ROZWIĄZANIA NUMERYCZNE PRĘTA OBCIĄśONEGO SIŁĄ BRZEGOWĄ W UJĘCIU MECHANIKI FALOWEJ I DYNAMIKI

Transkrypt

1 ROZWIĄZANIA NUMERYCZNE PRĘTA OBCIĄśONEGO SIŁĄ BRZEGOWĄ W UJĘCIU MECHANIKI FALOWEJ I DYNAMIKI Paweł SZKLENNIK Wydział Budowictwa i IŜyierii Środowiska, Politechika Białostocka, ul. Wieska 45 A, 5-35 Białystok Streszczeie: W pracy przedstawioo rozwiązaia pręta obciąŝoego agle wzdłuŝą siłą brzegową, z zastosowaiem kosekwete dla przestrzei i czasu metody róŝicowe. Zadaie rozwiązao stosuąc podeścia zgode ze sformułowaiami mechaiki falowe oraz dyamiki celem wykazaia róŝic w otrzymaych rozwiązaiach. Do całkowaia rówaia dyamicze rówowagi, idetyczego dla obydwu sformułowań, uŝyto róŝych schematów całkowaia względem czasu. Aalizowao schematy awy, ieawy i θ-wilsoa. Schemat awy umoŝliwia dokłady opis rozprzestrzeiaia się fal apręŝeń oraz efektów odbić od brzegów sztywego i swobodego. Schemat ieawy poprawie opisue dyamicze zachowaie pręta, ale w dłuŝszym okresie czasu geerue istote efekty tłumieia pasoŝyticzego. Schemat θ-wilsoa odzwierciedla falową aturę reakci pręta, ale rozmywa poprawe teoretyczie, sile froty fal apręŝeń. Słowa kluczowe: fala podłuŝa, metoda róŝicowa, schematy całkowaia krok po kroku.. Wprowadzeie Poszukiwaie reakci elemetów kostrukcyych pod wpływem obciąŝeń dyamiczych moŝe być dokoywae przy zastosowaiu opisu właściwego dyamice kostrukci, albo odpowiadaącego mechaice falowe. Wybór opisu zaleŝy od itesywości zmia obciąŝeia w czasie, rozumiaego ako charakterystyki arastaia do wartości ekstremale, utrzymywaia się albo zmieości w określoym przedziale czasu oraz zaikaia. Przy poszukiwaiu rozwiązaia według sformułowaia właściwego dyamice kostrukci ie est aalizoway problem rozprzestrzeiaia się zaburzeń. Przymuemy, Ŝe awet obciąŝeie dyamicze o duŝe itesywości wywołue reakcę deformacyą edocześie w całym elemecie kostrukcyym. Opis zachowaia elemetu obciąŝoego dyamiczie est wyzaczay z układu rówań rówowagi dyamicze, związków fizykalych apręŝeiowo-odkształceiowych oraz związków geometryczych odkształceiowo- przemieszczeiowych. Układ te est rozwiązyway dla daych waruków brzegowych, z reguły stacoarych co do połoŝeia w przestrzei. Rówaia dyamicze rówowagi są całkowae przy załoŝoych warukach początkowych, odiesioych do całego obszaru kostrukci. W przypadku aturalych waruków początkowych przemieszczeia i prędkości przemieszczeń w całym układzie są w chwili początkowe rówe zeru. Działaie dyamicze obciąŝeia wyprowadza kostrukcę z połoŝeia rówowagi według form ruchu, które spełiaą kiematycze waruki brzegowe. W całe kostrukci od pierwsze chwili występuą kotyuale procesy deformaci. JeŜeli rozpatruemy obciąŝeia o duŝe itesywości oddziaływuące krótkotrwale a elemety kostrukcye, to w opisie reakci tych elemetów rozwaŝyć aleŝy początkowe przemowaie obciąŝeia zewętrzego uawiaące się rozwoem obszaru zaburzoego. Obszar te propague się z określoą prędkością w day elemet. W przypadku obciąŝeń typu wybuchowego albo udarowego okres arastaia obciąŝeia do wartości ekstremale est bardzo krótki. Reakca ie powstae edocześie w całe kostrukci, lecz stopiowo w wyiku fal propaguących się przez e elemety. Uęcie problemu mechaiki falowe wymaga opisu zachowaia kostrukci z wyróŝieiem propagaci zaburzeń. W przypadku aalizowaia obciąŝeń dyamiczych geeruących się z brzegów kostrukci istiee potrzeba wyzaczeia rozwiązaia w apręŝeiach, odkształceiach i przemieszczeiach w obszarze zaburzoym i iezaburzoym. Obszary te oddzieloe są ruchomym frotem, a którym mogą występować pewe ieciągłości zaleŝe od sposobu zadaia obciąŝeia i modelu odkształceiowego materiału. Występue koieczość opisu odbicia rozwaŝaego frotu falowego od brzegów przemuących obciąŝeie dyamicze. Charakter tego odbicia zaleŝy od modelu mechaiczego brzegu. Z powyŝszego wyika, Ŝe Autor odpowiedzialy za korespodecę. p.szkleik@doktoraci.pb.edu.pl 69

2 Civil ad Evirometal Egieerig / Budowictwo i IŜyieria Środowiska (00) reakca kostrukci w uęciu mechaiki falowe ma iy charakter iŝ reakca właściwa dyamice kostrukci. Rówaia dyamicze rówowagi dla dyamiki kostrukci i dla mechaiki falowe są a ogół róŝe w przypadkach rozwaŝaia zachowaia elemetów kostrukcyych. W odiesieiu do prętów obydwa podeścia bazuą a tych samych rówaiach, eŝeli rozwaŝamy reakcę wzdłuŝą prętów pod wpływem poosiowych sił dyamiczych. Celem pracy est porówaie wyików uzyskaych w oparciu o sformułowaie mechaiki falowe i dyamiki kostrukci a przykładzie pręta poddaego gwałtowie przyłoŝoe, wzdłuŝe sile brzegowe. Wyiki uzyskao stosuąc kosekwetą dla przestrzei i czasu metodę róŝicową. W metodzie te stosowao róŝe schematy całkowaia problemu względem czasu. Wskazao róŝice ilościowe i akościowe uzyskaych rozwiązań, obemuące reakcę pręta w ego wętrzu oraz efekty odbić od brzegów swobodego i sztywo umocowaego.. Zastosowae metody obliczeń Poszukuemy reakci pręta spręŝystego sztywo zamocowaego a brzegu B, obciąŝoego siłą P(t) = cost. (rys. ). Pręt zdyskretyzowao dzieląc go a masy skupioe ( m ) połączoe elemetami spręŝystymi (S i ). Przyęto gęstość i moduł Youga materiału odpowiedio: ρ = 500 kg/m 3 i E = 30 GPa, długość pręta L = 0 m, pole przekrou pręta A = 0,0 m, wartość siły obciąŝaące P = 000 N, ilość mas skupioych K = 49, oraz współczyik określaący stosuek wielkości masy skupioe a brzegu do masy wewętrze γ = 0,5 lub γ =,0, zaleŝie od przyętego schematu całkowaia w czasie. Rys.. Schemat modelu obliczeiowego Drgaia podłuŝe oraz reakca falowa pręta est opisaa rówaiem róŝiczkowym typu przemieszczeiowego: L ( u) = 0 () gdzie operator róŝiczkowy L = + δ c, u u( x, t) t t x = ozacza przemieszczeia, δ ozacza współczyik tłumieia, a prędkość fali podłuŝe W pracy (Timosheko i Goodier, 96) przedstawioa est metoda uzyskiwaia rozwiązaia aalityczego rozwaŝaego problemu falowego. Rozwiązaie est kostruowae z podziałem a fazy. W poszczególych fazach aalizue się kolee froty fal odbitych od brzegów pręta oraz wzaeme akładaie się tych frotów. Wykorzystaie takie metody est uciąŝliwe. Jedocześie moŝa zaleźć w literaturze rozwiązaie problemu dyamiki aalizowaego pręta (Nowacki, 97). Drgaia podłuŝe są opisae ieskończoym szeregiem. W aalizowaym przypadku zbieŝość tego szeregu est edak wraŝliwa a współrzędą połoŝeia rozwaŝaego przekrou pręta. Z tego powodu będziemy poszukiwać efektywego rozwiązaia umeryczego. Rozwiązaia róŝicowe skostruuemy przymuąc mały krok t = t + - t i astępuące schematy całkowaia względem czasu: bezpośredią metodę róŝicową awą (MRJ), metodę róŝicową ieawą (MRN), metodę θ Wilsoa (Mθ W). Wymieioe schematy róŝią się w swoe istocie zakładaym profilem zmia przyspieszeia podczas trwaia kroku czasowego i w chwili prześcia do kroku astępego... Metoda róŝicowa awa (MRJ) model dyskrety dla uęcia falowego z puktem kolokaci w chwili t Zagadieie modelowaia dyskretego procesów falowych w prętach warstwowych opisao w pracach Bąka i Szcześiaka (986, 987). Algorytm umeryczego opisu procesu falowego według bezbłęde aproksymaci róŝicowe dla pryzmatyczych prętów odcikowo edorodych przedstawioy est w pracy (Bąk i Szcześiak, 986). Algorytm wykorzystue awy schemat róŝicowy z dokładym odzwierciedleiem prędkości fali podłuŝe w poszczególych odcikach pręta. Umue o poprawe spełieie waruków odbicia fali apręŝeń od brzegu wolego oraz idealie sztywego. Poadto moŝliwe est wyzaczeie efektu załamaia się fali a graicy ieedorodości materiałowe. Omówieie błędów w czasie w iedokładych opisach propagaci frotów fal apręŝeń moŝa zaleźć w pracy Bąka (994). Zastosowaie awego schematu całkowaia rówaia () z puktem kolokaci w chwili t prowadzi (przy δ = 0) do postaci róŝicowe (Bąk i Szcześiak, 986): + u u + u u + u + u c = 0 () t x gdzie u = u( x, t), = 0,,,..., K i = 0,,,..., N. Rekurecye rozwiązaie rówaia róŝicowego () moŝa przedstawić ako c = E ρ + u = T ( t, x) u (3) 70

3 Paweł SZKLENNIK gdzie T( t, x) est operatorem róŝicowym wykorzystywaym do wyzaczaia rozwiązań w określoych puktach siatki czasoprzestrzee. Zakładamy, Ŝe przyspieszeie est stałe w przedziale czasu (t, t + ) i zmieia się skokowo po prześciu chwili t +. Kryterium stabilości metody zgodie z (Bąk i Szcześiak, 986) ma postać c t/ x, więc krytycza wartość kroku czasowego t crit = x/c. Fukcoowaie mechaiczego modelu dyskretego przedstawioego a rysuku opisuą rówaia (Bąk i Szcześiak, 986):.. u& + P = u m P + + = u + u& t brzegowym. W algorytmie obliczeiowym obciąŝeie brzegowe realizowao w kaŝde chwili t poprzez wprowadzeie fikcyego węzła (masy). Przemieszczeie tego węzła zadawao w postaci: u 0 = u P x EA.3. Metoda θ Wilsoa (Mθ W) W ieawe procedurze całkowaia określae ako θ Wilsoa w celu uzyskaia rozwiązań dla chwili t + t wykorzystuemy waruki rówowagi zapisae w chwili t +θ t, gdzie θ,0 (Bathe, 98). W procedurze te zakłada się liiową zmieość przyspieszeia od chwili t do chwili t +θ t (rys. ). 3. u + + = u + u + + u u 4. P + + = EA x gdzie u + est przyrostem przemieszczeia -te masy według parabolicze aproksymaci względem czasu, m est to ieodkształcala masa wyzaczoa ze wzoru + m = Ac tρ, u est to przyspieszeie -te masy w chwili t +. Bezbłęde fukcoowaie tego modelu zaleŝy rówieŝ od odpowiediego sformułowaia waruków brzegowych i początkowych. W przypadku masy brzegowe modelu rówe 0,5 m przy ruchu falowym opisywaym co krok czasowy t, zgodie z zapropoowaym w (Bąk i Szcześiak, 986) sposobem modelowaia obciąŝeia, zadae obciąŝeie aproksymowao z iedomiarem, przymuąc w chwili początkowe (t = ) wartość siły wymuszaące P p = 0,5P. Jest to iezbęde w celu uzyskaia w pierwszym elemecie spręŝystym prawidłowe wartości siły Rys.. Zmieość przyspieszeia w metodzie θ Wilsoa (Bathe, 98) Szczegółowy opis algorytmu uŝytego do obliczeń zaleźć moŝa w pracy Bathe (98). Metoda θ Wilsoa est bezwarukowo stabila eŝeli stosue się ą z parametrem θ,37 (Bathe, 98). Na rys. 3 przedstawioo porówaie wyików umeryczych uzyskaych dla róŝych parametrów θ a przykładzie zmia siły w pierwszym elemecie spręŝystym (P ), przyęto γ =,0 oraz t = t crit... Metoda róŝicowa ieawa (MRN) z puktem kolokaci w chwili t + ogóle uęcie dyamiki Aalizoway schemat est właściwy do opisu dyamiczego zachowaia rozwaŝaego pręta. W tym przypadku aproksymuąc rówaie () doprowadza się e do postaci róŝicowe: + + u u + u u u + δ t t u + u + u c = 0 x (4) Nieawy schemat róŝicowy powodue, Ŝe uŝ od pierwszego kroku czasowego reakca występue we wszystkich węzłach pręta. Ozacza to, Ŝe schematem tym ie moŝa poprawie opisać rozprzestrzeiaia się zaburzeń w pręcie wywołaych oddziaływaiem Rys. 3. Przebieg zmia siły w pierwszym elemecie spręŝystym (P ) przy róŝych wartościach parametru θ Wyika z tych wykresów, Ŝe aruszeie wymogu bezwarukowe stabilości i przyęcie θ =,0 prowadzi do rozwiązaia słabo zbieŝego z dokładym (gdzie siła ma stałą wartość rówą P(t)), atomiast maksymale róŝice pomiędzy wyikami przy θ =,4 oraz θ =,0 ie przekraczaą kilku procet. 7

4 3. Aaliza wyików umeryczych Na wykresach przedstawioo porówaie wyików otrzymaych trzema opisaymi metodami. Aalizowao rozkłady sił i przemieszczeń a długości pręta po upływie określoe ilości kroków czasowych, a takŝe przebieg ich zmia w czasie. Ze względu a waruek stabilości obliczeia przeprowadzoo przymuąc krok czasowy t = t crit oraz zalecaą wartość parametru θ =,4 w metodzie θ Wilsoa Civil ad Evirometal Egieerig / Budowictwo i IŜyieria Środowiska (00) Rozkłady sił i przemieszczeń a długości pręta w ustaloe chwili t Wykresy rozkładów przemieszczeń a długości pręta (rys. 4-6) świadczą o uzyskaiu prawie idetyczych wyików bez względu a stosowaą metodę obliczeń. Podkreśleia wymaga fakt, Ŝe w MRN i Mθ W w chwili t =40 (rys. 4) uzyskao przemieszczeia a całe długości, mimo Ŝe według MRJ utwierdzoy koiec pręta pozostae iezaburzoy. Poadto przemieszczeia obliczoe Mθ W są a tym końcu zaczie miesze od obliczoych MRN, stąd wykres Mθ W est tu bardzie zbliŝoy do MRJ. W przypadku sił (apręŝeń) zarówo metoda θ Wilsoa ak i róŝicowa ieawa ie daą wyików zgodych z metodą awą (przy t = t crit ). Na obu wykresach obserwuemy sile rozmycie frotów fal (rys. 7-9). MRN i Mθ W wywołuą zaburzeia obemuące cały pręt uŝ podczas pierwszych kroków czasowych i stąd brak tuta typowego procesu falowego. Wyikaący z rozkładu przemieszczeń rozkład siły w chwili t =40 ie dzieli kostrukci pręta a obszar zaburzoy i iezaburzoy ak w MRJ. Rys. 5. Rozkład przemieszczeń w chwili t = 80 (po odbiciu od utwierdzoego końca) Rys. 6. Rozkład przemieszczeń w chwili t = 0 (po odbiciu od swobodego końca) Rys. 7. Rozkład sił w chwili t = 40 (przed odbiciem frotu fali od utwierdzoego końca) Rys. 4. Rozkład przemieszczeń w chwili t = 40 odbiciem frotu fali od utwierdzoego końca) (przed Rys. 8. Rozkład sił w chwili t = 80 utwierdzoego końca) (po odbiciu od 7

5 Paweł SZKLENNIK Rys. 9. Rozkład sił w chwili t = 0 (po odbiciu od swobodego końca) 3.. Porówaie rozkładów sił i przemieszczeń w czasie Rys.. Przebieg zmia siły w końcowym elemecie spręŝystym (P 49 ) Pierwszy elemet spręŝysty (K = ) według wyików MRJ przeosi przez cały czas siłę rówą sile wzbudzaące zaburzeie (rys. 0). Schemat róŝicowy ieawy oraz θ Wilsoa ie oddae w zupełości tego zawiska, ze względu a poawiaące się okresowo skoki siły do wartości większe lub miesze od obciąŝeia zewętrzego. Rys.. Przebieg zmia siły w końcowym elemecie spręŝystym (P 49 ) po upływie czasu t = 3000 t Rys. 0. Przebieg zmia siły w pierwszym elemecie spręŝystym (P ) Aalizuąc zmiay siły w końcowym elemecie spręŝystym (K = 49) (rys. ) podczas pierwszych 350 kroków czasowych moŝa stwierdzić, Ŝe zarówo metoda ieawa ak i θ Wilsoa tylko w przybliŝeiu odzwierciedlaą charakter przemieszczaia się fali podłuŝe w pręcie. ZauwaŜa się poadto, Ŝe MRN w przeciwieństwie do MRJ czy Mθ W wprowadza do układu efekt tłumieia pasoŝyticzego, mimo Ŝe w obliczeiach przymowao δ = 0. Po upływie koleych okresów T = l/c wykres siły w pręcie według MRN dąŝy do wartości rówe brzegowe sile wymuszaące. Efekty tego procesu geeruącego się w procedurze umerycze przedstawioe są a rysuku i ie występuą oe w pozostałych metodach. Tak więc prowadząc obliczeia MRN przy δ = 0 ie uzyskue się modelu fali przekazywae pomiędzy masami, tylko model, w którym wywołae zaburzeie stopiowo zaika i problem dyamiki dąŝy do stau rówowagi statycze, gdzie siła w całym układzie będzie rówa sile wymuszaące. Itesywość tłumieia (wyraŝoa ako logarytmiczy dekremet tłumieia) w MRN est zróŝicowaa a długości pręta. MoŜa e poadto wyelimiować uwzględiaąc w schemacie obliczeiowym odpowiedi współczyik uemego tłumieia, którego wartość w aalizowaym przypadku wyosi w przybliŝeiu δ = -85s -. Wprowadzaąc te współczyik udae się uzyskać wyiki zbliŝoe do metody θ Wilsoa rówieŝ w długim okresie czasu (rys. 3). Trzeba oczywiście podkreślić, Ŝe oba schematy obliczeiowe ie opisuą ideale postaci falowego charakteru zaburzeia. 73

6 Civil ad Evirometal Egieerig / Budowictwo i IŜyieria Środowiska (00) Literatura Rys. 3. Przebieg zmia siły w końcowym elemecie spręŝystym (P 49 ) po upływie czasu t = 3000 t przy wprowadzoym współczyiku tłumieia uemego w MRN Aalizę powstawaia tłumieia pasoŝyticzego w róŝych schematach całkowaia umeryczego przedstawioo w pracy Lagera (979). Wskazao tam, Ŝe ego przyczyą moŝe być ieadekwatość formy róŝicowe dla wyściowego rówaia róŝiczkowego. Bathe K J. (98). Fiite elemet procedures i egieerig aalysis. Pretice-Hall, Ic., Eglewood Cliffs, New Jersey. Bąk G. (994). Discrete Modellig of Soil-Structure Iteractio Uder Dyamic Loadig w: Proceedigs of the First Cogress o Computig i Civil Egieerig, Washigto, D.C., Jue 0-, 994, Bąk G., Szcześiak Z. (986). Bezbłęda aproksymaca róŝicowa edowymiarowego problemu falowego w prętach warstwowych. Biulety Woskowe Akademii Techicze im. J. Dąbrowskiego, Rok XXXV, r, Bąk G., Szcześiak Z. (987). Metoda modelowaia dyskretego procesów falowych w spręŝystych warstwowych prętach iepryzmatyczych. Rozprawy iŝyierskie, 35, r, Lager J. (979). Tłumieie pasoŝyticze w komputerowych rozwiązaiach rówań ruchu. Archiwum IŜyierii Lądowe, Tom XXV, 3/979. Nowacki W. (97). Dyamika budowli. Arkady, Warszawa. Timosheko S., Goodier J.N. (96). Teoria spręŝystości. Arkady, Warszawa. 4. Wioski W pracy pokazao, Ŝe kostruowaie dokładych rozwiązań problemu falowego ie moŝe być dokoywae schematyzacami właściwymi problemom dyamiki. Właściwym schematem umeryczym do opisu propagaci fal est awa metoda róŝicowa (MRJ). Idealie dokłady opis propagaci fal wymaga teŝ zachowaia waruku a krytyczy krok czasowy. Wyiki uzyskiwae schematem całkowaia θ Wilsoa ie odbiegaą zacząco od MRJ, ale występue tu wyraźe rozmycie frotów fal apręŝeń. Schemat ieawy (MRN) podczas pierwszego okresu T geerue rezultaty w duŝym stopiu zbieŝe z MRJ edak w dalszych okresach występuące tu tłumieie uiemoŝliwia poprawy opis poruszaących się wewątrz pręta frotów fal podłuŝych. Podsumowuąc moŝa stwierdzić, Ŝe wybór sposobu sformułowaia problemu pomiędzy podeściami mechaiki falowe albo dyamiki rzutue a wyiki aaliz. JeŜeli wyiki tych aaliz dotyczą apręŝeń, to sposób podeścia est bardzo istoty, szczególie z uwagi a wyzaczaie efektów odbić. Natomiast przemieszczeia, ogólie iestacoare, są mie wraŝliwe a typ sformułowaia. NUMERICAL ANALYSIS OF THE BOUNDARY LOADED BAR IN THE APPROACH OF WAVE MECHANICS AND DYNAMICS Abstract: I the paper solutios of a bar loaded istatly with the legthwise force are preseted. The results were obtaied usig the cosistet for space ad time differece method. The problem was solved i the accordace with the approaches for both wave mechaics ad dyamics i order to illustrate the differeces betwee these solutios. The itegratio of the equatio of dyamic equilibrium, idetical i both formulatios, was performed usig various time itegratio schemes. The explicit, implicit ad the θ-wilso schemes were aalysed. The explicit scheme eables a accurate descriptio of the stress wave propagatio ad the effects of the wave reflectio o fixed ad free edge. The implicit scheme eables a appropriate descriptio of dyamic bar behavior but i the loger time period it geerates sigificat effects of spurious dampig. The θ-wilso scheme correctly presets the form of the bar s wave reactio but the frots of the stress waves are dispersed i compariso to the explicit method. Artykuł zrealizowao w ramach pracy statutowe S/WBiIŚ//08 74