ZAJĘCIA I. Obiekty identyfikacji, sygnały, modele

Transkrypt

1 ompuerowa idenyfikacja obieków ZAJĘCIA I Obieky idenyfikacji, sygnały, modele Czym zajmuje się idenyfikacja? Sandardowe modele sayki i dynamiki Propagacja sygnałów, błędów i zakłóceń Modele nieliniowe Modele dyskrene a modele ciągłe Analiza modelowa dynamiki w Malabie aedra Merologii AGH raków 6

2 WPROWADZENIE ompuerowa idenyfikacja obieków Idenyfikacja zajmuje się wyznaczaniem modeli maemaycznych obieków. Model maemayczny definiuje w sposób ścisły zachowanie się obieku w określonych warunkach. Warunki e są określone przez wejścia i wyjścia obieku w chwili obecnej i w przeszłości. Z naury rzeczy (nieskończona ilość wielkości oddziałujących na zachowanie się obieku, nieliniowości, rudność ścisłego zdefiniowania wielkości wejściowych i wyjściowych) model jes pewnym przybliżeniem rzeczywisego obieku, idealizacją z ograniczającymi założeniami (ograniczona ilość wejść i wyjść, liniowość). Sosuje się różne posacie modeli w zależności od przeznaczenia worzonego modelu i srukury idenyfikowanego obieku. W dalszej części będziemy rozważać szczególną klasę modeli opisujących rzeczywise obieky, j. klasę modeli dynamicznych i liniowych, wielowejściowych i wielowyjściowych (ang. Muliple Inpu Muliple Oupu, w skrócie MIMO), ze szczególnym ważnym przypadkiem modelu z jednym wejściem i jednym wyjściem (ang. Single Inpu Single Oupu, w skrócie SISO). Większa część zajęć będzie poświęcona obiekom ciągłym, j. opisywanym modelami z czasem ciągłym. Modele z czasem dyskrenym, j. z wejściami i wyjściami określonymi ylko w dyskrenych chwilach czasu, będą emaem jednych z końcowych zajęć. Dla układów niesacjonarnych paramery poszczególnych posaci modeli są funkcjami czasu. aedra Merologii AGH raków 6

3 WPROWADZENIE (C.D.) ompuerowa idenyfikacja obieków Idenyfikacja jes przeprowadzana na podsawie informacji pomiarowej o wielkościach wejściowych i wyjściowych obieku. Ta informacja pomiarowa we współczesnych kompuerowych sysemach idenyfikacji o próbki sygnałów wejściowych i wyjściowych. W odniesieniu do sygnałów również sosuje się częso idealizację, przybliżając rzeczywise sygnały ich idealnymi odpowiednikami opisywanymi maemaycznie. Ten zabieg pozwala na ławiejszą ich analizę w zadaniach idenyfikacji. Niekóre sygnały idealne nie wysępują w rzeczywisości z powodu ograniczeń zmian energii w czasie (impuls Diraca, skok jednoskowy), są jednak, przy spełnieniu określonych założeń, dobrym przybliżeniem sygnałów rzeczywisych. Wsępnym eapem idenyfikacji jes określenie charakeru obieku na podsawie rejesracji jego sygnałów (sayczny czy dynamiczny, jeśli dynamiczny o jakiego rzędu, o jakiej dynamice). Dlaego podsawową wiedzą w idenyfikacji obieków jes znajomość zachowania się sandardowych obieków (pierwszego i drugiego rzędu) pod wpływem sandardowych sygnałów pobudzających (np. skok, impuls jednoskowy, pobudzenie sinusoidalne). Zadania w bieżącym ćwiczeniu służą przypomnieniu i ugrunowaniu wiedzy zdobyej na zajęciach z maemayki, fizyki i elekroechniki. aedra Merologii AGH raków 6

4 ompuerowa idenyfikacja obieków LINIOWE MODELE STATYCZNE I DYNAMICZNE Definicja Liniowy model dynamiczny, dla kórego zależność wyjścia od wejścia opisuje funkcjonał F, spełnia zasadę superpozycji (odpowiedź na ważoną sumę wejść jes ważoną sumą odpowiedzi): ( ) ( ) F a u + b u = a F u + b F u Przykład: liniowy dynamiczny model operacji uśredniania za czas T (funkcjonał całkowy) a b ( ) () y = au τ + bu τ dτ = u τ dτ + u τ dτ T T T T T T Liniowy model sayczny opisany funkcją f wyjścia od bieżącej warości wejścia spełnia zasadę superpozycji w wersji bez zależności czasowej (brak wpływu hisorii wejść) f ( a u + b u ) = a f ( u ) + b f ( u ) Przykład: sayczny liniowy model moska ensomerycznego z jednym ensomerem czynnym i napięciem niezrównoważenia (U nie jes reakcją na wielkość wejściową, ściśle mówiąc jes o model przyrosowo liniowy) U U U Um = [ ε + ε ] + U = ε + ε + U z z z Przykład: Zasada superpozycji dla liniowego dynamicznego modelu w posaci równania różniczkowego dy T + y = u + u d () () nie widać spełnienia zasady superpozycji, ale w równoważnej posaci sploowej: ( τ τ ) ( τ) τ ( τ) ( τ) τ ( τ) ( τ) τ h () y = au + bu h d = a u h d + b u h d = T e T aedra Merologii AGH raków 6

5 ompuerowa idenyfikacja obieków POSTACIE LINIOWYCH MODELI SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH Równanie różniczkowe n m dy d y du d u y() + a + + an = b n u() + b + + bm m d d d d Ta posać w nauralny sposób wynika z różniczkowych praw fizyki, ogólnie z równania Lagrange a dp d de k de F = + p +, gdzie dv d dv d F siła uogólniona, P moc racona, v prędkość uogólniona, E k energia kineyczna, E p energia poencjalna. Sysemy fizyczne spełniają warunek realizowalności: m n (dlaczego?). Pojedyncze równanie opisuje układ SISO (jedno wejście, jedno wyjście) z określonymi warunkami począkowymi. Przykłady: Filr górnoprzepusowy CR i() C u() = Ri( ) y () y ( y( ) ) d u = RC d du ( ) dy y () + RC = RC d d R y() Przewornik z masą sejsmiczną u( ) F F F b s = F - siła wymuszająca dy = m - siła bezwładności masy d = k y - siła reakcji sprężyny s dy = B - siła łumiąca d dy dy () () m + B + ksy = u d d k s m B F y aedra Merologii AGH raków 6

6 ompuerowa idenyfikacja obieków Modele uogólnione Sosowanie różnych zasad fizyki prowadzi do równań różniczkowych o ej samej srukurze (kolejne pochodne wejścia i wyjścia po czasie) ale o innej parameryzacji zależnej od sosowanych zasad i paramerów fizycznych. Oczywiście musi zachodzić zgodność wymiarów składowych równania. Wynika sąd możliwość ujednolicenia analizy przez wprowadzenie modeli uniwersalnych z jednolią parameryzacją. Przykład: Odmienne zjawiska (posacie przewarzanej energii) opisane akim samym modelem Dynamika czujnika emperaury: Założenia: brak wpływu czujnika na ośrodek, pomijalne oddziaływanie prądu ϑ o [] - emperaura ooczenia ϑ [] - emperaura czujnika α [W/m ] - współczynnik przejmowania ciepła z ooczenia A [m ] - powierzchnia wymiany ciepła c [J/kg ] ciepło właściwe Bilans ciepła: dq = α A ϑ ϑ d = mcdϑ mc d ϑ + ϑ = ϑ o α Ad o dy T y u d + =, mc T = [ s ], y = ϑ, u = ϑo α A Dynamika filra RC: u we Założenia: brak wzajemnego obciążenia nas./poprz. elemenu kgm s Ω=, = R C F As s( As) kgm du wy RC + uwy = uwe d dy T y u d + = T = RC[ s], y = u, u = u wy u wy we aedra Merologii AGH raków 6

7 Równania sanu d x d Ax Bu y() = Cx + Du () = () + () () () ompuerowa idenyfikacja obieków A macierz kwadraowa n n, B macierz n m, C macierz p n, D macierz p m, n ilość sanów, m ilość wejść, p ilość wyjść. Macierzowe równanie sanu opisuje układ MIMO (wiele wejść, wiele wyjść). Rodem z auomayki, zrobiły dużą karierę w symulacji sysemów dynamicznych (podsawa działania np. Simulinka). Najisoniejszą cechą równań sanu jes opis równaniami pierwszego sopnia i niezależność opisu wyjść od hisorii wejść (w przeciwieńswie do modelu sploowego z odpowiedzią impulsową). Ogólne rozwiązanie równań sanu ma posać sploową () A aedra Merologii AGH raków 6 ( τ ) ( τ ) x e x e Bu dτ, jednak w prakyce = + A obliczeniowej wykorzysuje się do wyznaczania rajekorii sanu efekywniejsze czasowo algorymy numerycznego całkowania równań sanu (zob. nasępny wykład). Przykłady: Filr CR: Przewornik z masą sejsmiczną: x = u y A =, B = RC RC C =, D = B dy =, ω = ks m, ξ =, x = y, x = k k m d s T A =, B = ω, C = [ ], D = ω ξω s

8 Transmiancja operaorowa i widmowa G s { y ( )} u() { } y s B s b + bs + + bms = = = = n u s A s + as + + a s ompuerowa idenyfikacja obieków Jedna ransmiancja opisuje układ SISO przy zerowych warunkach począkowych. Podsawiając s = jω (zasąpienie ogólnej ransformay Laplace a szczególnym przypadkiem ransformay Fouriera) orzymujemy ransmiancję widmową o warościach zespolonych w funkcji pulsacji ω. Moduł ransmiancji widmowej: G( jω) = ( ω) ( ω) B j A j n m ( ω) ( ω) Im G j Argumen (faza) ransmiancji: arg G( jω) arg B( jω) arg A( jω) aan = = Re G j Rekonsrukcja czasowej posaci odpowiedzi y() na sygnał u() w ogólnym przypadku ma posać: Przykłady: { { }} z relacjami: y ( + ) lim sy ( s), lim y ( ) limsy ( s) = - y G s u RCs RCs Możliwe jes rozszerzenie ego modelu na macierzowy opis ransmiancyjny układu MIMO (np. rejesracja sygnałów z wielu źródeł (np. dźwięki insrumenów orkiesry) wieloma czujnikami (mikrofonami) przy różnych warunkach propagacji sygnałów. Powsaje problem rekonsrukcji oryginalnych sygnałów (ang. source separaion). S S = =, przy y()= dla < s s Filr CR: G( s) = Przewornik z masą sejsmiczną: G + ( s) R R R G, s G, s S R = G, s G, s S = s ω + ξωs+ ω aedra Merologii AGH raków 6

9 ompuerowa idenyfikacja obieków Bieguny i zera Wgląd na zachowanie modelu i możliwość ławego kszałowania jego własności częsoliwościowych daje model zer i biegunów, czyli pierwiasków odpowiednio licznika i mianownika. Jes o przeworzona posać ransmiancji. G s = m ( s zµ ) µ = n ν = ( s p ) Przykład: moskowy przesuwnik fazowy G s ν R C Im(s) RCs =.5, z =, p = y R R + RCs RC RC p z Re(s) Odpowiedź impulsowa i skokowa = δ, k( ) = F ( ) h F u Impuls Diraca δ ( ) ylko dla = oraz δ () d = Ogólne wyrażenie opisujące odpowiedź na wejście u() ma posać sploową: () = () () = ( ) y h u h τ u τ dτ +. Przykłady odpowiedzi na impuls i skok będą dalej. co jes mało prakyczne dla nieskończonych odpowiedzi impulsowych i dla obliczeń w wielu punkach. aedra Merologii AGH raków 6

10 Związki między poszczególnymi posaciami modeli. ompuerowa idenyfikacja obieków Z Równanie Równania sanu Transmiancja Odpowiedź Do różniczkowe operaorowa impulsowa Równanie Odwrona ransformaa różniczkowe X Laplace a Równania sanu Transmiancja operaorowa Zmienne sanu za kolejne pochodne X wyjścia (i wejścia) Transformaa Laplace a G( s) = C( s A) B+ D X G( s) = g( ) Odpowiedź impulsowa g( ) = - G( s) X Dla modeli układów o elemenach zmiennych z czasem paramery są funkcjami czasu co urudnia analizę. aedra Merologii AGH raków 6

11 PRZYŁAD TWORZENIA OPISU MODELOWEGO ompuerowa idenyfikacja obieków Zamodelujemy silnik prądu sałego z napięciem zasilającym u( ) jako wielkością wejściową i prędkością obroową ω () jako wielkością wyjściową. Obwód elekryczny silnika reprezenuje rezysancja R i indukcyjność L uzwojeń oraz siła elekromooryczna u () indukowana w polu magneycznym proporcjonalna na prędkości obroowej ze współczynnikiem Faradaya). Równanie dynamiki dla części elekrycznej ma posać (prawo irchoffa): () e (prawo indukcji di u() ue() = L + Ri(), ue() = eω () d Elemeny mechaniczne reprezenują momen bezwładności J, momen napędowy proporcjonalny do prądu ze współczynnikiem ze współczynnikiem ( ) n (prawo Ampera) i momen arcia proporcjonalny do prędkości obroowej (arcie wiskoyczne). Równanie dynamiczne części mechanicznej ma posać (prawo Newona): dω J = ω () + ni() d Porządkując równania i zapisując je w sandardowej posaci równań sanu uzyskujemy: R e d i() L L i() i() = + L u() y() = [ ] + u d ω() n ω() ω() J J [ ] () e aedra Merologii AGH raków 6

12 ompuerowa idenyfikacja obieków PRZYŁAD UŻYCIA OPISU MODELOWEGO Filr dolnoprzepusowy można zrealizować w prosym układzie akywnym ze wzmacniaczem operacyjnym. Przykład akiej realizacji jes przedsawiony na poniższym rysunku. Transmiancja ego układu ma posać: G s ( s) uwy = =. u s RR CC s + C R + R s+ we In C u VC R.49k R 4k C n X VE Ou Jeśli filr ma mieć sandardową posać np. Czebyszewa (filr o największym spadku z dopuszczeniem zafalowania charakerysyki) o dobór elemenów R i C wynika z ogólnej parameryzacji filrów Czebyszewa [Tieze, Schenk]. Ponieważ projekowanie filrów Czebyszewa jes sandardowym zadaniem projekowym, o Malab udosępnia funkcje cheby (filr pierwszego rodzaju) i cheby (filr drugiego rodzaju) realizujące o zadanie. Projekowanie filra polega na wywołaniu funkcji z podaniem wymaganego rzędu i zafalowania filra, a nasępnie na przeliczeniu uzyskanych współczynników ransmiancji G( s) = dwóch z czerech elemenów). bs + as + na warości elemenów R i C (przy założeniu warości aedra Merologii AGH raków 6

13 ompuerowa idenyfikacja obieków MODELE DYNAMII PIERWSZEGO RZĘDU - WŁASNOŚCI CZASOWE Obieky z modelem pierwszego rzędu: ogólnie układy z magazynem energii jednego rodzaju, poencjalnej lub kineycznej. Np. elekryczne (bierne filry RC lub RL), ermiczne (np. czujnik emperaury bez osłony). Model dolnoprzepusowy: G( s) Odpowiedź impulsowa: h () = st + e T T k e T = = Odpowiedź skokowa: () 5 4 = = =5 5 4 T= T=.5 T=. 5 4 = = =5 5 4 T= T=.5 T= Czas usalania odpowiedzi skokowej: ε ( ) u k u u = = ε[%] 36,8 5, u T 3T 4,6T 6,9T e T Posać dynamiki pierwszego rzędu mają również modele górnoprzepusowe (np. dzielnik C-R) i wszechprzepusowe (np. moskowe przesuwniki fazowe). aedra Merologii AGH raków 6

14 ompuerowa idenyfikacja obieków MODELE DYNAMII PIERWSZEGO RZĘDU - WŁASNOŚCI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Zespolona odpowiedź częsoliwościowa: G( jω) =, ωgr jωt + = jω ω + = T gr Biegun: p = T = ω gr Im(s) Odpowiedź ampliudowa: G( jω) = = j ωω + gr ( ωω ) gr + p Re(s) Odpowiedź fazowa: arg G( jω) = aan( ωωgr ) Np. dla ω = ω : gr.8 Odpowiedz ampliudowa =, T= - Odpowiedz fazowa =, T= G( jω ) = (łumienie 3dB = log -/ ). -8 π arg G ( jω) = Wykresy w skali liniowej (górne) mało czyelne, powszechnie sosuje się skalę ampliudy log i skalę logarymiczną częsoliwości/pulsacji (wykresy Bodego). Charakerysyka wszechprzepusowego modelu pierwszego rzędu - przesuwnika fazowego. Magniude (db) Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) Magniude (db) Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) aedra Merologii AGH raków = = =5 Magniude (db) Phase (deg) Bode Diagram T= T=.5 T= Frequency (rad/sec)

15 ompuerowa idenyfikacja obieków MODELE DYNAMII DRUGIEGO RZĘDU - WŁASNOŚCI CZASOWE Obieky z modelem drugiego rzędu: ogólnie układy z magazynami energii poencjalnej i kineycznej. mechaniczne (np. belka ensomeryczna, usrój wskazówkowy, akceleromer) elekryczne (wzmacniacz, filr akywny) ermiczne (np. czujnik emperaury z osłoną - czy są u dwa rodzaje energii?) Model dolnoprzepusowy: G( s) lub alernaywnie: G( s) ω η ξω ξ<: h () = e sin( ω η) h = ω e ω ξ=: ξ>: h () = ( e e ) T = T T T = s ω + ξωs+ ω ω ( s p )( s p ) (uniwersalna parameryzacja), = ( ± ) p ξ ξ ω, Odpowiedź impulsowa ( η = ξ ) Odpowiedź skokowa ( η = ξ ) η ξω ξ<: k() = e sin( ω η + asinη) = + ξ=: k( ) ( ω ) e ω T T ξ>: k() = ( Te Te ) T T Ampliude Ampliude Ampliude Impulse Response ksi=4 ksi= ksi=.77 ksi= Time (sec) Sep Response Time (sec) Sep Response ksi=.5 ksi=.77 ksi= w= w= w=5 ksi=. Modele pasmowo i górno-przepusowe drugiego rzędu bez przykładów. 5 5 aedra Merologii AGH raków 6.4. Time (sec)

16 MODELE DYNAMII DRUGIEGO RZĘDU Własności częsoliwościowe Model dolnoprzepusowy G s ω =, Ω = Ω + jξω + ω Odpowiedź ampliudowa: G( jω) ompuerowa idenyfikacja obieków = = jξω+ Ω ξω Odpowiedź fazowa: arg G ( jω) = aan Ω Np. dla ω = ω, Ω= : G jω ξ π = =, arg G( jω) ( Ω ) + ( ξω) Zwraca uwagę zależność pasma przenoszenia i pasma liniowej fazy od łumienia. ampliuda ksi=. ksi=.77 ksi= ksi=5 w= faza [rad] aedra Merologii AGH raków 6 ksi=. ksi=.77 ksi= ksi=5 w= Bieguny: ( ) ( ) p = ξ ξ ω p = ξ + ξ ω Magniude (db) Phase (deg) Magniude (db) Phase (deg) 5-5 p p Bode Diagram Im(s) w=.5 w= -9 w=5 ksi= Frequency (rad/sec) Bode Diagram ksi=. ksi=.77 ksi=5 w= - - Frequency (rad/sec) Re(s)

17 ompuerowa idenyfikacja obieków PROPAGACJA SYGNAŁÓW, BŁĘDÓW I ZAŁÓCEŃ W MODELACH LINIOWYCH - PODSUMOWANIE Propagacja sygnałów: sayka skalowanie y = u dynamika w dziedzinie czasu splo wejścia z odpowiedzią impulsową () = () () = ( ) y u h h τ u τ dτ dynamika w dziedzinie częsoliwości widmo skalowane ransmiancją G+ U ( ω) = ( ω) ( ω) = Y j G j U j G U e ϕ ϕ Propagacja błędów sysemaycznych: jak składowa sała sygnału wzmocnienie sayczne y = u Propagacja zakłóceń (błędów przypadkowych): sayka - odchylenie sandard. sygnału skalowane wzmocnieniem bez zmiany charakeru rozkładu σ y = σ u dynamika w dziedzinie czasu splo korelacji (własne i wzajemne) z odpowiedzią impulsową yx ( τ ) = ( τ) ( τ), R ( τ ) = R ( τ) h( τ) R R h xx yy yx dynamika w dziedzinie częsoliwości gęsości widmowe skalowane kwadraem ransmiancji yy ( ω) = ( ω) ( ω) S G j S xx aedra Merologii AGH raków 6

18 NIELINIOWE MODELE DYNAMII Nieliniowe równania sanu d x f x u d () = (), () () = (), () y g x u Model Wienera (nieliniowość na wyjściu) ompuerowa idenyfikacja obieków u() dynamiczna część z() funkcja y()=f(z()) liniowa nieliniowa f() Model Hammerseina (nieliniowość na wejściu) u() funkcja f(u()) dynamiczna część y() nieliniowa f() liniowa Szeregi Volerry i = y g u i i Przykłady: Wzmacniacz z nasyceniem (model Wienera), realizacja pomiaru warości skuecznej wg definicji (model Hammerseina-Wienera), mosek ensomeryczny przy dużej nierównowadze (nieliniowość sayczna). Problemy: pojawiają się składowe o częsoliwościach, kórych nie było w wymuszeniu (np. w kwadraorze) Problemayczna propagacja sygnałów (np. kwadra odpowiedzi skokowej inercji udaje inercję II-go rzędu) aedra Merologii AGH raków 6

19 MODELE DYSRETNE ompuerowa idenyfikacja obieków Równanie różnicowe + ( ) + + ( ) = + ( ) + + ( ) y n ay n a y n na b u n bu n b u n nb na Dyskrene równania sanu ( n+ ) = ( n) + ( n) ( n) = ( n) + ( n) x Ax Bu y Cx Du Transmiancja operaora z G z { y ( n) } u( n) Z = = = Y z nb b + bz + + bnbz U z na Z + az + + anaz { } Podsawiając z=e jω. orzymujemy dyskreną ransmiancję widmową. Należy rozróżniać modele z operaorem z i q=z - Dyskrena odpowiedź impulsowa = h n F n Dyskreny impuls jednoskowy ( n) nb = (impuls roneckera) ylko dla n= i równy zero poza. Modele ciągłe a modele dyskrene w niekórych zasosowaniach ciągłe modele obieków pomiarów nie są porzebne, wysarcza dyskrena relacja pomiędzy kolejnymi próbkami sygnałów (np. auomayka, deekcja). Można również uworzyć dyskreny, równoważny ciągłemu w chwilach próbkowania, opis sygnału (ransformacje s-z). aedra Merologii AGH raków 6

20 ompuerowa idenyfikacja obieków ZADANIA - ANALIZA MODELOWA DYNAMII W MATLABIE Zadanie Wyznacz model w posaci równań sanu równoważny dla modelu inercyjnego pierwszego rzędu w posaci ransmiancji z użyciem funkcji konwersji fss i wybranych warości paramerów, T. Porównaj wynik z przekszałceniem analiycznym. Wygeneruj odpowiedź skokową modelu (funkcja sep) i jego charakerysyki częsoliwościowe z użyciem funkcji bode lub freqs. Zadanie Wyznacz z użyciem procedury numerycznej impulse odpowiedź impulsową obieku oscylacyjnego drugiego rzędu opisanego ransmiancją lub równaniem sanu z paramerami =, ksi=.7, om=. Czy procedura numeryczna daje wyniki zgodne z odpowiedzią dokładną? Uwórz charakerysyki częsoliwościowe ego obieku. Podaj warość wzmocnienia (abs) i fazy (angle) dla częsoliwości.,.9 i 5.. Zadanie 3 Dla obieku oscylacyjnego drugiego rzędu i sygnału wejściowego w posaci sumy rzech sygnałów harmonicznych (sinusoidalnych) o różnych częsoliwościach przedsaw posać czasową sygnału wejściowego, jego posać częsoliwościową, posać częsoliwościową sygnału wyjściowego i posać czasową ego osaniego. Paramery obieku i sygnału dobierz ak, żeby widoczne było selekywne wzmocnienie sygnału. aedra Merologii AGH raków 6

21 ompuerowa idenyfikacja obieków Zadanie 4 Przedsaw dosarczone dane pomiarowe (częsoliwość, ampliuda) w posaci charakerysyki ampliudowoczęsoliwościowej badanego obieku. Wiedząc, że obiek jes filrem Czebyszewa drugiego rzędu o realizacji elekronicznej i nominalnych warościach elemenów jak w przykładzie z wykładu porównaj jego charakerysykę nominalną z charakerysyką pomiarową. Zadanie 5 Wyznacz przebieg prądu i prędkości silnika prądu sałego o modelu przedsawionym wcześniej dla paramerów: R = [Ω], L =.5[H], =.5, =., =., e n kg m s J =.[ ] i dla skokowo dosarczonego napięcia zasilania. Zadanie 6 Przedsaw właściwości częsoliwościowe algorymu wyznaczania średniej z osanich próbek sygnału (dbode). Taki algorym można eż widzieć jako szczególny cyfrowy filr FIR, wyznaczający próbki sygnału wyjściowego ylko na podsawie skończonej hisorii próbek sygnału wejściowego. aedra Merologii AGH raków 6

22 LITERATURA DODATOWA ompuerowa idenyfikacja obieków. Hagel R., Zakrzewski J., Miernicwo dynamiczne, WNT Warszawa 984 (rozdziały 6, 7 i 8 na ema sygnałów, obieków i modeli). Sydenham P.H., Podręcznik Merologii, WiŁ Warszawa 988 (rozdziały i 4 na ema sygnałów, sysemów i modeli) 3. Tieze, Schenk, Układu półprzewodnikowe, WNT Warszawa 987 (rozdział 4 na ema realizacji elekronicznych filrów akywnych) aedra Merologii AGH raków 6