KilkazadańzAMII Tekst poprawiony 14 sierpnia po skrytykowaniu poprzedniej wersji przez dwie rozsądne panie. Obytakichbyłowięcej... inietylkopań.

Transkrypt

1 KilkazadańzAMII Tekst poprawiony 4 sierpnia po skrytykowaniu poprzedniej wersji przez dwie rozsądne panie. Obytakihbyłowięej... inietylkopań. Zadanie.Wykazać,żejednorodnakulaprzyiagapunktow amas e mztakasam a siłazjak aprzyi agaj a punkt materialny umieszzony w środku kuli, w którym skupiona jest masa równa masie kuli. Załóżmy,żeg estośćmasykulijestrówna,zyliżemasadowolnejjejz eśirówna jestjejobj etośi(trójwymiarowejmierzelebesgue a).możnaprzyj ać, że środkiem kuli jestpunkt 0 = (0, 0, 0)orazżemasa mznajdujesi ewpunkie (a, 0, 0),gdzie a > r, a r > 0oznazapromieńkuli.Siłaprzyiagania równa jest w tej sytuaji a x G ((a x) + y + z ) 3/dl 3, x +y +z r gdzie Goznazastałagrawitayjn a:masa mprzyiagamas e Mzsiła G m M,gdzie d d jestodległośiamasy modmasy M.Sałkujemykorzystaja z twierdzenia Fubiniego itwierdzeniaozamianiezmiennyh.nieh ( 0, r x ), θ ( π, π), y = osθ, z = sin θ.mamywtedy a x dl x +y +z r ((a x) +y +z ) 3/ 3 = r dx r x π (a x) d dθ = r 0 π ((a x) + ) 3/ = π r dx r x (a x) ((a x) + ) 3/ r 0 d = = π r (a x)( (a x) + r x ) / r r dx + π (a x)( (a x) + 0 ) / r dx = = π r (a x)( a + r ax ) / r r dx + π dx ====== przez r ześi = π(a a x)(a + r ax) / r + π r r a r (a + r ax) / + 4πr = ( = π a (a r) (a + r) ) π (a + r ax) 3/ r ( + 4πr = 3a r = 8πr π 3a (a r) 3 (a + r) 3) ( + 4πr = 4πr π 3a 6a r r 3) = = 4πr3 = 4πr3. 3a 3 a Otrzymaliśmydokładnietakiwynik,jakiegoozekiwaćnależałozgodnieztez adowodzonego twierdzenia. Zadanie. Definiujemy zbiór A = { (x, y, z): z 0, x 6+y +z, y z, y+ z }. Znaleźćśrodeki eżkośizbioru A(wzgl edemmiarylebesgue a). Poziomiefunkjipostai ax + by + z + dsa płaszzyznami, jeśli spełniona jest nierówność [a, b, ] [0, 0, 0].Nierównośćpostai ax + by + z + d 0opisujewi epółprzestrzeń,jednazdwuwyznazonyhprzezpłaszzyzn e ax+by +z +d = 0,gradient wskazujektóra: w wypadku tej nierównośi jest półprzestrzeń, do której styzny jest wektor [a, b, ].Wobezbiór Ajestz eśi awspóln api eiupółprzestrzeni.jestwi e zbioremwypukłym,jeślijestogranizony,tojestwielośianem,którymapi ećśian. Punkt 0 = (0, 0, 0)jestjegoelementem,ozymprzekonaćsi emożnapodstawiaj a x = y = z = 0dowszystkihpi eiunierównośi.zajmiemysi enajpierwzbiorem

2 A 4 = { (x, y, z): z 0, x 6 + y + z, y z }.Rozwiażemy teraz ztery układy równań: z = 0, x 6 + y + z = z = 0,, x 6 + y + z = x 6 + y + z =,, y z =, z = 0, x 6 + y + z = x 6 + y + z =,, y z = x 6 + y + z =,, y z =. Rozwiazaniamikolejnyhukładówrównańs apunkty: = (0,, 0), D = ( 3,, 0), C = ( 3,, 0), E = (0, 0, ). Odległośćkażdyhdwóhznihjestrówna 3,wi es a to wierzhołki zworośianu foremnegookraw edzi 3.Ponieważkażdyztyhpunktówjestelementemzbioru A 4,wi e A 4 jestzworośianemforemnymowierzhołkah, C, D, E.Widaćnatyhmiast,że, E / Aoraz C, D A.Nietrudnosprawdzić,żepunkty N = ( + C) = ) = ( 3,, 0 i M = ( +D) = ( ) 3,, 0 oraz K = (E +C) = ( ) 3,, i L = (E + D) = ) ( = 3,, leż anapłaszzyźnieorównaniu y + z =. E K L N M O = (0,0,0) C D Wobetego Atopi eiośianowierzhołkah K, L, M, N, C, D.Możnazauważyć, żejestonsumadwóhostrosłupów:trójk atnegoowierzhołkah C, D, N, Kizworokatnegoowierzhołkah K, L, M, N, D.Pi eiośiany KLMNCDi KLMNEsa przystajae,bos asymetryznewzgl edemprostej MK. Nieh Voznazaobj etośćzworośianu CDE.Wtedyobj etość Ajestrówna V, botopołowaobj etośizworośianu CDE.Natomiastobj etośćostrosłupatrójk atnego CDNKtoćwierćobj etośizworośianu CDE,bopolejegopodstawy,zylitrójkata CDNtopołowapolatrójkata CD a wysokość z wierzhołka K to połowa wysokośi zworośianu CDE.Ztegowynika,żetaobj etośćrównajest V ijestrównaobj etośi

3 ostrosłupazworokatnego KLMND,botaostatniato V V = V. Wynikaztyhrozważań,żeśrodkiemi eżkośipi eiośianu KLMNCDjestśrodek odinka,któregokońamisaśrodkii eżkośiostrosłupów CDNKi KLMNDC. Wprzestrzeni R 3 środkiemi eżkośistożkaowierzhołku Wipodstawie P,która jest ogranizonym zbiorem miary dodatniej zawartym w płaszzyźnie z = 0, jest punkt X = 3S + W,gdzie Soznazaśrodeki 4 4 eżkośipodstawy P.Wwypadkuostrosłupa trójkatnegojesttopunkt 3 (C + D + N) + K = (C + D + N + K) = ( C + D + + (+C)+ (C +E)) = + C+ D+ E,awwypadkuostrosłupazworok atnego (któregopodstawa jest równoległobok, a nawet kwadrat) punkt 3 (K + M) + D = 3 (E + C + D + ) + D = C + 7 D + 3 E, wi eśrodkiemi eżkośipi eiośianuoobj etośi Vjestpunkt ( + C + D + E C + 7 D + 3 E) = = (5 + C + D + 5E) = (0, 3 3, ). Zadanie.3 Nieh SO(3)oznazaspejalnagrup eortogonaln arz edu 3,tj.zbiórzłożonyztakihmaierzykwadratowyh Ao3wierszah,że A T A = Ii det A = }. SO(3) =: Mjesttrójwymiarowarozmaitośi azwart awr 9.Przekształeniex Ax przestrzeni R 3 nasiebiejestobrotemokat θ(a) wokół pewnej prostej l(a) przehodzaejprzez 0 = (0, 0, 0).Oblizyćwartośćśrednia funkji θ, zyli wielkość θ(a)dl M, l M M gdzie l M oznazamiar eriemanna Lebesgue anarozmaitośi M = SO(3). Ponieważkolumnymaierzy A SO(3)majadługość isa wzajemnie prostopadłe, wi eprzekształenielinioweokreślonezapomo amaierzy Ajestizometria,aponie- ważwyznazniktejmaierzyjestrówny,wi etaizometriazahowujeorientaj e. Wielomianharakterystyznymaierzy Ajeststopniatrzeiego,wi emarzezywisty pierwiastek,któregowartośćbezwzgl ednajestrównajeden(botowartośćwłasnaizometrii!).jeślitawartośi awłasn a jest, to wtedy ilozyn pozostałyh dwu wartośi własnyhteżjestrówny,wi emusz a one być rzezywiste(nierzezywiste byłyby sprz eżoneiihilozynembyłabylizba ).Wobetegotrzeiawartośi awłasn ajest lizba.wykazaliśmy,że jestwartośiawłasn amaierzy A SO(3).Pozostałedwie wartośiwłasnemogabyćrzezywisteiwtedyobies arówne alboobiesarówne lub nierzezywisteiwtedys alizbamizespolonymi,sprz eżonymiowartośibezwzgl ednej. Ozywiśieobarzezywisteprzypadkipodpadajapodtenshemat: ± = ±.Udowodniliśmy,żeizometriamaprostazłożon azpunktówstałyhizahowujeorientaj e.jeśli niejestidentyznośia, to w każdej płaszzyźnie prostopadłej do prostej własnej odpowiadajaejwartośiwłasnej madokładniejedenpunktstały,wi ejestobrotem wokółniego,zatemjestobrotemwokółprostejwłasnejodpowiadaj aej jedyne. Dodajmyjeszze,że M = SO(3)jestrozmaitośia, o wynika z liniowej niezależnośi gradientównast epuj ayhsześiufunkji(określonyhna R 9 ): a + a + a 3, a + a + a 3, a 3 + a 3 + a 33, 3

4 a a + a a + a 3 a 3, a a 3 + a a 3 + a 3 a 33, a a 3 + a a 3 + a 3 a 33 taliniowaniezależnośćjestnatyhmiastow akonsekwenj a liniowej niezależnośi kolumnmaierzy (a ij ) SO(3) = M.. Znajdziemymaierzobrotuokat θwokółprostejwyznazonejprzezwektor v = [a, b, ],przyzymzakładaćmożemy,że a + b + =,wi eżewektor vmadługość hodziokonkretnewzory,którepozwol aoblizyćmiar e M.ezstratyogólnośi możemyrównieżzałożyć,że 0,bomożemyzastapićwektor vwektorem v oś obrotuniezmienisi e.przypomnijmy,żemaierz aobrotuok at θwokółpunktu (0, 0) ( ) osθ sin θ na płaszzyźnie jest,wi sin θ osθ ewobroieok at θwektor e przehodzi nawektor os θ e + sin θ e. Nieh w = [x, y, z]b edziedowolnymwektorem.możemynapisać: w = (w v)v + (w (w v)v), wi eprzedstawiliśmywektor wwpostaisumywektorarównoległegodo viwektora prostopadłegodo v.wobroieokatprostywokół vskładowarównoległado vnie zmieniasi enatomiastskładowaprostopadłado v,zyli w (w v)v,przehodzina wektorprostopadłydo virównieżprostopadłydo w (w v)v.takimiwektorami sa ±v (w (w v)v) = ±v w.wdalszymiagub edziemyrozważaćobrótprzekształajaywektor w (w v)vnawektor v w(wybórznakudeydujeotym, wktórastron eobraamy).wwynikuobrotuok at θ wektor w przehodzi na wektor (w v)v+osθ(w (w v)v)+sinθ(v w) = ( osθ)(w v)v+osθ w+sin θ(v w). Wprowadzimyoznazenie A = ij a ij b ij = k i= ( m j= a ij b ij ),gdzie A, oznazajamaierzetegosamegowymiaru k m,unasb ed atomaierzewymiaru 3 3. Jest to ozywiśie ih standardowy ilozyn skalarny, gdy traktujemy je jakoelementyprzestrzeni R mk,wnaszymwypadku R 9.Zauważmy,żejeśli A, sama- ierzamikwadratowymitegosamegowymiaruia=a T (Ajestmaierzasymetryzn a) oraz = T (jestmaierzaantysymetryzn a)to A = 0 = A. Dlatakiego (a, b, θ),że a + b < i π < θ < πdefiniujemy a ab a b f(a, b, θ) = ( os θ) ab b b +os θ 0 0 +sin θ 0 a. a b 0 0 b a 0 Nierozpatruja a + b = oraz θ = ±πpomijamypodzbiór SO(3) = M,którego dwuwymiarowamiaralebesgue a Riemannajestzerem,wi enieistotnyzpunktuwidzenia tego zadania. Jak łatwo można stwierdzić zahodzi równość x f(a, b, θ) y = ( osθ)(w v)v + osθ w + sin θ (v w), z gdzie viwmajatakieznazeniejakpoprzednioprzy = a b.zahodza ozywisterównośi = a a oraz = b b.korzystaj av z nih otrzymujemy a b a 0 a 0 f (a, b, θ) = ( osθ) a b 0 ab + sin θ a 0, a ab a 0 0 4

5 f b (a, b, θ) = ( osθ) 0 a ab a b b b b ab + sin θ 0 b b iwreszie a ab a 0 b f (a, b, θ) = sin θ θ ab b b osθ 0 a. a b b a 0 Widzimy,żekażdaztyhtrzehpohodnyhz astkowyhfunkji fjestsumamaierzy symetryznejiantysymetryznej(wi ewektorówprostopadłyhwr 9 ).Mamyzatem f = f f = ( osθ)( ) 8a + b + ( a a a a ) + a b + sin θ ( a + ) = = ( osθ) ( ) ( + a + a4 +a b + sin θ b = b ( osθ) + sin θ ) = = 4 ( b )( os θ) korzystaliśmyzrównośi a + b + =.Analogiznie f = f f = )( os θ) oraz b b b 4( a f = f f = θ θ θ sin θ ( (a ) + (b ) + ( ) + a b + a + b ) + + os θ(a +b + ) = sin θ(a 4 +b a b +a +b +3)+ os θ = = sin θ + os θ = znówskorzystaliśmyzrównośi a + b + =. Mamyteż f f = ( a b osθ) (ab ab + a3 b ab + ab3 + 4ab) + ab sin θ = ( ( osθ) + sin θ ) =.Idalej f f = sin θ( osθ) ( a(a ) a( ) + ab + a a 3 ab ) a θ sin θ os θ( a+a) = 0ianalogiznie f f = 0.St ad b θ wynika, że maierz Grama wektorów f, f, f wygl ada a b θ tak: = ab 4ab( os θ) 4( b )( os θ) 4ab( os θ) 0 4ab( os θ) 4( a )( os θ) wi epierwiastekzjejwyznaznikarównyjest ( os θ) ( os θ) 4 a b = 4 = 4 os θ a. b Wynikastad,żemiar a Mjestlizba dl a +b <, θ <π 3 = 4 ( ) π a +b os θ < π a dθ dl b = 8π a +b < a dl b = = 8π ( ) π r 0 ϕ= π r dϕ dr = 6π r 0 r dr = 6π. Całkazkata,arazejzjegowartośibezwzgl ednej,to θ dl a +b <, θ <π 3 = 4 ( ) π θ ( os θ) a +b < π a dθ dl b = = 8 ( ) π θ( os θ) a +b < 0 a dθ dl b = 8 a +b < a dl b π θ( osθ)dθ = 0, = 8 π (θ θ sin θ osθ) π = 8 π (π + ) = 8π (π + 4). 0 Stadwynika,żeposzukiwanaśredniawartośćk ata(nieujemnego) równa jest 8π (π + 4) 6π = π + 4 π = π + π. Wstopniahto π ,48 = 6,48. π Ozywiśie wynik zależy od tego jak umieszzona została przestrzeń SO(3) w przestrzeni R 9.Jednakumieśiliśmyja w sposób naturalny. Można sprawdzić(może 5

6 warto?),żejeśli A SO(3)iX SO(3)oraz Xjestzbioremmierzalnym,tomiary zbiorów Xoraz AX = {A : X}sa równe. Oznaza to, że miara Lebesgue a Riemannajestwtymwypadkuzwiazanazalgebraizn astruktur a zbioru(grupy) SO(3). Zadanie.4Nieh n Ninieh b edziekul aośrodku 0ipromieniu wprzestrzeni R n.załóżmy,że f : Rjesttakafunkj aklasy C,że f(x) f(y) dxdy <. x y n+ Udowodnić, że funkja f jest stała. Udowodnić, że ϕ(x) ϕ(y) dxdy < x y n dlakażdejfunkji ϕ: R n R, ϕ C (R n, R). Zazniemyoddrugiejz eśi.ponieważfunkja ϕjestklasy C mwi efunkjaokreślona na R n wzorami r(x,y) = ϕ(x) ϕ(y) Dϕ(y)(x y) dlax yoraz r(x,x) = 0jestiagła x y na R n.wynikatonatyhmiastziagłośi Dϕ i z twierdzenia o wartośi średniej: ϕ(x) ϕ(y) Dϕ(y)(x y) x y sup 0<t< Dϕ(tx + ( t)y) Dϕ(y). Ponieważfunkja rjestiagł a,wi ejestogranizonanakażdymzbiorzezwartym. Istniejewi etakalizba C > 0,że r(x,y) C dladowolnyhx,y oraz Dϕ(y) Cdlakażdegoy.Stad wynika, że ϕ(x) ϕ(y) = Dϕ(y)(x y) + r(x,y)(x y) C x y. Stadwynika,że ϕ(x) ϕ(y) C,astad,że ϕ(x) ϕ(y) x y n x y n dx Cl x y n n (),wi e ϕ(x) ϕ(y) dxdy Cl x y n n (),okońzydowóddrugiejz eśitwierdzenia. Zajmiemysi epierwsz az eśi a.wistoierzezyb edzietoprawietosamorozumowanie.funkj e rdefiniujemytaksamozast epuj ajedynie ϕprzez f.jeśli Df(y) 0, todlapewnego v R n mamy Df(y)v 0iozywiśiejesttakrównieżdlawektorów w v,wi ejesttakdlaotwartegozbioruwektorów w.możemyzałożyć,żejesttak dlazwartegozbioru Koniepustymwn etrzu.mamywtedydlapewnejlizby a > 0 f(y + tw) f(y) = f(y + tw) f(y) tdf(y)w + tdf(y)w = = tw r(y + tw,y) + tdf(y)w tdf(y)w tw r(y + tw,y) ( a r(y + tw,y) ) tw dlawszystkih t [0, ],wi eistniejetakalizba δ > 0,że jeśli 0 < t δiw K,to f(y + tw) f(y) a tw.pozwalatooszaowaćlizb e f(x) f(y) dx zdołuprzez a,ataostatniaałkajestrówna +.Przezy x y n D x y n+ tozałożeniuoskońzonośiałki.wynikastad,że Df(y) = 0dlakażdegoy.Stad jednakwynika,żefunkja fjeststałana. Uwaga. W zasadzie w dowodzie drugiej zęśi twierdzenia(zyli w pierwszej zęśi rozwiązania) można od razu skorzystać z twierdzenia Lagrange a o wartośi średniej Tumożnaskorzystaćzzałożenia,że ϕjestklasy C ioszaowaćt eróżni edokładniej. 6

7 istwierdzić,żefunkjaklasy C spełniawaruneklipshitzazodpowiedniąstałąna kazdym zbiorze zwartym i wypukłym. Pierwszaz eśćtwierdzeniamożnadowieść,zakładaj a jedynie mierzalność funkji f.tezawtedyjestnieosłabsza:funkja fjeststałaprawiewsz edzie,toznazypo usuni eiuzjejdziedzinypewnegozbiorumiary 0.Zreszta tak to zadanie zostało zaproponowane,aleporozmowahzniektórymiosobamiprowadz aymi ćwizenia zostało uproszzone(sensniezmieniłsi e,natomiastdowóduprośiłsi e). 7