Podróże po Imperium Liczb
|
|
|
- Nadzieja Kaczor
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podróże po Imperium Liz Część. Nierównośi Rozdził 6 6. Jednorodne nierównośi wymierne Andrzej Nowiki 4 mj 0, Spis treśi 6 Jednorodne nierównośi wymierne 7 6. Jednorodne nierównośi wymierne n zmiennyh Nierówność Nesitt i jej uogólnieni Jednorodne nierównośi wymierne dwóh zmiennyh Jednorodne nierównośi wymierne trzeh zmiennyh Jednorodne nierównośi wymierne ztereh zmiennyh Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liz npisno w edytorze L A TEX. Spisy treśi tyh książek orz pewne wyrne rozdziły moż znleźć n internetowej stronie utor:
2
3 6 Jednorodne nierównośi wymierne oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6. Jednorodne nierównośi wymierne n zmiennyh oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6... x y x y, dl, > 0, x, y R. D. [MOD] 4.Z ozywistej nierównośi y x 0 otrzymujemy kolejno: x y xy, x x y y x xy y, x y x y. Wystrzy terz osttnią z tyh nierównośi podzielić stronmi przez Jeśli λ,..., λ n > 0 orz x,..., x n R, to Równość zhodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x λ x λ x n λ n x x n λ λ n. = = xn λ n. [MOD] 5. D. [MOD] 4-5. Indukj ze względu n n. Dl n = jest to ozywiste. Nieh n i złóżmy, że rozwżn nierówność jest prwdziw dl n. Mmy wtedy n moy 6..: i to końzy dowód. x x n x n x x n x n x x n x n λ λ n λ n λ λ n λ n λ λ n λ n Podmy terz kilk zstosowń nierównośi [MOD] 5. x x n x x n, dl dodtnih liz x,..., x n, y,..., y n. y y n x y x n y n D. x x n = x x n x x n. y y n x y x n y n x y x n y n x y x n x yn x n, x x n y y n dl dodtnih liz x,..., x n, y,..., y n. [MOD] 5. D. x y x n yn = x y x x n y n x n x x n x x n. y y n 7
4 74 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne x x x n n x x n, dl x,..., x n > 0. [Mt] / D. Nierówność 6.. dl λ = = λ n = Jeśli x,..., x n, y,..., y n są dodtnimi lizmi rzezywistymi tkimi, że x x n = y y n, to D. [MOD] 6. x x y x x n x y x n y n x x n. [A-P] 99. x n x n y n x x n x x n y y n = x x n. Szzególnym przypdkiem nierównośi 6..6 jest nstępn nierówność x x x n x x x x x n x x x n, dl x,..., x n > 0. [Crux] 998 s Jeśli x,..., x n > 0, to: S x S x S x n gdzie S = x x n, [Mt] 5/959 96; [WJ] 4786; n n S, n < 4 x x x x x x n x n x x x n [Nord] 999., x n x x x n n x x x n x x n n, dl x,..., x n > 0..6., [MM] x x n x x x n x x xn x x x n n x x n, x dl x,...,x n > 0. M. Benze, [Crux] z x x x n n, x x x n 4 dl x,..., x n [, ], gdzie 0 < <. [Kw] 7/979 5, [Khr], [Khr]. x n x x x n 6... x x x x x x 4 x n x nx x n, n x x dl x,..., x n > 0. [IMO] Shortlist 985, [Djmp] s.9478, [OM] Polsk 990.
5 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne x x x n x x x dl x,..., x n > 0. T. Mitev, [Crux] z.97. x x x x n x n x n, x x x x x x x x x x n x n x x dl x,..., x n > 0. [OM] Węgry-Izrel 00, [KoM] 004 B700, [Mild]. x x n x x x n, Jeśli x n x n x > 0, to: x x x x x n x n x nx x x x n, [OM] St Petersurg 000 9, [Ko04] 6; x x 4 x x x x x x x n x n x nx x x x n, [OM] St Petersurg 000; x n x x n x n x x x x 4 x n x x nx x x x n, [OM] St Petersurg 000; x x x n x x 4 x x n x x x x n x n. [Uiu] 00, [Ko0] s.07. x x x n x n x x x n x x s x s xs x s xs n x s xs n n x s xs x s xs x s xs n x s n dl s orz x,..., x n > 0. [Cmj] , [Mt] 4/ xs n x s, D. Dl dowolnyh liz rzezywistyh, zhodzi nierówność s. s Wstwiją = x i, = x i, dl i =,..., n, otrzymujemy n nierównośi. Rozptrywną nierówność otrzymmy po dodniu stronmi wszystkih tyh n nierównośi. x x x n x n x x x n, x x x n x dl s orz x,..., x n > 0. [OM] Chiny 984. D. Jest to nierówność 6..6 dl s =. Wynik to również ntyhmist z 6... Inne dowody znjdziemy, n przykłd, w [Liu] s ztery różne dowody. x x x n x n x x x n x x... x n n, dl x,..., x n > 0. [OM] Kijów 996. x x x n x n x x x x x x n x n, dl x,..., x n > 0. [Mt] /005 z.6.
6 76 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne Dl dodtnih liz x,..., x n, y,..., y n, zhodzi nierówność x y x x n y y n x y x n y n x ny n. x y x n y n M. Kuzm, [Crux] 997 s. z Dl dodtnih liz x,..., x n zhodzi nierówność n i<j 4 x i x j x i<j i x j. [IMO] Longlist , [Djmp] s.7. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6. Nierówność Nesitt i jej uogólnieni oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6.. Nesitt 90. Dl dodtnih liz rzezywistyh,, zhodzi nierówność [Str], [BoW] s.8, [Siw] 6.. D. Nieh x =, y =, z =. Mmy wtedy: = x y y y x z z z y x x z =. Wykorzystliśmy nierówność..8. U. Dziesięć różnyh dowodów tej nierównośi znjdziemy w rtykule Hojoo Lee [MC] W [LeH] jest dowodów. Dziesięć różnyh dowodów znjdziemy również w [Ko04] strony 9 4. Nierówność 6.. jest szzególnym przypdkiem nstępująej ogólniejszej nierównośi Jeśli u > 0, v > 0, to u v u v u v u v dl dodtih liz rzezywistyh,,. D. [Brd] 49, 7. Nieh x = uv, x = uv, x = y = u v, y = u v. Wtedy: uv, y = u v, x y x y x y =, x x x = uv uv uv, y y y = u v uv i tez wynik z nierównośi Cuhy ego: x y x y x y x x x y y y ptrz.6..
7 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne s s s, dl,, > 0, =, s. [AnC]. dl,, > 0. [MM] , dl,, > d d d, dl,,, d > 0. [Kw] 7/985 47, / U. W książe [Ko04] n stronh 4-9 znjduje się 8 różnyh dowodów tej nierównośi , dl,..., 5 > 0. [Ko00]. U. W książe [Ko04] n stronh 9-4 znjduje się 5 różnyh dowodów tej nierównośi [Ko04] [Khr] , dl,..., 6 > n n 4 n n, dl,..., n > 0. n Pewne uogólnienie nierównośi Nesitt 6.. zproponowł w 954 roku H. S. Shpiro w [Mon] Prolem 460, stron Prolem Shpiro. Rozwżmy nierówność: dl,..., n > 0. 4 n n n n, Z powyższyh fktów wynik, że nierówność t jest prwdziw dl n =, 4, 5, 6. Jeśli jest fłszyw dl pewnego nieprzystego n, to jest również fłszyw dl n. Jeśli jest fłszyw dl pewnego n, to jest również fłszyw dl n. 4 D. Djekoviz 96. Dl n = 8 jest prwdziw. 5 P. Novosd 967. Dl n = 0 jest prwdziw. 6 V. Levin, E. Godunov 974. Dl n = jest prwdziw. 7 M. Lighthill, A. Zluf. Dl n = 4 jest fłszyw. 8 Nierówność t jest fłszyw dl wszystkih przystyh n 4. Dl pozostłyh liz przystyh n 4 jest prwdziw. 9 L. Deykin 97. Dl n = 5 jest fłszyw. 0 K. Trosh 989. Dl n = jest prwdziw. Nierówność t jest fłszyw dl wszystkih nieprzystyh n 5. Dl pozostłyh liz nieprzystyh n jest prwdziw. [MiV] -8, [M-pf] , [Ko04].
8 78 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 6... < 6... d 4 [WJ] 869, [Dlt] 0/994, [Ko04] [TT] n [Kw] / n d d e n n n n n n n n e < 4, dl,,, d, e > 0. [AuP] 000. e n > n 4, dl,..., n > 0. n n, dl n,,..., n. n n, dl n 4,,..., n > Dinnd Rozwżmy nierówność: dl,..., n > n n Nierówność t jest prwdziw dl n = 4, 5, 6, 7, 8. n n, Jeśli jest fłszyw dl pewnego n, to jest również fłszyw dl n. Dl n = 5 jest fłszyw. [Ko04] n S S S n [Str] s.7, [Kw] 9/97, [OM] Austrli 99, [Crux] 997 s.4. n n, dl,..., n > 0, gdzie S = n. k k k n n S S S n n k, dl,..., n > 0, 0 < k, gdzie S = n. [IMO] Longlist 989. S S S n nn, n dl,..., n > 0, gdzie S = n. [OM] Austrli 99, [Crux] 997 s.4. P. H. Dinnd, Extensions of n inequlity of H. S. Shpiro, [Mon] P. H. Dinnd, On onjeture of L. J. Mordell regrding n inequlity involving qudrti forms, [Jlms] P. H. Dinnd, Some yli nd other inequlities, [Pm] J. Górniki, Nierównośi yklizne, [Gorn] L. Kurlndzyk, Prolem Shpiro, [Ko04], Hojoo Lee, Ten different proofs of n inequlity, [MC] A. M. Nesitt, Prolem 5 4, Edutionl Times, 90, 7-8. D. S. Mitrinović, O nierównośi Shpiro, [Mitr], [Mit] D. S. Mitrinović, J. E. Pećrić, A. M. Fin, Shpiro s inequlity, [M-pf], D. S. Mitrinović, P. M. Vsić, Cyli inequlities, [MiV], -8. F. H. Northover, An invlid inequlity, [Mon]
9 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 79 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6. Jednorodne nierównośi wymierne dwóh zmiennyh oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6... x y x y 9, dl x, y > 0. [OM] Rosj xy 6... Dl x, y > 0: x y 4, [Kw] /997 4; x y x 4 y 9, [Kw] /997 4; x y x y x y y x y x 4, [Mth] 006. x y 6... x 4 y 4 x6 y y6, dl x, y > x oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6.4 Jednorodne nierównośi wymierne trzeh zmiennyh oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Jeśli,, > 0, to: ,.6.9, [Mt] /994 6;, [MOD] 4; >, gdy 0 < < <, [OM] Moskw 99/994;, 7..5, [Mth] 006; k k k k k, dl dowolnego k > 0, Nguyen Viet Anh, [Pkh] s.49; k,.6.9, [Nord] 987, [P97]; 9, 7..5; 9 0, [Pkh] s.9; 4, [Blk] 005;, [Ko00];
10 80 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne , [OM] Ukrin 005;,.6.9, [OM] Knd 00, [Ko0] 49;,.6.9, 6..6, [Zw] 00;,.6.9, 6..6, [Mt] 4/994 9; 0, gdy > 0, [OM] Wietnm 99; ,.6.9, [Ko0] 50. xy z yz x zx y x y z, dl x, y, z 0. [MO] z.556. U. Anlogizn nierówność dl ztereh liz x, y, z, t nie zhodzi. Przykłd: x =, y = 6, z = 6, t = 8. [Ko04] x yz x, dl x, y, z,,, > 0, to [Ko0]. y z x y z, dl,,, x, y, z, > 0. [OM] Biłoruś 000. x y z D. [AF00] 0. Korzystmy z nierównośi Hölder:, x x x y y y z z z x y z x y z x y z zhodząej dodtnih liz rzezywistyh ptrz.7.. Podstwimy: x x = / z, y = y = y =, z = x, z = y, z = z i mmy: = / x, x = / y, x y x y z. z Dzielimy przez x y z i otrzymujemy tezę , dl,, > 0. [Ris]. D. [Ris]. =, =, Po dodniu do sieie tyh trzeh nierównośi otrzymujemy tezę. = [OM] USA 997, [RiM] July 00. dl x, y, z > 0.
11 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne Jeśli x, y, z > 0, to: x y y z z x 0, V.Cirtoje, Nguyen Viet Anh, [Pkh] s.54; x y z x y y z z x x y z 6, [Pkh] s.67; xy yz zx x y y z z x 9, [RiM] July 00; 4xy yz zx x y y z z x, [Pkh] s.49; xy yz zx yx y zy z xz x 7, [MO] 00 z.6; x y z 4x xy 4y 4y yz 4z 4z zx 4x 9 7x y z, Vsile Cirtoje, [Mild] , dl,, > 0. [OM] Irlndi 998, [Khr], [Khr]. D. Wynik to z fktu.5.7 zstosownego do wypukłej funkji f : 0, R, fx = x Jeśli,, > 0, to: >, [Siw] 76; >, [Kw] /997 4; 9, [OM] Irlndi 998; 8 8 8, [IMO] Longlist 967, [Djmp] s.4755, [Crux] z.4, [Siw] 8; x x x x, gdzie x =, [OM] Mołdwi 998; Phm Kim Hung [Pkh] s.45; , [AnC];, [Blt] 004;,, Hojoo Lee, [Crux] z.580;
12 8 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 0 [RiM] July 00; 9 4, Dl dodtnih liz,, zhodzą nstępująe nierównośi , [Ko04] 7;, [AnC], [MOD] ;, [OM] Indie 00, [Pkh] s.9;, [Pkh] s.9;, [OM] Mołdwi 00; 0, [MS] 4/99 z.797 [Ko00];, 6.., [OM] Czehy-Słowj 999;, 6..; 9 4, 6..; 0, Phm Kim Hung, [Pkh] s.6; 9, 6..9, [BoW] 7 s > 0, dl > > > 0. [Pie] Dl dodtnih liz,, zhodzą nstępująe nierównośi., [Pkh] s.4;, [OM] Mołdwi 999; [OM] Bośni Heregowin 000;,
13 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 8 4, Phm Kim Hung [Pkh] s.45; 5 6, [OM] Rosj 998; Phm Kim Hung [Pkh] s.5; 7 λ Phm Kim Hung [Pkh] s.59; λ 0, 0, dl 0 λ, λ, [OM] Mołdwi 999;, [OM] Moskw 999/000; 4 6, P.Sholze, D.Grinerg, [Pkh] s.07; 5, [OM] Jponi 997, [RiM] July 00, [Crux] 00 s.5; 4 5 8, [OM] USA 00; 7, [OM] St Petersurg 995;, Phm Kim Hung, [Pkh] s.0;, G. Perz, [Crux] z.976; 6 0, [Pkh] s.0; 7 9, [Pkh] s.80; , [OM] Irn 996, [Crux] 997 s.67., [Pkh] s.8; Dl prmi różnyh liz dodtnih,, zhodzą nierównośi:,
14 84 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne Le Huu Dien Khue, [Pkh] s.5; [OM] Wietnm 008, [ChKh] 46, -. 4, Dl dodtnih liz,, zhodzą nstępująe nierównośi., [OM] Wietnm 005; 8 5, Phm Kim Hung, [Pkh] s.4; 4 Nguyen Vn Thh, [Pkh] s.6; 5 6,, [MOD] 4; 9, Hojoo Lee, [Crux] z.645., [Pkh] s.08; n n n n, dl,, > 0, n N. [MS] /998 z.496. m m m m m m m m n n dl m n orz,, > 0. T. Zvonru, [Crux] z.970. m n n n n n n n, , dl,, > 0. [Nord] 005. D. [Stee], 7. = = Wykorzystliśmy nierówność Cuhy ego.6...
15 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne Dl dodtnih liz,, zhodzą nstępująe nierównośi: , Mihel Rozenerg, [Mild];, [OM] IMSA Intrmurl 000; 4, [IMO] Longlist 970, [Djmp] s.65;, [Kw] 6/008 4;, [AnC]; , [Pkh] s.97; 9 [OM] Ukrin 997, [Crux] 997 s.76; 0, Hojoo Lee, [Crux] z.58; ; [Ko0] 55, 4, dl > 0,, dl,, > 0, [Ko00]; [AnC], [Crux] 005 s.79;,, [Pkh] s.; Nguyen Viet Anh, [Pkh] s.0; 4,. V. N. Murty, [Crux] z y z z x dl x, y, z,,, > 0. W. Jnous, [Crux] z.67. xy yz zx x y, x y z , dl,, > 0. [Kw] 6/986 6, /997 4, [Dlt] 9/989 M9, [KoM] B
16 86 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne D. Wynik to z nierównośi, któr jest konsekwenją nierównośi ,,, > 0. [Mit] s [OM] Mołdwi 004., dl,, > 0. [OM] Ukrin 996., dl,, > 0. 4 n n n n n, dl,, > 0. [OM] Grej 987, [P97] n n r r n n n n r V.Cirtoje, Phm Kim Hung [Pkh] s kn k kn k r r r dl r., dl,, > 0. [MS] 4/99, [Ko04] 7. kn k n n n, dl,, > 0, n, k N. [OM] Seri-Czrnogór 00. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 6.5 Jednorodne nierównośi wymierne ztereh zmiennyh oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Jeśli,,, d > 0, to: d d, [OM] Austri 005; d d d d 4 d, [Pkh] s Jeśli,,, d > 0, to: d d d 4, [Pkh] s.; d d d, Phm Kim Hung [Pkh] s.4; d Phm Kim Hung [Pkh] s d,
17 Andrzej Nowiki, Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne Jeśli,,, d > 0, to: [Kw] /997 4; 4 d d d d 4 d d 6, [Str] s.7; d d d d 6, [Str] 4; d d Phm Kim Hung [Pkh] s Jeśli,,, d > 0, to: d d d d d 4 d, [Mth] 006; d 4 d, d d d d d,.6.9, [Ko0]; d d d d d d,.6.9, [Ko0] Dl dodtnih liz,,, d zhodzą nstępująe nierównośi. d d d d d [IMO] Shortlist 99, [OM] USA 99, [P97]; d 4 ; d d d, [Ko04] 7; d d d, 4 < d d d <, [IMO] 974, [Br80] 95; d 5 d d d 4, [IMO] Shortlist 97, [Blt] 996; d 6 d d d d 0, [AnC], [OM] Chorwj 009; 7 0. [Dlt] /00 z.448; 8 d d d d d V.Cirtoje, [Pkh] s.66; 9 k k d dl dowolnego k 0, [Pkh] s.66. d d 9, k kd k, d,
18 88 Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne d d, dl,,, d > 0. [OM] Wietnm 96, [ChKh], 85. D. Stndrdowe przeksztłeni sprowdzją tę nierówność do równowżnej ozywistej nierównośi d 0. d d d d d d d, dl,,, d > 0. D. d = d d = d d d d d d d d d d d d d d. Wykorzystliśmy nierówność Cuhy ego.6.. d Dl dodtnih liz,,, d zhodzą nstępująe nierównośi. d d d, [Ko04] 7; d d d d d 4, [Pkh] s.94; 9 d d d d d d, d [Cmj] 978 s.8, [OMm] 997/998; 4 [IMO] Shortlist 008; 5 d d d d d d d d d d d, [Pkh] s.8. 0, Litertur [A-P] Asin Pifi Mthemtil Olympid. [AF00] T. Andreesu, Z. Feng, G. Lee Jr., Mthemtil Olympids Prolems nd Solutions From Around the World, The Mthemtil Assoition of Ameri, 00. [AnC] T. Andreesu, V. Cirtoje, G. Dospinesu, M. Lsu, Old nd New Inequlities, GIL Pulishing House, 004.
19 Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne 89 [AuP] Austriko-Polskie Zwody Mtemtyzne. [Blk] Blkn Mthemtil Olympid. [Blt] Zwody Mtemtyzne Pństw Błtykih. [BoW] W. G. Bołtiński, I. J. Wilenkij, Symetri w Algerze po rosyjsku, Nuk, Moskw, 967. [Br80] J. Browkin, Zdni z Olimpid Mtemtyznyh, tom 5, -5, 69/70-7/74, WSiP, Wrszw, 980. [Brd] C. J. Brdley, Introdution to Inequlities, The United Kingdom Mthemtis Trust, Hndooks, 006. [ChKh] Le Hi Chu, Le Hi Khoi, Seleted Prolems of the Vietnmese Msthemtil Olympid , Mthemtil Olympid Series 5, World Sietifi 00. [Cmj] The College Mthemtis Journl, The Mthemtil Assoition of Ameri. [Crux] Crux Mthemtiorum, Cndin Mthemtil Soiety, popolrne mtemtyzne zsopismo kndyjskie. [Djmp] D. Djukić, V. Jnković, I. Mtić, N. Petrović, The IMO Compendium. A Colletion of Prolems Suggested for the Interntionl Mthemtil Olympids: , Prolem Books in Mthemtis, Springer, 006. [Dlt] Delt, populrny polski miesięznik mtemtyzno-fizyzno-stronomizny. [Gorn] J. Górniki, Okruhy Mtemtyki, PWN, Wrszw 995. [IMO] Międzynrodow Olimpid Mtemtyzn. [Jlms] Journl of the London Mthemtil Soiety, J. London. Mth. So. [Khr] A. I. Khrrov, Around mongolin inequlity, Russin, Mtemt. Prosv., 700, [Khr] A. I. Khrrov, Around mongolin inequlity, Russin, Appendix to: St Petersurg mthemtil olympid, 00. Nevsky Dilekt, St Petersurg, 00, [Khr] A. I. Khrrov, Cuhy Bunykovsky inequlity, Russin. Appendix to: St Petersurg mthemtil olympid, 00. Nevsky Dilekt, St Petersurg, 00, 8-5. [Ko00] L. Kourlindthik, Wędrówki po Krinie Nierównośi, Aksjomt, Toruń, 000. [Ko0] L. Kourlindthik, Powrót do Kriny Nierównośi, Aksjomt, Toruń, 00. [Ko04] L. Kourlindthik, Słynne Nierównośi, Aksjomt, Toruń, 00. [KoM] KöMl, Kozepiskoli Mtemtiki Lpok, węgierskie zsopismo mtemtyzne, [Kw] Kwnt, populrne zsopismo rosyjskie. [LeH] H. Lee, Topis in Inequlities - Theorems nd Tehniques, Internet 009. [Liu] A. Liu, Chinese Mthemtis Competitions nd Olympids 98 99, Austrlin Mthemti Trust Pulitions, 998. [M-pf] D. S. Mitrinović, J. E. Pećrić, A. M. Fin, Clssil nd New Inequlities in Anlysis, Kluwer Ademi, Dordreht, 99. [MOD] R. B. Mnfrino, J. A. G. Orteg, R. V. Delgdo, Inequlities. A Mthemtul Olympid Approh, Birkhäuser, Boston - Bsel - Berlin, 009. [MS] Mtemtyk w Szkole, populrne zsopismo rosyjskie.
20 90 Nierównośi 6. Jednorodne nierównośi wymierne [Mt] Mtemtyk, polskie zsopismo dl nuzyieli. [Mth] The Mthsope. All the est from Vietnmese Prolem Solving Journls. imoompendium.om/otheromp/journ/mthsope.pdf. [MC] Mthemtis Competitions, populrne zsopismo mtemtyzne [Mild] T. J. Mildorf, Olympid inequlities, August 4, 006, [Mit] D. S. Mitrinović, Elementrne Nierównośi, PWN, Wrszw, 97. [Mitr] D. S. Mitrinović, Elementry Inequlities, P. Noordhoff LTD - Groningen, The Netherlnds, 964. [MiV] D. S. Mitrinović, P. M. Vsić, Anlyti Inequlities, Springer-Verlg, 970. [MM] Mthemtis Mgzine, populrne zsopismo mtemtyzne. [MO] Mthemtil Olympids Correspondene Progrm, Cnd, [Mon] The Amerin Mthemtil Monthly, Mthemtil Assoition of Ameri. [Nord] Nordi Mthemtil Competition. [OM] Olimpid Mtemtyzn. [OMm] Mł Olimpid Mtemtyzn. [P97] H. Pwłowski, Zdni z Olimpid Mtemtyznyh z Cłego Świt, Tutor, Toruń, 997. [Pm] Mthemtil Proeedings of the Cmridge Philosophil Soiety, Pro. Cmridge Ph. So.. [Pie] E. Piegt, Zdni Hugon Steinhus Znne i Nieznne, Oprowł Edwrd Piegt, Ofiyn Wydwniz GiS, Wrołw 005. [Pkh] Phm Kim Hung, Serets in Inequlities, Vol.. Bsi Inequlities, GIL Pulishing House, Romni 007. [Ris] S. Rist, Bsis of Olympid Inequlities, Preprint, 008. [RiM] R i M, rumuńskie zsopismo mtemtyzne. [Siw] I. H. Siwszinskij, Nierównośi w Zdnih po rosyjsku, Nuk, Moskw, 967. [Stee] [Str] [TT] J. M. Steele, The Cuhy Shwrz Mster Clss. An Introdution to the Art of Mthemtil Inequlities, Cmridge University Press, 004. S. Strszewiz, Zdni z Olimpid Mtemtyznyh, tom II, 6-0, 54/55-58/59, PZWS, Wrszw, 96. Tournment of the Towns. [Uiu] UIUC Undergrdute Mth Contest, University of Illinois t Urn-Chmpign. [WJ] N. B. Wsilev, A. A. Jegorow, Zdni Olimpid Mtemtyznyh Związku Rdziekiego po rosyjsku, , Moskw, Nuk, 988. [Zw] Zwrdoń, Oóz Nukowy Olimpidy Mtemtyznej.
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liz Część. Nierównośi Rozdził 7 7. Różne nierównośi wymierne Andrzej Nowiki 4 mj 0, http://www.mt.uni.torun.pl/~now Spis treśi 7 Różne nierównośi wymierne 89 7. Nierównośi wymierne
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 07 Ciągi rekurencyjne Rozdział 12 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Andrzej Nowicki 17 maja 2012, http://wwwmatunitorunpl/~anow Spis treści 12 Całkowitość
G i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
Parada nierówności. Marcin Fryz. 15 czerwca a + b 2. ab 2. a + b + c. 3 abc. (2)
Prd nierównośi Mrin Fryz 5 zerw 0 Rozgrzewk Udowodnić, że dl dowolnyh nieujemnyh liz,,, d zhodzą:, () () Dowód Pierwszą nierówność w () możemy podnieść równowżnie do kwdrtu i zstosowć wzór skróonego mnożeni:
Szkice rozwiązań zadań zawody rejonowe 2019
XVI Śląski Konkurs Mtemtyzny Szkie rozwiązń zdń zwody rejonowe 9 Zdnie. Znjdź wszystkie lizy pierwsze p, dl któryh liz pp+ + też jest lizą pierwszą. Rozwiąznie Jeżeli p, to pp+ + 3 + i jest to liz złożon.
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 09. Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi Rozdział. Sześciany Andrzej Nowicki 24 kwietnia 202, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści Sześciany 5. Cyfry sześcianów..................................
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Funkcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział. Ciągi komplementarne Andrzej Nowicki 16 kwietnia 013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści Ciągi komplementarne
zadaniowy Termin nadsyłania rozwiązań upływa 31 sierpnia 2005 r.
Konkurs zdniowy ZADANIA KONKURSOWE 646. Jk funkj? Nieh Z będzie zbiorem lizb łkowityh. Wyznzyć wszystkie funkje f: Z Z, spełnijąe wrunek 3 f(x) - 2 f( f(x)) = x dl kżdej lizby łkowitej x. Zpożyzenie 647.
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Twierdzenie sinusów i osinusów Aldon Dutkiewiz Anet Sikorsk-Nowk Teori Twierdzenie 1 Twierdzenie sinusów (twierdzenie Snellius) W dowolnym trójkąie stosunek długośi dowolnego boku do sinus kąt leżąego
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Twierdzenie sinusów i osinusów Aldon Dutkiewiz Anet Sikorsk-Nowk Teori Twierdzenie 1 Twierdzenie sinusów (twierdzenie Snellius) W dowolnym trójkąie stosunek długośi dowolnego boku do sinus kąt leżąego
LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 06. Podzielność w Zbiorze Liczb Całkowitych Rozdział 3 3. Liczby względnie pierwsze Andrzej Nowicki 10 maja 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 3 Liczby
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:
XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn. 1.1. Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Programy współbieżne
Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty
O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 05. Funkcje Arytmetyczne Rozdział 4 4. Liczba dzielników naturalnych Andrzej Nowicki 10 maja 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 4 Liczba dzielników naturalnych
Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
H. Dąbrowski, W. Rożek Próbna matura, grudzień 2014 r. CKE poziom rozszerzony 1. Zadanie 15 różne sposoby jego rozwiązania
H ąrowski, W Rożek Prón mtur, grudzień 014 r K poziom rozszerzony 1 Zdnie 15 różne sposoy jego rozwiązni Henryk ąrowski, Wldemr Rożek Zdnie 15 Punkt jest środkiem oku prostokąt, w którym Punkt leży n oku
FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA.
Oprownie: Elżiet Mlnowsk FUNKCJA KWADRATOWA. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI DRUGIEGO STOPNIA. Określeni podstwowe: Jeżeli kżdej lizie x z pewnego zioru lizowego X przporządkown jest dokłdnie jedn liz, to mówim,
Ą Ó ć Ó Ś ć Ó Ń ć ć ź ć ŚÓ ć ź ć Ź Ź Ó ć ć Ź Ź ć Ą ź Ż Ó ź ć ć Ż Ó Ó ć Ó ć Ą Ś Ó ć Ź Ż ć ć ć Ż Ź ć Ź Ś ź Ź Ś Ó ź ć ć ć ć ć Ó ć Ć Ó ć ć ć ć ć ć Ż Źć ć ć Ó ć Ó ć ć Ó ć ć Ć ć Ż Ó ć Ć Ż Ź ć Ę Ę Ż Ź Ż ć ć ć
Ś ć Ą Ż Ż Ź Ą Ś ż Ź Ż Ó Ł Ś Ą Ó ć ź Ą Ś Ż Ż Ść Ś Ó ć ć ć Ó Ż ć Ó Ż Ż Ś Ż Ó Ś Ż Ż ć ć Ó Ść Ś Ż Ó ć ć Ź Ż ć Ż Ś Ó Ż żć Ś Ś Ź ć Ż ć Ż Ż ż ć Ź Ż Ż Ż ć ć ć ć Ż Ó Ż Ó Ź Ł Ż Ż Ó Ż Ę Ż ć Ż Ó Ś Ó Ą Ż Ś ć Ż Ś Ś
Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)
Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.
ń ż Ą Ł ż ć ż ć ż ć Ś Ż ć ć ż ć ż ż ż Ą ż ż Ź ń Ą ź ń ź ń Ą ż Ń ż ń Ą ń ż ń Ź ć ń ż Ń Ą ż ż ż ć ń ń Ł ż ż ż ń Ź ź Ą ż Ł ż ż ć ń Ś ć Ó ż ć Ś ż ż Ą ń ż ń Ł ż Ż ń Ą Ł ć ż ń ż ń Ż ń ń Ą ż ż Ł ż ż ż ż ć ż Ń
LXIV Olimpiada Matematyczna
LXIV Olimpiada Matematyzna Rozwiązania zadań konkursowyh zawodów stopnia drugiego 22 lutego 203 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie. Dane są lizby ałkowite b i oraz trójmian f(x) = x 2 +bx+. Udowodnić,
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 01. Liczby Wymierne Rozdział 9 9. Liczby postaci / + / + + x s / Andrzej Nowicki 7 grudnia 2011, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 9 Liczby postaci / + / + +
Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności
Hery Pwłowsi IV LO Toruń O wzorów sróoego moŝei o lsyzyh ierówośi Uzą w szole wzorów sróoego moŝei zzymy o owozei wóh toŝsmośi: () ( ) () ( ) Nstępie uŝywmy ih o przesztłi wyrŝeń Tym rzem zrómy z ih iy
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 14. Równanie Pella Rozdział 9 9. Zastosowania równania Pella Andrzej Nowicki 10 kwietnia 013, Spis treści http://www.mat.uni.torun.pl/~anow 9 Zastosowania równania Pella
Wykªad 8. Pochodna kierunkowa.
Wykªd jest prowdzony w opriu o podr znik Anliz mtemtyzn 2. enije, twierdzeni, wzory M. Gewert i Z. Skozyls. Wykªd 8. ohodn kierunkow. enij Nieh funkj f b dzie okre±lon przynjmniej n otozeniu punktu (x
Podzielność w zbiorze liczb całkowitych
Podróże po Imperium Liczb Część 6 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 PDZ - 38(890) - 10.05.2012 Spis treści Wstęp 1 1
Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej
Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec
Podstawa badania: VDE 0660 część 500/IEC 60 439 Przeprowadzone badanie: Znamionowa wytrzymałość na prąd udarowy I pk. Ip prąd zwarciowy udarowy [ka]
![Podstawa badania: VDE 0660 część 500/IEC 60 439 Przeprowadzone badanie: Znamionowa wytrzymałość na prąd udarowy I pk. Ip prąd zwarciowy udarowy [ka]](/thumbs/37/17731946.jpg "Podstawa badania: VDE 0660 część 500/IEC 60 439 Przeprowadzone badanie: Znamionowa wytrzymałość na prąd udarowy I pk. Ip prąd zwarciowy udarowy [ka]")
Rozził moy Wykrsy wytrzymłośi zwriowj wług EC Wykrsy wytrzymłośi zwriowj wług EN 439-1/EC 439-1 Bni typu zgoni z EN 439-1 W trki ni typu systmu przprowzn zostją nstępują ni systmów szyn ziorzyh Rittl jk
Rozmaite techniki dowodzenia nierówności
Rozmite tehiki dowodzei ierówośi Pweł Józik 5 styzi 07 N kółku gimzjlym zjmujemy się rozdziłmi -6; kółku lielym zjmujemy się rozdziłmi 4-8; kółku olimpijskim zjmujemy sie rozdziłmi 9-. Dziś zkłdmy, że
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II
Egzmin mturlny z informtyki MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II Numer zdni Numer punktu Etpy rozwiązni Z podnie poprwnego przedziłu dl firmy D1: [1 ; 3617,62] 2 punkty. W przypdku
III.3 Transformacja Lorentza prędkości i przyspieszenia. Efekt Dopplera
r. kd. 5/ 6 III.3 Trnsformj Lorentz prędkośi i przyspieszeni. Efekt Doppler Trnsformj prędkośi Trnsformj przyspieszeni Efekt Doppler Jn Królikowski Fizyk IBC r. kd. 5/ 6 Trnsformj prędkośi Bdmy ruh punktu
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych
Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: +
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 03. Liczby Kwadratowe Rozdział 3 3. Sumy dwóch kwadratów Andrzej Nowicki 27 kwietnia 2013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 3 Sumy dwóch kwadratów 49 3.1 Warunki
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
Nierówności symetryczne
Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t
PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
PEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o
Podróże po Imperium Liczb Część 1 Liczby wymierne Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część Liczby wymierne Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 202 WYM - 27(778) 7.2.20 Spis treści Wstęp Równości i wstępne informacje o liczbach
ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Listopad 2013. 10:00-11:00; 11:30-12:30 18/11/2013 Warszawa Ms Jane Austen warsztat Simeon. 9:30-10:30; 12:00-13:00 18/11/2013 Warszawa
DATA MIASTO TYTUŁ Listopd 2013 RODZA J 13/11/2013 Poznń True Blue Brits spektkl 18/11/2013 Wrszw Ms Jne Austen wrsztt 18/11/2013 Wrszw Fmous British wrsztt 10:45-11:45 19/11/2013 Rzeszów True Blue Brits
Działania wewnętrzne i zewnętrzne
Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem
bez opłat a) lokalnych, strefowych i do numerów skróconych oraz do numerów 39x w dni robocze w godz. 0 24 bez opłat
PLAN BIZNES 180 Rodzj usługi netto 23% brutto 1. Abonment telefoniczny opłt miesięczn obejmuje pkiet 180 minut pierwszych połączeń loklnych, strefowych, międzystrefowych, do numerów 39x orz połączeń międzynrodowych
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub
Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa
Z a ł» c z n i k n r 5 d o S p e c y f i k a c j i I s t o t n y c h W a r u n k Zó aw m ó w i e n i a Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 1 1 2 0 14 W Z Ó R U M O W Y z a w a r t a w Gd y n
SZACUNEK WIELKOŚCI PRZYJAZDOWEGO RUCHU TURYSTYCZNEGO DO WARSZAWY W 2016 ROKU
SZACUNEK WIELKOŚCI PRZYJAZDOWEGO RUCHU TURYSTYCZNEGO DO WARSZAWY W 2016 ROKU dr hb. Ew Dziedzic, prof. SGH Szkoł Główn Hndlow w Wrszwie Wrszw, 2017 1) Liczb przyjzdów odwiedzjących ogółem (łącznie turystów
Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby
Podróże po Imperium Liczb Część 8 Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 MER - 37(980) - 20.05.2012 Spis treści Wstęp 1
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)
List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f
Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny!
TEZA CHURCHA-TURINGA Mzyn Turing: m końzenie wiele tnów zpiuje po jenym ymolu n liniowej tśmie Co możn zroić z pomoą mzyny Turing? Wzytko! Mzyn Turing potrfi rozwiązć kży efektywnie rozwiązywlny prolem
Minimalizacja funkcji jednej lub wielu zmiennych. Wykład 13
Minimlizj funji jednej lu wielu zmiennyh Wyłd 3 Optymlizj = wyznzenie minimum funji rzezywistej wielu zmiennyh w dnym oszrze (wrz z puntem w tórym to minimum występuje). Jeśli funj jest nieliniow i zwier
GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana
GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,
Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Pierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
T W O R Z Y M Y. 15 godzin w cyklu 3-godzinnym
T W O R Z Y M Y 5 godzin -godzinnym Szzegółowe ele ksztłeni i wyhowni: doskonlenie umiejętnośi pry z edytorem grfiznym poznnie zsd poprwnego tworzeni prezentji multimedilnyh nyie umiejętnośi smodzielnego
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Wykład 5: Prawa potęgowe - gdzie można je znaleźć i co oznaczają?
log(n) Wykłd 5: Prw potęgowe - gdzie możn je znleźć i co oznczją? Fizyk komputerow 25 Ktrzyn Weron, kweron@ift.uni.wroc.pl Pln Co już wiemy? Gdzie możn znleźć prw potęgowe? Powszechne Prwo Zipf. Co oznczją
KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine
MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Podróże po Imperium Liczb Część 13 Nierówności Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część 3 Nierówości Adrzej Nowicki Wydie drugie, uzupełioe i rozszerzoe Olszty, Toruń, 03 NRW - 4350) - 04.05.03 Spis treści Wstęp Nierówości i fukcje wypukłe 5. Fukcje wypukłe
Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Definicje. r r r r. Struktura kryształu. Sieć Bravais go. Baza
Definije Sieć Brvis'go - Nieskońzon sieć punktów przestrzeni tkih, że otozenie kżdego punktu jest identyzne Nieskońzon sieć punktów przestrzeni otrzymnyh wskutek przesunięi jednego punktu o wszystkie możliwe
2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 03 7 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A W y k o n a n i e r e m o n t u n a o b i e k c i e s p o r t o w y mp
Podróże po Imperium Liczb Część 12 Wielomiany Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część 12 Wielomiany Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 WLM - 40(992) - 23.05.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Trójmiany kwadratowe 5 1.1
Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi
Podróże po Imperium Liczb Część 9 Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi Andrzej Nowicki Wydanie drugie uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 SZB - 41(1028) - 24.04.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Sześciany
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Roztwory rzeczywiste (1) Roztwory rzeczywiste (2) Funkcje nadmiarowe. Również w temp. 298,15K, ale dla CCl 4 (A) i CH 3 OH (B).
Roztwory rzezywiste (1) Również w tep. 98,15K, le dl CCl 4 () i CH 3 OH (). 15 Τ S 5 H,,4,6,8 1-5 - -15 G - Che. Fiz. TCH II/1 1 Roztwory rzezywiste () Ty rze dl (CH 3 ) CO () i CHCl 3 (). 15 5 Τ S -5,,4
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
Rys Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych jednakowo dokładnych C. KRAKOWIANY
Rys. 9.. Wyrównnie spostrzeżeń zwrunkownyh jednkowo dokłdnyh C. KRAKOWIANY 9.9. Informje wstępne o krkowinh Krkowin jest zespołem liz rozmieszzonyh w prostokątnej teli o k kolumnh i w wierszh, dl którego
Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich
Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne
Projektowanie żelbetowych kominów przemysłowych wieloprzewodowych
Budownitwo i Arhitektur 3 (2008) 71-80 Projektownie żelbetowyh kominów przemysłowyh wieloprzewodowyh Mrt Słowik 1, Młgorzt Dobrowolsk 2, Krzysztof Borzęki 2 1 Ktedr Konstrukji Budowlnyh, Wydził Inżynierii
8. 1. DEFINICJE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH. Definicje funkcji trygonometrycznych kata ostrego. b- przyprostokątna przy α
8.. DEFINICJE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH Definije funkji trygonometryznyh kt ostrego przyprostokątn nprzeiw - przyprostokątn przy - przeiwprostokątn sin - zytj: sinus os - zytj: kosinus tg - zytj: tngens
1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Ą ń ń ć Ę Ę ć ć ń ń Ż ń ń Ą Ą ń Ż Ń Ż ć Ą ń ŚĆ ć Ę Ę Ą ń Ś ń ć Ę Ą ń Ę ń ń ń ń ć ń ń Ś Ź ń ć ć ń ć ń Ś Ż Ę Ń ń ń ń ń ń ć Ń Ę Ę Ę Ę Ę ńń ź ĄĘ Ę ź ń Ąń Ę Ę Ę Ź Ę Ę Ą Ś Ę Ę ć Ś Ą Ń ć ń ń ć Ś ć Ń Ó ń ń ć
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe
Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli
f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
I V. N a d z ó r... 6
C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P Z a ł ą c z n i k 1 d o U c h w a ł y n r 2 2. / I X / 2 0 1 5 K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o 6 l ą s k i e j Z H P z d n i a 0 8. 0 62. 0 1 5 r. P
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE)
1. TEORIA PŁYT CIENKOŚCIENNYCH 1 1. 1. TEORIA PŁYT I POWŁOK (KIRCHHOFFA-LOVE) Płyt jest to ukłd ogrniczony dwom płszczyznmi o młej krzywiźnie. Odległość między powierzchnimi ogrniczjącymi tę wysokość płyty
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx