warunki brzegowe u(x=0,t)=u(x=1,t)=0 problem: dane u(x,t=t) szukane: u(x,t=0)

Transkrypt

1 odwrotny problem przewodnictwa cieplnego problem prosty : zadajemy warunki brzegowe oraz początkowe pytanie: co stanie się w przyszłości (tak wprowadzane są problemy w teorii równań różniczkowych) W praktyce, często chcemy znaleźć rozwiązania dla problemu odwrotnego: znamy obecny rozkład temperatury. Jaki był rozkład w przeszłości? Jakie były warunki brzegowe? Jaki był warunek początkowy? [typowy problem pomiarów, nie tylko zależnych od czasu] warunki brzegowe u(x=,t)=u(x=,t)= problem: dane u(x,t=t) szukane: u(x,t=)

2 N=, dx=./(n), D= dt=dx**2/d/2/ (malutki) O czasie i problemie odwrotnym... CN chcemy wrócić do warunku początkowego ustawiamy dt:=-dt problem: T(x,t) = wewnątrz T(x,t) = na zewnątrz x t liczymy do przodu potem chcemy wrócić

3 N=, dx=./(n), D= dt=dx**2/d/2/ (malutki) O czasie i problemie odwrotnym... CN chcemy wrócić do warunku początkowego ustawiamy dt:=-dt problem: T(x,t) = wewnątrz T(x,t) = na zewnątrz nieco dłużej = eksplozja x t liczymy do przodu potem chcemy wrócić i bum!

4 problem odwrotny do równania dyfuzji: wszystkie metody różnic skończonych okazują się niestabilne dla ujemnego kroku czasowego [r =D t/ x2 < ] wyprowadzony wcześniej z analizy von Neumanna warunek: stabilności bezwzględnej: ( =/2 odpowiada CN) dla t < [r<] warunek prawy nie jest spełniony schemat CN nie jest stabilny dla równania dyfuzji rozwiązywanego wstecz

5 niezależnie od startu rozkład T po pewnym czasie będzie miał kształt sin(πx) Układ zapomina o warunku początkowym problem obiektywnie trudny odwracamy znak czasu: gdy tylko w wyniku niedokładności pojawi się składowa o wysokim n natychmiast eksploduje Nie zawsze problem z cofaniem się wstecz w czasie jest trudny: dla równania adwekcji jest równie łatwy jak początkowy (zmiana dt równoważna zmianie kierunku prędkości unoszenia v)

6 możliwe rozwiązanie: szukać warunków początkowych T(x,t=), dla których jesteśmy najbliżej danych wejściowych [T(x,t=T)] rozwiązywać równanie dla dt> i porównywać wynik numeryczny dla t=t z zadanym rozkładem co wymaga znacznie większego nakładu obliczeń niż w problem podstawowy

7 odwrotny problem przewodnictwa cieplnego opiszemy rozwiązanie warunków brzegowych u(x=,t)=u(x=,t)= problem: dane u(x,t=t) szukane: u(x,t=). 4. policzone schematem CN dla N= dx=./(n) D= dt=dx**2/d/2 kroków czasowych Jeden z możliwych algorytmów wykorzystuje liniowość równania

8 Jeden z możliwych algorytmów wykorzystuje liniowość równania wybrać bazę niezależnych liniowo funkcji g(x) określonych na przedziale (,) ) np. gi (x) = (x-/2)i 8. 2) dla każdego warunku początkowego rozwiązać równanie przewodnictwa cieplnego do chwili T dostaniemy bazę funkcji hi(x) normalizujemy je tak aby (hi,hi)= zgodnie z tym warunkiem normalizujemy również gi

9 3) równanie jest liniowe ewolucja czasowa gi hi wyliczymy przybliżony warunek początkowy [wsp. d] jeśli rozłożymy rozwiązanie w chwili T w bazie funkcji h i rozłożyć: np.: metodą najmniejszych kwadratów

10 + z

11 + z niestety A bywa źle uwarunkowana bo hi mają tendencję do upodabniania się nawet jeśli g bardzo różne niestety = raczej reguła dla problemów odwrotnych

12 Wyniki:. 4 dokładny warunek początkowy rozwiązanie problemu odwrotnego w bazie wielomianowej (i=,,...) dokładny wynik: warunek początkowy był x(x-)(x-/4) baza -. 4 dla i=,,

13 upodabnianie się funkcji bazowych - nie jesteśmy bez wpływu na uwarunkowanie problemu możemy wybrać bazę tak, aby efekt zminimalizować gaussowska wielocentrowa cos(n x) wielomiany g h t t t

14 Równanie adwekcji dyfuzji (schematy jawne) występuje np. w mechanice płynów i pyłów w transporcie ciepła itd. D Euler: przedni czasowy, centralne przestrzenne: schemat: bezwzględnie stabilny gdy czysta dyfuzja v= oraz r /2 : bezwzględnie niestabilny gdy czysta adwekcji D = : dla adwekcji widzieliśmy, że obecność niezerowego D stabilizuje schemat posortujmy wyrazy w powyższym równaniu względem indeksu siatki przestrzennej:

15 równanie AD, schemat Eulera zgodnie z zasadą max: schemat będzie stabilny jeśli...

16 równanie AD, schemat Eulera zgodnie z zasadą max: schemat będzie stabilny jeśli ½ r /2 aby schemat był stabilny: który efekt ma być dominujący: adwekcja czy dyfuzja??

17 równanie AD, schemat Eulera zgodnie z zasadą max: schemat będzie stabilny jeśli ½ r /2 (przewaga dyfuzji) liczba Peclet a (komórkowa liczba Reynoldsa) podobny wniosek otrzymamy dla normy euklidesowej stosując analizę von Neumanna ) zauważmy krok czasowy nie ma wpływu na stabilność jeśli prędkość unoszenia duża w porównaniu ze stałą dyfuzji: siatka przestrzenna będzie musiała być bardzo drobna. Zazwyczaj łatwiej zgodzić się na drobne dt niż na drobne dx ze względu na ograniczenia pamięciowe. 2) jeśli D= (czysta adwekcja) schemat niestabilny

18 Dla równania adwekcji lepiej sprawdzał się schemat upwind : (dla > ) [uwaga!, teraz v> wieje w prawo(inny znak v)] zasada max:

19 Dla równania adwekcji lepiej sprawdzał się schemat upwind [uwaga!, teraz v> wieje w prawo(inny znak v)] zasada max: r (jest), r + (jest bo v>) oraz 2r+ warunek znacznie mniej restrykcyjny niż dla Eulera bo: stabilność można zapewnić małym krokiem czasowym Dla dowolnej siatki! Czy odnajdujemy znane warunki stabilności dla czystej dyfuzji i czystej adwekcji?

20 Dla równania adwekcji lepiej sprawdzał się schemat upwind [uwaga!, teraz v> wieje w prawo(inny znak v)] zasada max: r (jest), r + (jest bo v>) oraz 2r+ warunek znacznie mniej restrykcyjny niż dla Eulera bo: stabilność można zapewnić małym krokiem czasowym Dla dowolnej siatki! odnajdujemy znane warunki stabilności dla czystej dyfuzji i czystej adwekcji

21 problemy z przewagą adwekcji i v zmieniającym znak ( zależne od położenia) v> v< co, można zapisać jednym wzorem: (z uniknięciem instrukcji warunkowej)

22 problemy z przewagą adwekcji i v zmieniającym znak ( zależne od położenia) v> v< co, można zapisać jednym wzorem: z tzw. schemat z różniczkowaniem pod wiatr uwaga: w schemacie upwind: czynnik dyfuzji wzrasta o extra /2 (pojawia się dyfuzja numeryczna) (w centralnym ilorazie sztucznej dyfuzji nie ma i to jak widzieliśmy powód niestabilności schematu dla czystej adwekcji) centralny (bez numerycznej dyfuzji) :

23 Przykład: problem z przewagą adwekcji D=., v= warunek początkowy: u=/2 dla x</2 x t rozwiązanie dokładne dyfuzja: widoczna w lekkim zaokrągleniu nieciągłości dla t> upwind dt=.25, dx=.5 =.5, r=. widać znacznie przesadzoną dyfuzję iloraz centralny (bezwzględnie niestabilny) widać generację niestabilności (antydyfuzja = zaostrzanie kantów) aby zniwelować dodatkową (numeryczną dyfuzję) dla schematu upwind - mniejszy krok czasowy czy mniejszy krok przestrzenny?

24 Nieliniowe równania paraboliczne Dla równań liniowych (np. dyfuzji, dyfuzji+adwekcji) schematy jawne sprowadzają się do wykonania wielu podstawień w każdym kroku niejawne prowadzą do układu równań liniowych. Zastanowimy się jak rozwiązać równanie nieliniowe. schemat niejawny, jednopoziomowy, centralne przestrzenne przedni czasowy, ważona prawa strona (dla =/2 - CN), weźmy nieliniowe równanie dyfuzji na m= się już znamy

25 u(x,t=)=exp(-x2/25), pudło (-3,3), x=, t=. 3 dyfuzja nieliniowa 2 m= m= zwykła dyfuzja CN

26 warunek początkowy oraz niejednorodność w chwili początkowej = do wyjaśnienia różnic w rozwiązaniu m= u m=5 Prawa strona równania mówi tutaj: rośnij! nie zmieniaj się! umxx malej! widzimy, że krańce pakietu = bez zmian. błyskawiczne stłumienie maksimum, wyrównanie brzegów

27 Nieliniowe równania paraboliczne zapiszemy jako układ równań nieliniowych dla = jawny schemat nadal forma podstawieniowa (nawet dla nieliniowego równania) dla schemat niejawny metoda Newtona lub iteracja funkcjonalna

28 CN + iteracja funkcjonalna pierwszy krok czasowy, uzgodnienie punktu w centrum x=.. m=5 t=..9 9 m= t= ite r a c je ite r a c je 6 2

29 nieliniowe równanie dyfuzji CN, zbieżność iteracji funkcjonalnej punkt centralny, pierwszy krok czasowy m=5 t= m= t= ite r a c je ite r a c je 6 2 widzimy, że iteracja funkcjonalna nie rokuje dobrze dla zbieżności równania nieliniowego przy dłuższym kroku czasowym

30 jeśli z iteracją kłopoty może zastosować schemat jawny zamiast CN? t=.3, kroków samouzgodnienia iteracją funkcjonalną 2 CN: jawny: -2 Zaczyna się dobrze pojawiają się wartości 4 po czym pakiet zanika

31 A może schemat jawny zamiast CN? t=.3, iteracji CN schemat jawny pojawiają się wartości 4 po czym pakiet znika ) niejawność schematu jest potrzebna 2) iteracja funkcjonalna się nie sprawdza metoda Newtona

32 metoda Newtona dla nieliniowego równania dyfuzji rozwiązania schematu dla n+ kroku czasowego spełniają układ równań nieliniowych: F(Un+)= rozwinięcie Taylora przybliżony wektor Un+ w k-tej iteracji n+ znaczy n+ chwila czasowa układ równań liniowych na poprawę przybliżenia Vk+:=Vk+(Un+-Vk)

33 metoda Newtona dla nieliniowego równania dyfuzji U=UJ= macierz Jakobiego J- m. Jakobiego: trójprzekątniowa

34 Wyniki [CN] dla pierwszego kroku czasowego. iteracja funkcjonalna. m= t= m=5 t= ite r a c je ite r a c je Metoda Newtona: Metoda Newtona:

35 Wyniki [CN] dla pierwszego kroku czasowego. m=5 iteracja funkcjonalna t= ite r a c je Metoda Newtona: m= t= ite r a c je 6 2 Metoda Newtona: Równanie liniowe = zbieżność metody Newtona w jednej iteracji

36 m=5, dt= z iteracją Newtona Wniosek: aby rozwiązać równania nieliniowe z rozsądnym krokiem czasowym potrzebna jest metoda niejawna do rozwiązania nieliniowych równań schematu - iteracja Newtona

37 Równanie dyfuzji oraz dyfuzji-adwekcji typowe paraboliczne Dziś zajmiemy się typowym równaniem hiperbolicznym elektro-magnetyczne) równanie falowe (dla struny) (opisuje dążenie do równowagi). (oscylacje: mechaniczne, elektryczne, u(x,t) x=l x=p x+dx T2 x T siła naciągu struny T (kierunek poziomy): (II zasada Newtona F=ma)

38 Równanie dyfuzji oraz dyfuzji-adwekcji typowe paraboliczne Dziś zajmiemy się typowym równaniem hiperbolicznym równanie falowe (dla struny) (dążenie do równowagi). (oscylacje) u(x,t) x=l x=p x+dx uwaga: T2 x T dx (prędkość rozchodzenia się drgań)

39 c stałe: Ogólne rozwiązanie dla nieskończonego ośrodka (d Alamberta) dowolna funkcja drgania rozchodzące się bez zmiany kształtu [brak dyspersji w równaniu falowym] Liniowość równania: zasada superpozycji

40 Liniowość równania i zasada superpozycji: Sygnały rozchodzą się niezależnie od siebie t F=exp(-(x-.5+ct)2) +exp(-(x+.5-ct)2) x Sygnały mijają się bez zmiany kształtu [(jedna fala przenika drugą.] ponieważ równanie liniowe: jeśli wskażemy bazę zupełną funkcji ze znaną ewolucją czasową = problem rozwiązany baza: mody normalne (fale stojące) (drgania własne)

41 baza: mody normalne (fale stojące) (drgania własne) Dwupunktowe warunki brzegowe u(,t)=u(l,t)= x=l x= Poszukajmy rozwiązań, w których tylko amplituda (a nie kształt fali) nie zależy od czasu: t= u(x,t)=x(x)t(t) t=t2 t=t3 t=t T(t)=cos( t+ )= C cos( t)+d sin( t) [gdy gęstość struny zmienna c może być funkcją położenia]

42 Równanie na część przestrzenną fal stojących (drania własne, drgania normalne) Dla c niezależnego od x: k-liczba falowa, wektor falowy k = 2 / tutaj długość fali k= / c Xn(x)=sin(knx) WB: spełnione, gdy X()=X(L)= kn=n /L Fale stojące: Między warunkami brzegowymi całkowita liczba połówek długości fal.. L

43 warunki brzegowe: kwantyzacja k kwantyzacja w Xn(x)=sin(knx), Tn=sin(wnt), cos(wnt) kn=n /L k= / c T T oznacza naciąg struny n =ckn przestrzenne drgania własne nie zależą od c, ale częstości tak. Wiemy, że niższe tony dają struny o większej grubości [ Wiemy również, że im silniej struna naciągnięta tym wyższy dźwięk.

44 Drgania własne dla zmiennej gęstości struny W przypadku ogólnym [c=c(x)] przyda się rachunek numeryczny. Wyliczyć Xn oraz n (x) Dyskretyzujemy drugą pochodną, liczymy Xn(x+dx)

45 Równanie własne z warunkami brzegowymi: Metoda strzałów. w parametr równania dokładna wartość własna w< w= w> w X wstawić warunek brzegowy ale co wstawić za X?? (dla równania Poissona opisywanego dla metody Numerowa to był poważny problem) dla drgań własnych wstawiamy cokolwiek (równanie własne jest jednorodne rozwiązania określone co do stałej multiplikatywnej )

46 Test metody dla (x)= (L=, T=) Analityczne: kn=n /L k / L k X 4 /L /L k = k 2 / L x x X (L ) k= k /L k = 8 Miejsca zerowe wartości własne przy których funkcje własne spełniają prawy warunek brzegowy

47 Przykład: (x)=+4 x-/2)2 (struna cięższa przy mocowaniach) X X = częstości własne równoodległe Częstości własne maleją z (cięższa struna) duże częstości grupują się w pary X 4 2 X 3 - x W każdej parze: funkcja parzysta i nieparzysta. Środek struny prawie nieważki, na częstości wpływ ma kształt funkcji przy brzegach a tam zbliżony dla każdej funkcji z pary

48 Drgania własne a ogólne rozwiązania równania falowego Równanie ogólne: Warunki początkowe: u(x,t=) oraz v(x,t=)=du/dt Zadać wychylenie i prędkości rozłożyć warunki początkowe na drgania własne problem zależności czasowych jest rozwiązany

49 Drgania normalne a ogólne rozwiązania równania falowego Równanie ogólne: Warunki początkowe: u(x,t=) oraz v(x,t=)=du/dt Zadać wychylenie i prędkości rozłożyć warunki początkowe na drgania własne problem zależności czasowych jest rozwiązany w chwili t=, za kształt struny odpowiadają współczynniki cn a za prędkość współczynniki sn

50 Superpozycja drgań własnych: Warunki początkowe Uwaga: dla równań dyfuzji i adwekcji warunek początkowy był tylko jeden czasowy rząd równania był =. Dla równania drugiego rzędu w czasie, wartość u(x,t=) nie wystarczy dla jednoznacznego określenia rozwiązania. dla drgań własnych jednorodnej struny: Dyskretna sinusowa transformata Fouriera

51 rozkład na mody normalne na przedziale (,L) Rozwinięcie w szereg Fouriera: g(x) = okresowa, odcinkowo ciągła z okresem T: Rozkład na drgania normalne a szereg Fouriera: drgania podległe warunkom brzegowym g()=g(l)=. dla naszego problemu L to długość struny i nie ma interpretacji okresu (na strunie mieści się połowa długości fali).

52 Warunki Dirichleta zbieżności szeregu Fouriera Rozwinięcie Fouriera zbieżne w sensie jednorodnym N o ile g(x) ) całkowalna w kwadracie 2) odcinkowo ciągła rozwinięcie Fouriera dąży do g(x) prawie wszędzie tzn. poza punktami dyskretnymi punktami (rozwinięcie Fouriera jest wszędzie ciągłe!) Twierdzenie Dirichleta: W punktach nieciągłości szereg Fouriera zbieżny do g(x)=[ g(x-)+g(x+) ] / 2 tw. Dirichleta nie rozwiązuje wszystkich problemów

53 dla struny: pewien praktyczny problem z kanciastymi (nieróżniczkowalnymi) warunkami początkowymi. Fala prostokątna - - W punkcie nieciągłości = [g(-)+g(+) ]/2 = (- + ) / 2 =

54 N=5 N=5 N=55 Nad nieciągłością wartość schodka przestrzelona o około 8% - +2w N=5 N=55 N= Na PC pracujemy ze skończonymi bazami: Zjawisko Gibbsa w=.8949 (stała Wibrahama-Gibbsa)..2.4 x.6 Równania różniczkowego przez rozkład warunku początkowego na drgania własne nie rozwiążemy dokładnie, jeśli ten jest nieciągły.

55 Na PC pracujemy ze skończonymi bazami... Zbieżność szeregu Fouriera w sensie bezwzględnym Szereg jest bezwzględnie zbieżny jeśli można go obciąć na pewnym wyrazie rozwinięcia: 2 Rozwinięcie fali prostokątnej nie jest bezwzględnie zbieżne: Bo ogólny szereg harmoniczny jest rozbieżny g (x ) - s c h o d k o w a, b 2 h (x )= e x p (- x ), a n Wniosek: w skończonej bazie funkcji własnych możemy rozwiązywać tylko problemy z warunkiem początkowym, którego rozwinięcie w szereg Fouriera jest bezwzględnie zbieżne n 2 n 3 4

56 Metoda różnic skończonych = uwalnia nas od problemu rozkładu na drgania własne Rozwiązanie numeryczne: dzielimy strunę na N fragmentów, dla każdego z nich rozwiązujemy równania Newtona (zabieg odwrotny do wyprowadzenia równania różniczkowego) v(x,t) - prędkość u(x,t) - wychylenie z równania falowego:

57 Schemat Verleta (popularny dla symulacji dynamiki molekularnej) V m Schemat Verleta Phys. Rev. 59, 98 (967) F Pomysł: rozwinąć położenie r w chwili t+ t i t- t w szereg Taylora tylko o jeden rząd mniej dokładny niż RK4

58 Schemat Verleta Jeśli chodzi nam tylko o tor ruchu: świetny schemat. Nie używa prędkości, ale ta często potrzebna potrzebna: np do wyliczenia energii, ale również : sił (np. oporu, Lorentza) jeśli siły niezależne od prędkości, a informacja o nich potrzebna jest do innych celów można - wykonać krok do t+ t, a potem rząd błędu wyższy, wciąż dokładnie dla ruchu jednostajnie przyspieszonego a stałe między t a t jeśli siły zależą od prędkości: nie wykonamy kroku do t+ t, możemy co najwyżej: kiepsko: wynik dokładny tylko dla a=

59 prędkościowa wersja schematu Verleta (dający prędkości jednocześnie z położeniami) Położenia poświęcamy jeden rząd dokładności: Potrzebny przepis na prędkość w chwili t + t z błędem O( t2): Rozwinąć r w Taylora względem punktu t+ t: Dodać stronami: Wzory podkreślone na czerwono Verlet prędkościowy.

60 Verlet prędkościowy Inny (popularny) zapis wzorów w czerwonej ramce uwaga: jeśli siły (przyspieszenia) zależą od prędkości ostatnie równanie jest niejawne

61 Rozwiązania numeryczne. (laboratorium) L= u(x,t=)=exp[-(x-.5)2] v(x,t=)=.5 x. u(x,t) t= t=.4.5 t=. 2 t 3 Odbicie ze zmianą fazy (idzie górą, wraca dołem) t=.2. v(x,t) x.5 x u (x,t) t

62 Rozwiązanie numeryczne 2. Może się swobodnie przesuwać po mocowaniu Swobodne warunki brzegowe: na brzegach na strunę nie działa żadna siła pionowa: Warunek brzegowy Neumana (na pochodną) zamiast Dirichleta (na wartość funkcji) Odbicie bez zmiany fazy: idzie górą, górą wraca..8 u.5.6 u v x.8.

63 energia drgania: kinetyczna Potencjalna: odkształcenie struny Dla (x)= Dla pojedynczego modu własnego =kc T= c2 Kinetyczna na potencjalną się zmienia, całkowita zachowana

64 Analiza chwilowa drgania Rozwiązując równanie falowe schematem Verleta można z zależności czasowych wydobyć częstości własne bez konieczności rozwiązywania równania własnego Gdy drgania tłumione - częstość przestrzenna modów własnych nie ulega zmianie (zobaczymy), ale czasowa tak. Analiza chwilowa drgania na podstawie wychylenia zależności położeniowych = wychylenia g(x) i prędkości h(x) w danej chwili.

65 Równanie fali tłumionej a > = stała tłumienia c niezależna od położenia Opory związane z prędkością struny [np. powietrza] Warunki brzegowe u(x=,t)=u(x=l,t)= Warunki początkowe u(x,t) oraz v(x,t). Mody normalne dla fali tłumionej: Poszukajmy rozwiązania metodą separacji zmiennych u(x,t)=x(x)t(t) część przestrzenna bez zmian! Xn(x)=sin(knx) kn=n /L k= /c

66 Część przestrzenna: wstawiamy T=exp(rt), równanie charakterystyczne: exp(rt) [ r2+2ar+wn2] =, szukamy rozwiązań na r możliwe przypadki: 2 pierwiastki rzeczywiste, jeden podwójny, obydwa zespolone Warunki początkowe: Struna spoczywa w chwili początkowej Rozwiązanie określone co do stałej multiplikatywnej (równanie jednorodne)

67 n= nc /L L=, c=, n= a=8, i 2 = przetłumione pozostałe tłumione Słabe tłumienie a<.2.5. T (t) T (t) Drganie z a =.5 a=. n n= Poza zanikiem drgania widzimy zmniejszenie częstości Najpierw zgasną wyższe tłumienia 2

68 Rozwiązanie równania fali tłumionej rozwiązanie ogólne: Położeniowa analiza Fourierowska - rozkład na mody normalne w danej chwili : cn(t) = część przestrzenna nie zmienia się pod wpływem tłumienia. w ogólności zależne od czasu aby wydobyć cn : drugie równanie wydzielimy przez n, podniesiemy w kwadracie i dodamy

69 udział względny: Przykład: L= W chwili początkowej pakiet f(x,t=)=exp(-(x-.5)2) 2 x a=2 t E e n e r g ia a=.5 E=K+P (kinetyczna+potencjalna) a =.5 P 8 K a=4.5 a= t 3 4 Spadek E najszybszy gdy K największe

70 a=. 4 n= 2 c n t 3 n=n 4 Parzyste n nie wnoszą przyczynku (symetria) Wszystkie mody tłumione równie silnie.6 n=. 3 2 n. 2 c t 3 4 oscylujący udział modów normalnych 3 r 2 n a=.5.4 n= 7 2 t 3 4 im wyższe n tym bardziej stały względny udział

71 .8 a=2 a= r n 2 r n n= t 3 a=4, większe tylko od n= r n 2 n.6. 4 a=2 większe od i n= r. 4 8 t. 2 6 n= t t 3 4

72 Laboratorium: R. hiperboliczne z niejednorodnością: Drgania tłumione z siłą wymuszającą F Siła przyłożona punktowo niejednorodność wymuszenie periodycznie zmienne

73 Dla t= struna spoczywa (v(x,t)=)w położeniu równowagi (u(x,t)=) Prędkość dźwięku = Siła przyłożona w środku struny x=/2 u(x,t).5 a= w= pojawia się stan ustalony = drgania periodyczne. a= w=2 x a=3 w= czas W stanie ustalonym ruch jest periodyczny z okresem siły wymuszającej. 8 9

74 Stan ustalony a energia struny Średnia energia w stanie ustalonym: Siła przyłożona w środku struny x=/2 Rezonans a= <E> n= n=2 Brakuje w2n?? w / pi

75 Stan ustalony a energia struny Średnia energia w stanie ustalonym: Siła przyłożona w środku struny x=/2 Rezonans a= <E> n= n=2 Brakuje w2n?? W środku studni = węzeł dla parzystych n w / pi

76 Mody z parzystym n wzbudzone gdy punkt przyłożenia przesunąć ze środka x =.5 <E> a= Krzywa rezonansowa w przybliżeniu opisana przez sumę funkcji Lorentza x = w / pi Siła sprzężenia = kwadrat wartości modu normalnego w miejscu przyłożenia siły:

77 Średnie energie stanu ustalonego a wzory lorentowskie a= a= <E> <E> <E> a= x = w / pi <E> x = w / pi a= a= a= a= a= w / pi x = w / pi Rezonans a stała tłumienia

78 Laboratorium 2: odbicie pakietu od granicy ośrodków V=.5 położenie czas V=

79 V= położenie czas

80 Część energii, która pozostaje po lżejszej stronie struny = po odbiciu

81 Domena zależności (Domain of Dependence) i kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) t x domena zależności: tylko zdarzenia z trójkąta ograniczonego charakterystykami mogą mieć wpływ na rozwiązanie w punkcie P

82 Numeryczna domena zależności [NUMERYCZNA PRZESZŁOŚĆ] schemat Verleta dla przyspieszenia danego przez prawą stronę równania: czas położenie kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)

83 kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) numeryczna dokładna warunek: jak dla adwekcji aby przekroczyć kryterium CFL (prędkość dźwięku): schematy niejawne dla równań mechaniki standardowy schemat niejawny = schemat Newmarka (dlaczego Crank-Nicolson się nie stosuje?)

84 algorytm Newmarka (uogólnienie prędkościowego Verleta, standardowy chemat niejawny dla równań opisujących układy dynamiczne) w Verlecie prędkościowym używamy przepisów: z =/2 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt2/2 a(t) v(t+dt)=v(t)+dt [(- )a(t)+ a(t+dt)] Czyli: w Verlecie: jawna formuła na położenie, potencjalnie niejawna na prędkość ta nie wystarczy dla bezwzględnej stabilności przy kroku czasowym cdt>dx (zobaczymy analizą v.neumanna) dla Newmarka: wprowadzamy niejawność (ważenie przyspieszeń z teraźniejszości i przyszłości) również do wzoru na położenia: u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt2/2 [(-2 )a(t)+2 a(t+dt)] algorytm prędkościowy Newmarka źródło: WJT DANIEL, computational mechanics 2 (997) 272 zróbmy z tego formułę położeniową: bez prędkości, za to dwupoziomową (t+dt) względem t, t-dt wyeliminować prędkości :

85 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt2/2 [(-2 )a(t)+2 a(t+dt)] (*) v(t+dt)=v(t)+dt [(- )a(t)+ a(t+dt)] dla kroku poprzedniego= u(t)=u(t-dt)+v(t-dt)dt+dt2/2 [(-2 )a(t-dt)+2 a(t)] dla kroku poprzedniego = v(t)=v(t-dt)+dt [(- )a(t-dt)+ a(t)] u(t)=u(t-dt)+v(t)dt+dt2/2 [(-2 )a(t-dt)+2 a(t)]-dt2[(- )a(t-dt)+ a(t)] u(t)=u(t-dt)+v(t)dt+dt2/2 [(2-2 )a(t-dt)+(2 a(t)] u(t-dt)=u(t)-v(t)dt-dt2/2 [(2-2 )a(t-dt)+(2 a(t)] (*) dodamy stronami gwiazdki aby usunąć prędkość ze schematu

86 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt2/2 [(-2 )a(t)+2 a(t+dt)] + stronami u(t-dt)=u(t)-v(t)dt+dt2/2 [(-2 +2 )a(t-dt)+(2 a(t)] skasujemy prędkość u(t-dt)+u(t+dt)=2u(t) +dt2/2[2 a(t+dt)+(-4 +2 )a(t)+(-2 +2 )a(t-dt)] u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt2[ a(t+dt)+(/2-2 + )a(t)+(- + )a(t-dt)] algorytm Newmark = wersja położeniowa, dwa parametry dla porównania Verlet położeniowy dla struny wagi przy przyspieszeniu: = (wszystkie wybory dają schemat, który w granicy małego dt redukuje się do Verleta) Newmark sprowadza się do Verleta dla skończonego dt gdy =/2, = rola, zobaczymy jak się sprawdzają w praktyce

87 u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt2[ a(t+dt)+(/2-2 + )a(t)+(- + )a(t-dt)] u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt2[ a(t+dt)+ a(t)+ a(t-dt)] jak wykonać krok czasowy? sposób rozwiązywania zależy od wyrażanie na a dla struny: Po przegrupowaniu wyrazów: układ równań liniowych z macierzą trójprzekątniową stencil:

88 schemat Newmark MRS, struna dt=dx węzłów Verlet ( ) ( ) ( ) czas dokładny dla dt=dx najlepszy wybór (jawny, Verlet) położenie

89 dla dt=dx najlepszy wybór (jawny, Verlet). Verlet dla dt=dx*. widzimy eksplozję rozwiązania z maksymalną zmiennością przestrzenną: Newmark jest po to aby przekroczyć kryterium CFL

90 węzłów rola (dt=.5dx, =.5) = MRS: schemat Newmark rola parametrów metody > wynosi stabilność poza kryterium CFL, kosztem generacji wyższych częstości przestrzennych >/2 ogranicza wzmacnianie wyższych częstości kosztem dyssypacji (zaniku całego pakietu) </2 schemat jest niestabilny zostawmy =/2 (jak dla Verleta) i manipulujmy

91 węzłów MRS poza CFL: dt > cdx dt=.5dx, =.5, schemat staje się stabilny dla >.5 b =. 5 b =.2 b = b= rosnące beta generuje wyższe częstości wniosek: najlepszy minimalne przy którym schemat jeszcze stabilny czy można je wyznaczyć analitycznie?.5

92 Projektowanie schematu Newmarka dla zadanego kroku czasowego. dobrać minimalne aby metoda była stabilna dla danego dt? Będziemy wiedzieli, że po wyższe nie warto sięgać. analiza von Neumanna dla =/2 u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt2[ a(t+dt)+(/2-2 + )a(t)+(- + )a(t-dt)] u(t+dt)-dt2 a(t+dt) =2u(t) -u(t-dt)+dt2[(-2 )a(t)+ a(t-dt)] Ansatz von Neumanna:

93 Sytuacja będzie taka: dopóki < : 2 pierwiastki, o module nie większym od gdy > metoda stanie się niestabilna

94 -2<c< zawsze żeby pod pierwiastkiem liczba ujemna potrzeba aby: <? daje ten sam wynik >/4 metoda stabilna dla dowolnego t [ ponieważ c < ] uwaga: możemy sobie teraz sprawdzić stabilność Verleta dla dt=dx oraz beta=, ¼+/(2c) < [ok.]

95 dobór beta zapewniającego stabilność schematu Newmark w MRS dla zadanego kroku czasowego dt=.5 dx c -.4.

96 dobór beta zapewniającego stabilność schematu Newmark w MRS dla zadanego kroku czasowego 2. /4.2 5 / dt=5dx.2 4 dt=dx c

97 struna, b. wiele chwil czasowych 2. dt=5dx =.25. MRS, Newmark, =/ dt=5dx = bo beta była zbyt mała: