zdnih po rosyjsku), Nuk, Moskw, 967. [Ssm] Shool Siene nd Mthemtis Journl, Shool Siene nd Mthemtis Assoition. [Szn] L. B. Sznepermn, Ziór Zdń z Algery i Teorii Liz po rosyjsku), Minsk, 98. [WyKM] W. A. Wyszenskij, I. W. Krtszow, W. I. Mihiłowskij, M. I. Jdrenko, Ziór Zdń Kijowskih Olimpid Mtemtyznyh po rosyjsku), 95-98, Kijów, 984. [Zw] Zwrdoń, Oóz Nukowy Olimpidy Mtemtyznej.