Dyskretyzacja równania dyfuzji cd. jawny Euler niejawny Euler. schemat Cranka Nicolsona: CN to odpowiednik wzoru trapezów dla dy/dt=f(t)

Transkrypt

1 Dyskretyzacja równania dyfuzji cd. jawny Euler niejawny Euler t +O(Δt) (błąd dyskretyzacji) t+δt +O(Δt) schemat Cranka Nicolsona: +O(Δt 2 ) CN to odpowiednik wzoru trapezów dla dy/dt=f(t)

2 Dyskretyzacja równania dyfuzji cd. Schemat CN niejawny,bez ograniczenia ij na krok jawny Euler niejawny Euler czasowy ze względu na stabilność, drugi rząd dokładności dla równania adwekcji poznaliśmy t schemat jawny tego samego rzędu dokładności, t+δt który powstaje przy inaczej wprowadzonej dyskretyzacji czasu. Schemat ten (leapfrog) był odpowiednikiem +O(Δt) (błąd dyskretyzacji) metody punktu pośredniego: +O(Δt) schemat Cranka Nicolsona: +O(Δt 2 ) CN to odpowiednik wzoru trapezów dla dy/dt=f(t)

3 leap frog (jawny, dwustopniowy) całkiem nieźle sprawdzał się dla równania adwekcji (równie dobrze co CN) czy zadziała dla równania dyfuzji? +O(Δx 2 )+O(Δt 2 ) dokładność jak CN analiza von Neumanna 2r szukamy rozwiązań postaci:

4 leap frog analiza vn cd μ k =(1 cos(kδx)) 0 dla bezwzględnej stabilności tbil ś i γ k ma być ć mniejsze ij od 1

5 leap frog analiza vn cd μ k =(1 cos(kδx)) 0 załóżmy, że r małe rozwijamy γ w szereg Taylora : rozwiązanie ogólne: właściwe równania dyfuzji pasożytnicze: rośnie co do modułu z n znak oscyluje z iteracji na iteracje i i ż t i j i i i d d i rozwiązanie pasożytniczne pojawi się i doprowadzi do eksplozji leapfrog nie jest dobrym (bzwz. stabilnym) schematem dla r. dyfuzji

6 leapfrog: dla r=1/2 widzimy, że schemat jest symetryczny y ywzględem ę czasu licząc równanie wstecz dostaniemy ten sam przepis 2r ale rozwiązanie równania dyfuzji NIE jest symetryczne względem czasu (t:= t) w przeciwieństwie do rozwiązania równania adwekcji W problemie stygnącego pręta: zanik temperatury wyznacza kierunek upływu czasu

7 odwrotny problem przewodnictwa cieplnego problem prosty : zadajemy warunki brzegowe oraz początkowe pytanie: co stanie się w przyszłości (tak wprowadzane są problemy w teorii równań różniczkowych) W praktyce, często chcemy znaleźć rozwiązania dla problemu odwrotnego: znamy obecny rozkład temperatury. Jaki był rozkład w przeszłości? Jakie były warunki brzegowe? Jaki był warunek początkowy? [typowy problem pomiarów, nie tylko zależnych od czasu] warunki brzegowe u(x=0,t)=u(x=1,t)=0 problem: dane u(x,t=t) ( szukane: u(x,t=0)

8 O czasie i problemie odwrotnym... N=100, dx=1.0/(n), D=1 dt=dx**2/d/2/10 (malutki) CN problem: chcemy T(x,t) = 1 wewnątrz wrócić do T(x,t) = 0 na zewnątrz warunku początkowego ą ustawiamy dt:= dt x t liczymy do przodu potem chcemy wrócić

9 O czasie i problemie odwrotnym... N=100, dx=1.0/(n), D=1 dt=dx**2/d/2/10 (malutki) CN problem: chcemy T(x,t) = 1 wewnątrz wrócić do T(x,t) = 0 na zewnątrz warunku początkowego ą ustawiamy dt:= dt nieco dłużej = eksplozja x t liczymy do przodu potem chcemy wrócić i bum!

10 problem odwrotny do równania dyfuzji: wszystkie metody różnic skończonych okazują się niestabilne dla ujemnego kroku czasowego [r =DΔt/Δx 2 < 0 ] wyprowadzony wcześniej z analizy von Neumanna warunek: stabilności bezwzględnej: (θ=1/2 odpowiada CN) dla Δt<0 [r<0] warunek prawy nie jest spełniony schemat CN nie jest stabilny dla równania dyfuzji schemat CN nie jest stabilny dla równania dyfuzji rozwiązywanego wstecz

11 niezależnie od startu rozkład T po pewnym czasie będzie miał kształt sin(πx) Układ zapomina o warunku początkowym problem obiektywnie trudny odwracamy znak czasu: gdy tylko w wyniku niedokładności pojawi się składowa o wysokim n natychmiast eksploduje Nie zawsze problem z cofaniem się wstecz w czasie jest trudny: Nie zawsze problem z cofaniem się wstecz w czasie jest trudny: dla równania adwekcji jest równie łatwy jak początkowy (zmiana dt równoważna zmianie kierunku prędkości unoszenia v)

12 niezależnie od startu rozkład T po pewnym czasie będzie ę miał kształt sin(πx) ( ) problem obiektywnie trudny możliwe rozwiązanie: szukać warunków początkowych ą T(x,t=0), ( ) dla których jesteśmy najbliżej danych wejściowych [T(x,t=T)] rozwiązywać równanie dla dt>0 i porównywać wynik numeryczny dla t=t z zadanym rozkładem co wymaga znacznie większego nakładu obliczeń niż w problem podstawowy

13 odwrotny problem przewodnictwa cieplnego opiszemy rozwiązanie warunków brzegowych u(x=0,t)=u(x=1,t)=0 problem: dane u(x,t=t) szukane: u(x,t=0) policzone schematem CN dla N=100 dx=1.0/(n) D1 D=1 dt=dx**2/d/2 100 kroków czasowych Jeden z możliwych algorytmów wykorzystuje liniowość równania

14 Jeden z możliwych algorytmów wykorzystuje liniowość równania 1) wybrać bazę niezależnych liniowo funkcji g(x) określonych na przedziale (0,1) np. g i (x) = (x 1/2) i ) dla każdego warunku początkowego rozwiązać równanie przewodnictwa cieplnego do chwili T dostaniemy bazę funkcji h i (x) normalizujemy je tak aby (h i,h i )=1 zgodnie z tym warunkiem normalizujemyrównież również g i

15 ewolucja czasowa 3) równanie jest liniowe g i h i wyliczymy przybliżony warunek początkowy [wsp. d] jeśli rozłożymy rozwiązanie w chwili T w bazie funkcji h i rozłożyć: np.: metodą najmniejszych kwadratów

16 + z

17 + niestety A bywa źle uwarunkowana bo h i mają tendencję do upodabniania się nawet jeśli g bardzo różne niestety = raczej reguła dla problemów odwrotnych z

18 Wyniki: dokładny warunek początkowy rozwiązanie problemu odwrotnego w bazie wielomianowej (i=0,1,...10) dokładny wynik: warunek początkowy był x(x 1)(x 1/4) baza dla i=0,1,

19 upodabnianie się funkcji bazowych nie jesteśmy bez wpływu na uwarunkowanie problemu możemy wybrać bazę tak, aby efekt zminimalizować wielomiany cos(nπx) gaussowska wielocentrowa g h t 3.00 t t

20 Równanie adwekcji dyfuzji (schematy jawne) występuje np. w mechanice płynów i pyłów w transporcie ciepła itd. D 0 Euler: przedni czasowy, centralne przestrzenne: schemat: bezwzględnie stabilny gdy czysta dyfuzja v=0 oraz r 1/2 : bezwzględnie niestabilny gdy czysta adwekcji D =0 : dla adwekcji widzieliśmy, że obecność niezerowego D stabilizuje schemat posortujmy wyrazy w powyższym równaniu względem indeksu siatki przestrzennej:

21 równanie AD, schemat Eulera zgodnie z zasadą max: schemat będzie stabilny jeśli...

22 równanie AD, schemat Eulera zgodnie z zasadą max: schemat będzie stabilny jeśli ½ r α /2 aby schemat był stabilny: który efekt ma być dominujący: adwekcja czy dyfuzja??

23 równanie AD, schemat Eulera zgodnie z zasadą max: schemat będzie stabilny jeśli ½ r α /2 (przewaga dyfuzji) liczba Peclet a (komórkowa k liczba Reynoldsa) podobny wniosek otrzymamy dla normy euklidesowej stosując analizę von Neumanna 1) zauważmy krok czasowy nie ma wpływu na stabilność jeśli prędkość unoszenia duża w porównaniu ze stałą dyfuzji: siatka przestrzenna będzie musiała być bardzo drobna. Zazwyczaj łatwiej zgodzić się na drobne dt niż na drobne dx ze względu na ograniczenia i pamięciowe. i 2) jeśli D=0 (czysta adwekcja) schemat niestabilny

24 Dla równania adwekcji lepiej sprawdzał się schemat upwind : (dla α>0 ) [uwaga!, teraz v>0 wieje ij w prawo(inny znak v)] zasada max:

25 Dla równania adwekcji lepiej sprawdzał się schemat upwind [uwaga!, teraz v>0 wieje ij w prawo(inny znak v)] zasada max: r 0 (jest), r+α 0 (jest bo v>0) ) oraz 2r+α 1 warunek znacznie mniej restrykcyjny yj yniż dla Eulera bo: stabilność można zapewnić małym krokiem czasowym Dla dowolnej siatki! Czy odnajdujemy znane warunki stabilności dla czystej dyfuzji i czystej adwekcji?

26 Dla równania adwekcji lepiej sprawdzał się schemat upwind [uwaga!, teraz v>0 wieje ij w prawo(inny znak v)] zasada max: r 0 (jest), r+α 0 (jest bo v>0) ) oraz 2r+α 1 warunek znacznie mniej restrykcyjny yj yniż dla Eulera bo: stabilność można zapewnić małym krokiem czasowym Dla dowolnej siatki! odnajdujemy znane warunki stabilności dla czystej dyfuzji i czystej adwekcji

27 problemy z przewagą adwekcji i v zmieniającym znak (α zależne od położenia) v>0 v<0 co, można zapisać jednym wzorem: (z uniknięciem instrukcji warunkowej)

28 problemy z przewagą adwekcji i v zmieniającym znak (α zależne od położenia) v>0 v<0 co, można zapisać jednym wzorem: z tzw. schemat z różniczkowaniem pod wiatr uwaga: w schemacie upwind: czynnik dyfuzji wzrasta o extra α /2 (pojawia się dyfuzja numeryczna) (w centralnym ilorazie sztucznej dyfuzji nie ma i to jak widzieliśmy powód niestabilności schematu dla czystej adwekcji) centralny (bez numerycznej dyfuzji) :

29 Przykład: problem z przewagą adwekcji D=0.01, v=1 warunek początkowy: u=1/2 dla x<1/2 x t rozwiązanie dokładne dyfuzja: widoczna w lekkim zaokrągleniu nieciągłości dla t>0 upwind dt=0.025, dx=0.05 α=0.5, 05 r= widać znacznie przesadzoną dyfuzję iloraz centralny (bezwzględnie niestabilny) widać generację niestabilności (antydyfuzja = zaostrzanie kantów) aby zniwelować dodatkową (numeryczną dyfuzję) dla schematu upwind mniejszy krok czasowy czy mniejszy krok przestrzenny?

30 p Nieliniowe równania paraboliczne Dla równań liniowych (np. dyfuzji, dyfuzji+adwekcji) schematy jawne sprowadzają się do wykonania wielu podstawień w każdym kroku niejawne prowadzą do układu równań liniowych. Zastanowimy się jak rozwiązać równanie nieliniowe. schemat niejawny, jednopoziomowy, centralne przestrzenne przedni czasowy, ważona prawa strona (dla θ=1/2 CN), weźmy nieliniowe równanie dyfuzji na m=1 się już znamy

31 u(x,t=0)=exp( x 2 /25), pudło ( 30,30), Δx=1, Δt= dyfuzja nieliniowa m= m= zwykła dyfuzja CN

32 warunek początkowyorazoraz niejednorodność w chwili początkowej = do wyjaśnienia różnic w rozwiązaniu m=1 Prawa strona równania mówi tutaj: rośnij! u m=5 nie zmieniaj się! u m xx malej! widzimy, że krańce pakietu = bez zmian. błyskawiczne stłumienie maksimum, wyrównanie brzegów

33 Nieliniowe równania paraboliczne zapiszemy jako układ równań nieliniowych dla θ=0 jawny schemat nadal forma dla θ 0 jawny schemat nadal forma podstawieniowa (nawet dla nieliniowego równania) dla θ 0 schemat niejawny metoda Newtona lub iteracja funkcjonalna

34 CN + iteracja funkcjonalna pierwszy krok czasowy, uzgodnienie punktu w centrum x=0 m=5 Δt= m=1 Δt= iteracje iteracje

35 nieliniowe równanie dyfuzji CN, zbieżność iteracji funkcjonalnej punkt centralny, pierwszy krok czasowy m= Δt= m=1 Δt= iteracje iteracje widzimy, że iteracja funkcjonalna nie rokuje dobrze dla zbieżności równania nieliniowego przy dłuższym kroku czasowym

36 jeśli z iteracją kłopoty może zastosować schemat jawny zamiast CN? Δt=0.3, 100 kroków samouzgodnienia iteracją funkcjonalną CN: jawny: 0-20 Zaczyna się dobrze pojawiają się wartości po czym pakiet zanika

37 A może schemat jawny zamiast CN? Δt=0.3, 100 iteracji CN schemat jawny pojawiają się wartości po czym pakiet znika 1) niejawność schematu jest potrzebna 2) iteracja funkcjonalna się nie sprawdza metoda Newtona

38 metoda Newtona dla nieliniowego równania dyfuzji rozwiązania schematu dla n+1 kroku czasowego spełniają układ równań nieliniowych: F(U n+1 )=0 rozwinięcie Taylora przybliżony wektor U n+1 w k tej iteracji n+1 znaczy n+1 chwila czasowa układ równań liniowych na poprawę przybliżenia V k+1: =VV k +(U n+1 VV k )

39 metoda Newtona dla nieliniowego równania dyfuzji U 0 =U J =0 macierz Jakobiego J 1 m. Jakobiego: trójprzekątniowa

40 Wyniki [CN] dla pierwszego kroku czasowego iteracja funkcjonalna m5 m=5 Δt=.1 m= Δt= iteracje iteracje Metoda Newtona: Metoda Newtona:

41 Wyniki [CN] dla pierwszego kroku czasowego m=5 Δt=.2 iteracja funkcjonalna m=1 Δt= iteracje iteracje Metoda Newtona: Metoda Newtona: Równanie liniowe = zbieżność metody Newtona w jednej iteracji

42 m=5, dt=1 z iteracją Newtona Wniosek: aby rozwiązać równania nieliniowe z rozsądnym krokiem czasowym potrzebna jest metoda niejawna do rozwiązania nieliniowych równań schematu iteracja Newtona

43 Szacowanie błędów dla równań cząstkowych zależnych od czasu na przykładzie równania adwekcji czasowa i przestrzenna pochodna zastąpione przednim ilorazem różnicowym (jest to upwind dla v<0) z góry wiemy, że wyliczone wartości będą różnić się od wartości dokładnych o pewną wartość zależną od pochodnych rozwiązania i dokładnego d szacowanie błędów: 2 opcje 1) porównanie rozwiązań na różnych siatkach 2) porównanie rozwiązań metod o innym rzędzie dokładności ale w praktyce ta wiedza nie przyda nam się do ilościowego ś i oszacowania popełnionego błędu

44 szacowanie a posteriori: 2 opcje 1) porównanie rozwiązań na różnych siatkach 2) porównanie rozwiązań metod o innym rzędzie dokładności błędy ę lokalne dwóch metod (zakładamy, żelokalny y błąd ą czasowy jest o 1 wiekszy niz przestrzenny) np: dla p=1, pierwsza metoda: U upwind [O(dt 2 ), O(dx)], druga: V CN[O(dt 3 ), O(dx 2 )]

45 szacowanie a posteriori: 2 opcje 1) porównanie rozwiązań na różnych siatkach 2) porównanie rozwiązań metod o innym rzędzie dokładności błędy ę lokalne dwóch metod (zakładamy, żelokalny y błąd ą czasowy jest o 1 wiekszy niz przestrzenny) np: dla p=1, pierwsza metoda: U upwind [O(dt 2 ), O(dx)], druga: V CN[O(dt 3 ), O(dx 2 )] błąd dokładniejszego schematu: zaniedbywalny w porównaniu z błędem mniej dokładnego ą j g y y p ę j g różnica V oraz U daje oszacowanie błędu gorszego schematu strategia: do ewolucji czasowej używamy V, możemy wypowiedzieć się o błędzie U

46 szacowanie a posteriori: 2 opcje 1) porównanie rozwiązań na różnych siatkach 2) porównanie rozwiązań metod o innym rzędzie dokładności ekstrapolacja Richardsona używamy yjednego schematu lecz dwóch siatek: (Δx, Δt) ), oraz (Δx/2, Δt/2) / ) t(n+1) t (n) t(n+1/2) t(n) x (j) Błąd w chwili n+1 w punktach rzadkiej siatki mamy:

47 mamyoszacowaniebłędu obydwu rozwiązań ale tylko na rzadkiej siatce mamy oszacowanie błędu obydwu rozwiązań ale tylko na rzadkiej siatce... co dla automatycznej kontroli Δt całkowicie wystarczy

48 ekstrapolacja Richardsona dla równań różniczkowych cząstkowych przykład upwind (iloraz przedni czasowy, wsteczny przestrzenny) dokładność ilorazów przestrzennych i czasowych identyczna (p=1) v=1 warunek początkowy: u(x)=sin(x) () () rozwiązanie dokładne u(x,t)=sin(x t) błąd lokalny O(Δx)+O(Δt 2 ) x 0 2π zawsze u(0)=u(2π) = zastosujemy periodyczne warunki brzegowe

49 ekstrapolacja Richardsona dla równań różniczkowych cząstkowych przykład x j =(j 1)Δx, j=1,...j, Δx=2π/J J=4 Δx=π/2 Δt=π/4 J =8 Δx =Δx/2 Δt =Δt/2 1.0 u(x,t=0) u(x,t=δt) Δ 0.5 u U(J=8) U(J=4) po dwóch krokach Δt =Δt/2 po jednym Δt gdzie się pokrywają: szacujemy błąd t 4 6 szacujemy błąd błąd faktyczny rewelacyjny wynik

50 ekstrapolacja Richardsona dla równań różniczkowych cząstkowych przykład oszacowanie błędu w jednym kroku Δt bardzo dokładne: wykorzystać do poprawy dokładności gęsta siatka: niebieska algorytm: w chwili t n znamy wartości funkcji na gęstej siatce 1) przepisujemy je naprzemiennie na dwie rzadsze siatki: czerwoną i czarną 2) wykonujemy krok kδt dla każdej z nich ih 3) wykonujemy dwa kroki Δt/2 na gęstszej siatce 4) szacujemy i odcinamy błędy w kroku t+δt

51 upwind z ekstrapolacją Richardsona i usunięciem błędu dokładny upwind: bez obcięcia błędu = rozwiązanie zanika (dyfuzja) t gęstsza: J=8 Δx =Δx/2 Δx/2 Δt =Δt/ x x

52 Równanie dyfuzji oraz dyfuzji adwekcji typowe paraboliczne Dziś zajmiemy się typowym równaniem hiperbolicznym równanie falowe (dla struny) (opisuje dążenie do równowagi). (oscylacje: mechaniczne, elektryczne, elektro magnetyczne) x=l u(x,t) x=p x+dx β T 2 (II zasada Newtona F=ma) α x T 1 siła naciągu struny T (kierunek poziomy):

53 Równanie dyfuzji oraz dyfuzji adwekcji typowe paraboliczne Dziś zajmiemy się typowym równaniem hiperbolicznym równanie falowe (dla struny) (dążenie do równowagi). (oscylacje) x=l u(x,t) x=p x+dx β uwaga: α x T 2 T 1 dx 0 (prędkość rozchodzenia się drgań)

54 c stałe: Ogólne rozwiązanie dla nieskończonego ośrodka (d Alamberta) dowolna funkcja drgania rozchodzące się bez zmiany kształtu [brak dyspersji w równaniu falowym] Liniowość równania: zasada superpozycji

55 Liniowość równania i zasada superpozycji: Sygnały rozchodzą się niezależnie od siebie F=exp( (x 0.5+ct) ( 2 ) +exp( (x+0.5 ct) 2 ) t x Sygnały mijają się bez zmiany kształtu [(jedna fala przenika drugą.] ponieważ równanie liniowe: jeśli wskażemy bazę zupełną funkcji ze znaną ewolucją czasową = problem rozwiązany baza: mody normalne (fale stojące) (drgania własne)

56 baza: mody normalne (fale stojące) (drgania własne) Dwupunktowe warunki brzegowe u(0,t)=u(l,t)=0 x=l x=0 x0 Poszukajmy rozwiązań, w których tylko amplituda (a nie kształt fali) nie zależy od czasu: u(x,t)=x(x)t(t) t0 t=0 t=t2 t=t3 t=t 1 T(t)=cos(ω t+φ)= C cos(ω t)+d sin(ω t) [gdy gęstość struny zmienna c może być funkcją położenia]

57 Równanie na część przestrzenną fal stojących (drania własne, drgania normalne) Dla c niezależnego od x: X n () (x)=sin(ki (k n x) k liczba cbafalowa, a, wektor falowy k = 2π/ λ tutaj λ długość fali k=ω / c WB: spełnione, gdy X(0)=X(L)=0 k n =nπ /L Fale stojące: Między warunkami brzegowymi całkowita liczba połówek długości fal.. 0 L

58 warunki brzegowe: kwantyzacja k kwantyzacja w X n (x)=sin(k n x), T n =sin(w n t), cos(w n t) T k n =nπ /L k=ω / c ω n =ck n T oznacza naciąg struny przestrzenne drgania własne nie zależą od c, ale częstości tak. Wiemy, że niższe tony dają struny o większej grubości [ ρ ]. Wiemy również, ż że im silniej struna naciągnięta tym wyższy dźwięk.

59 Drgania własne dla zmiennej gęstości struny W przypadku ogólnym [c=c(x)] przyda się rachunek numeryczny. Wyliczyć X n oraz ω n ρ(x) Dyskretyzujemy drugą pochodną, liczymy X n (x+dx)

60 Równanie własne z warunkami brzegowymi: Metoda strzałów. w parametr równania ω dokładna wartość własna w=ω w<ω w>ω w X 0 wstawić warunek brzegowy ale co wstawić za X 1?? (dla równania Poissona opisywanego dla metody Numerowa to był poważny problem) dla drgań własnych wstawiamy cokolwiek dla drgań własnych wstawiamy cokolwiek (równanie własne jest jednorodne rozwiązania określone co do stałej multiplikatywnej )

61 Test metody dla ρ(x)=1 (L=1, T 0 =1) Analityczne: k n =nπ /L X k=k k k=1.5π/l k =0.5π/L k= 0.66 =k 1 =π/l 6 π/l X (L L) 80 Miejsca zerowe wartości własne przy których funkcje własne 40 spełniają prawy warunek brzegowy 0 L k=k 2 =2π/L x x ω / π

62 Przykład: ρ(x)=1+4α(x 1/2) 2 (struna cięższa przy mocowaniach) X 1 X 4 π ω / X α=500 X x α α=0 częstości ę własne równoodległe Częstości własne maleją z α (cięższa struna) duże α częstości grupują się w pary W każdej parze: funkcja parzysta i nieparzysta. Środek struny prawie nieważki, na częstości wpływ ma kształt funkcji przy brzegach a tam zbliżony dla każdej funkcji z pary

63 Drgania własne a ogólne rozwiązania równania falowego Równanie ogólne: Warunki początkowe: u(x,t=0) oraz v(x,t=0)=du/dt Zadać wychylenie i prędkości ł ż ć ki k d i ł rozłożyć warunki początkowe na drgania własne problem zależności czasowych jest rozwiązany

64 Drgania normalne a ogólne rozwiązania równania falowego Równanie ogólne: Warunki początkowe: u(x,t=0) oraz v(x,t=0)=du/dt Zadać wychylenie i prędkości ę rozłożyć warunki początkowe na drgania własne problem zależności czasowych jest rozwiązany w chwili t=0, za kształt struny odpowiadają współczynniki c n a za prędkość współczynniki s n

65 Superpozycja drgań własnych: Warunki początkowe Uwaga: dla równań dyfuzji i adwekcji warunek początkowy był tylko jeden czasowy rząd równania był = 1. Dla równania drugiego rzędu w czasie, wartość u(x,t=0) nie wystarczy dla jednoznacznego określenia rozwiązania. dla drgań własnych jednorodnej struny: Dyskretna sinusowa transformata Fouriera

66 rozkład na mody normalne na przedziale (0,L) Rozwinięcie w szereg Fouriera: g(x) = okresowa, odcinkowo ciągła z okresem T: Rozkład na drgania normalne a szereg Fouriera: drgania podległe warunkom brzegowym g(0)=g(l)=0. dla naszego problemu L to długość struny i nie ma interpretacji okresu (na strunie mieści się połowa długości fali).

67 Warunki Dirichleta zbieżności szeregu Fouriera Rozwinięcie Fouriera zbieżne w sensie jednorodnym N o ile g(x) 1) całkowalna w kwadracie 2) odcinkowo ciągła rozwinięcie Fouriera dąży do g(x) prawie wszędzie tzn. poza punktami dyskretnymi punktami (rozwinięcie Fouriera jest wszędzie ciągłe!) Twierdzenie Dirichleta: W punktach nieciągłości szereg Fouriera zbieżny do g(x)=[ g(x 0)+g(x+0) ] / 2 tw. Dirichleta nie rozwiązuje wszystkich problemów

68 dla struny: pewien praktyczny problem z kanciastymi (nieróżniczkowalnymi) warunkami początkowymi. 1 1 π 0 π Fala prostokątna ą W punkcie nieciągłości = [g(0 )+g(0+) ]/2 = ( 1 + 1) / 2 =0

69 Nd Nad nieciągłością i ł ś i wartość schodka przestrzelona o około 18% N=5 N=15 N=55 1+2w ππ 0 π N=15 N=55 N=100 1 Zjawisko Gibbsa w= (stała Wibrahama Gibbsa) Na PC pracujemy ze skończonymi bazami: Równania różniczkowego przez rozkład warunku początkowego na drgania własne nie rozwiążemy dokładnie, jeśli ten jest nieciągły x

70 Na PC pracujemy ze skończonymi bazami... Zbieżność szeregu Fouriera w sensie bezwzględnym ę Szereg jest bezwzględnie zbieżny jeśli można go obciąć na pewnym wyrazie rozwinięcia: Rozwinięcie fali prostokątnej nie jest bezwzględnie zbieżne: 2 1 g(x) - schodkowa, bn Bo ogólny szereg harmoniczny jest rozbieżny 1 0 h(x)=exp(-x 2 ), a n Wniosek: w skończonej bazie funkcji własnych możemy rozwiązywać tylko problemy z warunkiem początkowym, 0 kó którego rozwinięcie w szereg Fouriera jest bezwzględnie zbieżne n