zadaniowy Termin nadsyłania rozwiązań upływa 31 sierpnia 2005 r.

Transkrypt

1 Konkurs zdniowy ZADANIA KONKURSOWE 646. Jk funkj? Nieh Z będzie zbiorem lizb łkowityh. Wyznzyć wszystkie funkje f: Z Z, spełnijąe wrunek 3 f(x) - 2 f( f(x)) = x dl kżdej lizby łkowitej x. Zpożyzenie 647. Szownie grniy. Wykzć, że iąg (x n ) tki, że x = orz x n n n = x n dl n =, 2, 3,..., jest zbieżny, jego grni g spełni nierówność g < 5. 2 Witold Bednrek (Łódź) 648. Trójki lizb nturlnyh. Czy istnieją lizby łkowite dodtnie x, y, z tkie, że x2 y2 z2 xy yz zx = " Werner Mnih (Opole) 649. Okręgi i trójkąt. W trójkąie ABC umieszzono trzy okręgi tk, że kżdy z nih jest styzny do dwóh boków tego trójkąt orz styzny zewnętrznie do dwóh pozostłyh okręgów. Promienie tyh okręgów wynoszą 256, 225 i 44. Wyznzyć boki trójkąt ABC. Jerzy Mitek (Siedle) 650. Promienie okręgów. Trzy okręgi o dnyh promienih r, r 2, r 3 są prmi zewnętrznie styzne. Wyznzyć promień okręgu przehodząego przez punkty styznośi. Zpożyzenie Termin ndsyłni rozwiązń upływ 3 sierpni 2005 r. NOWY LAUREAT Kolejnym luretem Konkursu Zdniowego Mtemtyki zostł Ryszrd Pgz (Zwdzkie). Zdobył on tytuł luret po rz zwrty. Serdeznie grtulujemy! 50 4 mtemtyk

2 WYNIKI KONKURSU (ZESZYT 3(307), 2004 Tym rzem do konkursu przystąpiło 46 osób, które ndesłły 7 rozwiązń. Spośród nih odrzuiliśmy 8. Z rozwiązni możn było otrzymć mksymlnie 5 punktów. Wynik tki uzyskli: Włodzimierz Bąk, Zbigniew Jkubów, Jerzy Kierzyński, Zbigniew Krno, Leszek Krzywonos, Piotr Kumor, Ryszrd Pgz, Jkub Rdoszewski, Jonn Zygmunt. A oto wyniki konkursu ujęte w trdyyjny shemt , , , , W kżdej z tyh zwórek pierwsz lizb oznz numer zdni, drug mksymlną lizbę punktów przyznwnyh z rozwiąznie, trzei lizbę rozwiązń przynjmniej zęśiowo poprwnyh, zwrt lizbę rozwiązń odrzuonyh. Poprwne lub zęśiowo poprwne rozwiązni ndesłły nstępująe osoby (lizby w nwish oznzją sumy punktów uzysknyh w konkursie, poprzedzjąe je lizby to osttnie yfry numerów rozwiąznyh zdń). Mrek Admzyk, Żry:, 2, 3, 4, (27), Krystin Brtnizek, Würselen: 2, (75), Włodzimierz Bąk, Piłw Górn:, 2, 3, 4, 5, (232), Witold Bednrek, Łódź:, 2, 3, 5, (63), Mri Binkowsk, Toruń:, 2, 4, (88), Mrek Borsik, Ozorków: 2, 3, (55), Tdeusz Czepiel, Ktowie:, 2, (20), Henryk Drzewieki, Słwków:, 2, 3, 4, (23), Aleksndr Gąszzk, Ostrów Wlkp.:, 2, 3, 4, (65), Czesłw Ginlski, Częstohow: 2, 3, (4), Jek Golusd, Kmień Pomorski:, 2, 3, 4, (83), Wldemr Górski, Olesno:, 2, 3, 4, (68), Leo Hämmerling, Akwizgrn:, 2, 3, 4, 5, (34), Zbigniew Jkubów, Niendow:, 2, 3, 4, 5, (20), Jerzy Kierzyński, Żry:, 2, 3, 4, 5, (4), Krzysztof Kmienieki, Gdńsk:, 2, (0), Krzysztof Kmiński, Pbinie:, 2, 3, 4, 5, (86), Zbigniew Krzmrzyk, Lublin: 2, 3, 4, 5, (24), Zbigniew Krno, Biłystok:, 2, 3, 4, 5, (22), Pweł Kliber, Poznń:, 2, 4, (75), Jek Klisowski, Lublin: 3, (26), Piotr Kmieik, Jrosłw:, 2, 3, 4, 5, (246), Henryk Kornki, Augustów: 2, 4, (77), Leszek Krzywonos, Lublin:, 2, 3, 4, 5, (59), Pweł Kubit, Krków:, 2, 3, 5, (0), Piotr Kumor, Olsztyn:, 2, 3, 4, 5, (77), Bolesłw Künstler, Wąbrzeźno: 2, 3, 4, (249), Stnisłw Łnowy, Gliwie:, 2, 3, 4, 5, (230), Ireneusz Mihn, Kośierzyn:,2,3,4,(228), Jerzy Mitek, Siedle:, 2, 3, 4, 5, (26), Czesłw Młyńzk, Włz: 4, (96), Pweł Njmn, Jworzno:, 2, 3, 4, (238), Edwrd Orzehowski, Wrszw:, 3, 4, (96), Ryszrd Pgz, Zwdzkie:, 2, 3, 4, 5, (), Piotr Pwlikowski, Kluzbork:, 2, 4, (94), Pweł Piotrowski, Pbinie: 2, 3, 4, 5, (0), Kzimierz Ponitowski, Jsło: 3, (99), Eugeniusz Potoki, Krpz:, (28), Jkub Rdoszewski, Poznń:, 2, 3, 4, 5, (57), Hubert Ruh, Mogielni:, 2, 3, 4, (30), Jerzy Senet, Krków:, 2, 3, 4, (42), Zbigniew Sklik, Pyskowie: 2, 3, (65), Józef Smolik, Krków: 2, 3, 4, (36), Tdeusz Supdy, Piotrków Trybunlski: 4, (42), Jerzy Witkowski, Rdlin:, 2, 2,, 8, (240), Jonn Zygmunt, Lubtow: 2, 2, 2,, 8, (69). ROZWIĄZANIA ZADAŃ KONKURSOWYCH 62. Kolejne lizby. Czy dl kżdej lizby nturlnej n > 2 istnieje iąg n kolejnyh lizb nturlnyh tki, że po usunięiu z niego jednego wyrzu kżdy z n - pozostłyh wyrzów m wspólny, większy od, dzielnik z pewnym z pozostłyh n - 2 wyrzów? Jest to już poprwion wersj zdni (errt ptrz Mtemtyk 4/2004, s. 237). Niestety, kilku uzestników konkursu nie zwróiło uwgi n zminę treśi zdni. W istoie prwie wszystkie poprwne rozwiązni przebiegły nstępująo. 2/

3 Dl lizby nturlnej n > 2 rozwżmy n-wyrzowy iąg kolejnyh lizb nturlnyh ( k ), k =,..., n, określony wzorem () k = n! k -. Zuwżmy, że k - k dl kżdej lizby k Î {2,..., n} i kżd lizb nturln i n jest dzielnikiem wyrzu = n! Wynik stąd, że dl k Î {2,..., n} mmy k - NWD( k, ). Usuwmy z iągu ( k ) wyrz 2. Wówzs dl k Î {3,..., n} mmy NWD( k, ) ³ k - >, o oznz, że kżd z lizb, 2,..., n m wspólny, większy od, dzielnik z pewną lizbą iągu (), różną od niej smej i od. (Lizby 3,..., n mją tki sm dzielnik z, ntomist z kżdą z nih). Poniewż n jest dowolną lizbą nturlną większą od 2, wię odpowiedź n pytnie postwione w treśi zdni jest pozytywn Szukmy wykłdników. Rozwiązć w lizbh nturlnyh x, y równnie () 2 x 3 x 4 x = 0 y. W kilku przypdkh twierdzono błędnie, że jedynym rozwiązniem równni () w lizbh nturlnyh jest pr (, ). W ogromnej większośi rozwiązń rozumowno nstępująo. Zuwżmy, że rozwiąznimi równni () w lizbh nturlnyh są pry (, ) i (3, 2), ntomist równnie nie m tkih rozwiązń (x, y), że x = 2. Złóżmy wię, że pr (x, y) lizb nturlnyh tk, że x > 3 jest rozwiązniem rozwżnego równni. Wtedy y ³ 3, lizby 0 y, 2 x i 4 x są podzielne przez 8. Jeżeli x jest lizbą nieprzystą, to 3 x º 3 (mod 8); jeśli ntomist x jest lizbą przystą, to 3 x º (mod 8) (dlzego?). Wobe tego lew stron równośi () dje przy dzieleniu przez 8 resztę 2 lub 4, prw jest podzieln przez 8. Z tej sprzeznośi wnosimy, że rozwiąznimi równni () w lizbh nturlnyh są wyłąznie pry (, ) i (3, 2) Kolejn nierówność. Wykzć, że jeżeli, b, są lizbmi dodtnimi, to () 4 b 4 4 b ³ b(b b ). Jest to poprwion wersj zdni (errt ptrz Mtemtyk 4/2004, s. 237). Jedno rozwiąznie odrzuiliśmy, bo popełniono w nim stry błąd zkłdją, że b. Zmniejsz to ogólność rozwżń, o zym już kilkkrotnie pisliśmy. Stosowno różne metody rozwiązni: korzystno z nierównośi Jensen, nierówność () wywodzono też z ozywistej nierównośi 2 ( - b) 2 b 2 (b - ) 2 b 2 ( - ) 2 ³ 0 (jk dojść do tkiej bzy rozumowni?). Odwoływno się wreszie do wynikjąego z twierdzni Cuhy ego o średnih nierównośi 5 4 6b b ³ 3 2 b 2, któr wrz z dwom nierównośimi otrzymnymi z niej przez odpowiednie permutje prowdzi bez trudu do nierównośi (). A oto jk kilk osób rozwiązło zdnie z pomoą brdzo skromnyh środków mtemtyk

4 Nierówność () jest równowżn nierównośi (2) b3 3 b Ì b b Zhodzą nierównośi: 3 3 b Ì 22 b b Ì 2b2 Ì 22 (dlzego?) b Po dodniu tyh nierównośi stronmi otrzymujemy 3 3 b b b Ì 22 b2 2 b skąd po uwzględnieniu, że b b 2 b 2 2, dohodzimy do nierównośi (2), wię i nierównośi (). Uwgi. P. Leszek Krzywonos zuwżył, że nierówność () zhodzi wtedy, gdy, b, są lizbmi niedottnimi. Uzsdnienie tej uwgi pozostwimy zytelnikowi. 2. Uzestniy konkursu podli kilk nlogiznyh do () nierównośi, np.: 3 b 3 3 b ³ b( b ), 4 b 4 4 b ³ b( 2 b 2 2 ). Osttnią nierówność, zresztą moniejszą od nierównośi (), zpisną w posti równowżnej 3 3 b Ì 2 b2 2 b możn uogólnić: n Ì n 2 (, 2,..., n są lizbmi dodtnimi). Udowodnił to p. Leo Hämmerling. Nierównośi podobne do () możn też znleźć w książe: L. Kourlindtshik, Wędrówki po krinie nierównośi, Wydwnitwo Aksjomt, Toruń Jki kąt? Nieh ABC będzie trójkątem tkim, że BC < BA < AC. Nieh dlej dwusiezn kąt zewnętrznego trójkąt ACB o wierzhołku A przein półprostą CB (o pozątku C) w punkie S, dwusiezn kąt zewnętrznego o wierzhołku B przein półprostą AC w punkie T. Wyznzyć kąt ABC wiedzą, że SA = AB = BT. Rezygnujemy z publikji rozwiązni tego zdni, bo wymg ono jedynie zstosowni prostyh włsnośi kątów trójkąt (hoć korzystno zsem ż z twierdzeni sinusów). Wskutek błędu rhunkowego w jednym z rozwiązń stwierdzono, że kąt ABC m mirę. Jednk kąt ABC jko njwiększy kąt trójkąt ABC nie może ozywiśie 3 mieć tkiej miry. W innym rozwiązniu niewłśiwie odzytno treść zdni. Wszystkie pozostłe rozwiązni były poprwne. 2/

5 625. Podiągi monotonizne. Wykzć, że z kżdego iągu n 2 różnyh lizb rzezywistyh możn wybrć podiąg monotonizny o n wyrzh. Uzestniy konkursu wykzli, że zdnie to m długą historię i bogtą literturę. Przede wszystkim okzło się, że (w przypdku n = 0) zdnie wystąpiło już w nszym konkursie z numeru 225 ( Mtemtyk nr /95). Zdnie pohodziło z finłu XIII Moskiewskiej Olimpidy Mtemtyznej (rok 950). W numerze 4/953 Mtemtyki (s. 6) podno, że redkj otrzymł tylko jedno poprwne rozwiąznie. W tymże numerze Mtemtyki (s. 6 63) ukzł się rtykuł W. Sierpińskiego Uogólnienie zdni nr 225, w którym m.in. znjduje się rozwiąznie omwinego zdni konkursowego. Piękny rtykuł Trzy rozwiązni zdni o 0 lizbh opublikowł Aleksnder Pełzyński ( Delt 5/974, przedruk Delt /998). A oto kilk innyh pozyji bibliogrfiznyh, w któryh możn znleźć dowody twierdzeni o n 2 lub twierdzeń odeń ogólniejszyh.. A. Seidenberg, A Simple Proof of Theorem of Erdõs nd Szekeres, Journl London Mth. So. 34 (959); 2. W. Lipski, W. Mrek, Anliz kombintoryzn, PWN, Wrszw 986, twierdzenie.5, s. 80; 3. V. Brynt, Aspekty kombintoryki, WNT, Wrszw 997, s. 49; 4. M. Aigner, G.M. Ziegler, Dowody z księgi, PWN, Wrszw 2002, s. 66; 5. W. Bednrek, 50 zdń z mtemtyki elementrnej, zdnie 63, s. 0; 6. J. Wojiehowski, Kąik olimpijski, Delt /986, s. 3; Wrją do nszego konkursu stwierdzmy, że kilk osób ogrnizyło się do wskzni odpowiedniej litertury. Zgodnie z przyjętą trdyją przyznwliśmy im mksymlną ilość punktów przewidzinyh z rozwiąznie. Pozostłe rozwiązni to w większośi nstępująe piękne rozumownie, przypisywne P. Erdõsowi. Kżdemu z wyrzów k iągu () 2 n 2 różnyh lizb rzezywistyh przyporządkowujemy dwie lizby nturlne: r(k) i m(k), gdzie r(k) jest długośią (zyli ilośią wyrzów) njdłuższego rosnąego podiągu iągu (), którego k jest końem, m(k) jest długośią njdłuższego mlejąego podiągu iągu () o pozątku k. Wystrzy pokzć, że dl pewnej lizby k ( k n 2 ) o njmniej jedn z lizb r(k) lub m(k) jest nie mniejsz o n. Złóżmy, że tk nie jest, tzn. że dl kżdego k =, 2,..., n 2 mmy r(k) n i m(k) n. Poniewż różnyh pr lizb nturlnyh, z któryh kżd jest nie większ od n jest n 2, wię istnieją wskzówki s i t tkie s < t n 2 orz r(s) = r(t) i m(s) = m(t). Jeśli wtedy s < t, to łtwo widć, że r(s) < r(t), jeśli zś s > t, to m(t) > m(s) (dlzego?). Otrzymn sprzezność końzy dowód mtemtyk

6 Uwg. Z pomoą tej metody możn uzyskć uogólnienie: Twierdzenie. Dny jest iąg, 2,..., n różnyh lizb rzezywistyh. Wówzs mr ³ n, gdzie m jest długośią njdłuższego mlejąego podiągu iągu, 2,..., n, zś r długośią njdłuższego rosnąego podiągu tego iągu. Uwg 2. Jeżeli n jest lizbą nturlną, to lizby, 2,..., n 2 możn ustwić iąg, z którego nie możn wybrć żdnego podiągu rosnąego ni żdnego podiągu mlejąego o n wyrzh. Dowodzi tego nstępująy iąg: n, n -,...,, 2n, 2n -,..., n, 3n, 3n -,..., 2n,..., n 2, n 2 -,..., n 2 - n. Otrzymuje się go z iągu, 2,..., n 2 dzielą jego wyrzy n n kolejnyh grup po n wyrzów i odwrją porządek wyrzów w kżdej grupie. Uzupełnink n powtórkę Zwykłe lekje powtórzeniowe są n ogół dl uzniów dość monotonne. W elu ih utrkyjnieni przygotowuję od zsu do zsu dl moih uzniów w lieum jkieś niespodzinki. Oto przykłd łmigłówki uzupełninki do powtórzeni dziłu Trójmin kwdrtowy. Uzniowie prują w gruph dwuosobowyh. Przynleżność do grupy odbyw się drogą losowni. Uzniowie losują przygotowne wześniej krtki ze wzormi prostyh funkji liniowyh. Miejse zerowe wylosownej funkji jest numerem grupy, do której uzeń nleży. Przed przystąpieniem do rozwiązywni łmigłówki przypominmy podstwowe widomośi dotyząe funkji kwdrtowej, jej postć ilozynową, knonizną i ogólną orz wzory n wyróżnik i pierwistki trójminu kwdrtowego. Nstępnie kżd pr otrzymuje digrm uzupełninki. Aby ogrnizyć pokusę korzystni z rozwiązń sąsidów, przygotowuję dw zestwy o jednkowym stopniu trudnośi. Postć ogóln b D p q Postć knonizn x x 2 x 0 Postć ilozynow f(x) = 3x 2-9x f(x) = -(x - 3) 2 f(x) = (x 2)(x ) Postć ogóln b D p q Postć knonizn x x 2 x 0 Postć ilozynow f(x) = 2x 2 2x f(x) = -(x - ) 2 4 f(x) = (x - 2)(x ) Dwie lub trzy grupy, które jko pierwsze poprwnie wypełnią tbelki, ngrdzm piątkmi, pozostłe plusmi. Jolnt Grądzk, nuzyielk ZSO w Orzyszu 2/