równanie falowe (dla struny), cząstkowe, hiperboliczne [dynamika Newtonowska ośrodka ciągłego]

Transkrypt

1 równanie falowe (dla struny), cząstkowe, hiperboliczne [dynamika Newtonowska ośrodka ciągłego] u(x,t) x=l x=p x+dx T x T siła naciągu struny T (kierunek poziomy): (II zasada Newtona F=ma)

2 u(x,t) x=l x=p x+dx uwaga: T x T dx (prędkość rozchodzenia się drgań)

3 c stałe: Ogólne rozwiązanie dla nieskończonego ośrodka (d Alamberta) dowolna funkcja drgania rozchodzące się bez zmiany kształtu [brak dyspersji w równaniu falowym] Liniowość równania: Zasada superpozycji.

4 Liniowość równania i zasada superpozycji: Sygnały rozchodzą się niezależnie od siebie t F=exp(-(x-.5+ct)) +exp(-(x+.5-ct)) x Sygnały mijają się bez zmiany kształtu [(jedna fala przenika drugą.] ponieważ równanie liniowe: jeśli wskażemy bazę zupełną funkcji ze znaną ewolucją czasową = problem rozwiązany baza: mody normalne (fale stojące) (drgania własne)

5 baza: mody normalne (fale stojące) (drgania własne) Dwupunktowe warunki brzegowe u(,t)=u(l,t)= x=l x= Poszukajmy rozwiązań, w których tylko amplituda (a nie kształt fali) nie zależy od czasu: u(x,t)=x(x)t(t) t= t=t t=t t=t T(t)=cos( t+ )= C cos( t)+d sin( t) [gdy gęstość struny zmienna c może być funkcją położenia]

6 Równanie na część przestrzenną fal stojących (drania własne, drgania normalne) Dla c niezależnego od x: k-liczba falowa, wektor falowy k = / tutaj długość fali k= / c Xn(x)=sin(knx) WB: spełnione, gdy X()=X(L)= kn=n /L Fale stojące: Między warunkami brzegowymi całkowita liczba połówek długości fal.. L

7 warunki brzegowe: kwantyzacja k kwantyzacja w Xn(x)=sin(knx), Tn=sin(wnt) kn=n /L k= / c T T oznacza naciąg struny n =ckn przestrzenne drgania własne nie zależą od c, ale częstości tak. Wiemy, że niższe tony dają struny o większej grubości [ Wiemy również, że im silniej struna naciągnięta tym wyższy dźwięk.

8 Drgania własne dla zmiennej gęstości struny W przypadku ogólnym [c=c(x)] przyda się rachunek numeryczny. Wyliczyć Xn oraz n (x) Dyskretyzujemy drugą pochodną, liczymy Xn(x+dx)

9 Równanie własne z warunkami brzegowymi: Metoda strzałów. w parametr równania dokładna wartość własna w< w= w> w X wstawić warunek brzegowy, ale co wstawić w X?? dla drgań własnych wstawiamy w X cokolwiek Funkcje własne określone co do stałej normalizacyjnej. (zmieni się tylko normalizacja, równanie własne = jednorodne)

10 Test metody dla (x)= (L=, T=) Analityczne: kn=n /L k= / L k /L k /L k= X /L k = k / L x x 8 4 X (L ) k Miejsca zerowe wartości własne przy których funkcje własne spełniają prawy warunek brzegowy

11 Przykład: (x)=+4 x-/) (struna cięższa przy mocowaniach). 4 4 X X = częstości własne równoodległe Częstości własne maleją z (cięższa struna) duże częstości grupują się w pary X 4 X - x W każdej parze: funkcja parzysta i nieparzysta. Środek struny prawie nieważki, na częstości wpływ ma kształt funkcji przy brzegach a tam zbliżony dla każdej funkcji z pary

12 Drgania własne a ogólne rozwiązania równania falowego Równanie ogólne: Warunki początkowe: u(x,t=) oraz v(x,t=)=du/dt Zadać wychylenie i prędkości rozłożyć warunki początkowe na drgania własne problem zależności czasowych jest rozwiązany

13 Drgania normalne a ogólne rozwiązania równania falowego Równanie ogólne: Warunki początkowe: u(x,t=) oraz v(x,t=)=du/dt Zadać wychylenie i prędkości rozłożyć warunki początkowe na drgania własne problem zależności czasowych jest rozwiązany w chwili t=, za kształt struny odpowiadają współczynniki cn a za prędkość współczynniki sn

14 Superpozycja drgań własnych: Warunki początkowe dla drgań własnych jednorodnej struny: Dyskretna sinusowa transformata Fouriera

15 rozkład na mody normalne na przedziale (,L) Rozwinięcie w szereg Fouriera: g(x) = okresowa, odcinkowo ciągła z okresem T: Rozkład na drgania normalne a szereg Fouriera: drgania podległe warunkom brzegowym g()=g(l)=. L nie ma interpretacji okresu (może być pół długości fali).

16 Warunki Dirichleta zbieżności szeregu Fouriera Rozwinięcie Fouriera zbieżne w sensie jednorodnym N o ile g(x) ) całkowalna w kwadracie ) odcinkowo ciągła rozwinięcie Fouriera dąży do g(x) prawie wszędzie tzn poza punktami dyskretnymi punktami (rozwinięcie Fouriera jest wszędzie ciągłe!) Twierdzenie Dirichleta: W punktach nieciągłości szereg Fouriera zbieżny do g(x)=[ g(x-)+g(x+) ] / Okazuje się, że tw. Dirichleta nie rozwiązuje wszystkich problemów

17 dla struny: pewien praktyczny problem z kanciastymi (nieróżniczkowalnymi) warunkami początkowymi. Fala prostokątna - - W punkcie nieciągłości = [g(-)+g(+) ]/ = (- + ) / =

18 N=5 N=5 N=55 Nad nieciągłością wartość schodka przestrzelona o około 8% - - +w N=5 N=55 N= Na PC pracujemy ze skończonymi bazami: Zjawisko Gibbsa w=.8949 (stała Wibrahama-Gibbsa)...4 x.6 Równania różniczkowego przez rozkład warunku początkowego na drgania własne nie rozwiążemy dokładnie, jeśli ten jest nieciągły.

19 Na PC pracujemy ze skończonymi bazami... Zbieżność szeregu Fouriera w sensie bezwzględnym Szereg jest bezwzględnie zbieżny jeśli można go obciąć na pewnym wyrazie rozwinięcia: Rozwinięcie fali prostokątnej nie jest bezwzględnie zbieżne: Bo ogólny szereg harmoniczny jest rozbieżny g (x ) - s c h o d k o w a, b h (x )= e x p (-x ), a n Wniosek: w skończonej bazie funkcji własnych możemy rozwiązywać tylko problemy z warunkiem początkowym, którego rozwinięcie w szereg Fouriera jest bezwzględnie zbieżne n n 4

20 Metoda różnic skończonych = uwalnia nas od problemu rozkładu na drgania własne Rozwiązanie numeryczne: dzielimy strunę na N fragmentów, dla każdego z nich rozwiązujemy równania Newtona (zabieg odwrotny do wyprowadzenia równania różniczkowego) v(x,t) - prędkość u(x,t) - wychylenie z równania falowego:

21 Schemat Verleta (popularny dla symulacji dynamiki molekularnej) V m Schemat Verleta Phys. Rev. 59, 98 (967) F Pomysł: rozwinąć położenie r w chwili t+ t i t- t w szereg Taylora tylko o jeden rząd mniej dokładny niż RK4

22 Schemat położeniowy Verleta Jeśli chodzi nam tylko o tor ruchu: świetny schemat. Nie używa prędkości, ale ta często potrzebna potrzebna: np do wyliczenia energii, ale również : sił (np. oporu, Lorentza) jeśli siły niezależne od prędkości, a informacja o nich potrzebna jest do innych celów można - wykonać krok do t+ t, a potem rząd błędu wyższy, wciąż dokładnie dla ruchu jednostajnie przyspieszonego a stałe między t a t jeśli siły zależą od prędkości: nie wykonamy kroku do t+ t, możemy co najwyżej: kiepsko: wynik dokładny tylko dla a=

23 prędkościowa wersja schematu Verleta (dający prędkości jednocześnie z położeniami) Położenia poświęcamy jeden rząd dokładności: Potrzebny przepis na prędkość w chwili t + t z błędem O( t): Rozwinąć r w Taylora względem punktu t+ t: Dodać stronami: Wzory podkreślone na czerwono Verlet prędkościowy.

24 Rozwiązania numeryczne. (laboratorium) L= u(x,t=)=exp[-(x-.5)] v(x,t=)=.5 x. u(x,t) t= t=.4.5 t=. t Odbicie ze zmianą fazy (idzie górą, wraca dołem) t=.. v(x,t) x.5 x u (x,t) t

25 Rozwiązanie numeryczne. Może się swobodnie przesuwać po mocowaniu Swobodne warunki brzegowe: na brzegach na strunę nie działa żadna siła pionowa: Warunek brzegowy Neumana (na pochodną) zamiast Dirichleta (na wartość funkcji) Odbicie bez zmiany fazy: idzie górą, górą wraca..8 u.5.6 u v x.8.

26 energia drgania: kinetyczna Potencjalna: odkształcenie struny Dla (x)= Dla pojedynczego modu własnego =kc T= c Kinetyczna na potencjalną się zmienia, całkowita zachowana

27 Analiza chwilowa drgania ) ) ) Można prześledzić zależności czasowe i z nich wydobyć częstości własne Co jeśli drgania są np. gasnące? Jeśli sens ma tylko częstość przestrzenna, a nie czasowa? Analiza chwilowa drgania na podstawie wychylenia zależności położeniowych = wychylenia g(x) i prędkości h(x) w danej chwili.

28 Równanie fali tłumionej a > = stała tłumienia c niezależna od położenia Opory związane z prędkością struny [np. powietrza] Warunki brzegowe u(x=,t)=u(x=l,t)= Warunki początkowe u(x,t) oraz v(x,t). Mody normalne dla fali tłumionej: Poszukajmy rozwiązania metodą separacji zmiennych u(x,t)=x(x)t(t) Część przestrzenna bez zmian! Xn(x)=sin(knx) kn=n /L k= /c

29 Część przestrzenna: rozwiązujemy dla T=exp(rt), równanie charakterystyczne: exp(rt) [ r+ar+wn] =, szukamy rozwiązań na r możliwe przypadki: pierwiastki rzeczywiste, jeden podwójny, obydwa zespolone Warunki początkowe: Struna spoczywa w chwili początkowej Rozwiązanie określone co do stałej multiplikatywnej (równanie jednorodne)

30 n= nc / L L=, c=, n= a=8, i = przetłumione pozostałe tłumione Słabe tłumienie a<..5. T (t) T (t) Drganie z a =.5 a=. n n=.4. 4 Poza zanikiem drgania widzimy zmniejszenie częstości Najpierw zgasną wyższe tłumienia

31 Rozwiązanie równania fali tłumionej rozwiązanie ogólne: Położeniowa analiza Fourierowska - rozkład na mody normalne w danej chwili : cn(t) = część przestrzenna nie zmienia się pod wpływem tłumienia. w ogólności zależne od czasu aby wydobyć cn : drugie równanie wydzielimy przez wn, podniesiemy w kwadracie i dodamy

32 udział względny: Przykład: L= W chwili początkowej pakiet f(x,t=)=exp(-(x-.5)) x a= t E e n e r g ia a=.5 E=K+P (kinetyczna+potencjalna) a =.5 P 8 K 4.5 a=4.5 a= t Spadek E najszybszy gdy K największe

33 a=. 4 n= c n t n=n 4 Parzyste n nie wnoszą przyczynku (symetria) Wszystkie mody tłumione równie silnie.6 n=. n. c t 4 oscylujący udział modów normalnych r n a=.5.4 n= 7 t 4 im wyższe n tym bardziej stały względny udział

34 .8 a= a= r n r n n= 5 7 t 4. 7 a= większe od i n= r n n t t 4 6 n= n=. 5 a=4, większe tylko od r.. 7 t 4

35 Laboratorium: R. hiperboliczne z niejednorodnością: Drgania tłumione z siłą wymuszającą F Siła przyłożona punktowo niejednorodność Wymuszenie periodycznie zmienne

36 Dla t= struna spoczywa (v(x,t)=)w położeniu równowagi (u(x,t)=) Prędkość dźwięku = Siła przyłożona w środku struny x=/ u(x,t).5 a= w= pojawia się stan ustalony = drgania periodyczne. a= w= x.5 a= w= czas W stanie ustalonym ruch jest periodyczny z okresem siły wymuszającej (mode locking). 8 9

37 Stan ustalony a energia struny Średnia energia w stanie ustalonym: Siła przyłożona w środku struny x=/ Rezonans a= <E> n= n= Brakuje wn?? W środku studni = węzeł dla parzystych n w / pi

38 Mody z parzystym n wzbudzone gdy punkt przyłożenia przesunąć ze środka x =.5 <E> a= Krzywa rezonansowa w przybliżeniu opisana przez sumę funkcji Lorentza x = w / pi Siła sprzężenia = kwadrat wartości modu normalnego w miejscu przyłożenia siły:

39 Średnie energie stanu ustalonego a wzory lorentowskie a= a= <E> <E> <E> a= x = w / pi <E> x = w / pi a= a= a= a= a= w / pi.5 4 x = w / pi Rezonans a stała tłumienia

40 Laboratorium : odbicie pakietu od granicy ośrodków V=.5 położenie czas V=

41 V= położenie czas

42 Część energii, która pozostaje po lżejszej stronie struny = po odbiciu

43 Domena zależności (Domain of Dependence) i kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) t x domena zależności: tylko zdarzenia z trójkąta ograniczonego charakterystykami mogą mieć wpływ na rozwiązanie w punkcie P

44 Numeryczna domena zależności [NUMERYCZNA PRZESZŁOŚĆ] schemat żabiego skoku: czas położenie kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)

45 kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) numeryczna dokładna aby przekroczyć kryterium CFL (prędkość dźwięku): schematy niejawne dla równań mechaniki standardowy schemat niejawny = schemat Newmarka

46 dla dt=dx najlepszy wybór (jawny, Verlet). Verlet dla dt=dx*. widzimy eksplozję rozwiązania z maksymalną zmiennością przestrzenną: Newmark jest po to aby przekroczyć kryterium CFL

47 algorytm Newmarka (uogólnienie prędkościowego Verleta, o szerszym zastosowaniu, nie tylko dynamika molekularna, ale standardowy niejawny dla równań mechaniki) w Verlecie prędkościowym używaliśmy przepisów: [dla Verleta =/] u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt/ a(t) v(t+dt)=v(t)+dt [(- )a(t)+ a(t+dt)] Czyli: w Verlecie: jawna formuła na położenie, potencjalnie niejawna na prędkość ta nie wystarczy dla bezwzględnej stabilności przy kroku czasowym cdt>dx (zobaczymy analizą v.neumanna) dla Newmarka: wprowadzamy niejawność (ważenie przyspieszeń z teraźniejszości i przyszłości) również do wzoru na położenia: u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt/ [(- )a(t)+ a(t+dt)] Algorytm prędkościowy Newmarka źródło: WJT DANIEL, computational mechanics (997) 7 zróbmy z tego formułę położeniową: wyeliminować prędkości :

48 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt/ [(- )a(t)+ a(t+dt)] (*) v(t+dt)=v(t)+dt [(- )a(t)+ a(t+dt)] dla kroku poprzedniego= u(t)=u(t-dt)+v(t-dt)dt+dt/ [(- )a(t-dt)+ a(t)] dla kroku poprzedniego = v(t)=v(t-dt)+dt [(- )a(t-dt)+ a(t)] u(t)=u(t-dt)+v(t)dt+dt/ [(- )a(t-dt)+ a(t)]-dt[(- )a(t-dt)+ a(t)] u(t)=u(t-dt)+v(t)dt+dt/ [( - )a(t-dt)+( a(t)] u(t-dt)=u(t)-v(t)dt-dt/ [( - )a(t-dt)+( a(t)] (*) dodamy stronami gwiazdki

49 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt/ [(- )a(t)+ a(t+dt)] + stronami u(t-dt)=u(t)-v(t)dt+dt/ [(- + )a(t-dt)+( a(t)] skasujemy prędkość u(t-dt)+u(t+dt)=u(t) +dt/[ a(t+dt)+(-4 + )a(t)+(- + )a(t-dt)] u(t+dt)=u(t) -u(t-dt)+dt[ a(t+dt)+(/- + )a(t)+(- + )a(t-dt)] algorytm Newmark = wersja położeniowa, dwa parametry dla porównania Verlet położeniowy wagi przy przyspieszeniu: = (wszystkie wybory dają schemat, który w granicy małego dt redukuje się do Verleta) Newmark sprowadza się do Verleta gdy =/, = (maks dokładność lokalny błąd czwartego rzędu) rola, zobaczymy jak się sprawdzają w praktyce

50 u(t+dt)=u(t) -u(t-dt)+dt[ a(t+dt)+(/- + )a(t)+(- + )a(t-dt)] u(t+dt)=u(t) -u(t-dt)+dt[ a(t+dt)+ a(t)+ a(t-dt)] jak wykonać krok czasowy? sposób rozwiązywania zależy od wyrażanie na a dla struny: Po przegrupowaniu wyrazów: układ równań liniowych z macierzą trójprzekątniową stencil:

51 schemat Newmark MRS, struna dt=dx węzłów Verlet ( )( ) ( ) czas dokładny dla dt=dx najlepszy wybór (jawny, Verlet) położenie

52 węzłów rola (dt=.5dx, =.5) = MRS: schemat Newmark rola parametrów metody > wynosi stabilność poza kryterium CFL, kosztem generacji wyższych częstości przestrzennych >/ ogranicza wzmacnianie wyższych częstości kosztem dyssypacji (zaniku całego pakietu) </ s. niestabilny zostawmy =/ i manipulujmy betą

53 węzłów MRS poza CFL: dt > cdx dt=.5dx, =.5, schemat staje się stabilny dla >.5 b =. 5 b =. b = b= rosnące beta generuje wyższe częstości wniosek: najlepszy minimalne przy którym schemat jeszcze stabilny czy można je wyznaczyć analitycznie?.5

54 Projektowanie schematu Newmarka dla zadanego kroku czasowego. dobrać minimalne aby metoda była stabilna dla danego dt? Będziemy wiedzieli, że po wyższe nie warto sięgać. analiza von Neumanna dla =/ u(t+dt)=u(t) -u(t-dt)+dt[ a(t+dt)+(/- + )a(t)+(- + )a(t-dt)] u(t+dt)-dt a(t+dt) =u(t) -u(t-dt)+dt[(- )a(t)+ a(t-dt)] Ansatz von Neumanna:

55 Sytuacja będzie taka: dopóki < : pierwiastki, o module nie większym od gdy > metoda stanie się niestabilna

56 -<c< zawsze żeby dwa urojone: <? daje ten sam wynik >/4 metoda stabilna dla dowolnego t [ ponieważ c < ] uwaga: możemy sobie teraz sprawdzić stabilność Verleta dla dt=dx oraz beta=, ¼+/(c) < [ok.]

57 dobór beta zapewniającego stabilność schematu Newmark w MRS dla zadanego kroku czasowego dt=.5 dx

58 dobór beta zapewniającego stabilność schematu Newmark w MRS dla zadanego kroku czasowego. /4. 5 / dt=5dx. 4 dt=dx c

59 struna, b. wiele chwil czasowych. dt=5dx =.5. MRS, Newmark, =/ dt=5dx = bo beta była zbyt mała: