2.Wytrzymałość materiałów

Transkrypt

1 .Wytrzymłość mteriłów. Ścisknie i rozciąnie prętów.. Obiczyć o ie wydłuży się pod włsnym ciężrem pręt o dłuości, jeżei wykonny jest z uminium o ęstości,6 /cm i modue Youn E 64 P. y d.. D prętów pokznych n rysunkch obiczyć wydłużenie cłkowite. D przypdku C) wyznczyć również przemieszczeni punktów i. oduł Youn d wszystkich prętów przyjąć równy E. Dne:, E, d,, ) ) φd φ,5d φd φ,5d / C) φ φ φ /

2 .. Obustronnie utwierdzony pręt o przekroju kołowym (przedstwiony n rysunku) oziębiono o t C. Obiczyć rekcje ścin orz nprężeni w prętch, jeżei iniowy współczynnik rozszerzności wynosi α, moduł Youn jest równy E. Pręt dodtkowo obciążono siłą 7P zznczoną n rysunku. (Termiczne wydłużenie iniowe opisuje zeżność α t)? 7P? φd φd..4 Obustronnie utwierdzony pręt o przekroju kołowym (przedstwiony n rysunku) obciążono siłą Q nstępnie orzno. Obiczyć o ie orzno ten pręt, rekcję tkże nprężeni w prętch, jeżei rekcj jednej ze ścin po orzniu wynosi Q; iniowy współczynnik Q? Q φ,5 φ rozszerzności jest równy α, oduł Youn d pręt przyjąć równy E...5 Pręt o przekroju kołowym obciążony jest siłmi P i P jk przedstwiono n rysunku. Wyznczyć rekcję ścin. zerokość szczeiny wynosi δ moduł Youn d mteriłu z któreo wykonny jest pręt E. L L L φd P P φd δ..6 ir mostu w cłości m być znurzony w wodzie. Jk musi się zmienić przekrój poprzeczny teo firu wykonneo z betonu o ęstości, by nprężeni w dowonym przekroju były równe wytrzymłości betonu n ścisknie k c. Przyjąć że órn powierzchni firu obciążon jest równomiernie nciskiem powierzchniowym k c jej poe wynosi.

3 . Zinnie beek.. D beek przedstwionych n rysunkch sporządzić wykresy siły tnącej (T) orz momentu nąceo ( ) ) b) c),5,5.. W ceu zbdni wpływu nprężeń n włsności mnetyczne cił stosuje się próbki w ksztłcie psków mteriłu o przekroju prostokątnym w ukłdzie jk n rysunku. Jką wrtość muszą mieć siły by zbdć próbkę w zkresie do rnicy pstyczności (P), jeżei próbki mją dłuość L 9 cm, szerokość b cm i rubość h, mm. W jkim obszrze możn przeprowdzć bdni. / / /

4 .. Jk dłui pręt o msie cłkowitej m (o przekroju kołowym) możn wykonć z mteriłu o ęstości, by pręt ten po ułożeniu o poziomo i podprciu jeo końców nie ueł zniszczeniu pod włsnym ciężrem. Nprężenie mksymne n zinnie mteriłu pręt wynosi k. Wskźnik wytrzymłości przekroju porzeczneo beki n zinnie d beki o przekroju kołowym wynosi W π /4..4 Zprojektuj bekę o przekroju prostokątnym, przy złożeniu stłej jej rubości h const, jko bekę o równomiernej wytrzymłości n rozciąnie. Obiczeni wykonj d obciążeni przedstwioneo n rysunku. h / /..5 Po bece o dłuości podprtej n obu końcch może przemieszczć się człowiek o ciężrze G. Wyznczyć wymną rubość beki o przekroju kwdrtowym by człowiek nie spowodowł zniszczeni beki, jeżei nprężenie dopuszczne n zinnie wynosi k..6 Wyznczyć mksymną wrtość nprężeń rozciąjących w bece suwnicy przedstwionej n rysunku, jeżei wskźnik wytrzymłości przekroju porzeczneo beki n zinnie wynosi W. Q Q d

5 ozwiązni:... ozptrzmy wydłużenie eementu pręt o dłuości d znjdująceo się w odełości od doneo końc pręt. Eement ten jest rozciąny siłą równą co do wrtości ciężrowi pręt znjdująceo się poniżej teo eementu. m Z prw Hooke otrzymujemy: d E d d d d, d E E E by wyznczyć cłkowite wydłużenie pręt musimy zsumowć (scłkowć) wydłużeni wszystkich eementów d. d d E E d E Odpowiedź: cłkowite wydłużenie pręt wyniesie: E... ) ekcję ściny wyznczmy z zeżności:,mm Korzystjąc z prw Hooke otrzymujemy: σ εe E E Wydłużenie cłkowite jest sumą wydłużeń obu prętów: +, dzie πd, E E 5 (pręt jest ściskny) 9πd E 9 π d 6 ) ekcję ściny wyznczmy z zeżności: + ( ) , E E E

6 dzie π, d 9πd E C) 7 9π E 8 9π E 9 9π E 9 π d 6... Cłkowite wydłużenie pręt skłd się z wydłużeni (skróceni) termiczneo i wydłużeni mechniczneo. Z uwi n to, że pręt jest utwierdzony jest ono zerowe. t + m Wydłużenie termiczne obiczmy z zeżności: t α t - minus ozncz oziębinie, czynnik wynik z fktu że rozptrujemy wydłużenie obu frmentów pręt jednocześnie. Wydłużenie mechniczne jest sumą wydłużeń obu frmentów: m + E + ( 7P ) 4 ( 7P ) ( 7P 5 ) E Eπd + Eπd Eπd Z wrunków zdni: α t + α teπd 5 7P 5 ( 7P 5 ) ( 7P α teπd ) Eπd Druą rekcję obiczmy z wrunku równowi sił: 7P 5 ( 8P + α teπd ) 7P Nstępnie obiczmy nprężeni w prętch:

7 σ 4 ( 7P α teπd ) 8 8P α te - minus przed ozncz ścisknie. 5πd 5 5πd ( 8P + α teπd ) 8P + te σ α 5πd 5πd Q t 9αEπ Q Q σ 9π σ 4Q π..5. Wskzówk: cłkowite wydłużenie pręt wyniesie δ Jeżei przyjmiemy że obie rekcje skierowne są w ewo otrzymmy: 7 πd Eδ P + 6L πd Eδ P 6L..6. ozptrzmy eement firu o wysokości d. N órną powierzchnię teo eementu dził, zodnie z wrunkmi zdni sił: y k c, Wypdkow sił dziłjąc n eement d musi być równ zeru. r r ( + d) + + w + Qd ( + d) + Q, r d r w, d dzie w ozncz siłę wyporu dziłjącą n ten eement ntomist Q d jeo ciężr. + ( ) d ( ) d + ( ) ( d ( + d) w w ) iłę dziłjącą n don powierzchnię eementu możemy zpisć w postci: ( + d) ( + d) ( + d ) d + Przyrównując stronmi otrzymmy:

8 d d d d w w, Po scłkowniu otrzymmy: C w + n tłą C wyznczmy z wrunku że d poe (), stąd C n( ), czyi: w w ep, n Odpowiedź: Poe przekroju firu powinno rosnąć zodnie z równniem: w ep... ) Zdnie rozpoczynmy od wyznczeni rekcji podporowych. Z wrunku równowi momentów sił wzędem punktu otrzymujemy: Z równowi sił: y + Nstępnie bekę dzieimy n trzy obszry i wyznczmy w nich T i. << T. <<

9 4 T <<6 T ( ) + 4 N podstwie obiczeń sporządzmy odpowiednie wykresy: / 6 T 4/ / 6 -/ ) ekcje podporowe obiczmy noicznie jk w przypdku ) i otrzymujemy: Podobnie jk poprzednio wyznczmy T i w trzech obszrch:. << T. <<

10 T ( ) + +. <<6 T nie ue zminie n skutek dziłni pry sił o momencie więc : T Odpowiednie wykresy: T,5 6 -,5,5,5 -,5 6 C) ekcje podporowe wyznczmy z równowi momentów i sił, przy czym ciąły jednorodny rozkłd siły o ęstości trktujemy jk siłę przyłożoną w jeo centrum y + + D obszrów otrzymujemy:. << T. << T ( ) + +

11 Do wyznczeni momentu nąceo korzystmy z fktu że wkłd pochodzący od ciąłeo rozkłdu siły (n dłuości -) jest równowżny wkłdowi od siły (równej () (-)) umiejscowionej w środku teo rozkłdu (rmię dziłni tej siły to r (-)/). + ( ) r + ( ) ( ). <<4 T + + ( ) ()( r() ) + ( ) Wykresy sił i momentów przedstwi rysunek: T 4 -, by rozwiązć przedstwione zdnienie neży zbdć rozkłd nprężeń n powierzchni beki, czyi również rozkłd momentu nąceo. W tym ceu wyznczmy njpierw rekcje podporowe i. Z uwi n symetrię zdnieni mmy:

12 Nstępnie dzieimy bekę n trzy obszry o dłuości / kżdy i wyznczmy w nich moment nący: ) w obszrze I <</ b) w obszrze II /<</ + ( ) c) w obszrze III /<< Wykres momentu nąceo wyąd więc nstępująco: / / / Jk widć moment jest mksymny ( zrzem m stłą wrtość ) w obszrze od / do /, więc w tym obszrze neży prowdzić bdni. by zneźć wrtość nprężeń n powierzchni próbki korzystmy z zeżności: σ, W dzie W wskźnik wytrzymłości przekroju poprzeczneo beki n zinnie, d beki prostokątnej: bh W 6 Po podstwieniu otrzymmy: 6 σbh σ bh Jeżei z σ przyjmiemy rnicę pstyczności i podstwimy otrzymmy 8 8 N / m m 9 m N 9 m

13 σbh Odpowiedź: Neży przyłożyć siłę N... ekcje podporowe d pręt obciążoneo jednorodnie (ciężrem włsnym) będą sobie równe i równe połowie ciężru pręt: Q oment nący d tk obciążonej beki: Q ( ) by zneźć mksymną wrtość momentu iczymy pochodną wzędem. d d m 8 ( ) m D mksymneo momentu nąceo korzystmy z zeżności: m π kc, dzie W W 4 4π k C, 8π e m π m π k C m π 5 Odpowiedź: mksymn dłuość pręt wynosi: k C m π ek jest symetryczn, więc możemy rozptrywć zdnienie w przedzie <<, w tym przedzie tym moment nący opisny jest zeżnością:, d przekroju prostokątneo wskźnik wytrzymłości wynosi: b W 6 h Jeżei przyjmiemy d nprężeni jeo wrtość dopuszczną otrzymmy:

14 b σ dop W W σ stąd: b h σ dop dop h 6 Czyi otrzymujemy iniowo zmienijącą się szerokość przekroju z mksimum w środku beki równym: b m, h σ dop ek tk widzin z óry: b() b m b() tosownie tkiej beki byłoby jednk kłopotiwe, dteo w prktyce stosuje się beki o innym ksztłcie. jeżei podzieimy (myśowo) nszą bekę n pski tk jk pokzują inie przerywne i odpowiednio złożymy, to otrzymmy bekę będącą w istocie piórem resoru:..5. Wyznczmy rekcję podporową w podporze, w tym ceu skorzystmy z wrunku G

15 zerowni się momentów wzędem podpory : + G( ) ( ) G oment nący n ewo od człowiek: ( ξ ) Gξ ξ ( ), dzie ξ jest odełością od ewej podpory. oment ten osią wrtość ekstremną w punkcie dziłni siły G (jest to zrzem wrtość mksymn d cłej beki z uwi n brk innych sił poz rekcjmi podporowymi) G G Zbdjmy w jkim położeniu () człowiek wywoł njwiększy moment nący, w tym ceu poiczmy pochodną: d d G G Czyi mksymny moment nący d: m 4 P Z wrunku wytrzymłości n zinnie: k m, dzie W W h 6 P k h osttecznie: P h. k P Odpowiedź: bek musi mieć rubość co njmniej równą: h k

16 ..6. Z wrunków równowi momentów otrzymujemy rekcje podporowe: Q ( d ) Q ( + d ) omenty nące w miejscch przyłożeni sił (tyko tm moą one osiąć mksimum): Q ( d ), d siły n ewej osi wózk Q ( + d) Qd ( + d )( d ) Qd, d siły n prwej osi wózk W ceu znezieni mksymnych wrtości momentów nących iczymy ich pochodne wzędem i przyrównujemy je do zer. d d d 4 d m d Q d 4 d Q m d Jk widć ob momenty mją tką smą wrtość mksimum, więc do poiczeni mksymneo nprężeni możemy wziąć którykowiek z nich. σ m m Q d W W ksymn wrtość nprężeń rozciąjących wyniesie: σ m Q d W