użyteczne, gdy problem nie wymaga zmiany dt ważne: schematy do rozwiązywania równań cząstkowych mają często wielokrokowy charakter

Transkrypt

1 Liniowe metody wielokrokowe dla równań zwyczajnych starsze niż RKo50lat użyteczne, gdy problem nie wymaga zmiany dt ważne: schematy do rozwiązywania równań cząstkowych mają często wielokrokowy charakter schematy wielokrokowe podatne są na niestabilności w granicy małego kroku czasowego co nie ma odpowiednika w metodach jednokrokowych

2 metody jednokrokowe u =f(t,u) do wyliczenia u n używamy tylko u n-1, przeszłość ulega zapomnieniu Np. RK2 (punktu środkowego) Metody RK, są jednokrokowe i nieliniowe (nieliniowa zależność u n od f) Dla wykonania jednego kroku wyliczamy f między t n a t n+1. problem jeśli f bardzo kosztowna do wyliczenia metody RK dużej dokładności : wiele wywołań f

3 metody jednokrokowe (np. RK) u =f(t,u) do wyliczenia następnego kroku używamy tylko wartości z jednego poprzedniego p kroku. Wywołujemy wielokrotnie f między t n a t n+1, co może być kosztowne. prawo powszechnej grawitacji siła działająca na i-te ciało pochodzące od j-tego aby zasymulować słońce + 8 planet: w każdym kroku: 9 (ciał) *3 (wymiary) *2 (prędkość i położenie) =54 równań 1-szego rzędu Do wyliczenia jednego kroku +9*8/2*3=96 sił do policzenia

4 Symulacja układu słonecznego: John Adamsa, wiek XIX Przydałaby y się ę metoda: 1) wysokiej dokładności (dt*liczba kroków < czas życia pana Adamsa) 2) jeden rachunek sił na jeden krok czasowy 3) jawna (wynika z 2) Przed Adamsem: tego typu dostępne tylko metody Eulera Mimo rozwoju komputerów złożoność wielu ważnych problemów stawia badaczy w sytuacji Adamsa (często zazwyczaj praca na granicy możliwości komputera) pan Adams sprawdza prawo powszechnej grawitacji siła działająca na i-te ciało pochodzące od j-tego aby zasymulować słońce + 8 planet: w każdym kroku: 9*3*2=54 równań 1-szego rzędu +9*8/2*3=96 sił do policzenia

5 liniowe metody wielokrokowe: do podniesienia dokładności wykorzystamy znajomość historii układu (którą zapamiętujemy) dla metod jawnych: f liczona tylko raz w jednym kroku czasowym u n-k u n-2 u n-1 u n stały krok czasowy (manipulacja krokiem utrudniona!) t f n-k f n-2 f n-1 Δt f n wkażdym nowym kroku wywołujemy prawą stronę tylko w nowym punkcie korzystamy z informacji na temat przeszłości u oraz f ogólna postać k-krokowej metody wielokrokowej ( u n wyliczane z tego wzoru): m. jawna: β 0 =0 niejawna gdy β 0 0 α 0 =1,[α k 0 lub β k 0] liniowy jest związek między u l a f l, f wcale nie musi być liniowa

6 pan Adams sprawdza prawo powszechnej grawitacji... Uran zachowuje się w sposób podejrzany it ji i k h dl ł ś i h prawo grawitacji na większych odległościach odbiega od 1/r?

7 Nie można wyświetlić połączonego obrazu. Plik mógł zostać przeniesiony lub usunięty albo zmieniono jego nazwę. Sprawdź, czy łącze wskazuje poprawny plik i lokalizację. Adams, John. Couch., "Explanation of the observed irregularities in the motion of Uranus, on the hypothesis of disturbance by a more distant planet", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 7, p. 149, 1843 Neptun odkrycie numeryczne fotka z Wikipedii

8 Poznane schematy, które należą do klasy liniowych wielokrokowych 1) jawny s. Eulera u n =u n-1 +f n-1 Δt u n -u n-1 = Δt f n-1 2) niejawny s. Eulera u n =u n-1 +f n Δt α 0 =1, α 1 = 1 β 0 =0, β 1 =1 α 0 =1, α 1 = 1 β 0 =1, β 1 =0 α 0 =1, α 1 = 1 β 0 =1/2, β 1 =1/2 0, 1 3) formuła ł trapezów u n =u n-1 +(f n + f n-1 )Δt/2 RK2 punktu środkowego nie podlega tej formule: f wzywane w sposób nieliniowy

9 1) zakładamy szczególną formę ogólnego wzoru (k) (wybieramy kilka niezerowych współczynników) jak wyznaczyć α, β: Np. metoda nieoznaczonych współczynników 2) wartości niezerowych współczynników wyznaczamy z rozwinięcia Taylora lub w sposób równoważny tak aby formuła była dokładna dla wielomianu jak najwyższego stopnia np. u n-2 u n-1 Δt u n t f n-1 3 swobodne współczynniki: możemy obsłużyć 3 rozwiązania = będzie dokładna dla parabol (tj. rzędu 2) u=1 gdy du/dt=f=0 α 0 +α 1 +α 2 =1+ α 1 +α 2 =0 u=t gdy f=1 Δt(n+α ( n + 1 (n-1) + α 2 (n-2) )= Δt β 1 u=t 2 gdy f=2t Δt 2 ( n 2 + α 1 (n-1) 2 + α 2 (n-2) 2 )= 2 Δt β 1 Δt n

10 u=1 gdy du/dt=f=0 1+α 1 +α 2 =0 u=t gdy gyf f=1 Δt ( n + α 1 1( (n-1) + α 2 (n-2) ))= Δt β 1 u=t 2 gdy f=2t Δt 2 ( n 2 + α 1 (n-1) 2 + α 2 (n-2) 2 )= 2 Δt β 1 Δt (n-1) URL α 1 =0 α 2 =-1 β 1 =2 u n-2 Δt u n t f n-1 metoda punktu pośredniego (leapfrog). równie prosta jak jawny Euler (p=1) ale rzędu p=2 Dla metod wielokrokowych: warunek początkowy u 0 nie wystarcza do uruchomienia schematu : tutaj potrzebne u 0 oraz f 1 f 1 można policzyć (bardzo) dokładnie innymi metodami

11 metoda nieustalonych współczynników przykład 2: metoda jawna dwukrokowa rzędu trzeciego u n-2 u n-1 u n t Δt f n-2 f n-1 w sposób jak wyżej uzyskamy:

12 metoda nieustalonych współczynników przykład 2: metoda jawna dwukrokowa rzędu trzeciego (*) Pierwsza bariera stabilności Dahlquista (ograniczenie na rząd 0-stabilnej dokładności metody wielokrokowej): Maksymalny rząd dokładności p 0-stabilnej k-krokowej krokowej liniowej formuły wielokrokowej dla metod jawnych: maksymalne p = k dla niejawnych : maksymalne p = k+1 (jeśli k nieparzyste) p= k+2 (jeśli k parzyste) schemat (*) nie może być stabilny bo jego dokładność przekracza pierwszą barierę Dahqluista

13 2k+2 współczynników do wyznaczenia? Czy można znaleźć współczynniki tak, aby rząd 2k+1? Tak, ale metoda nie będzie użyteczna (0-stabilna), Jeśli p > k (dla metod jawnych) lub >k+2 (dla metod niejawnych) Druga bariera Dahlquista: maksymalny rząd dokładności wielokrokowej metody A-stabilnej: 2 (stąd motywacja dla niejawnych metod RK)

14 metody jawne Adamsa-Bashforta powstają ze scałkowania równania różniczkowego po ostatnim kroku czasowym u n-k u n-2 u n-1 u n t Δt f n-k f n-2 f n-1 f n-3 f f n-2 f n-4 f n-1 metody Adamsa-Bashforta:: interpolujemy wielomianem f w krokach n-1,...n-k u n wyliczamy całkując wielomian interpolacyjny od t n-1 do t n t

15 jednokrokowa metoda AB metody jawne Adamsa-Bashforta f n-1 P 0 0( (t)=f n-1 f t zastąpmy funkcje podcałkową przez wielomian P 0 interpolujący f w chwili t n-1 jednokrokowa AB = jawny Euler : rzędu 1

16 Metoda Adamsa-Bashfortha k=2 f n-2 f f n-1 znamy wartości f n-2, f n-1 prowadzimy przez nie wielomian interpolacyjny, który następnie całkujemy t n-2 t n-1 t n t tu interpolujemy tu całkujemy drugi rząd dokładności (jak wzór trapezów) ale jawny!

17 Metody AB

18 AB jawne - przykład du/dt=cos(t) błąd rozwiązania dla dt= k=3,4 k= k= k= k=

19 AB: współczynniki błąd dyskretyzacji (df): wstawiamy rozwiązanie dokładne do przepisu definiującego schemat. Zamiast zera otrzymujemy błąd dyskretyzacji. C -stała błędu dyskretyzacji

20 błąd dyskretyzacji AB1=jawnego Eulera: (Euler dokładnie scałkuje funkcje liniową, pomyli się dopiero przy paraboli) Cały błąd dyskretyzacji: zależy od równania ( f ), ale: stała błędu C nie zależy od równania (f [równanie] wchodzi do pochodnej) = jest własnością metody

21 błąd dyskretyzacji AB1=jawnego Eulera: (Euler dokładnie scałkuje funkcje liniową, pomyli się dopiero przy paraboli) C najłatwiej wyznaczymy dla równania którego rozwiązaniem jest t 2 : du/dt=2t=f, a u (2) = 2 i nie zależyodpołożenia pewna chwila czasowa z zakresu ostatniego kroku C= 1/2

22 błąd dyskretyzacji schematu AB2 Cu (ξ)δt 3 C=5/12 błąd dyskretyzacji AB2 5/12 u Δt 2 C k C j

23 metody niejawne Adamsa-Moultona formuły AM f n-1 wprowadzane podobnie do AB, ale: f n-3 f n do interpolacji włączany punkt t n a wyłączamy t n-k aby utrzymać rząd wielomianu f f n-2 f n-4 ABk (czytać rzędu k: k-krokowa) t Dla zachowania tego samego Rzędu dokładności d ś rezygnujemy Z korzystania z najbardziej zamierzchłej chwili Czasowej na rzecz tn AMk (czytać rzędu k, (k-1) krokowa)

24 Metoda Adamsa-Moultona k=2 interpolujemy f w (k-1) chwiach łącznie z t n, całkujemy od t n-1 do t n f t n-1 t n t tu interpolujemy i całkujemy wzór trapezów

25 niejawne AM - współczynniki Błąd dyskretyzacji AM

26 Błąd dyskretyzacji AM a AB niejawne: bardziej dokładne: AB wolno maleje, AM - szybko tutaj: błąd dyskretyzacji AB4 około 18 razy większy niż AM4

27 wielokrokowe metody niejawne: z reguły bardziej stabilne i dokładniejsze niż jawne tego samego rzędu dokładności sposób rozwiązywania równań: 1) iteracja funkcjonalna tylko ta część podlega iteracji pamiętamy, że dla wstecznego Eulera metoda mało przydatna (słaba zbieżność) dla metod wielokrokowych (trapezów np.) zakres zbieżności był nieco lepszy

28 2) metoda Newtona dla niejawnych metod wielokrokowych szukamy zera: nie zmienia się w iteracjach po μ

29 wielokrokowe metody niejawne: metody predyktor korektor iterację (funkcjonalną czy Newtona) można zacząć od albo (lepiej) od wartości danej przez schemat jawny. Sekwencja: jedno wywołanie jawnego / schemat niejawny (stosowany raz, lub więcej) = metoda predyktor korektor np. AB3/ AM4 możliwe różne strategie: niejawny korektor można używać aż do samouzgodnienia (wtedy własności np. stabilności = wyłącznie korektora) lub skończoną liczbę razy (własności hybrydowe) przykład z iteracją funkcjonalną ą dla podkreślenia przydatności PK: poznane wcześniej równanie nieliniowe u =u(1-u), u(0)=0.8, 3 pierwsze wartości u i f = analitycznie ΑΜ4, Δt=1, liczymy u(3δt) na starcie u(3δt):=u(2δt) na starcie u(3δt):=ab uwaga: z predyktor/korektor mieliśmy do czynienia przy niejawnych schematach RK było: predyktor niejawny, korektor jawny dla metod wielokrokowych jest odwrotnie, predyktor jest jawny, a korektor nie

30 AB4, AM4, RK4 porównanie dokładności (kroki startowe podajemy analityczne) 6 dokładne 0 Δt= u 4 2 t jawny s. Eulera (zadajemy tylko warunek początkowy) AB4 znaczy AB rzędu 4, 4-krokowa zadajemy f 0,f 1,f 2,f 3 oraz u 3 aby wyliczyć u 4 (problem ze startem) AM4 = AM rzędu 4, 3-krokowa t AM4 AB4 Przepis na jeden krok można rozwiązać analitycznie, bo w naszym przykładzie f to liniowa fcja u b. glob. t dla t=2, błędy: 2.13e-4, -2.11e-3

31 AB4, AM4, RK4 porównanie dokładności AM4 RK4 dla t=2, błędy: 2.13e-4, -2.11e-3, 1.087e-4 AB4 RK4 = nie ma problemu z rozwiązaniem jak dla AM4 = nie ma problemu ze startem jak dla AM4 i AB4 = kosztuje : 4 wywołania f (dla AM4 może być różnie zależnie od zbieżności iteracji) AM4 nieco szerszy zakres bezwzględnej stabilności niż RK4

32 Thersten Finite Differences and spectral methods for ordinary and partial differential equations: podobne do Adamsa: interpolujemy f, liczymy całkę z f od t(n-2) do t(n)

33 metody różnic wstecznych: najlepsze y y j p własności stabilności bezwzględnej