1. Na wycieczkę pojechało 21 osób o średniej wieku 23 lata. Średnia ta wzrośnie do 24 lat, jeśli doliczy się wiek przewodnika. Ile lat ma przewodnik?

Transkrypt

1 Diagnoza klasa I Zestaw zawiera zadania z wcześniejszych diagnoz. Zadania zaczerpnięto z dostępnych zbiorów zadao różnych wydawnictw oraz arkuszy maturalnych CKE. Zadania otwarte 1. Na wycieczkę pojechało 1 osób o średniej wieku 3 lata. Średnia ta wzrośnie do 4 lat, jeśli doliczy się wiek przewodnika. Ile lat ma przewodnik?. Oblicz wartośd wyrażenia x + 3y x 3y (x 3y) dla x =, y = Rozwiąż równanie: x + 1 = 3x 4. Liczba 50 jest przybliżeniem liczby x z niedomiarem. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy 3,8. Oblicz błąd względny tego przybliżenia i wyraź go w procentach. Wynik podaj z dokładnością do części setnych procenta. 5. Wykaż, że każda liczba postaci n 3 n, gdzie n N +, jest podzielna przez Rozwiąż równanie: x+1 = 1 4x x 1 7. Koszt wynajmu autokaru wynosi 1440 zł. Na wycieczkę pojechało o 3 uczniów mniej niż planowano, co spowodowało wzrost opłaty dla każdego uczestnika o zł. a) Ilu uczniów pojechało na wycieczkę? b) Jaki był koszt wycieczki dla każdego uczestnika? 8. Przedział A jest zbiorem tych liczb rzeczywistych, których odległośd na osi liczbowej od liczby 4 jest mniejsza od, a przedział B jest zbiorem tych liczb rzeczywistych, których odległośd od liczby jest mniejsza od 4. Oblicz częśd wspólną i sumę przedziałów A i B. 9. Z dwóch miejscowości odległych o 35 km wyjechały jednocześnie na spotkanie dwie koleżanki. Gdy się spotkały, obliczyły, że pierwsza z nich jechała ze średnią prędkością 1 km/h, a druga ze średnią prędkością 16 km/h. Ile kilometrów przejechała każda z dziewczyn? 10. Przedstaw wyrażenie w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego Oblicz wartośd wyrażenia: Oblicz i podaj w centymetrach kwadratowych pole prostokąta o wymiarach m na 1, m. Wynik podaj w notacji wykładniczej. 13. Funkcja f przyporządkowuje dowolnej liczbie naturalnej dwucyfrowej sumę jej cyfr. Podaj brakujące współrzędne (a, b, c, d) punktów należących do wykresu tej funkcji: A 7, a B 90, b C c, D(d, 18) 14. Wykaż, że iloczyn liczb i 9 0 jest liczbą całkowitą. 15. Dane są liczby x = 3 5, y = Oblicz x + y, x y, x y, 16. Dane są zbiory A = ( ; 5 >, B = (3; 7). Wyznacz zbiory A B, A B, A\B, B\A. x y.

2 17. Funkcja f przyporządkowuje liczbie całkowitej z przedziału < ; 4 > jej kwadrat pomniejszony o trzykrotnośd tej liczby. Zapisz funkcję za pomocą wzoru i sporządź jej wykres. 18. Uzasadnij, żeliczba3 n + 3 n n+ jest podzielna przez Podajliczbęodwrotną do liczby,1(3). 0. Koncernpaliwowyobniżył w jednymtygodniucenębenzyny o 0%, a następnie o 10%. Po obutychobniżkachcenajednegolitrabenzynykosztowała 3,4 zł. Obliczcenępierwotnąbenzyny. 1. Dane sązbiorya = ( 3; 4 >, B =< 1; 6). Wyznacz zbiory A B, A B, A\B, B\A, R\(A B).. Funkcjaf przyporządkowuje każdej liczbie całkowitej z przedziału < 4; 6 > połowę jej kwadratu pomniejszoną o 6. Zapisz wzór tej funkcji i narysujjejwykres. 3. Funkcja liniowa f jest określona wzorem f x = m + 3 x 4. Dla jakich wartości m miejscem zerowym funkcji f jest x = 1? 4. Wyznacz 1% liczby ( ). 5. Dane są liczby x = oraz y =. Znajdź wartośd wyrażenia (y + x) x 1. Wynik przedstaw w postaci a + b c. 6. Wykaż, że liczba jest podzielna przez Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa 7. Jeśli w tej liczbie przestawimy cyfry, to otrzymana liczba będzie o większa od podwojonej pierwszej liczby. Jaka to liczba? Wiedząc, żelog 4 a = 3, oblicz wartośd wyrażenia log 4. a 9. Zapiszwyrażenie x 4 x + 3 bez użycia wartości bezwzględnej, wiedząc, ze x 3;. 30. Dane sąliczbya = , b 0. Jakimprocentemliczby a jest liczba b? 31. Jeżeliwiesz, żex + y = 1 i xy = 3, oblicz x + y 3. Doprowadźwyrażenie do najprostszejpostaci x 3 x 3 x x Wyznaczmiejscezerowefunkcjif x = x 1 x Wyznaczdziedzinęfunkcjif x = x 1 5 x, a następnie sprawdź, czy punkt x+8 A = 1, 1 należy do wykresu funkcji f Zapiszwyrażenie w najprostszejpostaci Dane sązbiorya = ; 5 oraz B =< 4; 1) < 3; 8 >. Wyznacz zbiory A B, A B, A\B, B\A. 37. Na rysunku obok przedstawiono wykres pewnej funkcji f. Podaj: a) zbiór wartości funkcji f; b) miejsca zerowe funkcji f, o ile istnieją; c) maksymalne przedziały, w których funkcja maleje d) argumenty dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie Uwaga: jedna kratka to jedna jednostka.

3 38. Wiosną cenę zimowej kurtki obniżono o 0 % i wówczas kosztowała ona 30 złotych. Oblicz cenę kurtki przed obniżką. 39. Dane jest wyrażenie W x 10 x. Zapisz wartośd tego wyrażenia bez symbol wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby,5 40. Dane są przedziały A 5,, 0, 6 x ( 8) Oblicz liczbę x, jeśli wiadomo, że x Uzasadnij, że liczba jest wymierna B. Wyznacz przedziały A B oraz A\ B. 43. Rozwiążnie równośd 6x 5x Oblicz wartośd wyrażenia m m dla m Oblicz pole rombu o boku 17 cm, w którym długości przekątnych różnią się o 14 cm. 46. Największa wartośd funkcji kwadratowej f jest równa 9. Liczby 0 i 6 są miejscami zerowymi tej funkcji. a) Zapisz wzór funkcji w postaci ogólnej. b) Dla jakich x wykres funkcji f leży powyżej wykresu funkcji określonej wzorem y x 4? 47. Odległośd między miastami A i B wynosi 540 km. Pociąg ekspresowy pokonuje tę odległośd w czasie o trzy godziny krótszym niż pociąg osobowy. Prędkośd ekspresu jest większa od prędkości pociągu osobowego o 30 km/h. Oblicz prędkośd obu pociągów. Wiadomo, że log a Wykaż, że log 4 a Dane jest wyrażenie W x 10 x Zapisz wartośd tego wyrażenia bez symbol wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby x (,5) Dane są liczby a 16, b 0. Jakim procentem liczby a jest liczba b? 51. Z prostokątnej kartki o bokach długości 5x 1 i 5x + 1 wycięto kwadrat o boku długości x. Wyznacz pole otrzymanejfigury. 5. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci ( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3) 53. Zamieo ułamki okresowe na zwykłe i wykonaj dzielenie. Wynik podaj w postaci 0,( 81) ułamka zwykłego nieskracalnego. x,( 45) Zapisz w najprostszej postaci x Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x). Sprawdź czy punkty A ; i x 4 x 7 B ( 3;3) należą do wykresu funkcji f (x). 56. Rozwiąż nierównośd 3 3 x > Podaj najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą tę nierównośd.

4 57. Wykorzystując poniższy szkic wykresu funkcji kwadratowej o równaniu f x = ax + bx + c, gdzie a 0 określ znak następujących wyrażeo: a) a b) b c) c d) ab c bc e) 4ac b 58. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f. a) Podaj dziedzinę funkcji f. b) Podaj wszystkie miejsca zerowe funkcji f. c) Odczytaj wartości funkcji f dla argumentu x = 5. d) Podaj zbiór wartości funkcji f. e) Podaj maksymalny przedział o długości 3, w którym funkcja f jest rosnąca. f)zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne. 59. Pewien turysta pokonał trasę 11 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyd na wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzid o 1 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta. 60. Rozwiąż nierównośd 16 x a następnie wymieo liczby pierwsze które nie należą do zbioru rozwiązao. 61. Oblicz najmniejszą i największą wartośd funkcji kwadratowej f x = x 6x + 11 w przedziale 1,4. 6. Ala jest o trzy lata starsza od Brygidy, a ich mama ma trzy razy więcej lat niż obie dziewczynki razem. Trzy lata temu mama miała sześd razy więcej lat, niż miały wtedy jej córki razem. Ile lat ma obecnie mama, a ile każda z jej córek. 63. Wiadomo, że log 3 = a. Wykaż, że log = 3 a. 64. Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a + b = 7, to a 4 + b 4 = O funkcji liniowej f wiadomo, że f 1 = oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt P = (,3). Wyznacz wzór funkcji f. 66. Dla każdej liczby rzeczywistej b równanie y = 1 x bx + opisuje pewną parabolę. Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których wierzchołek paraboli leży nad osią Ox. 67. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4.

5 68. Dwóch studentów pojechało na wycieczkę rowerową. Pierwszego dnia pokonali 15% całej trasy, drugiego dnia przejechali 1 pozostałej drogi, trzeciego i czwartego dnia 3 przejechali po 17 całej trasy, a piątego dnia przejechali ostatnie 34 km. Oblicz, ile 10 kilometrów studenci przejechali w ciągu pięciu dni. 69. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez O funkcji liniowej f wiadomo, że f 1 = oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt P = (,3). Wyznacz wzór funkcji f. 71. Funkcja kwadratowa ma następujące własności: - zbiorem wartości funkcji f jest przedział (, 8 ; - funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3 i malejąca w przedziale 3, + ) ; - wykres funkcji f przecina oś OY w punkcie, którego rzędna jest równa ( 10). Wyznacz wzór funkcji f w postaci iloczynowej. 73. Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu: - dziedzinę i zbiór wartości funkcji f ; - przedziały monotoniczności; - dla jakich argumentów x: 1 f(x) 1; - dziedzinę funkcji g, gdzie g x = f x Wiadomo, że log 3 = a. Wykaż, że log = 3 a. 75. Oblicz najmniejszą i największą wartośd funkcji kwadratowej f x = x 6x + 11 w przedziale 1, Wyznacz liczbę m tak aby zbiór ( 1; m m ; 1) był jednoelementowy. 77. Oblicz wartośd wyrażenia x + 3y x 3y (x 3y) dla x =, y = Przedział A jest zbiorem tych liczb rzeczywistych, których odległośd na osi liczbowej od liczby 4 jest mniejsza od, a przedział B jest zbiorem tych liczb rzeczywistych, których odległośd od liczby jest mniejsza od 4. Oblicz częśd wspólną i sumę przedziałów A i B. 79. Z dwóch miejscowości odległych o 35 km wyjechały jednocześnie na spotkanie dwie koleżanki. Gdy się spotkały, obliczyły, że pierwsza z nich jechała ze średnią prędkością 1 km/h, a druga ze średnią prędkością 16 km/h. Ile kilometrów przejechała każda z dziewczyn?

6 80. Liczba a przy dzieleniu przez 7 daje resztę 5, liczba b przy dzieleniu przez 7 daje resztę 4. Jaką resztę przy dzieleniu przez 7 daje liczba a + b? Uzasadnij odpowiedź. 81. Zamieo ułamek okresowy,3(4) na ułamek zwykły niewłaściwy Oblicz : ( 1,) 83. Wyznacz liczbę log 16 + log Dla jakich argumentów x wartości funkcji f x = 3x + 0,5, x R jest równa Wykaż, że liczba x = jest całkowita Oblicz 15% liczby,7 i podaj z dokładnością do 0,1. Oblicz błąd względny tego przybliżenia. Wynik zapisz do trzeciego miejsca po przecinku.