Współczynniki pojemności

Transkrypt

1 napisał Micał Wierzbicki Współczynniki pojemności Rozważmy układ N przewodników. Powierzcnia każdego z nic jest powierzcnią ekwipotencjalną: ϕ i = const, i = 1,,..., N. W obszarze między przewodnikami obowiązuje równanie Laplace a ϕ = 0. q 1,ϕ 1 q,ϕ ϕ=0 q,ϕ Ładunek q i zgromadzony na każdym z przewodników można obliczyć stosując prawo Gaussa: q i = E i d S i (1) ɛ 0 S i gdzie S i jest powierzcnią przewodnika. Pole elektryczne na powierzcni i-tego przewodnika jest równe gradientowi potencjału: E i = ϕ Si () Równanie Laplace a jest równaniem liniowym, to znaczy suma rozwiązań też jest rozwiązaniem. Rozwiązanie równania Laplace a w obszarze między przewodnikami jest liniową funkcją warunków brzegowyc, czyli wartości zadanyc potencjałów ϕ i na powierzcniac przewodników. Aby to uzasadnić, załóżmy, że tylko jeden z przewodników ma potencjał różny od zera: ϕ 1 0. Jeśli zwiększymy wartość potencjału ϕ 1 dwa razy to rozwiązanie równania Laplace a także trzeba pomnożyć przez. Potencjał elektrostatyczny między przewodnikami jest więc liniową funkcją warunku brzegowego ϕ 1. Rozwiązanie równania Laplace a dla przypadku, gdy wszystkie potencjały na przewodnikac są różne od zera jest sumą rozwiązań dla ϕ 1 0, ϕ 0, itd. Na podstawie równań (1) i () wnioskujemy, że wartości ładunków q i zgromadzonyc na przewodnikac są liniowymi funkcjami potencjałów ϕ i na tyc przewodnikac, przy czym na ładunek i-ty mają wpływ wartości potencjałów na wszystkic przewodnikac. Zapisujemy to w postaci układu równań liniowyc: 1

2 q i = c i j ϕ j, i = 1,,..., N () j=1 gdzie c i j są współczynnikami pojemności układu N przewodników. Dla trzec przewodników układ równań () zapisany w formie macierzowej ma postać: q 1 c 11 c 1 c 1 ϕ 1 q = c 1 c c ϕ (4) q c 1 c c ϕ Macierz współczyników pojemności c i j jest macierzą symetryczną, to znaczy: c i j = c ji (5) podobnie jak współczynniki indukcyjności wzajemnej obwodów z prądem w magnetyzmie. Zazwyczaj ścisły dowód tego faktu jest pomijany w podręcznikac. Wymaga on zastosowania tak zwanej funkcji Greena dla równania Laplace a 1. Energia elektrostatyczna zgromadzona w układzie N naładowanyc przewodników wynosi W = 1 q i ϕ i > 0 (6) i=1 Jest ona zawsze większa od zera. Aby rozseparować ładunki i rozmieścić je na powierzcniac przewodników trzeba wykonać pracę nad układem. Korzystając z równania () możemy zapisać wzór na W w postaci zwanej w algebrze formą kwadratową: W = 1 i, j=1 c i j ϕ i ϕ j > 0 (7) Dla przykładu N =, uwzględniając symetrię współczynników pojemności, mamy W = 1 ( c11 ϕ 1 + c ϕ + c ) ϕ + c1 ϕ 1 ϕ + c ϕ ϕ + c 1 ϕ ϕ 1 (8) Dla każdego ϕ i : W > 0. W algebrze mówimy, że forma W jest dodatnio określona. Zakładając, że tylko jeden z potencjałów przewodników ϕ i jest różny od zera, na podstawie równania (7) otrzymujemy wniosek: c ii > 0, i = 1,,..., N (9) Elementy diagonalne macierzy współczynników pojemności są większe od zera. 1 M. Ueara, Green s functions and coefficients of capacitance, Am. J. Pys. 54 (1986) 184. V. Lorentzo and B. Carrascal, Green s functions and symmetry of te coefficients of a capacitance matrix, Am. J. Pys. 56 (1988) 565.

3 Aby znaleźć związek między współczynnikami pojemności, a wzorem na pojemność kondensatora z elektrotecniki załóżmy, że mamy dwa przewodniki N = (dwie okładki kondensatora) oraz że wszystkie linie sił pola elektrycznego wycodzące z pierwszego przewodnika kończą się na drugim. Fizycznie oznacza to, że pole elektryczne nie ucieka na zewnątrz kondensatora. Linie pola elektrycznego wycodzą z ładunków zgromadzonyc na okładce nr 1 i kończą się na okładce nr. Stąd: q 1 = q = q, gdzie q jest ładunkiem na okładce kondensatora. Ponieważ potencjał elektrostatyczny jest określony z dokładnością do stałej, przyjmijmy ϕ = 0 (przewodnik nr jest uziemiony). Układ równań () dla N = wynosi: q 1 = c 11 ϕ 1 + c 1 ϕ (10) q = c 1 ϕ 1 + c ϕ Podstawiając q 1 = q = q oraz ϕ 1 = ϕ otrzymujemy q = C 11 ϕ, q = C 1 ϕ (11) Jak widać C 11 = C 1 = C, gdzie C = q/ϕ jest pojemnością kondensatora. W ogólnym przypadku, układowi więcej niż dwóc przewodników na ogół nie da się przypisać jednego parametru C. Można natomiast próbować przedstawić go jako sieć kondensatorów o pojemnościac C i j łączącyc pary przewodników i i j, gdzie i j. Jest to możliwe, jeśli nałoży się na układ N dodatkowyc warunków. W elektrotecnice pojemności C i j nazywa się pojemnościami pasożytniczymi. Oznaczają one nieporządane sprzężenia pojemnościowe między różnymi częsciami układu. Dla skomplikowanyc geometrycznie układów przewodników macierz pojemności c i j można obliczyć numerycznie za pomocą darmowego programu FastCap, napisanego w Researc Laboratory Electronics na amerykańskiej politecnice MIT (Massacusetts Institute of Tecnology). Liczba niezależnyc współczynników pojemności c i j wynosi N(N+1)/. Natomiast liczba możliwyc połączeń między przewodnikami wynosi N(N 1)/. Dla przykładu z N = mieliśmy dwa warunki: ϕ = 0 i q = q 1. ttp:// codes.tm

4 Pojemność linii dwuprzewodowej z uwzględnieniem uziemienia Dwa przewody o promieniu a i odległości wzajemnej d znajdują się na wysokości nad przewodzącą płaszczyzną (uziemieniem). Przewody są naładowane liniową gęstością ładunku λ 1 i λ. λ 1 d λ -λ 1 -λ Jak wynika z elementarnego zastosowania prawa Gaussa potencjał pojedynczego przewodu wynosi ϕ = λ ln r (1) gdzie r jest odległością od osi przewodu, λ gęstością liniową ładunku. Z elementarnej elektrostatyki wiadomo, że pole elektrostatyczne pocodzące od rozkładu ładunku indukowanego na przewodzącej płaszczyznie można zastąpić polem elektrostatycznym dwóc fikcyjnyc obrazów ładunków o przeciwnyc znakac λ 1 i λ leżącyc poniżej płaszczyzny w odległości. Potencjał elektrostatyczny na powierzcni przewodu nr 1 jest więc sumą potencjałów od czterec ładunków ±λ 1, ±λ : ϕ 1 = λ 1 ln a ( λ 1) ln λ ln d ( λ ) ln d + 4 (1) przy założeniu, że promień przewodu a jest bardzo mały w porównaniu z d i. Podobnie, potencjał na powierzcni przewodu nr wynosi ϕ = λ ln a ( λ ) ln λ 1 ln d ( λ 1) ln d + 4 (14) Równania (1) i (14) można zapisać w postaci układu równań: ϕ 1 = α 11 λ 1 + α 1 λ ϕ = α 1 λ 1 + α λ (15) gdzie α 11 = α = A = 1 ln a, α 1 = α 1 = B = 1 d + 4 ln d (16) 4

5 Współczynniki pojemności układu otrzymamy odwracając układ równań (15) λ 1 = c 11 ϕ 1 + c 1 ϕ (17) λ = c 1 ϕ 1 + c ϕ gdzie A c 11 = c = A B, c B 1 = c 1 = (18) A B Niec promień przewodów wynosi a = 0,5 mm, odległość między nimi d = cm, odległość od uziemienia = 5 cm. W układzie SI za jednostkę pojemności możemy przyjąć: C 0 = = 56 pf/m. Ponieważ: ln(/a) = ln 100, ln( d + 4 /d) = ln 51, więc: c 11 = 0,8011 C 0, c 1 = 0,6840 C 0. 1 C1 C1 C Z punktu widzenia elektrotecniki linię dwuprzewodową z przewodzącą płaszczyzną można potraktować jako połączenie trzec kondensatorów o pojemności: C 1, C 1 i C, gdzie indeks odnosi się do uziemionej płaszczyzny 4. Stosując definicję pojemności kondensatora z elektrotecniki, układ równań (17) można zapisać jako λ 1 = C 1 (ϕ 1 0) + C 1 (ϕ 1 ϕ ) (19) λ = C (ϕ 0) + C 1 (ϕ ϕ 1 ) gdzie C 1 = c 1 = 0,6840 C 0, C 1 = C = c 11 + c 1 = 0,1171 C 0. Zgodnie ze wzorami z elektrotecniki na pojemność układu kondensatorów, pojemność danej linii dwuprzewodowej z uwzględnieniem uziemienia wynosi: C = C 1 + C 1 C C 1 + C = 0,687 C 0 = 8,5 pf/m (0) 4 Wymagane trzy warunki to: ϕ = 0 (uziemienie), λ = λ 1 (linia obojętna elektrycznie), λ = (λ 1 + λ ) (suma ładunków obrazów). 5