Wprowadzenie do układów skorelowanych

Transkrypt

1 Wprowadzenie do układów skorelowanych Rafał Topolnicki Wrocław, 16 grudnia 2010 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

2 Plan Plan Formalizm drugiej kwantyzacji, Idea modelu Bose-Hubbarda, Wybrane twierdzenia na przypadku 1D, Analityczne rozwiązanie dla kryształu składającego się z dwóch elektronów i dwóch węzłów, Symulacja komputerowa: Problemy numeryczne, Operacje na macierzach rzadkich, Schemat działania programu, Wyniki Literatura Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

3 Plan O modelu Model Hubbarda to skrajnie uproszczony model uwzględniający oddziaływania elektron-elektron w ciele stałym Ashcroft Mermin Fizyka ciała stałego Możliwości Mimo swojej prostoty model jest niezwykle trudny do rozwiązania. Niemniej jednak pozwala na opis takich zjawisk jak: antyferromagnetyzm, ferromagnetyzm, ferrimagnetyzm, nadprzewodnictwo, przewidywanie metal/izolator Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

4 Plan O potrzebie modelu Hubbarda Model prawie swobodnych elektronów: elektrony poruszają się w periodycznym U(r + R) = U(r) potencjalne rdzeni jonowy (oddziaływanie jon-elektron), istnienie słabego potencjału prowadzi do pasmowej struktury ciała stałego, przybliżenie Hartree-Focka może prowadzić do błędnych wyników, przykład: CoO ma nieparzystą liczbę elektronów w komórce elementarnej - zgodnie z teorią pasmową powinien być przewodnikiem. Niestety jest izolatorem. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

5 Formalizm drugiej kwantyzacji Pierwsze kwantowanie Ogólna postać Hamiltonaniu układu N oddziaływujących cząstek: H = N T (x k ) k=1 N k l=1 V (x k, x l ) x k - dowolne współrzędne (przestrzenne, V (x k, x l ) - oddziaływanie między spinowe) każdą parą cząstek Stan układu opisuje funkcja falowa Ψ(x 1,..., x N, t) będąca rozwiązaniem rsch: i t Ψ(x 1,..., x N, t) = HΨ(x 1,..., x N, t) Cel: Wyrażenie Hamiltonaniu za pomocą operatorów kreacji i anihilacji Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

6 Formalizm drugiej kwantyzacji Stan n-cząstkowy Stan n bezspinowych nierelatywistycznych cząstek dany jest przez funckję falową Φ(x 1,..., x n ). Zbiór wszystkich takich funkcji całkowalnych z kwadratem tworzy przestrzeń Hilberta H n = L 2 (R 3n ) = {Φ(x 1,..., x n ); dx 1... dx n Φ(x 1,..., x n ) 2 < } Iloczyn tensorowy H - przestrzeń stanów jednocząstkowych. Przez stan układu n-cząstowego rozumiemy iloczyn φ 1... φ n = φ 1... φ n Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

7 Formalizm drugiej kwantyzacji Stan n-cząstkowy Stan n bezspinowych nierelatywistycznych cząstek dany jest przez funckję falową Φ(x 1,..., x n ). Zbiór wszystkich takich funkcji całkowalnych z kwadratem tworzy przestrzeń Hilberta H n = L 2 (R 3n ) = {Φ(x 1,..., x n ); dx 1... dx n Φ(x 1,..., x n ) 2 < } Iloczyn tensorowy H - przestrzeń stanów jednocząstkowych. Przez stan układu n-cząstowego rozumiemy iloczyn φ 1... φ n = φ 1... φ n Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

8 Formalizm drugiej kwantyzacji Iloczyn tensorowy - właściwości liniowość φ 1... (αφ i + βψ i )... φ n = α φ 1... φ i... φ n +β φ 1... ψ i... φ n iloczyn skalarny między φ 1,..., φ n i ψ 1,..., ψ n φ 1,..., φ n ψ 1,..., ψ n = φ 1 ψ 1... φ n ψ n = możemy określić przestrzeń liniową: określamy obserwable jednociałowe H... H = H n A j = I... A... I A j φ 1... φ j... φ n = φ 1... Aφ j... φ n Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

9 Formalizm drugiej kwantyzacji Symetryzacja przestrzeni Statystyka układu zależy od jego zachowania przy zamianie cząstek w układzie. Operator permutacji P π : H n H n, P π φ 1... φ n = φ π(1)... φ π(n) Zasada symetryzacji: Stan n identycznych cząstek kwantowych jest albo symetryczny albo antysymetryczny za względu na zamianę cząstek. Wprowadzamy operatory symetryzacji S + i antysymetryzacji S S = 1 ( 1) π P π S + = 1 n! n! π przestrzenie na które rzutują S + i S są ortogonalne (bo S + S = 0). W przestrzeni H n interesujące są dwie podprzestrzenie cząstki symetryczne - bozony H+ n = S + H n cząstki antysymetryczne - fermiony H n = S H n π P π Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

10 Formalizm drugiej kwantyzacji Przestrzenie ze zmienną liczbą cząstek Mamy przestrzeń stanów jednocząstkowych H, zsymetryzowaną przestrzeń H n ν n-cząstkową. Aby skonstruować przestrzeń, ze zmienną liczbą cząstek musimy wprowadzić przestrzeń H 0 = {λ Φ(0) ; λ C} Stan z nieustaloną liczbą cząstek dany jest jako ciąg: Φ = { Φ(0), Φ(1),..., Φ(n),...} = { Φ(n) } n Zbiór tych wektorów, które są normowalne tj: Φ Φ = Φ(n) Φ(n) < n=0 nazywamy przestrzenią Focka. Równoważnie możemy napisać F ν (H) = S ν H n n=0 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

11 Formalizm drugiej kwantyzacji Operatory kreacji i anihilacji Z każdym jednocząstkowym stanem φ i H wiążemy operator: kreacji c (φ) : S ν H n S ν H (n+1) zdefiniowany jako: c (φ) φ 1,..., φ n ν = n + 1 φ, φ 1,..., φ n ν anihilacji c(φ) : S ν H n S ν H (n 1) zdefiniowany przez: c(φ) φ 1,..., φ n ν = 1 n c(φ) = (c (φ)) n i=1 (ν) i 1 φ φ i φ 1,..., φ i 1, φ i+1,..., φ n ν Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

12 Formalizm drugiej kwantyzacji Reguły (anty)komutacji bozony fermiony [b k, b j ] = δ kj [b k, b j ] = [b k, b j ] = 0 {c r, c s} = δ rs {c r, c s } = {c r, c s} = 0 reguły te prowadzą do właściwej statystyki zakaz Pauliego (c s) 2 = (c s) 2 = 0 wartości własne operatora liczby cząstek 0,1 c sc s = 1 c sc s = (c sc s) 2 = c sc s Równanie Schrödingera w drugiej kwantyzacji Ĥ = r,s i Ψ(t) = Ĥ Ψ(t) t c r r T s c s + 1 c 2 rc s rs V tu c u c t Wprowadzenie do układow skorelowanych rstu Wrocław, 16 grudnia / 53

13 Formalizm drugiej kwantyzacji Reguły (anty)komutacji bozony fermiony [b k, b j ] = δ kj [b k, b j ] = [b k, b j ] = 0 {c r, c s} = δ rs {c r, c s } = {c r, c s} = 0 reguły te prowadzą do właściwej statystyki zakaz Pauliego (c s) 2 = (c s) 2 = 0 wartości własne operatora liczby cząstek 0,1 c sc s = 1 c sc s = (c sc s) 2 = c sc s Równanie Schrödingera w drugiej kwantyzacji Ĥ = r,s i Ψ(t) = Ĥ Ψ(t) t c r r T s c s + 1 c 2 rc s rs V tu c u c t Wprowadzenie do układow skorelowanych rstu Wrocław, 16 grudnia / 53

14 Model Hubbarda i jego właściwości Określenie modelu Założenia modelu: Sieć krystaliczna Λ składa się z węzłów Λ = {x, y,...} Zakładamy, że atomy sieci znajdują się w stanie podstawowym, Elektrony zewnętrznych powłok zostają uwspólnione - elektrony Blocha. Elektrony wewnętrznych powłok pozostają niezaburzone i związane z rdzeniem. Mogą jednak z niezerowym prawdopodobieństwem tunelować do sąsiednich węzłów. Pomijamy elektrony wewnętrznych powłok (za duża energia wzbudzenia) Pomijamy całkowicie strukturę wewnętrzną atomów. Elektrony żyją na sieci. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

15 Model Hubbarda i jego właściwości Przeskoki (hopping) elektronów Gdy pominiemy oddziaływania elektron-elektron H t = t ij c i c j ij Λ gdzie t ij = t ji odpowiada prawdopodobieństwu przejścia elektronu z węzła j do węzła i t ij i j = d 3 rφ(r R i ) φ(r R j ) φ(r R i ) - funkcja falowa elektronu na i-ty węźle. Uwzględniamy spin: H t = t ij c iσ c jσ ij Λ σ=, H t uwzględnia więc wszystkie możliwe przeskoki elektronów w układzie Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

16 Model Hubbarda i jego właściwości Przeskoki (hopping) elektronów W przybliżeniu ograniczamy się do najbliższych sąsiadów H t = t ij c iσ c jσ = 1D c iσ c (i+1)σ + c (i+1)σ c iσ iσ ij σ Bliskość w sensie geometrycznym nie musi oznaczać bliskości w sensie energetycznym. Gdy elektron znajduje się orbitalu s- lub d- wtedy łatwiej przeskoczyć mu do sąsiada po przekątnej. Najlepsze wyniki uzyskuje się uwględniając przeskoki do najbliższego i drugiego-najbliżeszego sąsiada. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

17 Model Hubbarda i jego właściwości Przeskoki (hopping) elektronów W przybliżeniu ograniczamy się do najbliższych sąsiadów H t = t ij c iσ c jσ = 1D c iσ c (i+1)σ + c (i+1)σ c iσ iσ ij σ Bliskość w sensie geometrycznym nie musi oznaczać bliskości w sensie energetycznym. Gdy elektron znajduje się orbitalu s- lub d- wtedy łatwiej przeskoczyć mu do sąsiada po przekątnej. Najlepsze wyniki uzyskuje się uwględniając przeskoki do najbliższego i drugiego-najbliżeszego sąsiada. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

18 Model Hubbarda i jego właściwości Oddziaływanie elektronów ze sobą Najogólniejsza postać: U = d 3 r 1 d 3 r 2 φ(r 1 ) 2 V ( r 1 r 2 ) φ(r 2 ) 2 Oddziaływanie Columbowskie jest długo zasięgowe. W ciele stałym jest ono jednak ekranowane: V (r) = 1 r e rk długość ekranowania k 1 jest wielkością rzędu promienia Bohra stąd największy wkład mają dwukrotnie okupowane stany: H U = U i n i n i Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

19 Model Hubbarda i jego właściwości Hamitonian Hubbarda H = H t + H U = t ij c iσ c jσ + U ij Λ σ i Λ σ = t i,j,σ n iσ ( ) c iσ c jσ + c jσ c iσ + U iσ n iσ... i jego podstawowe właściwości fizyka układu zależy od U/t U podwójne obsadzanie węzłów jest energetycznie niekorzystne. Gdy N = Λ układ dąży stanu n jσ = 1 j, σ. Fluktuacje ładunku są kosztowne energetycznie - izolator. dla U < człon kinetyczny i potencjalny konkurują ze sobą dla U = 0 metal Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

20 Model Hubbarda i jego właściwości Hamitonian Hubbarda H = H t + H U = t ij c iσ c jσ + U ij Λ σ i Λ σ = t i,j,σ n iσ ( ) c iσ c jσ + c jσ c iσ + U iσ n iσ... i jego podstawowe właściwości fizyka układu zależy od U/t U podwójne obsadzanie węzłów jest energetycznie niekorzystne. Gdy N = Λ układ dąży stanu n jσ = 1 j, σ. Fluktuacje ładunku są kosztowne energetycznie - izolator. dla U < człon kinetyczny i potencjalny konkurują ze sobą dla U = 0 metal Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

21 Użyteczne obserwable Model Hubbarda i jego właściwości Operator całkowitej liczby cząstek Oczywiście 0 N 2 Λ Operator spinu w węźle i Λ Ŝ (α) i = 1 2 ˆN = i Λ,σ n i,σ c iσ (p(α) ) σ,τ c iσ σ,τ gdzie α = 1, 2, 3 i p (α) to macierze Pauliego: [ ] [ ] p (1) 0 1 =, p (2) 0 i = 1 0 i 0, p (3) = [ ] Operator całkowitego spinu Ŝ (α) tot = i Λ S (α) i Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

22 Model Hubbarda i jego właściwości... i ich własności [ ˆN, H] = 0 - hamiltonian nie zmienia liczby cząstek w układzie, [Ŝ(α) tot, H t ] = [Ŝ(α) tot, H U ] = 0 operatory Ŝ(α) tot nie komutują ze sobą. Postępujemy podobnie jak w wypadku momentu pędu. Operator kwadratu całkowitego spinu: (Ŝ tot ) 2 = 3 (Ŝ(α) tot ) 2 α=1 Wartości własne Ŝ(3) tot i (Ŝ tot ) 2 to odpowiednio S (3) tot i S tot (S tot + 1). Maksymalny spin { N/2 gdy 0 N Λ S max = Λ N/2 gdy Λ N 2 Λ Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

23 Model Hubbarda i jego właściwości Non-Hopping System Wróćmy do najogólniejszej postaci HH. Załóżmy, że t ij = 0. Wtedy macierz hamiltonianu jest diagonalna. Niech X σ Λ to zbiór wszystkich węzłów sieci zajętych przez elektrony o spinie σ. Stan własny hamiltonianu: Ψ = Energia własna: i X c i E = j X c j x X X U x Stan podstawowy dla danej liczby elektronów E można wybrać tak aby minimalizował energię E. Jeżeli N = X + X Λ stan można wybrać tak aby X X =, wtedy E = 0. Brak uporządkowania. Paramagnetyk Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

24 Model Hubbarda i jego właściwości Non-Hopping System Wróćmy do najogólniejszej postaci HH. Załóżmy, że t ij = 0. Wtedy macierz hamiltonianu jest diagonalna. Niech X σ Λ to zbiór wszystkich węzłów sieci zajętych przez elektrony o spinie σ. Stan własny hamiltonianu: Ψ = Energia własna: i X c i E = j X c j x X X U x Stan podstawowy dla danej liczby elektronów E można wybrać tak aby minimalizował energię E. Jeżeli N = X + X Λ stan można wybrać tak aby X X =, wtedy E = 0. Brak uporządkowania. Paramagnetyk Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

25 Non-Interacting System Model Hubbarda i jego właściwości Oddziaływanie między elektronami znosimy przyjmując U i = 0 i Λ. Jednoelektronowe równanie Schrödingera: t xy ϕ y = εϕ x y Λ gdzie ϕ = (ϕ x ) (x Λ) - jednoelektronowa funkcja falowa, ε - jej energia własna. Oznaczmy stany własne powyższego równania przez ϕ (j) = (ϕ (j) x ) x Λ a energie własne przez ε j. Definiujemy operator kreacji w stanie własnym ϕ (j) jako: a jσ = x Λ ϕ (j) x c xσ Niech A i B to dwa dowolne podzbiory Λ spełniające A + B = N. Można pokazać, że stan własny i energia własna H = H t wynoszą: Ψ A,B = j A a j j B a j, E A,B = ε j + ε j j A j B Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

26 Model Hubbarda i jego właściwości Non-Interacting System Wybierając A i B tak aby minimalizować E A,B otrzymamy stan podstawowy Ψ GS. Gdy widmo energii własnych jest niezdegenerowane a N parzyste stan podstawowy jest zadany jednoznacznie N/2 Ψ GS = j=1 a j a j Całkowity spin tego stanu wynosi 0 a stan wykazuje właściwości paramagnetyczne. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

27 Model Hubbarda i jego właściwości Najniższa energia Niech N jest ustaloną liczbą elektronów. Dla S = 0, 1,..., S max. Określamy E min (S) jako najniższą możliwą energię własną stanów które spełniają ˆNΦ = NΦ oraz ( S ˆ tot ) 2 Φ = S(S + 1)Φ Magnetyczne właściwości układu Jeżeli całkowity spin stanu podstawowego jest proporcjonalny do wielkości układu Λ = ferromagnetism in broad sens Jeżeli dodatkowo całkowity spin stanu podstawowego jest równy S max to mówimy że system wykazuje saturated ferromagnetism Zgodnie z poprzednią definicją możemy napisać: E min (S) > E min (S max ) S < S max Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

28 Model Hubbarda i jego właściwości Najniższa energia Niech N jest ustaloną liczbą elektronów. Dla S = 0, 1,..., S max. Określamy E min (S) jako najniższą możliwą energię własną stanów które spełniają ˆNΦ = NΦ oraz ( S ˆ tot ) 2 Φ = S(S + 1)Φ Magnetyczne właściwości układu Jeżeli całkowity spin stanu podstawowego jest proporcjonalny do wielkości układu Λ = ferromagnetism in broad sens Jeżeli dodatkowo całkowity spin stanu podstawowego jest równy S max to mówimy że system wykazuje saturated ferromagnetism Zgodnie z poprzednią definicją możemy napisać: E min (S) > E min (S max ) S < S max Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

29 Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie Lieba-Mattisa Rozważmy model Hubbarda na jednowymiarowej sieci Λ = {1, 2,..., N} z otwartymi warunkami brzegowymi. Zakładamy, że t xx <, 0 < t xy < gdy x y = 1 i t xy = 0 w przeciwnym przypadku. Niech dodatkowo U x <, wtedy energia minimalna E min (S) spełnia nierówność: dla każdego S = 0, 1,..., S max. Wnioski E min (S) < E min (S + 1) stan podstawowy układu ma całkowity spin S tot = 0, brak ferromegnetyzmu, twierdzenie nie jest udowodnione dla periodycznych warunków brzegowych, zupełnie inne zachowanie układu gdy dopuszczamy przeskoki do drugiego sąsiada, Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

30 Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie Lieba-Mattisa Rozważmy model Hubbarda na jednowymiarowej sieci Λ = {1, 2,..., N} z otwartymi warunkami brzegowymi. Zakładamy, że t xx <, 0 < t xy < gdy x y = 1 i t xy = 0 w przeciwnym przypadku. Niech dodatkowo U x <, wtedy energia minimalna E min (S) spełnia nierówność: dla każdego S = 0, 1,..., S max. Wnioski E min (S) < E min (S + 1) stan podstawowy układu ma całkowity spin S tot = 0, brak ferromegnetyzmu, twierdzenie nie jest udowodnione dla periodycznych warunków brzegowych, zupełnie inne zachowanie układu gdy dopuszczamy przeskoki do drugiego sąsiada, Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

31 Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie Koma-Tasakiego Rozważmy model Hubbarda w 1 lub 2 wymiarach z skończonymi przeskokami. Istnieją wtedy stałe α, γ oraz { c x y c c x c αf(β) dla d = 2 y c y + h.c β exp( γf(β) x y ) dla d = 1 i S x S y β { x y αf(β) dla d = 2 exp( γf(β) x y ) dla d = 1 dla odpowiednio dużego x y, gdzie... β to średnia kanoniczna w granicy termodynamicznej β = 1/kT a f(β) to malejąca funkcja β która dla małych β zachowuje się jak ln β a dla dużych jak β 1. Wnioski Nie tworzą się pary elektronowe nie ma nadprzewodnictwa. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

32 Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie Koma-Tasakiego Rozważmy model Hubbarda w 1 lub 2 wymiarach z skończonymi przeskokami. Istnieją wtedy stałe α, γ oraz { c x y c c x c αf(β) dla d = 2 y c y + h.c β exp( γf(β) x y ) dla d = 1 i S x S y β { x y αf(β) dla d = 2 exp( γf(β) x y ) dla d = 1 dla odpowiednio dużego x y, gdzie... β to średnia kanoniczna w granicy termodynamicznej β = 1/kT a f(β) to malejąca funkcja β która dla małych β zachowuje się jak ln β a dla dużych jak β 1. Wnioski Nie tworzą się pary elektronowe nie ma nadprzewodnictwa. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

33 Model Hubbarda i jego właściwości Half-Filled Systems Half-Filled System - N = Λ - fizycznie najczęściej spotykana sytuacja. Przybliżenia U t Pokazaliśmy wcześniej, że można tak wybrać podsieci X, X żeby E = 0 W układach HF N = Λ X X = = X X = Λ. Stąd stan podstawowy ( ) Ψ σ =, σ = (σ(x)) x Λ x Λ c x,σ(x) Można pokazać, że zamiana spinu: prowadzi do obniżenia energii własnych. Zgodność z modelem Heisenberga antyferromagnetyzmu. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

34 Model Hubbarda i jego właściwości Definicja: Dwudzielność Rozważmy dowolny model Hubbarda na sieci Λ. Powiemy, że układ jest dwudzielny, jeżeli Λ może być przedstawiony jako rozłączna suma dwóch zbiorów A i B (tj. Λ = A B i A B = ) oraz t xy = 0 ( x, y A lub x, y B) Twierdzenie Lieba Rozważmy dowolny dwudzielny model Hubbarda na dowolnej spójnej sieci Λ. Zakładamy, że Λ jest parzyste oraz że U x = U > 0 x Λ. Wtedy stan podstawowy jest niezdegenerowany i jego spin całkowity wynosi S tot = A B /2 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

35 Model Hubbarda i jego właściwości Twierdzenie o znaku korelacji spinowych Przy założeniach poprzedniego twierdzenia zachodzi: Ψ GS ˆ Sx Ŝ y Ψ GS = { > 0 gdy x, y A albo x, y B < 0 gdy x A, y B albo x B, y A Ferrimagnetyzm na przykładzie CuO sieć możemy podzielić na dwie podsieci - czarną i białą, na czarnej sieci długości L znajduje się L 2 czarnych i 2L 2 białych węzłów, zakładamy, że t xy 0 dla każdej krawędzi, z tw. Lieba mamy S tot = A B /2 = L 2 /2 ale całkowity spin 3L 2 ferrimagnetyzm Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

36 Model Hubbarda i jego właściwości Prawdziwa sieć CuO Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

37 Model Hubbarda i jego właściwości Ferromagnetyzm w modelu Hubbarda Ferromagnetyzm - wszystkie spiny w tą samą stronę, Układy Half-Filled mają tendencję do antyferromagnetyzmu, Twierdzenie - brak ferromagnetyzmu dla małych U Niech {ε j } j=1,...,n to energie własne stanów jednoelektronowych ε j ε j+1. Jeżeli 0 U ε N ε 1 to E min (S max 1) < E min (S max ) i w stanie podstawowym nie zachodzi S tot = S max Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

38 Model Hubbarda i jego właściwości Nagaoka s Ferromanetism Niech Λ to dowolna sieć. Niech txy 0, U x = i N = Λ 1. Istnieje wtedy stan podstawowy z S tot = S max. Jeżeli układ jest spójny to stan ten niezdegenerowany. Mielke s Ferromanetism Weźmy dowolny model Hubbarda na sieci typu kagome, wtedy dla każdego U > 0, stan podstawowy układu ma S tot = S max i jest niezdegenerowany. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

39 Nagaoka s Ferromanetism Model Hubbarda i jego właściwości Niech Λ to dowolna sieć. Niech txy 0, U x = i N = Λ 1. Istnieje wtedy stan podstawowy z S tot = S max. Jeżeli układ jest spójny to stan ten niezdegenerowany. Mielke s Ferromanetism Weźmy dowolny model Hubbarda na sieci typu kagome, wtedy dla każdego U > 0, stan podstawowy układu ma S tot = S max i jest niezdegenerowany. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

40 Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 Weźmy skrajnie uproszczony przypadek - N=2 elektrony, Λ =2 węzły sieci Obserwacje: stan wektory bazowe binkod φ 1 c 1 c φ 2 c 0 c φ 3 c 0 c φ 4 c 1 c φ 5 c 1 c φ 6 c 0 c Macierz dowolnego operatora w bazie { φ i } i będzie macierzą 6x6, Suma jedynek w binkodzie jest równa ilości elektronów, Wektory bazowe nie są zadane jednoznacznie, Stany c iσ c iσ nie są dozwolone, Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

41 Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Hamiltonian Hamiltonian Hubbarda redukuje się do: ( ) H = H t + H U = c 0 c 1 + c 1 c 0 + c 0 c 1 + c 1 c 0 + U (n 0 n 0 + n 1 n 1 ) Szukamy jego elementów macierzowych, tj: H ij = φ i H φ j = φ i (H t + H U ) φ j = φ i H t φ j + φ i H U φ j Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

42 Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Hamiltonian. Część potencjalna Widać, że część potencjalna daje wkład jedynie gdy dany węzeł jest zajmowany przez 2 elektrony. Jest to miara ich elektrostatycznego oddziaływania. { 0 φi i = {1, 3, 4, 6} H U φ i = U φ i i = {2, 5} Stąd macierz potencjalnej składowej hamiltonianu ma postać: H U = U Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

43 Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Hamiltonian. Część kinetyczna Aby znaleźć stan H t φ i korzystamy z relacji antykomutacyjnych dla fermionów: {a r, a s} = δ rs a r a s = 1 a sa r Dla przykładu znajdziemy: { {a r, a a s} = {a r, a s } = 0 r a s = a sa r a r a s = a s a r H t φ 2 = t(c 1 c 0 + c 1 c 0 )c 0 c 0 0 = t(c ( 1 c 0 c 0 c 0 + c 1 c 0 c 0 c 0 ) 0 ) = t c 1 c 0 c 0 c 0 + c 1 (1 c 0 c 0 )c 0 0 ( ) = t c 1 c 0 (1 c 0 c 0 ) + c 1 (1 c 0 c 0 )c 0 0 = t c 1 c 0 + c 1 c 0 c 0 c 0 +c 1 }{{} c 0 c 1 c 0 c 0 c 0 0 }{{} ( =0 ) =0 = t c 1 c 0 + c 1 c 0 0 = t( ) Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

44 Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Hamiltonian. Część kinetyczna Aby znaleźć stan H t φ i korzystamy z relacji antykomutacyjnych dla fermionów: {a r, a s} = δ rs a r a s = 1 a sa r Dla przykładu znajdziemy: { {a r, a a s} = {a r, a s } = 0 r a s = a sa r a r a s = a s a r H t φ 2 = t(c 1 c 0 + c 1 c 0 )c 0 c 0 0 = t(c ( 1 c 0 c 0 c 0 + c 1 c 0 c 0 c 0 ) 0 ) = t c 1 c 0 c 0 c 0 + c 1 (1 c 0 c 0 )c 0 0 ( ) = t c 1 c 0 (1 c 0 c 0 ) + c 1 (1 c 0 c 0 )c 0 0 = t c 1 c 0 + c 1 c 0 c 0 c 0 +c 1 }{{} c 0 c 1 c 0 c 0 c 0 0 }{{} ( =0 ) =0 = t c 1 c 0 + c 1 c 0 0 = t( ) Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

45 Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Hamiltonian. Część kinetyczna Stąd macierz H Podobnie znajdujemy pozostałe stany: t ma postać: H t φ 1 = 0 H t φ 2 = t( φ 3 + φ 4 ) H t φ 3 = t( φ 2 + φ 5 ) H t = t H t φ 4 = t( φ 2 + φ 5 ) H t φ 5 = t( φ 3 + φ 4 ) H t φ 6 = 0 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

46 Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Hamiltonian. Część kinetyczna Stąd macierz H Podobnie znajdujemy pozostałe stany: t ma postać: H t φ 1 = 0 H t φ 2 = t( φ 3 + φ 4 ) H t φ 3 = t( φ 2 + φ 5 ) H t = t H t φ 4 = t( φ 2 + φ 5 ) H t φ 5 = t( φ 3 + φ 4 ) H t φ 6 = 0 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

47 Toy-Model N=2, Λ =2 Model N=2, Λ =2 - Całkowity hamiltonian Macierz całkowitego hamiltonianu układu wynosi więc: U t t 0 0 H = H t + H U = 0 t 0 0 t 0 0 t 0 0 t t t U Struktura powyższej macierzy jest identyczna z macierzą operatora spinu S z +1 0 Stąd wniosek, że stan φ 1 odpowiada liczbie S z = 0 kwantowej S z = +1, stan φ 6 liczbie S z = 1 0 a stany φ 2... φ 5 liczbie S z = Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

48 Toy-Model N=2, Λ =2 Zmniejszenie wymiaru macierzy H Zachowanie S z pod działaniem H, które wynika z ogólnego faktu [H, S z ] = 0, pozwala zredukować macierz 6x6 do dwóch macierzy 1x1 i jednej 4x4 Operator odbicia lustrzanego Zdefiniujmy operator odbicia lustrzanego na sieci Λ = {0, 1} M(0) = 1, M(1) = 0 Z operatorem M można stowarzyszyć operator M w przestrzeni Hilberta rozwiązań: Mc 0σ c 1π 0 = c M(0)σ c M(1)π 0 = c 1σ c 0π 0 σ, π {, } Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

49 Toy-Model N=2, Λ =2 Zmniejszenie wymiaru macierzy H Zachowanie S z pod działaniem H, które wynika z ogólnego faktu [H, S z ] = 0, pozwala zredukować macierz 6x6 do dwóch macierzy 1x1 i jednej 4x4 Operator odbicia lustrzanego Zdefiniujmy operator odbicia lustrzanego na sieci Λ = {0, 1} M(0) = 1, M(1) = 0 Z operatorem M można stowarzyszyć operator M w przestrzeni Hilberta rozwiązań: Mc 0σ c 1π 0 = c M(0)σ c M(1)π 0 = c 1σ c 0π 0 σ, π {, } Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

50 Toy-Model N=2, Λ =2 Symetrie w układzie Dla wektorów bazy φ i mamy: M φ 1 = φ 1 M φ 2 = + φ 5 M φ 3 = + φ 4 M φ 4 = + φ 3 M φ 5 = + φ 2 M φ 6 = φ 6 Stany φ 1, φ 6 wykazują (anty)parzystość. Chcemy aby pozostałe stany również miały taką właściwość. Dokonujemy zmiany wektorów bazowych na: ψ 1 = φ 1 ψ 2 = 1 2 ( φ 2 + φ 5 ) ψ 3 = 1 2 ( φ 3 + φ 4 ) ψ 4 = 1 2 ( φ 3 φ 4 ) ψ 5 = 1 2 ( φ 2 φ 5 ) ψ 6 = φ 6 Nowe wektory parzyste są symetryczne lub antysymetryczne: M ψ 1 = ψ 1 M ψ 2 = + ψ 2 M ψ 3 = + ψ 3 M ψ 4 = ψ 4 M ψ 5 = ψ 5 M ψ 6 = ψ 6 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

51 Toy-Model N=2, Λ =2 Symetrie w układzie Dla wektorów bazy φ i mamy: M φ 1 = φ 1 M φ 2 = + φ 5 M φ 3 = + φ 4 M φ 4 = + φ 3 M φ 5 = + φ 2 M φ 6 = φ 6 Stany φ 1, φ 6 wykazują (anty)parzystość. Chcemy aby pozostałe stany również miały taką właściwość. Dokonujemy zmiany wektorów bazowych na: ψ 1 = φ 1 ψ 2 = 1 2 ( φ 2 + φ 5 ) ψ 3 = 1 2 ( φ 3 + φ 4 ) ψ 4 = 1 2 ( φ 3 φ 4 ) ψ 5 = 1 2 ( φ 2 φ 5 ) ψ 6 = φ 6 Nowe wektory parzyste są symetryczne lub antysymetryczne: M ψ 1 = ψ 1 M ψ 2 = + ψ 2 M ψ 3 = + ψ 3 M ψ 4 = ψ 4 M ψ 5 = ψ 5 M ψ 6 = ψ 6 Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

52 Toy-Model N=2, Λ =2 Symetrie upraszczają H Największy zysk z wprowadzenia bazy { ψ i } i manifestuje się uproszczeniu macierzy H. H t ψ 1 = 0 H t ψ 2 = 2t ψ 3 H t ψ 3 = 2t ψ 2 H t ψ 4 = 0 H t ψ 5 = 0 H t ψ 6 = 0 H U ψ 2 = U ψ 2 H U ψ 5 = U ψ 5 U 2t 0 0 H (Sz=0) = 2t U Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

53 Toy-Model N=2, Λ =2 Wartości własne H = U 2t t U Wartości własne macierzy H E = 0 tryplet dla trzech wartości spinu (S z = +1, 0, 1), E = U wartość odpowiadająca wektorowi ψ 5, E ± = U/2 ± (U/2) 2 + 4t 2 Stan podstawowy ma energię odpowiada energii E < 0 i jest singletem. Pierwszy stan wzbudzony jest trypletem o energii E = 0. Funkcja falowa stanu podstawowego ( E = 4 ψ 2 + U + ) U t U ψ 3 GGGGGGGGGGA ψ 3 φ 3 + φ 4 Dla U t mamy: E 4t2 U, E + U Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

54 Toy-Model N=2, Λ =2 Wartości własne H = U 2t t U Wartości własne macierzy H E = 0 tryplet dla trzech wartości spinu (S z = +1, 0, 1), E = U wartość odpowiadająca wektorowi ψ 5, E ± = U/2 ± (U/2) 2 + 4t 2 Stan podstawowy ma energię odpowiada energii E < 0 i jest singletem. Pierwszy stan wzbudzony jest trypletem o energii E = 0. Funkcja falowa stanu podstawowego ( E = 4 ψ 2 + U + ) U t U ψ 3 GGGGGGGGGGA ψ 3 φ 3 + φ 4 Dla U t mamy: E 4t2 U, E + U Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

55 Toy-Model N=2, Λ =2 Zależność energii stanów od wartości U Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

56 Toy-Model N=2, Λ =2 Efektywniejsze sposoby znajdywania elementów macierzowych Metoda obrazkowa Załóżmy, że mamy układa składający się z dwóch elektronów i trzech węzłów. Element macierzowy H ij między stanem ψ i i ψ j ψ j = H ij = t przeskok ψ i = ψ k = H ik = 0 obrót spinu ψ l = H il = 0 podwójny przeskok ψ n = H in = t przeskok Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

57 Toy-Model N=2, Λ =2 Efektywniejsze sposoby znajdywania elementów macierzowych Reprezentacja liczb obsadzeń c i n 1,..., n M = n i + 1 n 1,..., n i + 1,..., n M c i n 1,..., n M = n i n 1,..., n i 1,..., n M ˆn i n 1,..., n M = n i n 1,..., n i,..., n M dla bozonów dla fermionów n i = {0, 1,..., N}, n i = N n i = {0, 1}, n i = N i i Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

58 Problemy numeryczne Wartości własne Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić że: 1 Macierze są bardzo duże np: ( ) ( 2N M 2N ) ( M = 18 ) ( 9 18 ) 9 = Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla typu double 2,2GB; dla int 1,1GB) 2 Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe, 3 Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu, podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U, 4 Interesuje nas 10% wartości własnych Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

59 Problemy numeryczne Wartości własne Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić że: 1 Macierze są bardzo duże np: ( ) ( 2N M 2N ) ( M = 18 ) ( 9 18 ) 9 = Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla typu double 2,2GB; dla int 1,1GB) 2 Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe, 3 Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu, podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U, 4 Interesuje nas 10% wartości własnych Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

60 Problemy numeryczne Wartości własne Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić że: 1 Macierze są bardzo duże np: ( ) ( 2N M 2N ) ( M = 18 ) ( 9 18 ) 9 = Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla typu double 2,2GB; dla int 1,1GB) 2 Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe, 3 Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu, podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U, 4 Interesuje nas 10% wartości własnych Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

61 Problemy numeryczne Wartości własne Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić że: 1 Macierze są bardzo duże np: ( ) ( 2N M 2N ) ( M = 18 ) ( 9 18 ) 9 = Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla typu double 2,2GB; dla int 1,1GB) 2 Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe, 3 Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu, podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U, 4 Interesuje nas 10% wartości własnych Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

62 Problemy numeryczne Jak szukać wartości własnych Istnieje wiele bibliotek numeryczncyh umożliwiających szukanie wartości własnych. Skupimy się na dwóch: GSL W stylu C, Prosta w obsłudze, Nie obsługuje macierzy rzadkich, Działa jedynie na double, Bardzo popularna. ARPACK++ Obiektowość, Trudna i nieintuicyjna w obsłudze, Obsługa macierzy rzadkich, Nie narzuca typu danych, Niewiele szybsza niż GSL. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

63 Problemy numeryczne Jak szukać wartości własnych Istnieje wiele bibliotek numeryczncyh umożliwiających szukanie wartości własnych. Skupimy się na dwóch: GSL W stylu C, Prosta w obsłudze, Nie obsługuje macierzy rzadkich, Działa jedynie na double, Bardzo popularna. ARPACK++ Obiektowość, Trudna i nieintuicyjna w obsłudze, Obsługa macierzy rzadkich, Nie narzuca typu danych, Niewiele szybsza niż GSL. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

64 Problemy numeryczne Definicja: Macierz rzadka Macierz rzadka to macierz, której większość elementów stanowią zera. Format CSC (Harwell-Boeing) Istnieją specjalne formaty przechowywania macierzy rzadkich. ARPACK++ używa formatu CSC val = M = row = col = Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

65 Problemy numeryczne Definicja: Macierz rzadka Macierz rzadka to macierz, której większość elementów stanowią zera. Format CSC (Harwell-Boeing) Istnieją specjalne formaty przechowywania macierzy rzadkich. ARPACK++ używa formatu CSC val = M = row = col = Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

66 Problemy numeryczne Przykłady macierzy w modelu Hubbarda Rysunek: Niezerowe elementy macierzy dla 7 elektronów i 7 węzłów, stanowią jedynie 0.2% wszystkich elementów Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

67 Problemy numeryczne Przykłady macierzy w modelu Hubbarda Rysunek: Zależność procentowej ilości niezerowych elementów od ilości elektronów dla przypadku N = M. Prawo potęgowe! Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

68 Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 Znajdujemy przestrzeń Hilberta. Na sieć M = Λ węzłów można nanieść 0 N 2M elektronów na 2 2M sposobów. W tym celu wprowadzamy innną numerację stanów węzeł spin... nr Wtedy każdemu stanowi odpowiada liczba w systemie dwójkowym np: węzeł spin... bin Spośród wszystkich wszystkich możliwych stanów wybieramy te z ustaloną liczbą elektronów N - ilość jedynek w binkodzie musi być równa N c 0σ c 1σ + h.c = c 0 c 1 + c 0 c 1 + h.c = c 0 c 2 + c 1 c 3 + h.c σ Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

69 Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 Znajdujemy przestrzeń Hilberta. Na sieć M = Λ węzłów można nanieść 0 N 2M elektronów na 2 2M sposobów. W tym celu wprowadzamy innną numerację stanów węzeł spin... nr Wtedy każdemu stanowi odpowiada liczba w systemie dwójkowym np: węzeł spin... bin Spośród wszystkich wszystkich możliwych stanów wybieramy te z ustaloną liczbą elektronów N - ilość jedynek w binkodzie musi być równa N c 0σ c 1σ + h.c = c 0 c 1 + c 0 c 1 + h.c = c 0 c 2 + c 1 c 3 + h.c σ Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

70 Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 W takiej reprezentacji niezwykle łatwo jest zaprogramować operatory kreacji i anihilacji: a j b1, b2,..., bj,..., b2m = { 0 gdy bj = 1 b 1, b 2,..., b j 1, 1, b j+1,..., b 2M gdy b j = 0 a j b 1, b 2,..., b j,..., b 2M = operator liczby cząstek iloczyn skalarny { 0 gdy bj = 0 b 1, b 2,..., b j 1, 0, b j+1,..., b 2M gdy b j = 1 n j b 1, b 2,..., b j,..., b 2M = b j b 1, b 2,..., b j,..., b 2M b 1, b 2,..., b j,..., b 2M b 1, b 2,..., b j,..., b 2M = δ b 1... δ b b 2M b 1 2M Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

71 Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 Szukanie elementów macierzowych Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

72 Symulacja komputerowa Schemat działania programu 1 Szukanie wartości własnych Istnieją specjalne metody szukania wartości własnych macierzy rzadkich - metoda Lanczosa, metoda Arnoldiego. GSL nie potrafi obsługiwać macierzy rzadkich stąd szukanie wartości własnych z jego użyciem jest niezwykle czasochłonne. ARPACK++ potrafi w bardzo efektywny sposób szukać wartości własnych macierzy rzadkich. Przykład: N = 6, Λ = 6, U = {100, 101,..., 110}, t = 1 Elementy macierzowe 28,5s + wartości własne GSL =172,4s Elementy macierzowe + wartości własne ARPACK s j.w z indeksowaniem 25.5s Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

73 Wyniki symulacji Energia stanu podstawowego Energia stanu podstawowego w funkcji U. N = 2, Λ = 2, t = 1 Zgodność wyniku symulacji z teorią. Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

74 Wyniki symulacji Energia stanu podstawowego Wartości energii własnych są wielokrotnie zdegenerowane Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

75 Literatura Literatura 1 Hal Tasaki, The Hubbard Model - Introduction and Selected Rigorous Results arxiv:cond-mat/ v4, 19 Dec Samuel Bieri, Some Introductory Notes on the Hubbard Model 3 S. Akbar Jafari, Intoduction to Hubbard Model and Exact Diagonalization 4 Philippe A. Martin, Francois Rothen, Many-Body Problems and Quantum Field Theory 5 A.L. Fetter, J.D. Walecka, Kwantowa teoria układów wielu cząstek 6 Witold Baryluk, Silnie skorelowany kwantowy układ wielu ciał - model Bose-Hubbarda i metody numeryczne jego badania 7 Bogdan Damski, Jakub Zakrzewski, The mott insulator phase of the one dimensional bose-hubbard model arxiv:cond-mat/ ARPACK++ user s guide, Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53

76 Literatura Dziękuję za uwagę Wprowadzenie do układow skorelowanych Wrocław, 16 grudnia / 53