UPRASZCZANIE FUNKCJI WYMIERNYCH SIMPLIFICATION OF RATIONAL FUNCTIONS

Transkrypt

1 TEUSZ PIWOWRCZYK UPRSZCZNIE FUNKCJI WYMIERNYCH SIMPLIFICTION OF RTIONL FUNCTIONS Strezczeie trct Fukcj wyier przedtwi w owodch elektryczych i t ieutloy lu tritcję Fukcj tk ui yć uprozczo przed jej ztoowie Twierdzeie el towi główy prole podcz uprzczi Może yć o jedk pokoy w pecjly podejściu Teori tów ieutloych rozwiięt wokół wieloiów yetryczych dotrcz odpowiediej do tego celu lgericzej procedury Jet o wyrżo w klrowy zpiie cierzowy Kokrety liczowy przykłd dołączoy do rtykułu ilutruje propoową procedurę Słow kluczowe: t ieutloy tritcj fukcj wyier rugowik uprzczie rtiol fuctio i electricl circuit repreet og other triet tte or trittce Such fuctio ut e iplified efore it i ued i clculu The i prole with iplifictio i the el theore However it c e overcoe y pecil pproch The theory of triet tte developed roud yetric polyoil deliver the lger procedure deiged for thi purpoe It i expreed i cler trix ottio cocrete uericl exple of propoed procedure i ecloed to the rticle Keyword: triet tte trittce rtiol fuctio reluctt iplifictio r iż Tdeuz Piwowrczyk Itytut Elektrotechiki Teoretyczej i utotyki Wydził Iżyierii Elektryczej i Koputerowej Politechik Krkowk

2 Wtęp W rtykule przedtwioo lgericzą procedurę prowdzi fukcji wyierej iewłściwej do potci włściwej Iyi łowy chodzi o pozycie ię z liczik i iowik wpólego czyik Zte wydzieleie liczik i iowik fukcji wyierej przez wpóly czyik określoo ie uprzczi Tylko w ty eie w iiejzy rtykule jet rozuie uprzczie Prole uprzczi pojwi ię zczególie częto w przypdku ożei tritcji opertorowych Propoow etod ie wyg zjoości wpólego czyik więc ie jet koiecze zukie iejc zerowych iowik orz liczik Oij ię więc lokdę wyikjącą z twierdzei el które ówi o ierozwiązlości przez tzw pierwitiki rówń piątego i wyżzych topi Opi procedur jet produkte uoczy lizy tów ieutloych w owodch elektryczych z poocą wieloiów yetryczych wielu zieych Nleży zuwżyć że w literturze fukcjouje rówież teri uprzczie w iy eie Chodzi wtedy o pewą prokycję Itote jet wówcz die i tilości relizowlości oerwowlości Potwieie proleu Podcz wyzczi rozwiązń tu ieutloego w liiowych owodch elektryczych RLC otrzyuje ię fukcję opertorową F reprezetującą pozukiwe rozwiązie liz tej fukcji wyg wcześiejzego jej uprozczei czyli pozyci ię ewetulych wpólych dzielików liczik i iowik Zkłdy że fukcj jet potci wyierej o topiu iowik Zkłdy że wpółczyiki liczik orz iowik ą liczi rzeczywityi Oczywiście wpółczyiki wytępujące w iowiku w fukcji ogą przyjowć wrtości zerowe toit wpółczyiki liczik ie ogą yć rówocześie wzytkie zere Ogóly zpi tej fukcji przedtwioo poiżej F Nleży podkreślić że powyżz fukcj opertorow jko rozwiązie tu ieutloego w owodch elektryczych RLC zwier liczik o topiu zwze iejzy co jiej o jede od topi iowik Opi procedur uprzczi fukcji dotyczy wyłączie jej ogólej potci podej w pukcie czkolwiek iepełieie wruku dotyczącego topi liczik i iowik oż łtwo pokoć W pierwzy pukcie lizy wzoru leży zdć czy fukcj t jet ułkie włściwy W ty celu poługujey ię tzw w literturze rugowikie [] przedtwioy w 6

3 Podtwowe rzędzi tetycze Rugowik Rozwży ieco ogóliejzy prole iż te potwioy w pukcie Rozwży iowicie dw wieloiy topi orz topi l kżdego wieloiu tworzyy odpowiedio cierz B orz cierz Mcierz B zwier wierzy orz kolu B Mcierz zwier wierzy orz rówież kolu Z cierzy B orz tworzyy cierz kwdrtową o wyirch Moż to zroić dw pooy toując tzw loki cierzy B R lu B R 6 W ou przypdkch powtją róże cierze kwdrtowe R R Wyzcziki ou tych cierzy kwdrtowych ą tkie e i przyjują wrtość R R R R 7 Liczę R zywy rugowikie g reluctt W środowiku MTHC kłdie loków cierzy odyw ię z poocą fukcji tck B

4 Ze w lgerze twierdzeie ówi że rugowik utworzoy dl dwu wieloiów o ogóly kztłcie orz przyjuje wrtość zero wtedy i tylko wtedy gdy o wieloiy zwierją te czyik W zczególy przypdku oż ztoowć rugowik do fukcji wyierej ędącej trfortą Lplce pewej fukcji czowej opiującej t ieutloy Szereg Mcluri l kokretego topi fukcji F o ogólej potci wprowdzy ciąg zwierjący rzeczywitych wrtości ozczoych yoli efiicj tych licz [] [7] dl kolejych trzech topi jet tępując 8 9 itd W teorii tów ieutloych w owodch elektryczych [7] wykzo że koleje liczy ą pochodyi orygiłu ft dl t Tworzą oe początek pewego uogólioego ciągu Fiocciego [7] Otteczie z poocą tego kończoego ciągu przez jego rozzerzeie do iekończoości [] tworzyy zereg Mcluri Zte dl dej wrtości wyzczy wrtości liczowych Mcierz decydując Zjąc już ciąg tworzyy dl kolejych topi ciąg cierzy pody poiżej

5 itd Mcierze wytępujące w powyżzy ciągu zwe zotły cierzi decydującyi Ich wyzcziki ją podoe włości do włości rugowik Mkyly topień ieooliwej cierzy decydującej określ topień iowik fukcji F po uprozczeiu Sytez fukcji uprozczoej Z poiżej podego ciągu rówń cierzowych wyiery to rówie w który ieooliw cierz kwdrtow decydując jwiękzy topień Tk cierz zwze itieje dl dej fukcji wyierej F Wyzczy wpółczyiki i orz i 6 itd

6 6 Oczywiście powyżze wyrżei ją e gdy odpowiedie cierze decydujące ą ieooliwe Wyzczoe w te poó wpółczyiki połużą do utworzei uprozczoej fukcji wyierej Uprozczeie fukcji wyierej oże yć rozuie dw pooy: uuięcie iejc zerowego z liczik i iowik fukcji F prokycj fukcji F o topiu fukcją o topiu iżzy od Niiejzy rtykuł dotyczy tylko pierwzego przypdku Przypdek drugi odozący ię prokycji ył lizowy i w [7] Przykłd Rozwży fukcję wyierą topi F 7 Wpółczyiki liczik i iowik tej fukcji ą tępujące Tworzyy rugowik zgodie z 6 R R Rugowik wyzczik przyjuje w ty przykłdzie wrtość zero Ozcz to że wyrżeie wyiere 7 jet iewłściwy ułkie Nleży go uprościć Wyzczy ciąg ośiu wrtości rzeczywitych

7 7 Bdy wyzcziki cierzy decydujących Jk widć jwiękzy topień cierzy decydującej ieooliwej wyoi Wyzczy zte wpółczyiki liczik i iowik fukcji po uprozczeiu Wyzczik przyjuje wrtość zerową podoie jk rugowik Otti pukt procedury poleg utworzeiu fukcji uprozczoej podtwie wrtości otrzyych w F Zte fukcj wyier jet forą uprozczoą fukcji wyierej 7 ltego też pozotwioo dl iej to o ozczeie F Zdie zotło wykoe ez zjoości wpólego czyik który zotł wyeliiowy z liczik i iowik wyrżei ieuprozczoego 7 Wyrżeie jet już ułkie włściwy i dje ię do dlzej lizy

8 8 zieląc przykłd liczik wyrżei 7 przez liczik wyrżei otrzyujey ów wpóly czyik który zotł wyeliiowy w zpropoowej procedurze Jet i wyrżeie 7 Zjoość tego czyik oże yć przydt podcz kotroli poprwości oliczeń Propoową etodę oż uogólić lu uprzczć wiele pooów Przykłdowo w połączeiu zeregowy dwu tritcji podych poiżej M L F orz M L F 6 zit uprzczi ich iloczyu F F oż uprzczć cztery tępujące fukcje wyiere co ziejz roziry rugowików orz cierzy decydujących F F M L M L 7 Oczywiście kżd z tych fukcji powi yć prowdzo do potci tdrdowej przyjętej w iiejzy rtykule czyli do potci Spoó w jki to oż zroić pozotwi ię czytelikowi Rówież wyzcziki cierzy decydujących oż zredukowć do protzych potci korzytjąc z włości loków cierzy kwdrtowej Moż rówież uuąć zki ujee w powyżzych wyzczikch wprowdzjąc jede czyik: gdzie jet topie wyzczik Uogóliei propoowej etody W zgdieich rozwżych teoretyczie zchodzi koieczość ogólego podi kryteriu uprzczi fukcji F przywołej w pukcie W ty celu tworzyy ciąg wyzczików cierzy decydujących ozczoych yoli

9 9 Jeżeli fukcj F jet ułkie ieuprzczly to poiżze wyrżeie jet róże od zer Jeżeli fukcj F jet ułkie uprzczly z jedy iejce zerowy to zchodzi poiżz koiukcj Jeżeli fukcj F jet ułkie uprzczly z dwo iejci zerowyi to zchodzi poiżz koiukcj 6 itd Nleży podkreślić że w przypdku iejc zerowych zepoloych zwze wytępuje przyt licz wyzczików z cierzy decydujących Wyik to z fktu że iejc zerowe zepoloe wytępują pri jko przężoe Przykłd Rozwży fukcję wyierą topi F 7 Wpółczyiki liczik i iowik przyjują dowole wrtości rzeczywite Nleży podć wruki rówi ierówości których pełiie ozcz koieczość uprozczei fukcji

10 6 6 9 Wyzcziki z cierzy decydujących oż ztąpić ty etpie wyzcziki 9 Podtwijąc w ich 6 7 jko fukcje zleże od według 8 otrzyujey jedo z kryteriu jedą z koiukcji lu i lu i i 6 Nleży zuwżyć że podcz wyzczi fukcji wyierej z poocą odpowiediego wzoru z zeregu 6 zwze pojwi ię wyrżeie uprozczoe Otrzye kryteri ą wyrżeii lgericzyi wieloii yetryczyi zleżyi od iejc zerowych iowik rdzo długii iedjącyi ię do zprezetowi w ty rtykule! Jedk ie tkiej potrzey owie w ty przykłdzie procedur lgericz dwuetpow z ośio pośrediki 7 w zupełości wytrcz do dlzej tetyczej lizy Zte kryteri ją potć: Jeżeli fukcj F jet ieuprzczl Jeżeli fukcj F jet uprzczl z jedy iejce zerowy Jeżeli fukcj F jet uprzczl z dwo iejci zerowyi ogą yć zepoloe Gdzie wyrżei oż ztąpić wyrżeii 9 Litertur [] Kczorek T Poitive Lier Syte d their Reltiohip with Electricl Circuit XX-SPETO Gliwice Utroń 998 [] Kuroh Higher lger Mir Puliher Mocow 97 [] N o l e B i e l JW pplied Lier lger Pretice-Hll Ic Iglewood Cliff New Jerey 977 [] Piwowrczyk T Coefficiet of Power Expio of Origil Fuctio of Trfor Coefficiet Czopio Techicze z 7-E/996 Wyd Politechiki Krkowkiej Krków 996

11 [] Piwowrczyk T Multipower Nottio of Syetric Polyoil i Egieerig Clculu PN Krków [6] Piwowrczyk T Syetric Polyoil of Vrile i Electricl Circuit Czopio Techicze Wyd Politechiki Krkowkiej Krków 999 [7] Piwowrczyk T Teori kończoych ciągów liczowych w lizie owodów elektryczych Wyd CCNS Krków [8] Siwczyń k i M Metody optylizcyje w teorii ocy owodów elektryczych Politechik Krkowk Krków 99 [9] Soczyk T Wrzech ltertive pproch to Modelig Electricl Lier Mgetic Circuit Vol XLIV No PWN Wrzw 99 [] S o c z y k T Fory cierzowe elektroechiczych przetworików eergii z ieliiowy owode getyczy Czopio Techicze z 7-E/996 Wyd Politechiki Krkowkiej Krków [] S o c z y k T Metodycze pekty odelowi tetyczego zy idukcyjych Wyd Nukowo-Techicze Wrzw [] T u r o w i c z Teori cierzy GH Krków 6