Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki

Transkrypt

1 Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Podstawy metody różnic skończonych (Basics of finite-difference methods) Podstawy metody FDTD (Basics of the Finite-Difference Time-Domain method) M. N. Sadiku, Numerical Techniques in Electromagnetics 2nd Ed., CRC Press 2001 A. Taflove, S. Hagnes Computational Electrodynamics The Finite-Difference Time Domain Method, Artech House, 2005

2 Metoda różnic skończonych (Finite difference method) ^L Φ=0 1. Dyskretyzacja: Φ(r, t) Φ n Φ(r n,t n ) (Discretisation) 2. Zamiana równania różniczkowego na różnicowe (Changing the differential equation into a finite difference equation) Aproksymacja pochodnych ilorazem różnicowym (lub wyrażeniami wyższego rzędu): d f d x =lim x 0 f x x f x x 2 x 3. Rozwiązanie równania różnicowego z uwzględnieniem warunków początkowych i brzegowych (Solving the finite difference equation taking into account the initial and bounndary conditions)

3 Klasyfikacja obszaru rozwiązań Obszar rozwiązań można często powiązać z podziałem równań cząstkowych drugiego rzędu na r. eliptyczne, paraboliczne i hiperboliczne

4 Klasyfikacja równań Cząstkowe równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu: Klasyfikacja:

5 Klasyfikacja warunków brzegowych Warunek Dirichleta: r=0 Warunek Neumanna: Warunek mieszany: r n =0 r n h rr =0

6 Różnicowa aproksymacja pochodnych Górny iloraz różnicowy: f ' x 0 f x 0 x f x 0 x Centralny iloraz różnicowy: f ' x 0 f x x f x 0 0 x 2 x Dolny iloraz różnicowy: f ' x 0 f x f x 0 0 x

7 Druga pochodna Z 3-krotnego zastosowania wzoru na centralny iloraz różnicowy dostajemy: f ' x 0 x/2 f x 0 x f x 0 x f ' ' x 0 f ' x 0 x / 2 f ' x 0 x / 2 x f ' ' x 0 f x x 2f x f x x x 2 f ' x 0 x/ 2 f x f x 0 0 x x

8 Dokładność aproksymacji pochodnej Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora: f x 0 x= n=0 = f x 0 x f ' x 0 N 1 x n x2 2! n! f ' ' x 0 f n x 0 O x N = x3 3! f 3 x 0 O x N

9 Dokładność aproksymacji pochodnej Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora: (I) (II) f x 0 x= n=0 N 1 x n n! Przykład: rozwinięcie 2 rzędu: f n x 0 O x N x2 f x 0 x= f x 0 x f ' x 0 f ' ' x 0 O x 3 2! x 2 f x 0 x= f x 0 x f ' x 0 f ' ' x 0 O x 3 2! Wyrażenie na pierwszą pochodną: f x 0 x f x 0 x = f ' x 0 O x 2 2 x (I)-(II) : (Dokładność rozwinięcia)

10 Dokładność aproksymacji pochodnej Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora: (I) (II) N 1 x n f x 0 x= n=0 n! Przykład: rozwinięcie 3 rzędu: f n x 0 O x N x2 f x 0 x= f x 0 x f ' x 0 2! x 2 f x 0 x= f x 0 x f ' x 0 2! x 3 f ' ' x 0 f 3 x 0 O x 4 3! x3 f ' ' x 0 f 3 x 0 O x 4 3! Wyrażenie na drugą pochodną: (I)+(II): f x 0 x 2f x 0 f x 0 x x 2 = f ' ' x 0 O x 2 (Dokładność rozwinięcia)

11 Ogólna metoda wyprowadzenia wyrażeń wyższego rzędu Układ N równań: i=1n na N niewiadomych: { f 1 x 0, f 2 x 0, f N x 0 } f x 0 i x = n=0 N 1 i n x n n! f n x 0 O i x N f = A f r

12 Dokładność aproksymacji pochodnej M. Sadiku, Numerical Techniques in Electrodynamics CRC Press LLC 2001

13 Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki Podstawy metody FDTD Algorytm FDTD w jednym wymiarze Warunki brzegowe PML w jednym wymiarze Symulacja źródła Algorytm FDTD w 3 wymiarach Wygładzanie nieciągłości przenikalności elektrycznej

14 FDTD (finite difference time domain method) metoda różnic skończonych zastosowana do równań Maxwella z czasem Prawa Faradaya i Ampera-Maxwella posłużą do wyprowadzenia kroku iteracyjnego dla ewolucji pól w czasie: E= 0 H t H= E 0 E t Pozostałe równania muszą być spełniane przez pole początkowe: (ϵ E)=ρ (μ H )=0 (wszystkie pola rzeczywiste i zależne od czasu )

15 FDTD przypadek 1-wymiarowy H z x,t, E y x,t E= μ 0 μ H t H=σ E+ϵ 0 ϵ E t W przypadku jednowymiarowym, otrzymujemy równoważne sobie niezależne równania dla dwóch polaryzacji H y = 1 t 0 E z x H z = 1 t 0 E y x E y t = ϵ 1 0 ϵ ( σ E y H ) z x H y x, t, E z x,t E z t = 1 ϵ 0 ϵ ( σ E z + H y x )

16 FDTD przypadek jednowymiarowy H z t = 1 0 E y x m 1/2 E y t = 1 ϵ 0 ϵ ( σ E y H z x ) n 1/ 2 m 1 /2 H z n 1 /2 n n n1/ 2 m 1 /2 H z n1 /2 n 1/2 n n1/ 2 x[ x] x t m m E y n 1 E y n m m E y n1 x m1/2 m1 /2 H z n 1 /2 m1 /2 H z n1 /2 x x t[ t]

17 FDTD przypadek jednowymiarowy H z = 1 t 0 E y x Dyskretyzacja (E y ) n m =E y ( nδ x, m δ t ) m 1/ (H z ) 2 n 1/ 2 =H z ((n 1/2)δ x,(m 1/2) δ t ) μ n 1/ 2 =μ((n 1/ 2)δ x) m+1/ (H z ) 2 m 1/ 2 n 1/2 (H z ) n 1/2 = (μ δ t 0 μ n 1/ 2 ) 1 (E ) m m y n (E y ) n 1 δ x (Centralne ilorazy różnicowe) m+1/ (H z ) 2 m 1/ n 1/ 2 =( H z ) 2 n 1/ 2 + δ t ((E δ x μ 0 μ y ) m n 1 n 1/2 m (E y ) n )

18 FDTD przypadek jednowymiarowy E y t = ϵ 1 0 ϵ ( σ E H ) z y x Dyskretyzacja (E y ) n m+1 (E y ) n m δ t E y m n =E y n x, m t m 1 H z /2 n 1 /2 =H z n 1/2 x, m 1/2 t n =n x n = n x ( =(ϵ 0 ϵ n ) 1 σ (E y ) m+1 m n +(E y ) n n 2 (Centralne ilorazy różnicowe) (Średnia) E y n m1/ 2 (H ) m+1/ 2 m+1/ 2 (H z n+1 / 2 z ) n 1/ 2 ) δ x E y n m1 = 1 t n 0 n E m y n t m1/ H x 0 z 2 m1/ n 1/ 2 H z n1/2 2O 3 n

19 FDTD przypadek jednowymiarowy Opis układu: { 1/ 2, 3/2, N 1/ 2 } { 0, 1, N } { 0, 1, N } x, t Warunki początkowe: {E y 0 0,E y 0 1, E y N0 } Warunki brzegowe, np. m1 {H z /2 1 /2 =0, H z N 1/ 2 Krok iteracyjny: m1 H z /2 m 1/ n1 /2 {H z 2 n1/ 2,E y m n,e y n1 {H z 1/2 1/ 1/2,H z 2 3/ 2, H z N 1/ 2 m1 /2 =0 } {E y 0 m =0,E y N m =0 } (PMC doskonały przewodnik magn.) m } m1/ 2 } E y m1 n { E y m m1 n,h z /2 n 1 /2, H z n1/ 2 1/2 } (PEC doskonały przewodnik) n=0n 1 n=0n

20 Dygresja jednostki znormalizowane Układ SI: Niefizyczna przewodniość magnetyczna E= M H 0 H H= E 0 E t t t'=ct=t / 0 0 H '= 0 H '= 0 M '= 1 0 M 0 = 0 / (impedancja próżni) W nowym zapisie nie występują przenikalności próżni. Dodatkowo te same jednostki mają pola E i H', obie przewodniości, a także x i t': E= M ' H ' H ' t ' H'= ' E E t '

21 Algorytm 1-wymiarowy w tej postaci wymaga 4 mnożeń / krok / komórkę. Dla sytuacji 3-wymiarowej będzie to 12 mnożeń. FDTD przypadek jednowymiarowy E y t' = 1 H ' y z x ' E H z ' = 1 t ' E y x ' H ' M z = m1/ H z ' 2 1 t ' ' M n 1/2 n 1/ 2 n 1/2 H ' m 1/2 z n 1 /2 t ' x n 1/ 2 E y n 1 m E y n m O 3 E y n m1 = 1 t ' n ' n E m y n t ' m1/ H x z ' 2 m1/2 n 1/ 2 H z ' n1 /2 O 3 n

22 FDTD przypadek jednowymiarowy σ M '=0, μ=1, ~ E δ t ' δ x E m1/ H z ' 2 m 1/ n 1/ 2 =H z ' 2 n 1/ 2 E y m m n 1 E y n E y n m1 = 1 t ' n ' n E y m n t ' 2 m1/ H x 2 z ' 2 m1/2 n 1/ 2 H z ' n1/2 n A n B n Algorytm jednowymiarowy dla materiałów niemagnetycznych wymaga jedynie 2 mnożeń / krok / komórkę!!! Ta sama operacja dla sytuacji 3-wymiarowej prowadzi do 6 mnożeń.

23 Idealne sztuczne warunki brzegowe: pochłaniające i nieodbijające PEC Obszar symulacji 1, 1 2, 2 PEC x Brak odbić Tłumienie 2, 2 =?

24 Dygresja: dopasowanie impedancji PEC 1, 1 2, 2 PEC x Odbicie prostopadłe (TE i TM, zapis zespolony, dla fali monochromatycznej): R= n / n / T= 2 n / 1 1 n 2 / 2 n 1 / 1 n 2 / 2 n 1 / 1 R=0 gdy n 2 / 2 =n 1 / 1 = Warunkiem braku odbicia od granicy ośrodków jest równość impedancji: 1 2

25 Dygresja: dopasowanie impedancji = = 1 1 Wracamy do zapisu rzeczywistego: i = i ' 0 k 0 i M = i ' M 0 k 0 t =Re exp±i t '= 0 M '= 1 0 M k 0 =/ c

26

27 Nieodbijające warunki brzegowe 1, 1 1 '=0 '=0 M 1 2, 2 PEC x L Współczynnik odbicia: r 2 =exp k 0 Im n 2 2L 2 2 '= ln r 2 4 L 1 / 1 n 2 = ϵ 2 μ 2 = μ 1 /ϵ 1 (ϵ 2 +i σ 2 ' / k 0 )

28 Zadania Metoda FDTD (finite difference time domain) Zadanie 1. Napisać funkcję opartą na metodzie FDTD w 1 wymiarze służącą do symulacji ewolucji pola elektrycznego i magnetycznego w czasie. a. Przyjąć, że obszar symulacji ograniczony jest doskonałym przewodnikiem. b. Przyjąć, że obszar symulacji ograniczony jest nieodbijającym i stratnym materiałem (1-wymiarowy PML). c. Wprowadzić do obszaru symulacji pole początkowe odpowiadające impulsowi d. Włączyć w obszar symulacji źródło sztywne (bądź SF/TF). Zadanie 2. Wykonać propagację impulsu oraz fali monochromatycznej dla wybranych sytuacji, np. - dla propagacji w przestrzeni swobodnej - dla rozpraszania na granicy ośrodków - dla odbicia od materiału z naniesioną powłoka antyodbiciową - dla rezonansowego odbicia i transmisji przez płytkę FP. -przeanalizować odbicie od siatki Bragga dla długości fali spoza przerwy wzbronionej, ze środka przerwy i z brzegu przerwy -przeanalizować odbicie fali od ośrodka o ujemnej przenikalności elektrycznej (metalu), a następnie rezonansową transmisję przez układ dwóch metalowych zwierciadeł o wysokich współczynnikach odbicia - wykonać symulację propagacji przez ośrodek periodyczny (fale Blocha) (niekoniecznie z periodycznymi warunkami brzegowymi).