metoda różnic skończonych, zamiast rozkładu na drgania własne (który może być wolnozbieżny) v(x,t) - prędkość

Transkrypt

1 równanie falowe ciąg dalszy metoda różnic skończonych, zamiast rozkładu na drgania własne (który może być wolnozbieżny) Rozwiązanie numeryczne: dzielimy strunę na N fragmentów, dla każdego z nich rozwiązujemy równania Newtona (zabieg odwrotny do wyprowadzenia równania różniczkowego) v(x,t) - prędkość u(x,t) - wychylenie z równania falowego:

2 Schemat Verleta (popularny dla symulacji dynamiki molekularnej) m F V Schemat Verleta Phys. Rev. 59, 98 (967) Pomysł: rozwinąć położenie r w chwili t+δt i t-δt w szereg Taylora t lk j d d tylko o jeden rząd mniej dokładny niż RK4

3 Schemat Verleta Jeśli chodzi nam tylko o tor ruchu: świetny schemat. Nie używa prędkości, ale ta często potrzebna potrzebna: np do wyliczenia energii, ale również : sił (np. oporu, Lorentza) jeśli siły niezależne od prędkości, a informacja o nich potrzebna jest do innych celów można - wykonać krok do t+δt, a potem rządbłędu wyższy, wciąż dokładnie dla ruchu jednostajnie przyspieszonego a stałe między ę t a Δt jeśli siły zależą od prędkości: nie wykonamy kroku do t+δt, możemy co najwyżej: kiepsko: wynik dokładny tylko dla a=0

4 prędkościowa wersja schematu Verleta (dający ypę prędkości jednocześnie z położeniami) Położenia poświęcamy jeden rząd dokładności: Potrzebny przepis na prędkość w chwili t + Δtzbłędem z O(Δt 2 ): Rozwinąć r w Taylora względem punktu t+ Δt: Dodać stronami: (wzór potencjalnie niejawny) Wzory podkreślone na czerwono Verlet prędkościowy.

5 Verlet prędkościowy Inny (popularny) zapis wzorów w czerwonej ramce uwaga: jeśli siły (przyspieszenia) zależą od prędkości ostatnie równanie jest niejawne

6 Rozwiązania numeryczne. (laboratorium) L= u(x,t=0)=exp[-00(x-)2] v(x,t=0)=0 (,) u(x,t) 05 x 0.0 t=0 t=0.4 t=0. 2 t 3 Odbicie ze zmianą fazy (idzie górą, wraca dołem) t= v(x t) v(x,t) x 05 x u(x,t) t

7 Rozwiązanie numeryczne 2. Swobodne warunki brzegowe: na brzegach na strunę nie działa żadna siła pionowa: Może się swobodnie przesuwać po mocowaniu Warunek brzegowy Neumana (na pochodną) zamiast Dirichleta (na wartość funkcji).00 Odbicie bez zmiany fazy: idzie górą, górą wraca 0.80 u 0.60 u v x

8 energia drgania: kinetyczna Potencjalna: odkształcenie struny Dla ρ(x)=ρ( ) Dla pojedynczego modu własnego ω=kc T 0 =ρc 2 Kinetyczna na potencjalną się zmienia, całkowita zachowana

9 Analiza chwilowa drgania Rozwiązując równanie falowe schematem Verleta można z zależności czasowych wydobyć częstości własne bez konieczności rozwiązywania równania własnego Gdy drgania tłumione - częstość przestrzenna modów własnych nie ulega zmianie (zobaczymy), ale czasowa tak. Analiza chwilowa drgania na podstawie wychylenia zależności położeniowych = Analiza chwilowa drgania na podstawie wychylenia zależności położeniowych wychylenia g(x) i prędkości h(x) w danej chwili.

10 Równanie fali tłumionej a >0 = stała ł tłumienia i c niezależna od położenia Opory związane z prędkością struny [np. powietrza] Warunki brzegowe u(x=0,t)=u(x=l,t)=0 Warunki początkowe u(x,t) oraz v(x,t). Mody normalne dla fali tłumionej: Poszukajmy rozwiązania metodą separacji zmiennych u(x,t)=x(x)t(t) część przestrzenna bez zmian! X n (x)=sin(k n x) k n =nπ /L k=ω /c

11 Część przestrzenna: wstawiamy T=exp(rt), równanie charakterystyczne: exp(rt) [ r 2 +2ar+w n2 ] = 0, szukamy rozwiązań ą na r możliwe przypadki: 2 pierwiastki rzeczywiste, jeden podwójny, obydwa zespolone Warunki początkowe: Struna spoczywa w chwili początkowej Rozwiązanie określone co do stałej multiplikatywnej (równanie jednorodne)

12 ω n = ncπ /L L=, c=, ω n = nπ Słabe tłumienie a<ω a=8, ω i ω2 = przetłumione pozostałe tłumione a= a=0.2.0 Drganie z ω 0.8 n= T (t) Poza zanikiem drgania widzimy zmniejszenie częstości T (t) Najpierw zgasną wyższe tłumienia

13 Rozwiązanie równania fali tłumionej rozwiązanie ogólne: Położeniowa ł ż analiza Fourierowska -rozkład na mody normalne w danej chwili : c n (t) = część przestrzenna nie zmienia się pod wpływem tłumienia. aby wydobyć c n : drugie równanie w ogólności ś wydzielimy przez ω n, podniesiemy zależne od czasu w kwadracie i dodamy

14 udział względny: x t Przykład: L= E=K+P K+P(kinetyczna+potencjalna) t W chwili początkowej pakiet f(x,t=0)=exp(-00(x-) 2 ) a= a=2 a=4 a= ene ergia P 8 4 E K a= t Spadek E najszybszy gdy K największe

15 a= n= c n t Parzyste n nie wnoszą przyczynku (symetria) a= 2 c n r n n= ω n =nπ n= t t Wszystkie mody tłumione równie silnie oscylujący y udział modów normalnych im wyższe ω n tym bardziej stały względny udział

16 a= n= a= n= 2 r n r n t a=4, większe tylko od ω r n n= t a=2 większe od ω i ω 3 2 r n t n= t

17 Laboratorium: R. hiperboliczne z niejednorodnością: Drgania tłumione z siłą wymuszającą F Siła przyłożona punktowo niejednorodność wymuszenie periodycznie zmienne

18 Dla t=0 struna spoczywa (v(x,t)=0)w położeniu równowagi (u(x,t)=0) Prędkość dźwięku = Siła przyłożona w środku struny x0=/2 ( ) u(x,t) a= w=π pojawia się stan ustalony = drgania periodyczne. aa= w=2π x 0 a=3 w=2π czas W stanie t i ustalonym t l ruchh jest j t periodyczny i d z okresem k siły wymuszającej (mode locking)

19 Stan ustalony a energia struny Średnia energia w stanie ustalonym: Siła przyłożona w środku struny x 0 =/2 Rezonans a= Brakuje w 2n?? Dlaczego? <E> w / pi

20 Stan ustalony a energia struny Średnia energia w stanie ustalonym: Siła przyłożona w środku struny x 0 =/2 Rezonans n= a= n=2 <E> Brakuje w 2n?? W środku studni = węzeł dla parzystych n w / pi

21 mody z parzystym n wzbudzone gdy punkt przyłożenia przesunąć ą ze środka a= x = 05 0 <E> Krzywa rezonansowa w przybliżeniu opisana przez sumę funkcji Lorentza x = w / pi Siła sprzężenia = kwadrat wartości modu normalnego w miejscu przyłożenia siły:

22 Średnie energie stanu ustalonego a wzory lorentowskie a= a= a= <E> <E> <E> x = w / pi x = w / pi x 0 = w / pi <E E> a= a=.5 a=2 a=3 a=4 Rezonans a stała tłumienia w / pi

23 Laboratorium 2: odbicie pakietu od granicy ośrodków ρ 0 = V= położenie V= czas

24 V= ρ 0 =2 ρ 0 = położenie ρ 0 = ρ 0 = czas

25 Część energii, która pozostaje po lżejszej stronie struny ρ= po odbiciu ρ 0 =2

26 Domena zależności (Domain of Dependence) i kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) t x domena zależności: tylko zdarzenia z trójkąta ograniczonego charakterystykami mogą mieć wpływ na rozwiązanie w punkcie P

27 Numeryczna domena zależności [NUMERYCZNA PRZESZŁOŚĆ] kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) schemat Verleta dla przyspieszenia danego przez prawą stronę równania: czas położenie

28 kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) numeryczna dokładna warunek: jak dla adwekcji aby przekroczyć ć kryterium CFL (prędkość dźwięku): schematy niejawne ne dla równań mechaniki standardowy schemat niejawny = schemat Newmarka (dlaczego Crank-Nicolson się nie stosuje?)

29 algorytm Newmarka (uogólnienie prędkościowego Verleta, standardowy chemat niejawny dla równań opisujących układy dynamiczne) w Verlecie prędkościowym używamy przepisów: z γ=/2 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt 2 /2 a(t) v(t+dt)=v(t)+dt [(-γ)a(t)+γa(t+dt)] Czyli: w Verlecie: jawna formuła na położenie, potencjalnie niejawna na prędkość ta nie wystarczy dla bezwzględnej stabilności przy kroku czasowym cdt>dx (zobaczymy analizą v.neumanna) dla Newmarka: wprowadzamy niejawność (ważenie przyspieszeń z teraźniejszości i przyszłości) również do wzoru na położenia: u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt 2 /2 [(-2β)a(t)+2βa(t+dt)] algorytm prędkościowy Newmarka źródło: WJT DANIEL, computational mechanics 20 (997) 272 zróbmy z tego formułę położeniową: bez prędkości, za to dwupoziomową (t+dt) względem t, t-dt wyeliminować prędkości :

30 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt 2 /2 [(-2β)a(t)+2βa(t+dt)] (*) v(t+dt)=v(t)+dt [(-γ)a(t)+γa(t+dt)] dla kroku poprzedniego= u(t)=u(t-dt)+v(t-dt)dt+dt 2 /2 [(-2β)a(t-dt)+2βa(t)] dla kroku poprzedniego = v(t)=v(t-dt)+dt [(-γ)a(t-dt)+γa(t)] u(t)=u(t-dt)+v(t)dt+dt 2 /2 [(-2β)a(t-dt)+2βa(t)]-dt 2 [(-γ)a(t-dt)+γa(t)] u(t)=u(t-dt)+v(t)dt+dt 2 /2 [(2γ-2β )a(t-dt)+(2β 2γ)a(t)] u(t-dt)=u(t)-v(t)dt-dt 2 /2 [(2γ-2β )a(t-dt)+(2β 2γ)a(t)] (*) dodamy stronami gwiazdki aby usunąć prędkość ze schematu

31 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt 2 /2 [(-2β)a(t)+2βa(t+dt)] + stronami u(t-dt)=u(t)-v(t)dt+dt 2 /2 [(-2γ+2β+)a(t-dt)+(2γ 2β)a(t)] skasujemy prędkość u(t-dt)+u(t+dt)=2u(t) +dt 2 /2[2βa(t+dt)+(-4β+2γ)a(t)+(-2γ+2β+)a(t-dt)] u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt 2 [βa(t+dt)+(/2-2β+γ)a(t)+(-γ+β+/2)a(t-dt)] dla porównania Verlet położeniowy algorytm Newmark = wersja położeniowa, dwa parametry γβ γ,β wagi przy przyspieszeniu: β+/2 2β+γ γ+β+/2= (wszystkie wybory dają schemat, który w granicy małego dt redukuje się do Verleta) Newmark sprowadza się do Verleta gdy γ=/2, β=0 (maks dokładność lkl lokalny błąd czwartego rzędu) d) rola γ, β zobaczymy jak się sprawdzają w praktyce

32 u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt 2 [βa(t+dt)+(/2-2β+γ)a(t)+(-γ+β+/2)a(t-dt)] u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt 2 [βa(t+dt)+αa(t)+δa(t-dt)] jak wykonać krok czasowy? sposób rozwiązywania zależy od wyrażanie na a dla struny: Po przegrupowaniu wyrazów: układ równań liniowych z macierzą trójprzekątniową stencil:

33 dokładny schemat Newmark MRS, struna dt=dx 0 węzłów Verlet (β=0, γ=/2) (β=/2, γ=/2) (β=/2, γ=) β=.9 γ=/2 czas położenie dla dt=dx najlepszy wybór β=0, γ=/2 (jawny, Verlet)

34 dla dt=dx najlepszy wybór β=0, γ=/2 (jawny, Verlet) Verlet dla dt=dx* widzimy eksplozję rozwiązania z maksymalną malną zmiennością przestrzenną: Newmark jest po to aby przekroczyć kryterium CFL

35 rola γ (dt=.5dx, β=) γ= węzłów MRS: schemat Newmark rola parametrów metody β>0 wynosi stabilność poza kryterium CFL, kosztem generacji wyższych częstości przestrzennych γ>/2 ogranicza wzmacnianie wyższych częstości kosztem dyssypacji (zaniku całego pakietu) γ</2 schemat jest niestabilny zostawmy γ=/2 (jak dla Verleta) i manipulujmy β

36 0 węzłów MRS poza CFL: dt > cdx dt=.5dx, γ=, schemat staje się stabilny dla β> b 5 b=.5 b 2 b=.2 b 25 b= b= rosnące beta generuje wyższe częstości wniosek: najlepszy minimalne β przy którym schemat jeszcze stabilny czy można je wyznaczyć analitycznie?

37 Projektowanie schematu Newmarka dla zadanego kroku czasowego. dobrać minimalne β aby metoda była stabilna dla danego dt? Będziemy wiedzieli, że po wyższe β nie warto sięgać. analiza von Neumanna dla γ=/2 u(t+dt)=2u(t) (t) -u(t-dt)+dt 2 [βa(t+dt)+(/2-2β+γ)a(t)+(-γ+β+/2)a(t-dt)] 2β+ )(t)+( +β+/2) (tdt)] u(t+dt)-dt 2 βa(t+dt) =2u(t) -u(t-dt)+dt 2 [(-2β)a(t)+βa(t-dt)] Ansatz von Neumanna:

38 Sytuacja będzie taka: dopóki Δ<0 : 2 pierwiastki, o module nie większym od gdy Δ>0 metoda stanie się niestabilna

39 -2<c<0 zawsze żeby b pod pierwiastkiem i liczba ujemna potrzeba aby: λ 2 <? daje ten sam wynik β>/4 metoda stabilna dla dowolnego t [ ponieważ c < 0] uwaga: możemy sobie teraz sprawdzić stabilność Verleta dla dt=dx oraz beta=0, ¼+/(2c) <0 [ok.]

40 dobór beta zapewniającego stabilność schematu Newmark w MRS dla zadanego kroku czasowego dt=.5dx β c

41 dobór beta zapewniającego stabilność schematu Newmark w MRS dla zadanego kroku czasowego / / dt=dx dt=5dx c

42 2.00 struna, b. wiele chwil czasowych dt=5dx.00 β=.25 MRS, Newmark, γ=/ dt=5dx β=.24 bo beta była zbyt mała: Ze schematem Newmarka spotkamy się ponownie przy omawianiu MES, Pokażemy, że umożliwia on skuteczne prowadzenie Rachunków dla lokalnie zagęszczonej siatki