Rozdział VIII. Zagadnienia brzegowe 2D liniowej sprężystości materiałów anizotropowych - zastosowanie systemu PDE MATLAB. 1. Wstęp

Transkrypt

1

2 Rozdział VIII Zagadnienia brzegowe D liniowej sprężystości materiałów anizotropowych - zastosowanie system PDE MATLAB Marcin GAJEWSKI, Stanisław JEMIOŁO. Wstęp Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości materiałów anizotropowych sprowadza się w sformłowani przemieszczeniowym do rozwiązania kład eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych z warnkami brzegowymi Dirichleta lb Nemanna [9]. Metodami analitycznymi nie zyskamy rozwiązania powyższego zagadnienia dla szerokiej klasy zadań, dlatego należy skorzystać z metod nmerycznych. Jedną z nich jest metoda elementów skończonych (MES) []. Do rozwiązywania zadań brzegowych D anizotropowej sprężystości, płaskiego stan naprężenia (PSN) albo płaskiego stan odkształcenia (PSO), proponjmy zastosowanie pakiet MATLAB, a właściwie dołączonego do niego program Partial Differential Eqation Toolbox (PDE) []. PDE nie jest standardowym programem komercyjnym (podobnie jak pakiet MATLAB), gdyż żytkownik ma pełny dostęp do jego źródła (kod nmerycznego). Umożliwia to wszelkie modyfikacje i całkowitą kontrolę nad algorytmem rozwiązjącym MES. Możliwe jest także dołączanie własnych procedr oraz żywanie bogatej biblioteki procedr zawartych w MATLAB-ie (napisanych w językach MATLAB, FORTRAN lb C++). PDE jest programem słżącym do nmerycznego rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych zależnych od dwóch zmiennych przestrzennych (i ewentalnie czas) i ich kładów, w przypadk równań eliptycznych, parabolicznych i hiperbolicznych. Można go także stosować do poszkiwania rozwiązań nmerycznych nieliniowych równań różniczkowych. Program został napisany przez matematyków i dlatego nie ma typowej strktry programów MES stosowanych w mechanice konstrkcji materiałów anizotropowych. Konieczne jest wobec tego dostosowanie strktry danych PDE tak, aby do rozwiązania zagadnień płaskich liniowej teorii sprężystości materiałów anizotropowych zastosować wymieniony program. Należy zaznaczyć, że twórcy program PDE, jako przykład jego zastosowania, podali standardową procedrę do rozwiązywania płaskich zagadnień izotropowej, liniowej teorii sprężystości. Stosjemy wyniki naszych prac [,6-8] pblikowanych m.in. w materiałach konferencyjnych. Należy zaznaczyć, że obecnie program PDE jest niezależnym od pakiet MATLAB prodktem [0,]. 95

3 . Charakterystyka pakiet PDE Opisywany Toolbox MATLAB-a [] został stworzony do rozwiązywania równań (lb kładów równań) różniczkowych cząstkowych dwóch zmiennych przestrzennych. Szczególnym przypadkiem takich równań są interesjące nas równania przemieszczeniowe anizotropowej teorii sprężystości. Ograniczenie do dwóch zmiennych pozwala na rozwiązywanie zadań płaskich sprężystości tzn. płaskiego stan odkształcenia (PSO) i płaskiego stan naprężenia (PSN). W programie bezpośrednio zaimplementowano zadania PSO i PSN dla jednorodnego materiał izotropowego. Dla zadań tych wprowadzenie stałych materiałowych ogranicza się do podania wartości modł Yonga E i współczynnika Poissona. Natomiast w przypadk materiałów anizotropowych wprowadzenie danych nie jest atomatyczne (w stałych materiałowych należy także wprowadzić rozróżnienie zagadnień PSO od PSN), patrz pkt. oraz Rozdział II. W omawianym programie dyskretyzację przeprowadza się stosjąc elementy trójkątne o liniowych fnkcjach kształt. Obszar definijemy korzystając z graficznego interfejs żytkownika (albo bdjąc plik wsadowy), a następnie dzielimy go na elementy skończone korzystając z atomatycznego generatora siatki. Definijąc parametry wejściowe procedry generacji siatki podział MES możemy sterować reglarnością tej siatki. Podobnie wprowadzamy warnki brzegowe korzystając z interfejs graficznego. Program pozwala również na skorzystanie z procedr optymalizjących siatkę podział MES. Otrzymane wyniki możemy przedstawiać tworząc wykresy kontrowe, wykresy gradientów dowolnych pól, itp. Jeżeli chodzi o wartości liczbowe zyskane z analizy MES to możemy je wyeksportować do tzw. przestrzeni roboczej MATLAB-a, aby tam np. żyć ich w innym programie. W Toolboxie PDE stosje się konsekwentnie macierzową strktrę danych i wyników. W standardowych podprogramach PDE, tzn. w przypadk PSO i PSN dla jednorodnego materiał izotropowego dysponjemy procedrami, które obliczają wartości składowych stan naprężenia i odkształcenia, naprężenia i odkształcenia główne, naprężenie zastępcze Hbera-Misesa itd. Natomiast jeżeli rozwiązjemy zadanie z materiałem anizotropowym (o odpowiednio podanej strktrze danych, patrz pkt.), to standardowo otrzymjemy tylko wartości przemieszczeń oraz pochodne tych przemieszczeń. Oczywiście korzystając z zależności geometrycznych, związk konstyttywnego i np. hipotez wytężeniowych jesteśmy w stanie wyrazić wszystkie interesjące nas wielkości przez przemieszczenia i ich pochodne.. Adaptacja strktry danych PDE do zagadnień PSN i PSO anizotropowej sprężystości Zagadnienie rozwiązania kład równań jest postawione w pakiecie PDE [] następjąco: ( c ) a f, (.) gdzie c jest reprezentacją macierzową tensora N N rzęd, a jest macierzą N N, f i są wektorami (macierzami jednokolmnowymi) o wymiarze N. Zapis ( c ) oznacza N j cij cij cij cij j. (.) x x x y y x y y Dla a 0 i f 0 oraz ( N ) kład równań (.) ma postać 96

4 j Rozpisanie (.) przy założeni C C cij cij cij cij j 0. (.) x x x y y x y y C( x) C (jednorodność materiał) daje nam dwa równania: ' C ' C ' C ' C ' C ' C ' C ' ' C ' C ' C ' C ' C ' C ' C ' 0, (.4) 0. Porównanie powyższych równań ze sformłowaniem przemieszczeniowym zadania teorii sprężystości, wyprowadzonym dla prawa Hooke a o postaci [4]: ij k I I., waga: nie smować po i, (.5) i Ii B i j ki pozwoli jednoznacznie określić stałe materiałowe w (.). W powyższym wzorze ( I, i,, ) jest bazą tensorową wynikającą bezpośrednio z rozpisania symetrycznego i tensora drgiego rzęd w bazie ortonormalnej i I e e e :, I e e Kobaza do bazy (.6) ma postać: I e e, I e e, I e e e. (.6) e. (.7), I e e e e Reprezentacje tensorów σ i ε odpowiednio w bazach (.6) i (.7) mają postać: σ, ozn.;,,, (.8) ε, ozn.;,,. (.9) Podstawiając prawo fizyczne (.5) i związki geometryczne w równaniach równowagi otrzymjemy następjące równania przemieszczeniowe teorii sprężystości: B B ' ' B B ' ' B B ' ' B B ' ' B B ' ' B B ' ' B B ' ' B B ' ' 0, (.0) 0. Porównjąc (.0) z (.4) stalamy w jaki sposób zastosować PDE dla równań eliptycznych w przypadk PSO i PSN anizotropowej sprężystości, patrz Rozdział II. Należy pamiętać, że tensor sztywności w prawie Hooke a jest tensorem dodatnio określonym, por. [4]. Warnki brzegowe dla kład równań eliptycznych mają postać Zapis c n oznacza macierz N, tzn. h r, (.) c q g h' n. (.) 97

5 N cos c ij cos c ij sin c ij sin c ij j. (.) j x y x y W (.) n jest wektorem normalnym do brzeg n cos, sin. Jeżeli mamy M warnków brzegowych Dirichleta to macierz h ma wymiar M N, M 0. Warnki brzegowe Nemanna zawierają wyrażenie h ', gdzie mnożnik Lagrange a jest dobrany tak aby warnki Dirichleta były spełnione. W teorii sprężystości wyraz ten jest reakcją, wynikającą z zastosowania warnków brzegowych Dirichleta. 4. Przykłady zastosowań 4.. Ocena wytężenia w tarczach ortotropowych Ilstrjąc przydatność pakiet PDE z zaimplementowanymi wg pkt. zagadnieniami PSN materiałów anizotropowych zaprezentowano sposób zastosowania w analizie wyników MES hipotezy wytężeniowej Hoffmana []. Hipotezę tą stosje się w przypadk anizotropowych materiałów krchych jako kryterim zniszczenia materiał i anizotropowych ściśliwych materiałów plastycznych jako kryterim plastycznienia, które pozwala względnić różnice w granicach plastyczności (wytrzymałości) dla ściskania i rozciągania [5]. Sformłowanie hipotezy Hoffmana w składowych stan naprężenia dla zagadnienia D ma następjącą postać: f ij C C C (4.) C C C C C C Parametry materiałowe C,..., C9 są standardowo wyznaczane z testów rozciągania i ściskania w kiernkach głównych ortotropii oraz czystego ścinania w płaszczyznach wyznaczonych przez te kiernki. Wyniki tych testów definiją stałe C,..., C9 w następjący sposób: 98 7 C Yt Yc Yt Yc YtY c Yt Yc YtYc Yt Y c C YtYc Yt Yc Yt Y C4, C5 c Y t Y c Y t Y c, (4.) C6, C7, C 8, C 9, Y t Y c k k k gdzie Y ti, Y ci są odpowiednio granicami wytrzymałości materiał na rozciąganie i ściskanie w kiernkach głównych ortotropii, zaś k ij są granicami wytrzymałości materiał na czyste ścinanie w płaszczyznach i j, i j ( i, j,, ). Równanie (4.) praszcza się dla zagadnienia PSN do postaci: f C C C ij C 4 C 5 C (4.) Jako przykład zastosowania (4.) rozpatrjemy ortotropową tarczę z otworem kołowym (PSN). Tarczę o wymiarach: a=0m, r=m, d=0.m (grbość), wykonano z drewna świerkowego, o następjących stałych materiałowych: E 0068MPa, E 754MPa,

6 G 50MPa, Dla powyższych danych w przypadk PSN otrzymjemy: B 0068MPa, B. MPa, B 754MPa, B 50MPa, B B 0. Dodatkowo stałe Y ti i Y ci dla drewna świerkowego są następjące: Y t 79. 9MPa, Y c 8. 68MPa, Y MPa t. 55, Y MPa c 4. 00, Y MPa t. 55, Y MPa c 4. 00, k 7. 9MPa, k 7. 9MPa, k. 60MPa [5]. Rysnek 4.. Schemat statyczny tarczy Dla tarczy jak na rys.4. rozpatrzono dwa przypadki: i) włókna drewna świerkowego są równoległe do osi x, ii) włókna drewna świerkowego są równoległe do osi y. Rysnek 4.. Stan wytężenia dla tarczy ortotropowej (kiernek włókien zgodny z osią x) osiągnięty dla obciążenia. 65MPa W obydw przypadkach poszkiwano obciążenia q, dla którego w obszarze tarczy pojawią się miejsca dla których zostanie osiągnięte wytężenie zgodnie z kryterim Hoffmana (4.), przy czym na wykresach pokazano fnkcję w postaci: 99

7 C C C F ij C4 C5 9 C. (4.4) Fnkcja F ij przyjmje wartość w miejscach zniszczenia tarczy. Tam gdzie F ij materiał znajdje się w stanie sprężystym. Rysnek 4,. Stan wytężenia dla tarczy ortotropowej (kiernek włókien zgodny z osią y) osiągnięty dla obciążenia 0. 7MPa Okazje się, że zniszczenie tarczy z otworem kołowym pokazanej na rys.4. jest o wiele łatwiejsze kiedy włókna materiał ortotropowego mają kiernek osi y. Jest to o tyle ciekawe, że gdyby w tarczy nie było otwor to sytacja byłaby odwrotna. 4.. Tarcza wykonana z materiał ortotropowego z izotropowymi wtrąceniami (PSN) Przykład ten zamieszczono jako ilstrację algorytm atomatycznie dzielącego obszar tarczy na elementy skończone i algorytm adaptacyjnego MES, patrz Rys.4.4. Rysnek 4.4. Geometria zadania oraz siatka podział na elementy skończone (96 elementów) Tarczę wykonano z drewna świerkowego (materiał ortotropowego), którego włókna są równoległe do osi x. Dane materiałowe jak w pkt.4.. Przyjęto, że eliptyczne wtrącenia są z materiał o modle Yonga E 05GPa i współczynnik Poissona

8 Rysnek 4.5. Naprężenia główne (maksymalne) [GPa ] Rysnek 4.6. Naprężenia główne (minimalne) [GPa ] 5. Uwagi końcowe W rozdziale tym podano sposób zastosowania sytem MATLAB z oprogramowaniem PDE do zagadnień PSO i PSN liniowej teorii sprężystości materiałów anizotropowych. Okazje się, że zastosowanie PDE wymaga wprowadzenia odpowiedniej strktry danych materiałowych, które względniają symetrie anizotropowego prawa Hooke a i dodatnią określoność tensora sztywności oraz warnki brzegowe Dirichleta i/lb Nemanna. Pokazano także w jaki sposób zastosować zyskane z analizy MES wyniki obliczeń do oceny wytężenia materiałów anizotropowych. Ponieważ oprogramowanie PDE zawiera pełny kod źródłowy metody elementów skończonych oraz wprowadzanie danych do program, jak i ich analiza, 0

9 wynika bezpośrednio ze strktry odpowiednich równań przemieszczeniowych anizotropowej teorii sprężystości, to zyskane t wyniki mają znaczenie dydaktyczne. Należy zaznaczyć, że twórcy program PDE, między innymi jako przykłady jego zastosowania, podali standardowe procedry do rozwiązywania płaskich zagadnień izotropowej, liniowej teorii sprężystości oraz liniowej teorii przepływ ciepła dla materiałów izotropowych. Obecnie metoda MES zaprogramowana w PDE nie jest ograniczona do zagadnień dwwymiarowych, por. [0-]. Bibliografia [] Andreev V.I.: Some problems and methods of mechanics inhomogeneos bodies (in Rssian). ASV Pbl. Hose, Moscow, 00. [] Gajewski M., Jemioło S..: Zastosowanie system MATLAB do analizy MES zagadnień płaskich liniowej teorii sprężystości materiałów anizotropowych, Theorethical Fondations of Civil Engineering, Polish-Ukrainian Transactions, W. Szcześniak [ed.], str. 0-0, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 00. [] Hoffman O.: The brittle strength of orthotropic materials, Jornal of Composite Materials, Vol., pp , 967. [4] Jemioło S.: Applications of invariants of doble symmetric forth-order tensors in optimization theory of elastic anisotropic materials, Reports to the Ford Motor Company, Design Optimization/Vehicle Safety, Research Department- Scientific Research Laboratories, Dearborn Michigan, 999. [5] Jemioło S.: Warnki plastyczności oraz hipotezy wytężeniowe materiałów ortotropowych i transwersalnie izotropowych. Przegląd literatry, niezmiennicze sformłowanie relacji konstyttywnych. Prace nakowe Politechniki Warszawskiej, Bdownictwo z., 996, str [6] Jemioło S., Gajewski M.: Analiza MES przepływ ciepła w materiałach anizotropowych z nieliniowym prawem Foriera, Konferencja: Polska mechanika prog XXI wiek, W. Szcześniak [red], Kazimierz Dolny Warszawa listopad 00, Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 00, str [7] Jemioło S., Gajewska B., Gajewski M., Zastosowanie program PDE Toolbox MATLAB do analizy dwwymiarowych zagadnień liniowej sprężystości materiałów anizotropowych, VI Konferencja: Kompterowe systemy wspomagania naki, przemysł i transport, TRANSCOMP, Zakopane 00, także Transport Z. Strzyżakowski, Prace Nakowe, 5, Zakład Poligrafii ITE, Radom 00, str [8] Jemioło S., Gajewski M.: Stacjonarny i niestacjonarny przepływ ciepła przykłady MES, Rozdział VI w monografii: Termosprężystość i przepływ ciepła w materiałach anizotropowych, S. Jemioło [ed], Oficyna Wydawnicza PW, Warszawa 05, str [9] Nowacki W.: Teoria sprężystości, PWN, Warszawa 970. [0] Park J.H., Ahn Ch.K., Kwon W. H.: On the Development of D Finite Element Method Package for CEMTool, Proc. of the ICCAS005, Jne -5, KINTEX, Gyeonggi-Do, Korea. [] Partial Differential Eqation Toolbox User's Gide, COPYRIGHT by The MathWorks, Inc. [] The Math Works, Inc.: Partial Differential Eqation Toolbox- User s Gide, 996. [] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.: The finite element method, McGraw-Hill, 4 th edition, Volmes and,

10