Podstawy Fizyki Współczesnej I. Blok I

Transkrypt

1 Podstawy Fizyki Współczesnej I Podsumowanie wykładu ( ) Uwaga: zagadnienia oznaczone gwiazdką są nieco bardziej złożone i na ocenę dostateczną jest wymagana jedynie ich pobieżna znajomość. Zadania wyróżnione do egzaminu metodą kostkową : Blok I: I.10, I.11+12, I.13, I.15, II.1+2, II.6.a+b+II.7. Blok II: IV.2+3, V.5, V.13+14, VI.4+5, VII.6+7, VIII.3. I Mechanika newtonowska Blok I 1. Podstawowe zasady mechaniki newtonowskiej: (a) I zasada dynamiki Newtona (zasada bezwładności); inercjalne układy odniesienia. (b) II zasada dynamiki Newtona; problem wyznaczania ruchu ciał jako zagadnienie początkowe dla układu równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu; zasada addytywności sił. (c) III zasada dynamiki Newtona (zasada akcji i reakcji); prawo zachowania pędu. 2. Przykład całkowania równań ruchu: ruch cząstki naładowanej w stałym i jednorodnych polu magnetycznym B. 3. Praca, energia kinetyczna; W = E k. 4. Siły zachowawcze; energia potencjalna siły zachowawczej. 5. E k + E p = W inne. Zasada zachowania energii mechanicznej dla ruchu ciała w polu sił zachowawczych. 6. Znaczenie całki energii: jakościowa dyskusja ruchu ciała w polu siły zachowawczej w jednym wymiarze. 7. Równanie bilansu energii mechanicznej dla układu ciał. 8. Moment pędu; równanie ewolucji dla momentu pędu układu wielu ciał. 9. Ruch w polu siły o potencjale V (r): (a) Moment pędu jako całka ruchu; stałość prędkości polowej; płaszczyzna ruchu; opis ruchu we współrzędnych biegunowych. (b) Całka energii we współrzędnych biegunowych; potencjał efektywny. (c) Równania ruchu we współrzędnych biegunowych i związek z całkami pierwszymi. (d) Tor r(φ) we współrzędnych biegunowych wyrażenie w kwadraturach dla J Przykład: ruch w polu siły o potencjale V (r) = α r, gdzie α > 0: (a) potencjał efektywny; jakościowa dyskusja ruchu w zależności od wartości energii; (b) wyrażenie na tor we współrzędnych biegunowych i kartezjańskich; orbity eliptyczne, III prawo Keplera; orbity paraboliczne, hiperboliczne. 1

2 11. Wzór Bineta. Odtworzenie wyników dla V (r) = α r. 12. Dyskusja różnych ruchów w potencjale V (r) = α r β r 2, gdzie α, β > 0 przy użyciu wzoru Bineta. Porównanie z przypadkiem β = 0: spadek na centrum siły, precesja perycentrum orbity, wielokrotny obieg centrum siły przy orbitach nieograniczonych; 13. Rozpraszanie w polu siły o potencjale sferycznie symetrycznym: (a) Parametr zderzenia. (b) Całkowity przekrój czynny dla określonego zdarzenia. Doświadczalne wyznaczanie całkowitych przekrojów czynnych. (c) Przykład: całkowity przekrój czynny na wychwyt przez centrum siły w potencjale V (r) = α r β r 2. (d) Przykład: całkowity przekrój czynny na rozpraszanie pod kątem θ > π/2 na potencjale V (r) = α r, gdzie α > Dynamika układu dwóch ciał, oddziałujących na siebie siłami centralnymi: (a) Środek masy; ewolucja położenia środka masy. (b) Separacja ruchu względnego; masa zredukowana. (c) Rozkład całkowitego momentu pędu na moment pędu środka masy względem początku układu współrzędnych i moment pędu względem środka masy; wyrażenie na moment pędu ruchu względnego. (d) Rozkład energii kinetycznej na energię kinetyczną ruchu postępowego środka masy i energię kinetyczną ruchu względem środka masy (tw. Königa); wyrażenie na energię ruchu względnego. (e) Szkicowanie trajektorii ciał o zbliżonych masach, oddziałujących siłą o potencjale V (r) = α r, α > Ruch względem nieinercjalnego układu odniesienia: (a) Wzór na przyspieszenie w nieinercjalnym układzie odniesienia, poruszającym się względem inercjalnego układu odniesienia z przyspieszeniem a 0 i obracającym się względem ustalonej osi obrotu z prędkością kątową Ω. (b) Równanie ruchu względem nieinercjalnego układu odniesienia: siła odśrodkowa, siła Coriolisa. (c) Efektywne równanie ruchu dla ruchów krótkotrwałych przy powierzchni Ziemi, z uwzględnieniem obrotu Ziemi; rozwiązanie przybliżone. II Mechanika w ujȩciu Lagrange a 1. Wprowadzenie do rachunku wariacyjnego: (a) Przykład problemu wariacyjnego: optymalna trajektoria dla ciała poruszającego się po płaszczyźnie z prędkością, która zależy od położenia w zadany sposób, np. v(x, y) = v 0 (1 + x/a). (b) Zagadnienie wariacyjne dla funkcjonału postaci I[y] = x B x A dx F (x, y(x), dy/dx), w klasie funkcji gładkich y(x), spełniających warunki brzegowe y(x A ) = y A, y(x B ) = y B ; wyrażenie na pierwszą wariację funkcjonału. (c) Ekstremale funkcjonału; równanie Eulera-Lagrange a. 2

3 (d) Równania Eulera-Lagrange a dla zagadnienia wariacyjnego z wieloma zmiennymi zależnymi. 2. Równania Newtona dla punktu materialnego w polu siły potencjalnej jako równania Eulera- Lagrange a dla funkcjonału działania (zasada Hamiltona). 3. Ruch punktu materialnego opisywany we współrzȩdnych krzywoliniowych: zasada Hamiltona we współrzędnych krzywoliniowych i równania Lagrange a II rodzaju. 4. Układy mechaniczne z więzami holonomicznymi dwustronnymi. Przykłady. 5. Równanie ruchu dla układów z więzami holonomicznymi dwustronnymi: równania Lagrange a I rodzaju. 6. Równania Lagrange a II rodzaju dla układów poddanych więzom holonomicznym: (a) Współrzędne uogólnione. (b) Zasada Hamiltona we współrzȩdnych uogólnionych; równania Lagrange a II rodzaju dla układu poddanego wiȩzom holonomicznym. (c) Przykłady równań Lagrange a II rodzaju dla układów z więzami holonomicznymi: wahadło matematyczne płaskie; koralik ślizgający się bez tarcia po ukośnie ustawionym pręcie, wirującym wokół pionowej osi; dwa ciężarki, połączone sztywnym prętem, ślizgające się po prostych. 7. Całki pierwsze równań Lagrange a II rodzaju: (a) Współrzędne cykliczne. (b) Hamiltonian; zasada zachowania. 8. Problem jednoznaczności lagranżjanu. Blok II III Wprowadzenie do dynamiki bryły sztywnej 1. Ruch płasko-równoległy: (a) Energia kinetyczna ciała sztywnego wirującego wokół ustalonej osi: i. moment bezwładności; obliczanie momentu bezwładności przy użyciu twierdzenie Steinera. ii. złożeniu ruchu obrotowego i postępowego twierdzenie Königa. (b) Moment pędu ciała sztywnego wirującego wokół ustalonej osi. (c) Energia potencjalny bryły sztywnej w jednorodnym polu grawitacyjnym. (d) Równania Lagrange a II rodzaju dla ruchu płasko-równoległego bryły sztywnej. (e) Przykłady: walec staczający się bez poślizgu po równi pochyłej; belka na walcu. 2. Moment pȩdu wirującej bryły sztywnej w przypadku ogólnym; tensor bezwładności; osie główne i główne momenty bezwładności. 3

4 IV Wprowadzenie do hamiltonowskiego sformułowania mechaniki 1. Problem sprowadzenia n równań Lagrange a II rodzaju do układu 2n równań pierwszego rzędu. Pędy kanonicznie sprzężone. 2. Równania Hamiltona w ogólnym przypadku; równoważność z równaniami Lagrange a II rodzaju. 3. Hamiltonian wyrażony przez współrzędne uogólnione i pędy kanoniczne; jawna postać dla szerokiej klasy zagadnień. 4. Zalety równań Hamiltona w porównaniu z równaniami Lagrange a II rodzaju. V Elementy szczególnej teorii wzglȩdności 1. Problem prędkości światła w różnych układach odniesienia. 2. Zasada wzglȩdności w ujęciu Galileusza i Einsteina. 3. Zegar świetlny i dylatacja czasu. 4. Pomiar długości pręta metodą czasu przelotu i skrócenie Lorentza. 5. Heurystyczne wyprowadzenie pełnego przekształcenia Lorentza. 6. Relatywistyczne prawo składania prędkości; c jako prędkość graniczna. 7. Diagramy czasoprzestrzenne, linie świata cząstek. Względność równoczesności. 8. Interwał czasoprzestrzenny: niezmienniczość; interwały typu czasowego, przestrzennego, zerowego. Przyszłość, przeszłość, stożek świetlny danego zdarzenia. 9. Macierz przekształcenia Lorentza; czterowektory. 10. Iloczyn skalarny czterowektorów; niezmienniczość względem pchnięć lorentzowskich i obrotów. 11. Relatywistyczny opis pędu: (a) problem z zasadą zachowania pędu zdefiniowanego nierelatywistycznie przy przejściu do innego układu odniesienia; (b) czas własny cząstki; czteroprędkość; (c) czterowektor pędu. 12. Relatywistyczne wyrażenie na energię cząstki: (a) Relatywistyczna energia kinetyczna; energia spoczynkowa. (b) Krytyka pojęcia relatywistycznej masy zależnej od prędkości. 13. Zasada zachowania całkowitego czteropędu w procesach relatywistycznych. Przykład: zderzenie całkowicie niesprężyste dwóch ciał. 14. Deficyt masy w jądrach atomowych i energia wiązania jako przykład związku między masą i energią. 15. Czteropęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej. 16. Relatywistyczna definicja układu środka masy. 4

5 17. Relatywistyczna dynamika punktu materialnego w polu siły zewnętrznej: (a) Relatywistyczne uogólnienie równania ruchu. (b) Związek między pracą a energią kinetyczną w przypadku relatywistycznym. (c) Przykład: relatywistyczny ruch cz astki naładowanej w stałym jednorodnym polu magnetycznym. VI Elementy elektrostatyki 1. Pole elektryczne układu ładunków punktowych i ci agłego rozkładu ładunku. 2. Linie pola elektrostatycznego. 3. Prawo Gaussa. (a) Wyprowadzenie. (b) Zastosowania: obliczania pola elektrycznego sferycznie symetrycznego rozkładu ładunku. 4. Potencjał pola elektrostatycznego: (a) Potencjał układu ładunków punktowych, potencjał ci agłego rozkładu ładunku. (b) Przykład: potencjał jednorodnie naładowanej, nieskończenie długiej prostoliniowej nici (problem wyboru punktu normowania potencjału). (c) Obliczanie potencjału przy zadanym polu elektrostatycznym. (d) Powierzchnie ekwipotencjalne. 5. Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku na dużych odległościach; człon monopolowy i dipolowy; elektryczny moment dipolowy rozkładu ładunku. 6. Twierdzenie Gaussa z analizy wektorowej i różniczkowa postać prawa Gaussa. 7. Równanie Poissona. 8. Rotacja pola elektrostatycznego. Twierdzenie Stokesa. Wnioski co do przebiegu linii pola elektrostatycznego. 9. Twierdzenie o jednoznaczości pola wektorowego o zadanej dywergencji i rotacji. 10. Równania pola dla statycznego pola elektrycznego. VII Elementy magnetostatyki 1. Bezźródłowy charakter pola magnetycznego. 2. Kr ażenie pola magnetycznego: (a) obliczenie dla pętli otaczającej dowolną konfigurację nieskończenie długich przewodników prostoliniowych; (b) dowolny rozkład prądów prawo Ampère a w postaci całkowej. 3. Wektor gęstości prądu. 4. Prawo Ampère a w postaci różniczkowej. Równania pola dla magnetostatyki. 5

6 5. Potencjał wektorowy pola magnetycznego. Swoboda wyboru cechowania. Przykład: potencjał wektorowy dla stałego i jednorodnego pola magnetycznego. 6. Wyznaczanie potencjału wektorowego przy zadanych źródłach: (a) Równanie różniczkowe dla potencjału wektorowego. (b) Ogólne wyrażenie na potencjał wektorowy przy zadanej gȩstości pr adu. 7. Prawo Biota-Savarta. 8. Potencjał wektorowy zlokalizowanego układu pr adu na dużych odległościach; człon dipolowy; magnetyczny moment dipolowy płaskiej pȩtli z pr adem. VIII Elementy dynamiki pól elektrycznych i magnetycznych 1. Uogólnienie równań pola na przypadek pól zależnych od czasu: (a) Prawo indukcji Faraday a w postaci całkowej i różniczkowej. (b) Uogólnienie prawa Ampère a. 2. Rozwiązania równań Maxwella w postaci fal płaskich. 3. Ogólne rozwiązanie równań Maxwella przy różnej od zera gęstości ładunku i gęstości prądu. (a) Potencjał skalarny i wektorowy pól zależnych od czasu; swoboda wyboru cechowania potencjału. (b) Równania pola dla potencjałów; cechowanie Lorentza. (c) Ogólne rozwi azanie niejednorodnych równań falowych na potencjały: potencjały retardowane. 4. Pole elektromagnetyczne w dużej odległości od zlokalizownych źródeł zależnych od czasu w przybliżeniu dipolowym: (a) Wiodący wkład do wyrażenia na potencjał skalarny i wektorowy. (b) Wiodący wkład do pola B. (c) Wiodący wkład do pola E. Piotr R aczka 6