Podróże po Imperium Liczb

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część 09. Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi Rozdział. Sześciany Andrzej Nowicki 24 kwietnia 202, Spis treści Sześciany 5. Cyfry sześcianów Lustrzane odbicia sześcianów Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji Sumy cyfr sześcianów Końcowe cyfry sześcianów Własności sześcianów Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów Różnice dwóch sześcianów Odwrotności sześcianów Różne fakty i zadania z sześcianami Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora:

2

3 Sześciany Każdą liczbę postaci n 3, gdzie n jest liczbą naturalną, nazywamy sześcianem liczby naturalnej lub krótko sześcianem. Poniższa tabela przedstawia sześciany n 3, dla n

4 6 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany. Cyfry sześcianów... ( ) 3 = 52, ( ) 3 = 493, ( ) 3 = 5832, ( ) 3 = 7576, ( ) 3 = 9683, ([Je88], [Bedn] 48)...2. Każdy wyraz następujących ciągów jest sześcianem liczby naturalnej. ( ) () 33, 03030, ,... ; 3, 0 3, 000 3,..., ([Mat] 6/954 02). (2) 729, 9702, 70029, ,..., ([MaS] 2/8). (3) 078, , ,..., ([IMO] Longlist 967, [Djmp] s.42) Liczby 926 i są sześcianami liczb naturalnych: 926 = 2 3, = Do ich zapisu wykorzystano wszystkie cyfry 0,,..., 9; każdą jeden raz. Jest to jedyny przykład tego rodzaju. ([Mon] 47(3)(940) E377)...4. Liczby 8 i są sześcianami liczb naturalnych: 8 = 2 3, = Do ich zapisu wykorzystano wszystkie niezerowe cyfry,..., 9; każdą jeden raz. Są jeszcze dwa przykłady tego typu: ([Mon] 47(3)(940) E377). 8 = 2 3, = 39 3 oraz 25 = 5 3, = Liczby:, 8, 64 i są sześcianami liczb naturalnych: = 3, 8 = 2 3, 64 = 4 3, = Wykorzystano wszystkie cyfry 0,,..., 9; każdą jeden raz. Nie ma trzech liczb tego rodzaju. ([Mon] 47(3)(940) E377)...6. Sześciany = i = 39 3 zbudowane są z tych samych cyfr. Podobnie: = 35 3, = 38 3 oraz 25 = 5 3, 52 = 8 3. ([Mon] 47(3)(940) E377)...7. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje sześcian, którego początkowe cyfry są odpowiednio równe cyfrom liczby m. Podobny fakt zachodzi również dla dowolnych systemów numeracji. ([N-2]).

5 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany 7.2 Lustrzane odbicia sześcianów Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez n oznaczać będziemy liczbę naturalną powstałą z cyfr liczby n zapisanych w odwrotnej kolejności. Mówić będziemy w tym przypadku, że n jest lustrzanym odbiciem liczby n. Przykłady: 2345 = 5432, = , 9200 = 29. Takie liczby n pojawiły się już w [N-2] i [N-3]. W tym podrozdziale zajmować się będziemy liczbami postaci n, gdzie n będzie sześcianem liczby naturalnej. Mówimy, że liczba naturalna n jest palindromiczna, jeśli n = n. Przykłady liczb palindromicznych: 232, 3443, Wszystkie palindromiczne liczby postaci n 3 dla n < =, 2 3 = 8, 7 3 = 343, 3 = 33, 0 3 = 03030, 3 = 36763, 00 3 = , = , = , 00 3 = , 0 3 = , = , 00 3 = , 00 3 = Pojawiła się liczba 220. Jest to jedyna znana do tej pory taka liczba naturalna, która nie jest palindromiczna i ma palindromiczny sześcian Każdy wyraz ciągu 33, 03030, ,, jest palindromicznym sześcianem. Palindromicznych sześcianów istnieje więc nieskończenie wiele = = = = = = = = = = Istnieją sześciany, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi. Najmniejszym takim sześcianem jest liczba 5 3, której lustrzane odbicie jest liczbą pierwszą 52. Dopisując z prawej strony zera, otrzymujemy nieskończoną serię sześcianów, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi: (5 3 ) = (50 3 ) = (500 3 ) = = 52. W dalszym ciągu zajmować się będziemy tylko takimi sześcianami, które nie są podzielne przez W przedziale [, 00] istnieją trzy niepodzielne przez 0 liczby naturalne n takie, że lustrzane odbicie liczby n 3 jest liczbą pierwszą. Są to liczby: 5, 52, 89. W przedziale [, 000] takich liczb jest 59, a w przedziale [, 0 000] jest ich 45. (Maple).

6 8 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany.3 Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji = 0 2, 2 3 = = 33 4, 7 3 = , 65 3 = , = , = , = = 33 5, 26 3 = , 26 3 = , = , = , = = 33 6, 37 3 = , 27 3 = , = , = , = , = = 33 8, 9 3 = 33 8, 65 3 = , 73 3 = , 53 3 = , = , 46 3 = , = , = , = = 7, 4 3 = 2 7, 8 3 = 33 7, 6 3 = 464 7, 50 3 = , 00 3 = , = , = , = , = , = , = , = , = , = , = = 8 9, 0 3 = 33 9, 38 3 = , 82 3 = , 9 3 = , = , = , = , = ( ) 3 = 20 3, ( ) 3 = (2 + 0) 3 = 20 4, ( ) 3 = 320 4, ( ) 3 = 3 4, ( ) 3 = 232 4, ( ) 3 = , ( ) 3 = 02 5, ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 =

7 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany ( ) 3 = 323 6, ( ) 3 = , ( ) 3 = , ( ) 3 = ( + ) 3 = 7, ( ) 3 = 2 7, ( ) 3 = 33 7, ( ) 3 = 206 7, ( ) 3 = 36 7, ( ) 3 = 506 7, ( ) 3 = 256 7, ( ) 3 = ( ) 3 = 330 8, ( ) 3 = , ( ) 3 = (3 + 0) 3 = 30 9, ( ) 3 = 42 9, ( ) 3 = , ( ) 3 = 555 9, ( ) 3 = 768 9, ( ) 3 = Sumy cyfr sześcianów Przez s(n) oznaczamy sumę cyfr liczby naturalnej n..4.. Niech n N. Istnieje sześcian liczby naturalnej, którgo suma cyfr jest równa n wtedy i tylko wtedy, gdy resztą z dzielenia liczby n przez 9 jest 0, lub 8. D. Niech n = s(a 3 ), gdzie a N. Reszta z dzielenia liczby postaci a 3 przez 9 jest równa 0, lub 8. Ponieważ s(a 3 ) a 3 (mod 9), więc n = s(a 3 ) b (mod 9), gdzie b {0,, 8. Niech n będzie dowolną liczbą podzielną przez 9. Wówczas n jest postaci s(a 3 ), gdzie a N. Mamy bowiem: a m = (0 m ) 3 = , s(a m ) = 9 2m, dla m m m m b m = (0 m 6) 3 = , s(b m ) = 9(2m ), dla m 4. m 2 m 3 m 4 Ponadto, s(3 3 ) = s(27) = 9 = 9, s(3 9 ) = s(9683) = 27 = 9 3 oraz s(9 7 ) = s( ) = 45 = 9 5. Niech n będzie liczbą postaci 9k +. W tym przypadku mamy: a m = (0 m 3) 3 = , s(a m ) = 9(2m ) +, dla m 2 m m 2 m 2 b m = (0 m 9) 3 = , s(b m ) = 9(2m ), dla m 3. m 2 m 3 m 3 Ponadto, s(7 3 ) = s(343) = 0 = 9 +, s( 3 ) = s() = = oraz s(3 3 ) = s(297) = 9 = Niech n będzie liczbą postaci 9k + 8. W tym przypadku mamy: a m = (0 m 2) 3 = , s(a m ) = 9 2(m ) + 8, dla m 2 m m 2 m b m = (0 m 5) 3 = , s(b m ) = 9(2m ) + 8, dla m 3. m 2 m 2 m 3 Ponadto, s(8 3 ) = s(52) = 8 = , s(47 3 ) = s(03823) = 7 = oraz s(95 3 ) = s(857375) = 35 =

8 0 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany.4.2. Jeśli n 000 i n 2 = s(n) 3, to n = lub n = 27. ([Ibe] 9) Liczba n ma 9 cyfr. Wiadomo, że s(n) = 3. Ile może wynosić s(n 3 )? Odp. 9, 8 lub 27. ([Fom] 20/73) Liczby n =, 8, 7, 8, 26, 27 spełniają równość Są to wszystkie tego rodzaju liczby naturalne. s(n 3 ) = n. D. Załóżmy, że liczba naturalna n spełnia równość s(n 3 ) = n. Niech k będzie liczbą cyfr liczby n. Wtedy 0 k n < 0 k oraz 0 3(k ) n 3 < 0 3k. Stąd mamy: 0 k n = s(n 3 ) 9 3k = 27k < 0 2 k, więc 0 k 3 < k i stąd k 3. Liczba n jest więc mniejsza od 000. Wystarczy zatem tylko zbadać wszystkie liczby naturalne co najwyżej 3-cyfrowe. Wśród nich tylko liczby, 8, 7, 8, 26, 27 spełniają rozpatrywaną równość Spójrzmy na przykłady: = s(n), 3 = s(n 3 ), dla n = ; 2 = s(n), 2 3 = s(n 3 ), dla n = 2 lub n = ; 3 = s(n), 3 3 = s(n 3 ), dla n = lub n = 0; 4 = s(n), 4 3 = s(n 3 ), dla n = 0; 5 = s(n), 5 3 = s(n 3 ), dla n = ; 6 = s(n), 6 3 = s(n 3 ), dla n = Czy dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że s(n) = m i s(n 3 ) = m 3?.4.6. Czy stnieje taka liczba naturalna n, że s(n) = 00 oraz s(n 3 ) = 00 3? ([OM] Rosja 2009, citekwant 4/200 s.57). Odpowiedzi na te pytania są pozytywne. Wynika to z następującego stwierdzenia Dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że gdzie s(n) = m oraz s(n 3 ) = m 3. D. Przypomnijmy najpierw następujący uogólniony wzór Newtona: (a + + a m ) n = i,..., i s a i... aim m, i + +i m=n i + +i m=n oznacza, że sumowanie przebiega wszystkie ciągi nieujemnych liczb całkowitych (i,..., i m ) takie, że i + + i m = n. Występujące tu współczynniki postaci i,..., i m są liczbami (naturalnymi) zdefiniowanymi jako i,..., i s = (i + i i s )!. i!i 2!... i s!

9 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany Szczegóły znajdziemy w [N] w podrozdziale o uogólniononych symbolach Newtona.. Niech teraz m będzie daną liczbą naturalną i niech n = m 0 4k = m. k= Suma cyfr liczby n jest równa m. Podnosząc n do trzeciej potęgi, otrzymujemy: ( ) n 3 = i,..., i m 0 i4 +i i m4 m. i + i m=3 Jeśli i,..., i m są nieujemnymi liczbami całkowitymi, których suma jest równa 3, to są to liczby mniejsze od 4. Każdy więc uogólniony symbol Newtona i,..., i m, występujący w równości ( ), jest jedną z cyfr, 3 lub 6. Z jednoznaczności przedstawienia liczb w systemie numeracji o podstawie 4 wynika, że potęgi dziesiątki, występujące po prawej stronie równości ( ), są parami różne. Liczba n 3 zbudowana jest więc z cyfr 0,, 3, 6. Zatem s(n 3 ) = i,..., i m = i,..., i m i i2 im = ( ) 3 = m 3, i + i m=3 i + i m=3 Mamy więc: s(n) = m oraz s(n 3 ) = m 3. Rozpatrzmy ciągi postaci n, D(n), D(D(n)), D(D(D(n))),, gdzie D : N N jest funkcją przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n sumę jej cyfr podniesioną do trzeciej potęgi, tzn. D(n) = s(n) 3. Spójrzmy najpierw na kilka przykładów takich ciągów: 5, 5 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, ; 6, 6 3, 9 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, ; 22, 4 3, 0 3,,,,,, ; 49, 3 3, 9 3, 28 3, 9 3, 28 3, 9 3, 28 3, ; 59, 4 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, 7 3, ; 8, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, ; 9, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3,. W każdym z tych ciągów pojawił się wyraz należący do zbioru { 3, 8 3, 7 3, 8 3, 9 3, 26 3, Udowodnimy, że tak jest zawsze Niech D : N N będzie funkcją określoną wzorem D(n) = s(n) 3, dla n N. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna k taka, że D k (n) jest jedną z liczb: 3, 8 3, 7 3, 8 3, 9 3, 26 3, D. (). Najpierw udowodnimy, że jeśli m 7 jest liczbą naturalną, to (9m) 3 < 0 m. Zrobimy to metodą indukcji matematycznej ze względu na m. Dla m = 7 mamy: (9m) 3 = < 0 6 = 0 m. Niech m 7 i niech (9m) 3 < 0 m. Wtedy ( ) ( 9(m + ) (m + m ) 3 = ( ) 3 8 m 3 < m < 0 0 m = 0 m,

10 2 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany a zatem, (9(m + )) 3 < 0 (m+) i to kończy nasz indukcyjny dowód. (2). Teraz wykżemy, że jeśli n 0 6, to D(n) < n. Załóżmy, że n 0 6 i niech m będzie liczbą cyfr liczby n. Wtedy m 7 oraz 0 m n. Korzystamy z nierówności udowodnionej w punkcie () i mamy: D(n) = s(n) 3 (9m) 3 < 0 m n, a więc D(n) < n. (3). Teraz wystarczy zbadać tylko te wszystkie liczby naturalne n, które są mniejsze od 0 6. W tym celu wystarczy tylko zbadać wszystkie sześciany mniejsze od 0 6, czyli liczby 3, 2 3,..., 3. Sprawdzamy to na przykład za pomocą komputera. W każdym przypadku widzimy, że zachodzi rozważana teza..5 Końcowe cyfry sześcianów ).5.. Niech (c p, c p,..., c, c 0 (gdzie p 0) będzie ciągiem cyfr układu dziesiętnego, przy czym nwd(c 0, 0) =. Istnieje wtedy liczba naturalna n taka, że końcowymi cyframi liczby n 3 są odpowiednio cyfry c p, c p,..., c 0. ([OM] Ukraina 8). D. Indukcja ze względu na p 0. Dla p = 0 jest to oczywiste, gdyż 3 =, 7 3 = 243, 3 3 = 27 oraz 9 3 = 729. Niech p > 0 i załóżmy, że (c p,..., c, c 0 ) jest danym ciągiem cyfr takim, że nwd(c 0, 0) =. Na mocy indukcji istnieje liczba naturalna m taka, że końcowe cyfry liczby m 3 tworzą ciąg (c p, c p 2,..., c, c 0 ). Niech a będzie cyfrą liczby m 3 stojącą na p-tym (licząc od końca) miejscu, tzn. m 3 =... ac p c p 2... c c 0. Niech b {0,,..., 9 będzie taką cyfrą, że a + b c p (mod 0). Ponieważ ostatnią cyfrą liczby m jest, 3, 7 lub 9, więc ostatnią cyfrą liczby 3m 2 jest 3 lub 7. Istnieje zatem liczba k {0,, 2,..., 9 taka, że ostatnią cyfrą liczby 3m 2 k jest b. (Mamy bowiem, modulo 0, następujące równości: 0 3 = 0, 3 = 3, 2 3 = 6, 3 3 = 9, 4 3 = 2, 5 3 = 5, 6 3 = 8, 7 3 =, 8 3 = 4, 9 3 = 7 oraz 0 7 = 0, 7 = 7, 2 7 = 4, 3 7 =, 4 7 = 8, 5 7 = 5, 6 7 = 2, 7 7 = 9, 8 7 = 6, 9 7 = 3.) Niech n = m+0 p k. Wtedy n 3 = m 3 +3m 2 k 0 p +3mk 2 0 2p +k 3 0 3p i jest oczywiste, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą ciąg (c p, c p,..., c, c 0 ) Znaleźć liczbę naturalną n taką, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 87. Odp. n = , n 3 = ([OM] Ukraina 8) Przykłady liczb naturalnych n takich, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą daną liczbę m. m n n (Maple i dowód.5.).

11 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany Jeśli liczba naturalna n ma w zapisie dziesiętnym na końcu s dziewiątek, to liczba n 3 ma na końcu co najmniej s dziewiątek Jeśli ostatnią cyfrą liczby n 3 jest 5, to przedostatnią cyfrą tej liczby jest 2 lub () Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 25, to trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę 25 lub 625. (2) Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 75, to trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę 375 lub 875. (3) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 25 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 5. (4) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 375 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 5. (5) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 625 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k (6) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 875 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k Liczba n 3 nie może mieć w zapisie dziesiętnym końcówki 4375, To samo z końcówkami: 4375, 0625 oraz Własności sześcianów.6.. Każda liczba postaci n 3 jest sumą n kolejnych liczb nieparzystych. ([WyKM] 56-52). D. 2 3 = 3 + 5, 3 3 = , 4 3 = ,. Niech a = n(n ). Wtedy (a + ) + (a + 3) + + (a + 2n ) = n Z równości ( ) n(n + ) 2 ( n(n ) n 3 = 2 2 wynika, że każdy sześcian liczby naturalnej jest różnicą dwóch liczb kwadratowych. ([S50] 50) W ciągu kolejnych liczb naturalnych, 2, 3... wykreślamy co trzecią liczbę. W nowym ciągu, 2, 4, 5, 7, 8,... każdy wyraz zastępujemy sumą tego wyrazu i wszystkich poprzedzających go wyrazów. W nowym ciągu, 3, 7, 2, 9, 27, 37, 48, 6,... wykreślamy co drugi wyraz i następnie każdy wyraz nowego ciągu zastępujemy sumą tego wyrazu i wszystkich go poprzedzających. Otrzymany w ten sposób ciąg jest ciągiem wszystkich kolejnych sześcianów liczb naturalnych. ([Mat] -2/955 78). ) Jeśli liczby x, y i x2 + y xy całkowitej. ([OM] Estonia 6, [Pa97]). są całkowite, to x2 + y xy jest sześcianem liczby.6.5. Niech a, b, c Z. Jeśli nwd(a, c) = i bc(a 2 b 2 ) = a(c 2 b 4 ), to a jest sześcianem. ([MG] 88(5)(2004) s.66).

12 4 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany.6.6. Jeśli x, y, z, a, b, c są niezerowymi liczbami takimi, że x + y + z = a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 x 3 + y 3 + z 3 = abc xyz. ([Dlt] 4/9) Niech a N i niech x n = n 3 + a dla n N. Wtedy: ) () nwd (x n, x n+, x n+2 = dla n N; (2) jeśli a jest sześcianem, to istnieje n takie, że nwd(x n, x n+ ) > ; (3) nie istnieje takie a, że nwd(x n, x n+ ) = dla każdego n N; (4) jeśli p jest liczbą pierwszą dzielącą nwd(x n, x n+ ) dla pewnego n, to p 27a 2 +. ([Kw] 5/9 M680)..7 Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów.7.. Dla każdej liczby naturalnej n > 32 pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej jeden sześcian liczby naturalnej. ([Mat] 5/952 55, [S64] 67, [S68] 02). D. Zauważmy najpierw, że jeśli k 4, to (k+) 3 < 2k 3. Istotnie: 2k 3 (k+) 3 = k 3 3k 2 3k > k 3 3k 2 4k = k(k 4)(k + ) 0. Jeśli 33 n < 64, to n < 4 3 < 2n. Niech teraz n 64 i niech k będzie największą liczbą naturalną taką, że k 3 n. Wtedy (k + ) 3 > n oraz k 4. Mamy zatem: n < (k + ) 3 < 2k 3 2n Dla każdej liczby naturalnej n > 9 pomiędzy liczbami n i 3n istnieje co najmniej jeden sześcian liczby naturalnej. ([AndG] 63) Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych a, b takich, że liczby a b i a 2 + 3b 2 + są sześcianami liczb całkowitych. ([OM] St Petersburg 7) Istnieje nieskończenie wiele sześcianów postaci 7 n + 7 m, gdzie n i m są różnymi liczbami naturalnymi. Każda bowiem liczba jest sześcianem równym (2 7 s ) s + 7 3s.7.5. Istnieje nieskończenie wiele sześcianów postaci 26 n + 26 m, gdzie n i m są różnymi liczbami naturalnymi. Każda bowiem liczba jest sześcianem równym (3 26 s ) s s.7.6. Jeśli w nieskończonym postępie arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieje sześcian liczby naturalnej, to takich sześcianów w tym postępie istnieje nieskończenie wiele.

13 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany Nie ma trzech różnych sześcianów liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny. ([S59] 30)..7.8 (Maple). Przykłady trójek (a, b, c), liczb naturalnych takich, że a < b < c i wszystkie liczby ab + c, bc + a, ca + b, są sześcianami. (, 2, 62), (, 2, 95), (, 27, 37), (, 37, 475), (2, 5, 34), (2, 7, 30), (3, 0, 34), (5, 29, 367), (8, 27, 296), (8, 37, 26), (9, 20, 36), (0, 5, 66), (2, 9, 5), (2, 39, 44)..8 Różnice dwóch sześcianów = = , 728 = = ([Mat] 3/984 80) Liczba 72 jest najmniejszą liczbą naturalną mającą dwa różne rozkłady na różnicę dwóch sześcianów liczb naturalnych. ([Mat] 3/984 80) = = = ([Mat] 3/984 80) = = 38 3 ( ) 3. ([Dlt] 4/ ) Niech x Z. Jeśli (x + ) 3 x 3 = n 2 dla pewnego naturalnego n, to n = a 2 + (a + ) 2 dla pewnego a Z. Przykład: = 3 2, 3 = ([IMO] Longlist 97). A. Górski, Trzy równe różnice dwóch sześcianów, [Dlt] 4/ Odwrotności sześcianów Odwrotnościami sześcianów zajmowaliśmy sią już w pierwszej książce serii Podróże po Imperium Liczb [N-] (lub [N-a]). W tym podrozdziale przypominamy tylko pewne zagadnienia pochodzące z tej książki..9.. Równanie x 3 + y 3 = nie ma rozwiązań naturalnych. z3 D. Przypuśćmy, że takie naturalne rozwiązanie (x, y, z) istnieje. Wtedy po pomnożeniu stronami przez (xyz) 3 otrzymujemy równość (yz) 3 + (xz) 3 = (xy) 3. Dobrze wiadomo jednak, że równanie x 3 + y 3 = z 3 nie ma rozwiązań naturalnych.

14 6 Andrzej Nowicki, Sześciany, bikwadraty.... Sześciany = 2 2, = 520 2, (4 3 6) 3 + (9 3 6) 3 = ( ) Równanie x 3 + y 3 = ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. z Jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi takimi, że x 3 + y 3 =, to nwd(x, y) 2. z =. Zauważmy, że nwd(9, 2, 72) = 3 oraz 3 8. Inne przykłady 83 tego typu: () =, nwd(95, 7, 570) = 9 oraz (2) =, nwd(40, 70, 340) = 0 oraz (3) =, nwd(20, 252, 266) = 2 oraz 2 7. (Maple) Równanie x 3 + y 3 + z 3 = ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. t3 D. Z poprzednich przykładów wynika, że co najmniej jedno rozwiązanie naturalne (x, y, z, t) istnieje. Każda więc czwórka postaci (ax, ay, az, at), gdzie a N, też jest rozwiązaniem naturalnym rozpatrywanego równania = 0 3. Równość tę otrzymujemy dzieląc obie strony znanej równości = 6 3 przez Istnieje więc rozwiązanie naturalne równania x 3 + y 3 + z 3 = t 3 takie, że nwd(x, y, z) =. Czy istnieje inne tego typu rozwiązanie naturalne? Nie znam odpowiedzi na to pytanie. ( ) Dla każdej liczby naturalnej s 3 równanie x 3 0 = x x 3 s ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. ([S64] 5) n 3 < 5. ([IMO] Longlist 969, [OM] Grecja 2005) n 3 <. ([OM] Irlandia 0). 2 ( ) ( 2 3 ) ( 3 3 ) 4 3 ( ) n 3 >. ([IMO] Longlist 97). 2

15 Sześciany, bikwadraty.... Sześciany 7.0 Różne fakty i zadania z sześcianami.0.. Cztery różne przedstawienia liczby 025 w postaci x 2 + y 3 : 025 = = = = ([MG] 529(200) 67)..0.2 (Maple). Cztery różne rozkłady postaci x 2 + y = = = = , = = = = , 8385 = = = = , = = = = = = = = = ; pięć różnych rozkładów postaci x 2 + y 3. (Maple) = = = = = = ; sześć różnych rozkładów postaci x 2 + y 3. (Maple) Jeśli f(x) = 3x 2 3x +, to liczby są sześcianami. (L. Kurlandczyk 9). f( ), f(0), f(), f(2).0.6. Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych, dla których liczby a 3 + 6ab +, b 3 + 6ab + są sześcianami. Odp. (a, b) = (, ). ([OM] Polska 9/2000) Dla dowolnej liczby rzeczywistej r > 0 istnieją liczby naturalne a i b takie, że b 3 < a 2 < b 3 + rb. ([IMO] Shortlist 9, [Zw] 200). Agnieszka Bajak, Wykresy płaskich krzywych algebraicznych trzeciego i czwartego stopnia, [Pmgr] 9.

16 8 Sześciany, bikwadraty.... Sześciany Literatura [AndG] T. Andreescu, R. Gelca, Mathematical Olympiad Challenges, Birkhäuser, Boston - Basel - Berlin, [Bedn] W. Bednarek, Zbiór Zadań dla Uczniów Lubiących Matematykę, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk, 5. [Djmp] D. Djukić, V. Janković, I. Matić, N. Petrović, The IMO Compendium. A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads: , Problem Books in Mathematics, Springer, [Dlt] Delta, popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczno-astronomiczny. [Fom] D. V. Fomin, Sankt-Petersburskie Olimpiady Matematyczne (po rosyjsku), Politechnika, Sankt- Petersburg, 4. [Ibe] Iberoamerican Mathematical Olympiad. [IMO] Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna. [Je88] S. Jeleński, Śladami Pitagorasa, wydanie 8, PSiP, Warszawa, 988. [Kw] Kwant, popularne czasopismo rosyjskie. [MaS] Matematyka w Szkole, popularne czasopismo rosyjskie. [Mat] [MG] Matematyka, polskie czasopismo dla nauczycieli. The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne. [Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America. [N-] A. Nowicki, Liczby Wymierne, Podróże po Imperium Liczb, cz., Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2008; Wydanie drugie 202. [N-a] A. Nowicki, Liczby Wymierne, Podróże po Imperium Liczb, cz.. Wydanie drugie. Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 202. [N-2] [N-3] [N] [OM] A. Nowicki, Cyfry Liczb Naturalnych, Podróże po Imperium Liczb, cz.2, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2008; Wydanie drugie 202. A. Nowicki, Liczby Kwadratowe, Podróże po Imperium Liczb, cz.3, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie pierwsze 2009; Wydanie drugie 202. A. Nowicki, Silnie i Symbole Newtona, Podróże po Imperium Liczb, cz., Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 20. Olimpiada Matematyczna. [Pa97] H. Pawłowski, Zadania z Olimpiad Matematycznych z Całego Świata, Tutor, Toruń, 7. [Pmgr] Praca magisterska, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu, Wydział Matematyki i Informatyki. [S50] W. Sierpiński, Teoria Liczb, Warszawa - Wrocław, 950. [S59] W. Sierpiński, Teoria Liczb II, PWN, Warszawa, 959. [S64] [S68] W. Sierpiński, 200 Zadań z Elementarnej Teorii Liczb, Biblioteczka Matematyczna 7, PZWS, Warszawa, 964. W. Sierpiński, Arytmetyka Teoretyczna, (wydanie 4), Biblioteka Matematyczna 7, PWN, Warszawa, 968. [WyKM] W. A. Wyszenskij, I. W. Kartaszow, W. I. Michaiłowskij, M. I. Jadrenko, Zbiór Zadań Kijowskich Olimpiad Matematycznych (po rosyjsku), , Kijów, 984. [Zw] Zwardoń, Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej.