IDENTYFIKACJA STANU DYNAMICZNEGO MASZYN

Transkrypt

1 ...bd pogodny, a dotrwasz do koca podróy... ROZDZIAŁ V IDENTYFIKACJA STANU DYNAMICZNEGO MASZYN. WSTP. DRGANIOWY OPIS STANU MASZYNY 3. METODA ELEMENTÓW SKOCZONYCH 4. IDENTYFIKACJA PROSTA I ZŁOONA 5. METODYKA BUDOWY MODELU DYNAMICZNEGO

2 . WSTP Wykorzystani podstaw modlowania obiktów tchnicznych w praktyc inynirskij prowadzi wprost do pomiarów drga maszyn, któr dobrz odzwircidlaj ich stan dynamiczny. Praktyczn wykorzystani drga umoliwia opis stanu dynamiczngo maszyn za pomoc uszkodzniowo zorintowanych rónych symptomów drganiowych. Obraz drganiowy maszyny nowj i po pwnym okrsi uytkowania daj podstaw wnioskowania o rodzajach zuy, dominujcych ródłach wymusz, co pozwala na modrnizacj konstrukcji. Tchnicznymi obiktami diagnostyki wibroakustycznj nazywamy gnrujc hałas lub drgania maszyny, urzdznia (lub ich podzspoły), lini tchnologiczn, pojazdy itp. Wibroakustyczna diagnostyka tchniczna, bdca jdn z wilu mtod diagnostycznych ma na clu okrlni klasy stanu nizdatnoci (lub zuycia) dango obiktu tchniczngo lub jgo lmntu. Okrlni klas stanów wibroakustycznych odpowiadajcych rónym stanom urzdznia, mo by przydatn równi do automatyzacji urzdz i procsów tchnologicznych o trudno mirzalnych, poza akustycznych paramtrów strujcych. Dla obiktów prostych dobrym narzdzim ocny zminiajcgo si ich stanu dynamiczngo s mtody idntyfikacji prostj, wykorzystujc widmo amplitudowo czstotliwociow. Poszukiwani czstoci rzonansowj i wartoci amplitudy w tj czstotliwoci za pomoc tstów: impulsowgo, harmoniczngo i przypadkowgo s stosunkowo dobrz opanowan w tchnikach badawczych naszych przdsibiorstw. Innym sposobm opisu i analizy stanu dynamiczngo maszyn jst analiza modalna, stosowana jako tortyczna, ksprymntalna i ksploatacyjna analiza modalna. Wykorzystuj ona czstoci drga własnych i postaci drga do opisu zminiajcgo si stanu maszyn oraz słuy do doskonalnia mtody lmntów skoczonych [69,7]. W tym rozdzial omówiono pokrótc główn lmnty zasygnalizowanych zagadni, wyróniajc zagadnini wibrodiagnostyki maszyn oraz przytaczajc wil informacji z praktycznych bada obiktów tchnicznych.. DRGANIOWY OPIS STANU MASZYNY Diagnostyka drganiowa to zorganizowany zbiór mtod i rodków do ocny stanu tchniczngo (jgo przyczyn, wolucji i konskwncji) systmów tchnicznych, przy wykorzystaniu procsów drganiowych lub sygnału hałasu. W wikszoci przypadków s to systmy działaniow, clowo zaprojktowan dla wykonania okrlonj misji, gnrujc lub transformujc informacj drganiowo-hałasow, któr s wykorzystywan do ocny ich stanu tchniczngo [4,4,34,7]. Potrzba stosowania diagnostyki drganiowj znajduj swoj uzasadnini w modlu dstrukcji obiktu, uwzgldniajcgo zwizk zaawansowania zuycia proporcjonalny do nrgii dyssypacji, wicy si z czasm istninia obiktu, poziomm konstrukcji, nowoczsnoci tchnologii wytwarzania, intnsywnoci uytkowania oraz jakoci obsługiwa tchnicznych. Patrzc synttyczni na ogół moliwych zastosowa diagnostyki drganiowj w koljnych fazach istninia obiktu, trzba wyróni potrzb znajomoci widzy o obikci, o sygnałach, syndromach i symptomach oraz lmnty torii dcyzji w zakrsi wnioskowania diagnostyczngo, nizbdnych do prawidłowj ocny stanu obiktu.

3 . Charaktrystyka procsów wibroakustycznych Wibroakustyka jst dzidzin widzy zajmujc si wszlkimi procsami drganiowymi, akustycznymi i pulsacyjnymi zachodzcymi w przyrodzi, budownictwi, tchnic, maszynach, urzdzniach, rodkach komunikacji i transportu, a wic w rodowisku. Zrby wibroakustyki powstały ponad wir wiku tmu, wic si z dynamicznym rozwojm nowoczsnych maszyn i urzdz, któr wygnrowały now zadania i obszary moliwych zastosowa procsów wibroakustycznych. Do zada wibroakustyki zaliczy mona [Engl, 993]: - idntyfikacj ródł nrgii wibroakustycznj, która polga na zlokalizowaniu poszczgólnych ródł w obrbi obiktu, maszyny, czy rodowiska, okrlni charaktrystyk i współzalnoci pomidzy poszczgólnymi ródłami, okrlni mocy wibroakustycznj, a tak charaktru gnracji drga i dwików; - opracowani dróg propagacji nrgii wibroakustycznj w rzczywistych konstrukcjach i rodowisku (budowlach, maszynach, obiktach itp.), opracowani torii prznosznia i transformacji nrgii, opracowani birnych i czynnych kontroli zjawisk, opracowani mtod analizy i bada na pograniczu falowgo i dyskrtngo ujcia zjawisk; - opracowani mtod kontroli nrgii wibroakustycznj (misji, propagacji, imisji) w maszynach i rodowisku, a tak opracowani mtod strowania tymi zjawiskami co łczy si z rozwijanymi w cały wici mtodami aktywnymi; - wykorzystani sygnałów wibroakustycznych dla clów diagnostyki tchnicznj, gdy s on dobrym nonikim informacji o stani obiktu o raz ralizowanym procsi tchnologicznym (diagnostyka wibroakustyczna); - syntza wibroakustyczna maszyn i obiktów, prowadzona dla uzyskania optymalnj aktywnoci wibroakustycznj, objmujca: a). syntz paramtrów opisujcych pola akustyczn, wzgldni syntz wilkoci wibroakustycznych stosowanych w aktywnych mtodach rdukcji drga i hałasu oraz syntz dwików w akustyc mowy; b). syntz maszyn i obiktów, przz co rozumi si syntz strukturaln, kinmatyczn i dynamiczn prowadzc do uzyskania optymalnj aktywnoci wibroakustycznj; - czynn zastosowania nrgii wibroakustycznj. Procsy wibroakustyczn to ni tylko procsy szkodliw, czy pasoytnicz. Zastosowan clowo mog by fktywnym nonikim nrgii, która wykorzystana mo by do ralizacji rónorodnych procsów tchnologicznych. Poczwszy od spawania ultradwikowgo, czyszcznia ultradwikowgo, poprzz transport matriałów i lmntów maszyn na liniach tchnologicznych, do zagszczania mas formirskich, wybijania i czyszcznia odlwów, a do zagszczania gruntów i btonów. Zwizan jst to z kontrolowanym wykorzystanim nrgii wibroakustycznj w tchnic przy warunku maksymalnj fktywnoci nrgtycznj i minimalnych zakłócniach zwntrznych. Mimo małj sprawnoci mchaniczno-akustycznj w wikszoci maszyn, urzdz i rodków transportu zagadninia wibroakustyczn s istotn z wzgldu na mał dyssypacj nrgii w tworzywi konstrukcyjnym (drgania) oraz otaczajcym rodowisku (dwiki). Std t przy małj sprawnoci akustycznj łatwo zachodzi zagroni hałasm rodowiska pracy i ycia człowika, a tak zagronia wibracyjngo dla innych maszyn i konstrukcji. Produkcja maszyn i urzdz cichobinych zwizana jst z wysok prcyzj ich wykonania, odpowidni klas pasowa współpracujcych lmntów, odpowidnim doborm matriałów, co w zasadniczy sposób wpływa na ich jako, nizawodno i trwało. Procs wibroakustyczny przdstawiony mo by jako: - gnracja sił zminnych w czasi, działajcych na struktur i otaczajc rodowisko; - propagacja i transformacja nrgii w strukturach i płynach oraz lmntach rodowiska; - prominiowani dwików poprzz lmnty strf rodowiska i struktur mchanicznych.

4 W analizi procsów wibroakustycznych birz si pod uwag nastpujc aspkty: - czasowy i przstrznny rozkład przbigu nrgii pochodzcj z ródła (pirwotngo), - odpowid układu (struktura, płyn) oraz prznoszni przz propagujc mdia, - współzalno pomidzy ródłami. Badania procsów wibroakustycznych s w wilu przypadkach bardzo skomplikowan, w szczgólnoci gdy bada si t procsy wystpujc w rzczywistych układach fizycznych. Badania tych procsów odbywaj si na drodz tortycznj, przy zastosowaniu rónych mtod oraz na drodz dowiadczalnj. W ostatnich latach coraz czcij do analizy procsów wibroakustycznych znajduj mtody nrgtyczn. Tworzni bowim bilansu nrgtyczngo wszlkich zjawisk fizycznych wystpujcych w rodowisku pozwala na równoczsny zapis rónych nrgii wystpujcych w tym rodowisku. Przy badaniach rzczywistych układów (maszyny, urzdznia, konstrukcj, budowl) podstawowym problmm jst okrlni wartoci nrgii wibroakustycznj magazynowanj, rozpraszanj i prznoszonj przz poszczgóln lmnty tych układów. Znajomo tych wilkoci słuy ocni wytnia matriału, zmcznia, bada diagnostycznych oraz prdykcji hałasów, a tak ułatwia projktowani lmntów układu (np. wibroizolacji). Kady rzczywisty układ fizyczny dzili si na prost lmnty, połczon w róny sposób o rónych właciwociach prznosznia nrgii wibroakustycznj. Tworzy si równania bilansu nrgtyczngo wprowadzajc współczynniki strat nrgii, współczynniki prznosznia nrgii, a tak charaktrystyki wjciow. Do bada procsów wibroakustycznych stosowan s równi mtody dyskrtyzacyjn, a szczgólni mtoda lmntów skoczonych (MES), mtody analizy modalnj, mtoda lmntów brzgowych oraz mtoda analizy przpływu mocy akustycznj. Rozwój mtod pomiarowych szczgólni pomiarów wilkoci nrgtycznych w istotny sposób rozszrzyły moliwoci bada prominiowania dwiku przz struktury oraz pozwoliło na obliczni mocy akustycznj prominiowanj do pola dalkigo na podstawi pomiarów w polu bliskim. Rozwinły si mtody badania ilociowj i jakociowj propagacji nrgii wibroakustycznj w przstrzni z złoonymi obszarami granicznymi. Zwizan to było z ocn ilociow nrgii wibroakustycznj gromadzonj w lmntach maszyn i konstrukcji oraz ocny nrgii wyprominiowanj przz t lmnty, a tak nrgii prznoszonj rónymi drogami. Wród mtod dowiadczalnych na spcjaln podkrlni zasługuj mtody natniow (mtody natnia pola akustyczngo, mtody natnia przypowirzchniowgo, mtody natnia matriałowgo). Clm utylitarnym wibroakustyki jst obnini poziomu zakłóc drganiowych i akustycznych maszyn, urzdz, instalacji oraz ich otocznia do minimum, moliwgo na danym tapi widzy i tchnologii. W badaniach procsów wibroakustycznych musimy bra pod uwag m.in. nastpujc aspkty: czasowy i przstrznny rozkład nrgii wibroakustycznj, odpowid układu, współzalnoci midzy ródłami itp. Dlatgo spotykamy si z złoonymi, a nikidy bardzo skomplikowanymi zagadniniami, co ma mijsc szczgólni wtdy, gdy chcmy w sposób komplksowy bada procsy wibroakustyczn wystpujc w rzczywistych układach fizycznych. Std czst poszukiwani nowych mtod badania procsów wibroakustycznych. Procsy wibroakustyczn, jako procsy towarzyszc (rsztkow) funkcjonowaniu maszyn, z punktu widznia zastosowa diagnostycznych s dobrymi nonikami informacji o stani tchnicznym. Zastosowani ich do diagnozowania urzdz mchanicznych wynika z nastpujcych powodów: - procsy wibroakustyczn s odzwircidlnim najistotnijszych zjawisk fizycznych zachodzcych w maszynach (odkształcnia, naprnia, zdrznia lmntów itp.), od których zaly ich poprawn funkcjonowani, co wynika z charaktru rozprzstrzniania si procsu drganiowgo gnrowango w parach kinmatycznych;

5 - łatwo pomiaru procsów wibroakustycznych w warunkach normalnj pracy obiktu, bz konicznoci wyłczania go z ruchu oraz spcjalngo przygotowania, umoliwia bzdmontaow ocn stanu; - procsy wibroakustyczn cchuj si du prdkoci przkazywania informacji w jdnostc czasu, okrlon wzorm Shanon a : N C F lg ( + S ) (5.) N Z zaln od szrokoci widmowj procsu oraz stosunku mocy sygnału uytczngo N S do mocy szumów zakłócajcych N Z ; - procsy wibroakustyczn cchuj si złoon struktur czasow, amplitudow i czstotliwociow, co zapwnia im du ich informacyjno oraz umoliwia ocn stanu całgo urzdznia, jak równi pojdynczych jgo lmntów i zspołów. Chcc w płni skorzysta z informacji o stani dynamicznym maszyny zawartych w mitowanych procsach wyjciowych, naly najpirw zapozna si z mchanizmm ich gnracji oraz z ich charaktrm. Sposób intrprtacji sygnału diagnostyczngo S(t,θ,r) jst w ogólnym przypadku maszyn przdstawiony na rys.5.. Sposób intrprtacji przdstawionych zało dla θ const (przy pominiciu sprz zuyciowych) mona przdstawi nastpujco [Cmpl, 98]. Sygnał pirwotny ϕi(t,θ,r) jst pirwotnym i-tym zdarznim lmntarnym, którgo posta dtrminuj konstrukcja i stan ksploatacyjny maszyny. Dziki T - okrsowmu napdowi jst on przkształcony w cig zdarz lmntarnych opisanych jako sygnał (procs) x(t,θ,r). Tn procs dynamiczny przchodzc przz struktur (korpus) maszyny daj w fkci w punkci odbioru sygnału nowy cig zdarz, przkształcony na własnociach przstrznnych, który jst nowym sygnałm diagnostycznym S(t,θ,r). Stopi uporzdkowania tgo sygnału jako cigu zdarz, mo by podstaw do utworznia mtody diagnostycznj. Miary tgo uporzdkowania mog by rón, lcz musz by on zawsz opart na badaniu podobistwa midzy poszczgólnymi zdarzniami (i,,...). Mog on dotyczy czasu wystpowania okrlongo fragmntu zdarznia (stroboskop), czasu jgo trwania, amplitudy itp. napd u x y T T T T T t t t T - okrsowa transformacja Układ kinmatyczna dynamiczny ϕi(t,θ,r) x(t,θ)σϕi δri h(t,θ,r) SΣh ϕi δri Rys.5. Modl gnracji sygnału w maszynach o ruchu obrotowym [6]. Odbirany w wybranym mijscu korpusu sygnał jst waon sum odpowidzi na wszystki zdarznia lmntarn un (t,θ,r). Funkcj wagi przy tym sumowaniu mog w najprostszym przypadku mi charaktr współczynników an, lcz ogólni bdzi to mnoni splotow (dwukrotn) przz impulsow funkcj przjcia korpusu, od punktu wzbudznia do punktu odbioru. W wilu zatm przypadkach szczgółowych modli gnracji sygnałów, sygnały t mog mi bardzo skomplikowany charaktr, a co za tym idzi mog ni ogromn ilo informacji - ni zawsz konicznych. Powysz rozwaania dowodz, dla maszyn i mchanizmów o prostj strukturz kinmatycznj i funkcjonalnj moliw jst utworzni prostgo i skutczngo modlu

6 gnracji symptomów uszkodznia. Umoliwia on analityczn bd jakociow rozrónini midzy symptomami maszyny zdatnj i narastajcgo na tym tl symptomu uszkodznia. W przypadkach bardzij skomplikowanych modl taki daj mono adaptacji znanych miar sygnału do clów diagnostyki, opracowani nowych miar, a tak analityczn przbadani wraliwoci miar sygnałów lub t clowoci stosowania niktórych opracji prztwarzania sygnałów. Modl taki daj mono zdtrminowango okrlnia rlacji stan - sygnał, a tym samym udzilni odpowidzi na pytani co mirzy? Odrbnym problmm s maszyny o skomplikowanj strukturz konstrukcyjnj i funkcjonalnj, gdzi prost modl gnracji ni zdaj gzaminu z racji dugo poziomu zakłóc. W tych przypadkach rozwizania problmu naly szuka na drodz długotrwałych obsrwacji maszyny, bd poprzz właciw zaprojktowani ksprymntów na grupi obiktów. W wyniku uzyskuj si fkty statystyczngo próbkowania krzywych ycia, z których spcjalizowan procdury statystyczn pozwalaj wyróni miary i charaktrystyki sygnału, przydatn w diagnozowaniu. Nizalni od trudnoci i złoonoci omawianych zagadni, kadorazowo analiza modli gnracji procsów (sygnałów) diagnostycznych winna wskaza miary oraz zakrs ich zminnoci, któr najlpij odzwircidlaj zmiany stanu i zachowani si maszyny w okrlonych warunkach [6,34]..3 Mtodologia bada wibroakustycznych Warto w tym mijscu w uproszczony sposób pokaza ogóln istot diagnostyki wibroakustycznj maszyn, zakładajc poszukiwania zwizków pomidzy stanm maszyny X n, a gnrowanymi sygnałami wibroakustycznymi S m, z pominicim dla prostoty rozwaa innych oddziaływa zwntrznych (rys.5.). X S uszkodznia A (X, S) symptomy n m m n Rys.5. Obsrwacja stanu maszyny X za pomoc symptomów S. Głównym problmm w analizi zminiajcgo si stanu maszyny jst wic wyznaczni sygnału wyjciowgo S na podstawi historii sygnału na wjciu X oraz własnoci układu maszyny A, co mona zapisa zalnoci: X(t,Θ,r) A(r,Θ) S(Θ) + N(t,Θ,r) (5.) W diagnostyc problm tn dotyczy braku jdnoznacznych rlacji przyczynowoskutkowych pomidzy moliwymi przyczynami (zrónicowan zaawansowani rozwijajcych si uszkodz lub rozrgulowa) obsrwowanych skutków (mirzonych sygnałów), któr ni maj zwykl charaktru przyczynowo-skutkowgo. Moliw w tym wzgldzi bardzo rozbudowan modl analityczn, wystpujc najczcij w postaci układów równa róniczkowych i dostatczni dokładni opisujc działani diagnozowanych maszyn, wymagaj rozwiza jdyni na drodz numrycznj, którym dalko jszcz do aplikacji diagnostycznych. Systm pomiarowy dla clów współczsnj diagnostyki wibroakustycznj maszyn składa si z dwóch podstawowych czci: sprztu, w którym wyrónia si jako główn moduły akwizycji oraz oprogramowani, w którgo skład wchodz moduły prztwarzania, archiwizacji i zarzdzania prac systmu.

7 Przdstawiona struktura systmu pomiarowgo wykorzystuj najnowsz rozwizania zarówno sprztow, jak i programow. Taki rozwizania umoliwiaj łatw rozbudow systmu, oraz moliwoci włcznia go do dowolnych struktur systmów diagnostycznych..3. Wybór paramtrów diagnostycznych (rdukcja danych) Zbiór paramtrów diagnostycznych sygnału wyrónia si z zbioru paramtrów wyjciowych, towarzyszcych pracy maszyny. Na ogół przyjmowanymi krytriami wyróniania symptomów s warunki ich nizalnoci, jdnoznacznoci i mirzalnoci. Wyznaczani zbioru wraliwych uszkodzniowo paramtrów diagnostycznych powinno uwzgldnia: zdolno odwzorowania zmian stanu w czasi ksploatacji, ilo informacji o stani tchnicznym przkładni, wraliwo wartoci paramtrów w czasi ksploatacji. Mtody wyznaczania symptomów diagnostycznych s nastpujc: Mtoda maksymalnj wraliwoci paramtru na zmian stanu tchniczngo Mtoda maksymalnj wzgldnj zmiany paramtru diagnostyczngo Mtoda maksymalnj pojmnoci informacyjnj paramtru diagnostyczngo Mtoda maksymalnj zminnoci paramtru diagnostyczngo Zalt powyszych mtod jst to, pozwalaj wybra z zbioru paramtrów wyjciowych jdnolmntow, jak i wilolmntow zbiory paramtrów diagnostycznych. Krytria optymalizacji zbioru paramtrów diagnostycznych:. Paramtry diagnostyczn powinny charaktryzowa procs dstrukcji przkładni i by z nim cil zwizan.. Paramtry diagnostyczn powinny by wraliw na zmiany zachodzcgo procsu pogarszania si zdatnoci przkładni. 3. Liczba paramtrów diagnostycznych ni mo by zbyt dua, gdy znaczna ich liczba utrudnia, a nikidy unimoliwia poznani i okrlni procsu pogarszania si stanu tchniczngo przkładni. 4. Paramtry diagnostyczn powinny mi charaktr mirzalny. 5. Musz istni wiarygodn dan statystyczn i analityczn wyrónianych paramtrów..3. Wilkoci strujc stratgi ksploatacji wg stanu Stan dynamiczny maszyn odzwircidla w chwili badania ich własnoci ksploatacyjn, co pozwala na stosowani nowj stratgii ksploatacji maszyn stratgii ksploatacji wdług stanu tchniczngo. Istota tj stratgii polga na tym, dcyzj ksploatacyjn podjmowan s w oparciu o aktualny stan maszyny. Dla potrzb nowoczsnj stratgii wg stanu koniczn jst okrlni wilkoci strujcych, objmujcych: - dobr symptomy stanu (s, s, s 3...s m ); - wartoci graniczn symptomów: Pg S gr s + σ s A - okrsowo diagnozowania: Pr S t d S (5.3) ( )( gr S m ) Θ m m (5.4) Zanikajc du systmy ksploatacji powoduj pojawiani si maszyn pojdynczych (indywidualnych), co wymusza potrzb indywidualizacji mtod diagnozowania.

8 .4 Pomiary i analiza drga Zasady pomiarów Pomiarm nazywa si procs poznawczy, polgajcy na porównaniu drog dowiadcznia fizyczngo danj wilkoci z pwn jj wartoci przyjt za jdnostk odnisinia. T dfinicj mona rozszrzy, uwzgldniajc, niktór automatyczn przyrzdy pomiarow spłniaj tak zadania wykonawcz. Pomiarm nazywa si wic procs odbioru i przkształcnia informacji o wilkoci mirzonj w clu otrzymania, przz porównani z jdnostk pomiarow, ilociowgo wyniku w postaci przz jj najbardzij wygodnj do odbioru przz organy czucia człowika, przkazania w przstrzni lub w czasi (rjstracji), matmatyczngo opracowania lub wykorzystania do strowania. Przprowadzni takich pomiarów potrzbn jst do : - wyznacznia przbigów drga i ich paramtrów w czasi clm okrnia rodzaju drga, ich wilkoci charaktrystycznych i przprowadznia szczgółowj analizy; - wykrywania ródł drga, tzn. ustalania przyczyny powstawania drga i mijsca ich wystpowania; - ustalania cch charaktrystycznych układów mchanicznych ( np. okrani zminnoci obci w czasi podczas drga i ich zalnoci od paramtrów obiktu, jgo kształtu, wymiarów, własnoci matriałów itp.); - izolowania i zmnijszania drga szkodliwych da nizawodnj pracy urzdz i obsługujcych ludzi; - okrlnia szkodliwoci wystpujcych drga da obsługi urzdz mchanicznych i przprowadznia pwnych zabigów profilaktycznych. Czsto bardzo istotn jst wyznaczni przbigów drga własnych i wymuszonych układów mchanicznych. Tylko dla prostych układów mona t przbigi okrli analityczni. Dla bardzij złoonych układów przbigi t s wynikim suprpozycji drga własnych i trzba j wyznaczy ksprymntalni na podstawi pomiarów w rónych punktach układu. Przbigi drga własnych zal od warunków pocztkowych i paramtrów mchanicznych dango układu. Przbigi drga wymuszonych s uzalnion od zmian wymusznia w czasi. Na podstawi otrzymanych przbigów drga mona okrli ich rodzaj (okrsow, przypadkow, ni ustalon itp.) i przprowadzi analiz. Clm analizy jst otrzymani informacji o paramtrach drga dango układu. Wanym zagadninim jst wyznaczni wzłów drga (punktów, linii lub powirzchni, któr ni bior udziału w drganiach) i punktów, których amplitudy drga dla danj czstotliwoci s najwiksz. Zbiór amplitud drga poszczgólnych punktów układu przdstawia kształt (przbig) drga. Zagadninia t s przdmiotm analizy gomtrycznj. Analiza czasowa polga na okrlniu, w jaki sposób zminiaj si w czasi poszczgóln wilkoci (przmiszczni linarn, prdko, przypiszni, odkształcni itp.). Jli zmiany s okrsow, to wyznacza si tak ich czstotliwo. Jli zmiany maj charaktr przypadkowy, to do analizy stosuj si mtody statystyczn. Intrsujc wnioski mona wycign tak na podstawi analizy czstotliwociowj, tzn. okrlniu zmian charaktrystycznych wilkoci i paramtrów w funkcji czstotliwoci. ródła drga mog powstawa z przyczyn konstrukcyjnych (np. mchanizmy korbow, krzywkow i inn wykonujc ruchy, napdy maszyn wibracyjnych), tchnologicznych (nidokładnoci wykonania i montau maszyny, np. niwywani mas wirujcych, owalizacj łoysk i czci obrotowych, nipodan luzy i inn wady) lub ksploatacyjnych (w wyniku zuycia si lmntów i znikształc powirzchni stykajcych si w czasi ruchu).

9 Przprowadzajc pomiary drga poszczgólnych lmntów badango obiktu mona znal podzspół, który jst ródłm szkodliwych drga. Przz jgo wymian czsto mona zmnijszy drgania całgo obiktu. Stosunkowo łatw jst wykrywani drga bdcych wynikim wymusznia kinmatyczngo, tzn. wywołanych wskutk ruchu dango lmntu (np. drgania wskutk ruchu samochodu po nirównj drodz), lub wymusznia dynamiczngo, tzn. wskutk działania na dany lmnt sił zwntrznych lub sił bdcych wynikim oddziaływania innych podzspołów. Warto siły mo zminia si (okrsowo lub ni okrsowo) lub by stała, a zminia si w czasi mo tylko jj kirunk lub punkt przyłonia (np. siły odrodkow powstał w wyniku ruchu obrotowgo ni wywaonj masy). Trudnijsz jst wykrywani drga samowzbudnych, których przyczynami s przwani zminn opory tarcia, siły hydro- i arodynamiczn lub wystpowani sprz zwrotnych i drga paramtrycznych, których przyczyn czsto jst okrsowa zminno sztywnoci lmntów. Wyznaczani zminnoci obci pod wpływm drga pozwala okrli wystpujc naprnia i odkształcnia bdc wynikim sił zwntrznych i sił bzwładnoci. Mirzc w mijscach działania obci, w mijscach połcz itp. wystpujc siły i momnty mona otrzyma przbig obci dynamicznych poszczgólnych lmntów obiktu [4,47,58,8]. Za pomoc pomiarów drga mona bada wpływ wymiarów i kształtów lmntów (a tym samym masy, sztywnoci itp.), sposobów mocowania i matriałów na paramtry drga. Wystpujc drgania obiktów, z wyjtkim układów tchniki drga, s szkodliw. Zakłócaj on prawidłow prac urzdz, powodujc ich szybki zuywani oraz straty nrgtyczn. Jli wystpuj drgania, wówczas dy si do ustalnia przyczyny i zlokalizowania ich, a nastpni zmnijsznia. Jli ni da si zmnijszy drga, wówczas stosuj si lmnty izolacyjn, któr powoduj ich tłumini. Pomiary drga polgaj na mirzniu pwnych wilkoci fizycznych, charaktryzujcych drgania obiktu. Do takich wilkoci zalicza si przmiszczni, prdko i przyspiszni. Przmiszczni punktu okrla jdnoznaczni wktor przmiszcznia s. Przy pomiarach wktora s okrlamy jgo współrzdn s x, s y lub s z. Drgania obiktu mona okrli wktorm chwilowych wartoci prdkoci. Dla wyznacznia wktora naly pomirzy jgo składow: x, y, z. Pomiary prdkoci s clow w wilu przypadkach. Wiadomo na przykład, siły działałc mog by zaln od prdkoci. Zjawisko to wystpuj przy siłach tarcia. Pomiar prdkoci drga jst tak clowy przy badaniu ich oddziaływania na organizm ludzki. Naly pamita, amplituda prdkoci czstki drgajcj harmoniczni równa jst amplitudzi przmiszcznia pomnoongo przz czstotliwo ktow ϖ. Ruch drgajcy mona okrli tak wktorm chwilowgo przyspisznia a. Wktor tn mona wyznaczy przz pomiar jgo współrzdnych: a x, a y, a z. Przyspiszni jst proporcjonaln do działajcj siły, w zwizku z tym dla jdnoznaczngo scharaktryzowania drga mona mirzy przypiszni wyznaczajc połoni dango punktu i przyspiszni okrlajc oddziaływujc na obikt sił. Amplituda przypisznia kadj składowj widma równa si amplitudzi przmiszcznia pomnoonj przz czstotliwo ktow do kwadratu. Im wysza jst harmoniczna przbigu drga, tym bardzij jst ona odzwircidlana w widmi przyspisznia. Jak wiadomo, szrgi Fourira dla pochodnych rozkładanj funkcji s tym wolnij zbin, im jst wyszy rzd pochodnj. Poniwa amplitudy przypisz wyszych harmonicznych s du, wic do pomiarów naly uywa aparatur posiadajc szroki zakrs czstotliwoci pracy. Przy pomiarach przmiszcz wymagania dotyczc zakrsu czstotliwoci s mnijsz, poniwa amplitudy wyszych harmonicznych s pomijaln. Naly zaznaczy, w niktórych przypadkach przbigi przmiszcz mog by prawi sinusoidaln, prdkoci odkształcon, a przypisznia mog mi charaktr przypadkowych procsów.

10 Dla kadj z trzch wyj wyminionych wilkoci mona mirzy jj wartoci chwilow, rdni lub szczytow. Najpłnijsz informacj daj zapis wartoci chwilowych w funkcji czasu. Pomiary wartoci rdnich przprowadza si wtdy, gdy chodzi nam o ogóln, urdnion informacj o danych drganiach. W niktórych układach s wprowadzon ogranicznia odnoni do maksymalnych chwilowych wartoci drga. Dla ich wyznacznia wystarczy mirzy szczytow wartoci drga. Czsto zaly nam na okrlniu czstotliwoci wystpujcych drga. Przy drganiach harmonicznych czstotliwo mona wyznaczy bardzo łatwo, np. z widma chwilowych wartoci przmiszcz. Mona tak zmirzy j bzpordnio mirnikim czstotliwoci. Dla drga okrsowych, al ni harmonicznych, wymagan jst czsto okrlni czstotliwoci podstawowj (drgania harmoniczngo o najniszj czstotliwoci). Bzpordni wyznaczni jj z widma jst przwani nimoliw i naly w tym clu zastosowa spcjaln aparatur (filtry przstrajan lub przłczan) albo przprowadzi analiz przbigu analityczni (szrg Fourira). Dla płngo obrazu wystpujcych czstotliwoci naly przprowadzi szczgółow analiz i wyznaczy dyskrtn widmo drga. Jli wystpuj drgania niokrsow, widmo drga jst cigł. Wyznaczni tgo widma wymaga skomplikowanj aparatury pomiarowj. Przy drganiach przypadkowych wymagany jst pomiar rozkładów prawdopodobistw, który najpłnij charaktryzuj zachodzcy procs. Z wzgldu na to, pomiar tn jst bardzo skomplikowany, czsto ogranicza si do pomiaru funkcji korlacyjnj drga. Funkcja ta pozwala wyznaczy paramtry pirwszgo i drugigo rzdu drga przypadkowych. Na podstawi przkształcnia Fourira z funkcji korlacyjnj mona wyznaczy gsto widmow mocy procsu. Za pomoc odpowidnij aparatury mona bzpordnio wyznaczy widmo amplitudow. Pomiar widma fazowgo jst rzadko wymagany. Przy drganiach wywołanych impulsami czsto wymaga si okrlnia nachylnia czoła i czasu trwania działajcych impulsów. Jli impulsy wystpuj okrsowo, to okrla si ich czstotliwo. Układ pomiarowy słuy do prztworznia ruchu drgajcgo badango obiktu na wskazania mirnika lub na posta dogodn do rjstracji. Na obikci, którgo drgania maj by mirzon, mocuj si czujniki. S on prztwornikami wilkoci wjciowj (drga) na sygnał wyjciowy informujcy o mirzonj wilkoci. Prztworniki przkształcaj drgania mchaniczn na inn posta drga mchanicznych lub na drgania lktryczn. Jli przwody łczc czujniki z pozostał aparatur s długi, wówczas dla zapwninia lpszych warunków pomiaru stosuj si wtórniki katodow. Zadanim ich jst dopasowani linii do czujnika. Sygnał wyjciowy z wtórnika katodowgo doprowadza si do pozostałj aparatury pomiarowj liniami połczniowymi. Urzdzni dodatkow mo zawira rón zspoły w zalnoci od wybranj mtody pomiarowj, stosowanych czujników, mirzonych wilkoci i paramtrów, własnoci drga oraz wymaganj postaci sygnału wyjciowgo. Mog tutaj wchodzi mostki, rón rodzaj wzmacniaczy, układy całkujc lub róniczkujc itp. w zalnoci od tgo, czy przwiduj si bzpordni odczyt, czy przbig ma by rjstrowany, stosuj si mirniki wskazówkow lub rjstratory. Jako rjstratorów uywa si wilokanałow oscylografy ptlicow, wilostruminiow oscylografy z kamrami fotograficznymi lub magntofony pomiarow. w niktórych przypadkach zamiast przyrzdów wskazówkowych lub rjstratorów uywa si analizatorów, któr przprowadzaj od razu analiz drga i podaj gotow wyniki. Gdy s przprowadzan pomiary układów, w pobliu których z wzgldu na bzpiczstwo ni mo znajdowa si człowik, wówczas stosuj si zdaln strowani [3,6,4,4,5,7,34].

11 .5 Badania drganiow przkładni zbatj Wyboru symptomów diagnostycznych i ocny ich wraliwoci na modlowan zmiany stanu dokonano w wyniku przprowadznia ksprymntu czynngo z uycim modlu przkładni zbatj DMG- [wykonanj w ITE Radom]. Eksprymnt czynny polgał na clowj zmiani dostpnych cch stanu (przyczyn) i obsrwacji paramtrów drga (skutków), jaki t zmiany powoduj. Dla badango modlu przkładni zbatj (rys.5.3), skonstruowano wktor cch stanu przkładni z uwzgldninim wszystkich moliwych kombinacji uszkodz: stan brak uszkodz przkładnia zdatna ( cchy stanu w normi), stan uszkodzni lmntu ( niktór cchy poza norm),... - moliw kombinacj programowanych uszkodz i rozrgulowa, stan n stan rozrgulowania ( wszystki cchy stanu poza norm). Pozwoliło to na wstpn wyrónini wilu stanów rgulowanych, dla których rjstrowano odpowiadajc im wartoci paramtrów diagnostycznych. Rys.5.3 Ogólny widok budowy badanj przkładni Układ strowania i rgulacji, przdstawiony na rys.5.4, umoliwia ralizacj zaplanowanych warunków bada i modlowani załoonych stanów przkładni. Rys.5.4 Układ napdowy przkładni z lmntami strowania

12 Wktor cch stanu przkładni po badaniach wstpnych ucilono i zrdukowano do postaci nastpujcych stanów:. brak uszkodz,. uszkodzon łoysko, 3. koło zbat wału napdowgo zuyt, 4. koło zbat wału napdowgo uszkodzon wyłamany zb, 5. koło zbat wału napdowgo uszkodzon wykruszony zb, 6. koło zbat wału odbiorczgo zuyt, 7. koło zbat wału odbiorczgo uszkodzon wyłamany zb, 8. koło zbat wału odbiorczgo uszkodzon wykruszony zb, 9. wał napdowy ni wywaony,. wał odbiorczy ni wywaony,. przkoszni (+ ) wału napdowgo,. przkoszni (- ) wału napdowgo, 3. przkoszni (+ ) wału odbiorczgo, 4. przkoszni (- ) wału odbiorczgo. Stanowisko pomiarow Pomiary paramtrów sygnału drganiowgo (rys.5.5) przprowadzono z zastosowanim pakitu pomiarowo prztwarzajcgo APB, wchodzcgo w skład oprogramowania CADA-PC. PRZEKŁADNIA Z BATA PRZETWORNIK A/C PAKIET APB - PC Rys.5.5 Schmat stanowiska pomiarowgo Przdstawiony układ umoliwia wyznaczani nastpujcych miar : - TIME - przbig czasowy sygnału, - ACR - autokorlacja, - CEPS - cpstrum, - HISS - histogram amplitud, - AMPL - widmo amplitudow, - POWER - gsto widmowa mocy. Dalsz prztwarzani tych miar sygnału pozwala uzyska cał gam paramtrów i dyskryminant szczgółowych procsu drganiowgo, któr wykorzystan zostan do ocny ich wraliwoci na modlowan stany przkładni. Nal do nich: - paklist wartoci max. amplitudy w czstociach charaktrystycznych; - wysz harmoniczn i ich amplitudy, - warto maksymalna amplitudy drga, - warto minimalna amplitudy drga, - warto midzy szczytowa, okrlana na podstawi wartoci maksymalnj i minimalnj, - warto rdnia amplitudy drga, - warto skutczna amplitudy drga, - dyskryminanty amplitudow (C, K, I), - momnt statystyczny rzdu - warto rdnia, - momnt statystyczny rzdu - odchylni standardow.

13 Przykładow wyniki bada W badaniach rozpoznawczych modlowanych staów przkładni zbatj uzyskano nastpujc przbigi: Przkładnia zdatna Rys.5.6 TIME - przbigi czasow Przkładnia uszkodzona Rys.5.7 ACR - autokorlacja

14 Rys.5.8 HISS - histogram amplitud Rys.5.9 AMPL - widmo amplitudow Wyniki bada stanowiskowych po prztworzniu stanowi podstaw do wnioskowania o zminiajcym si stani tchnicznym przkładni. Ich porównani z wynikami analizy modalnj doskonali mtodyk bada wibroakustycznych obiktów tchnicznych. 3. METODA ELEMENTÓW SKOCZONYCH Mtoda lmntów skoczonych jst najpopularnijsz mtod dyskrtyzacji konstrukcji (obok mtody mas skupionych i mtody współrzdnych uogólnionych), stosowan dla clów analizy układów konstrukcji inynirskich. Praktyczni wszystki systmy numrycznj analizy konstrukcji bazuj na MES. Do najbardzij popularnych mtod komputrowych stosowanych w praktyc inynirskij nal: mtoda lmntów skoczonych (MES), mtoda rónic skoczonych (MRS) oraz mtoda lmntów brzgowych (MEB). Sporód nich niwtpliwi mtoda lmntów skoczonych ma obcni najszrsz zastosowania, czgo dowodm s liczn stosowan w praktyc inynirskij systmy obliczniow bazujc na tj mtodzi [35,6]. Mtoda lmntów skoczonych naly do grupy mtod wariacyjnych, gdzi punktm wyjcia jst odpowidnio sformułowany funkcjonał. Dla zagadni brzgowych najczcij funkcjonałm tym jst nrgia potncjalna układu (funkcjonał Lagrang a). W warunkach równowagi nrgia potncjalna jst stacjonarna. Enrgia potncjalna jst wilkoci skalarn zaln od funkcji przmiszcznia i mo by przdstawiona jako funkcjonał.

15 Warunkim konicznym osigania przz funkcj minimum lokalngo jst znikani jj pirwszj pochodnj. Analogicznym warunkim w przypadku funkcjonału jst znikani wariacji funkcjonału. W warunkach równowagi wariacja nrgii potncjalnj układu jst równa zru. Drugim istotnym lmntm mtod wariacyjnych jst dobór przstrzni funkcyjnych, w których poszukujmy rozwiza. S nimi przstrzni skoczni wymiarow, std otrzyman rozwizania s z rguły rozwizaniami przyblionymi. Wzmiankowan wyj mtody wariacyjn róni si midzy sob w szczgólnoci dobrm funkcji bazowych lub inaczj funkcji aproksymujcych rozwizani. W przypadku MES stosuj si zlokalizowan funkcj bazow, tzn. funkcj, któr s rón od zra na ograniczonym obszarz, natomiast równ zru na pozostałym obszarz. Taki podjci z jdnj strony wymusza koniczno zapwninia cigłoci aproksymacji na granicach lmntów skoczonych, al z drugij strony stwarza moliwo bardzo fktywnj aproksymacji rozwizania na praktyczni dowolnym obszarz. Istot całgo zagadninia mtody lmntów skoczonych jst budowa najwanijszgo lmntu, jakim jst algorytm MES. Budowa algorytmu MES zostani przdstawiona dwutapowo: - w tapi pirwszym zostan sformułowan równania dla pojdynczgo lmntu skoczongo w ramach tzw. modlu rozłczngo, - w tapi drugim zostan sformułowan równania MES dla modlu globalngo. Na kadym tapi stosowan bd dwa równowan zapisy: - notacja wskanikowa, w którj obiktami bd indksowan wktory i macirz zwizan z punktami wzłowymi, - notacja macirzowa, w którj wktory i macirz s obiktami zwizanymi z całym lmntm skoczonym lub obszarm. Notacja wskanikowa jst formalni zbliona do zapisu tnsorowgo stosowango w rachunku wktorowym i tnsorowym. Odpowidnikim wrsora w rachunku wktorowym bdzi tutaj funkcja bazowa lub grupa funkcji bazowych zwizana z pojdynczym punktm wzłowym. Indksowan obikty bd traktowan jako współrzdn obiktów przypisanych do przypisanych do punktów wzłowych wskazanych przz indks. Jli uszrgowan indksowan obikty tgo samgo typu połczy w jdn obikt, wówczas mamy do czyninia z zapism czysto macirzowym, którgo odpowidnikim w rachunku wktorowym jst zapis absolutny. Z punktu widznia algorytmizacji MES notacja wskanikowa jst notacj naturaln. Nizalni od budowy algorytmu kocowy układ równa MES ma wyrani struktur atomow, w którj podstawowymi jdnostkami s macirz i wktory zwizan z pojdynczymi wzłami, a ni z poszczgólnymi lmntami skoczonymi. W wilu zagadniniach inynirskich wymagan jst znalzini rozkładu napr i odkształc w kontinuum sprystym. Z problmami tgo rodzaju spotykamy si przy obliczaniu tarcz, płyt, powłok i ciał trójwymiarowych. W wszystkich tych przypadkach liczba powiza pomidzy dowolnym "skoczonym lmntm" wydzilonym mylowo a jgo otocznim jst niograniczona. Zadani to mo by obliczon w nastpujcy sposób: - kontinuum podzilon zostaj w myli liniami na pwn liczb "skoczonych lmntów"; - zakłada si, lmnty t s połczon z sob w skoczonj liczbi punktów, znajdujcych si na ich obwodach, a przmiszcznia punktów wzłowych stanowi bd podstawowy układ niwiadomych; - zostaj dobrana funkcja okrlajca jdnoznaczni stan przmiszcz wwntrz kadgo lmntu skoczongo w zalnoci od przmiszcz punktów wzłowych; - funkcj przmiszcz dfiniuj jdnoznaczni stan odkształc wwntrz lmntów w

16 zalnoci od przmiszcz wzłów. Odkształcnia t, wspólni z odkształcniami pocztkowymi i własnociami sprystymi matriału, okrlaj stan napr w całym lmnci, a wic i na jgo brzgach; - zostaj okrlony układ sił skupionych w wzłach, równowacych napicia na brzgach lmntów oraz wszlki inn siły; otrzymuj si zwizki sztywnoci w postaci równa. Oczywici wymaga to szrgu aproksymacji. Pirwsz trudno stanowi dobrani funkcji przmiszcz spłniajcych warunk cigłoci pomidzy stykajcymi si lmntami, czsto wic warunki zgodnoci wzdłu tych linii mog ni by spłnion (chocia wwntrz kadgo lmntu s on spłnion przz wybór wspomnianych funkcji). Po drugi, przz skupini sił równowacych w wzłach warunki równowagi spłnion s tylko w odnisiniu do całgo układu. Zazwyczaj wystpowa bd lokaln odchylnia od warunków równowagi wwntrz kadgo lmntu i na jgo granicach. Wybór kształtu lmntu i postaci funkcji przmiszcz w poszczgólnych przypadkach zaly w duym stopniu od pomysłowoci i dowiadcznia inynira. Oczywici wybór tych dwóch czynników dcyduj o stopniu przyblinia rozwizania [35,6]. Opisywany tutaj sposób podjcia do zagadninia znany jst pod nazw sposobu przmiszcz. Opisany dotychczas procs mo by sprawdzony tylko intuicyjni, jdnak to co zostało zaproponowan, w istoci swj jst równowan minimalizacji całkowitj nrgii potncjalnj układu, wyraonj w funkcji załoongo pola przmiszcz. Jli pol to jst okrlon w odpowidni sposób, wówczas zapwniona jst zbino do wyników poprawnych. 3. Okrlni charaktrystyk lmntu skoczongo Sposoby wyznacznia charaktrystyk lmntu skoczongo wyodrbniongo z kontinuum, omówion ogólni, zostan obcni przdstawion w szczgółowj postaci matmatycznj. Podan jst uzyskani rzultatów w postaci ogólnj, nadajcj si do kadych okolicznoci; aby jdnak ułatwi zrozumini, zwizki ogóln s ilustrowan na przykładzi płaskij tarczy, któr podzilono na lmnty trójktn, jak pokazano na rys.5.. Rys.5. Obszar płaski podzilony na lmnty Wyrania majc znaczni ogóln s drukowan tłust czcionk, a odnoszc si do przykładu - normaln. Stosowany jst zapis macirzowy. Funkcja przmiszcz. Typowy lmnt skoczony (rys.5.) zdfiniowany jst poprzz wzły i, j, m,...i prostoliniow brzgi. Przmiszczni w dowolnym punkci wwntrz lmntu jst okrlon wktorm kolumnowym {f(x, y)}:

17 δ i δ j { f } [ N]{ δ } [ Ni N j N m...] (5.5) δ m... w którym składow [N] ogólni s pwnymi funkcjami, {δ } za rprzntuj zbiór przmiszcz wzłów dla omawiango lmntu. Dla zagadninia płaskigo: u( x, y) { f } ( x, y) przdstawia przmiszcznia poziom i pionow dowolngo punktu wwntrz lmntu, natomiast: ui {δ i} i odpowidni przmiszcznia wzła i. Funkcj N i, N j, N m...naly tak obra, aby dawały odpowidni przmiszcznia wzłów, gdy do równania () wstawion bd współrzdn odnonych wzłów. W przypadku funkcji liniowych mamy: N i (x i, y i ) I (macirz jdnostkowa), za : Ni(x j, y j ) Ni(x m, y m ) itd. Funkcj [N] nazywan s "funkcjami kształtu" i odgrywaj on du rol w mtodzi lmntów skoczonych. Odkształcnia. Jli znan s przmiszcznia w wszystkich punktach lmntu, to mona wyznaczy "odkształcnia w dowolnym jgo punkci. Zwizk pomidzy odkształcniami i przmiszcznim wzłów w postaci macirzowj jst nastpujcy : { ε } [ B ]{ δ} (5.6) Dla zadania płaskigo odkształcnia mog by zapisan w ogólni znanj postaci: u ε x x { ε} ε y (5.7) y γ xy u + x y Z równa tych przy okrlonych funkcjach N i, N j, N m uzyskuj si z łatwoci macirz [B]. Jli przyjmimy liniow posta tych funkcji, wówczas odkształcnia wwntrz rozwaango lmntu pozostaj stał. Napr nia. Ogólni biorc, matriał lmntu mo by poddany pocztkowym odkształcniom spowodowanym tmpratur, skurczm, rozwojm kryształów itd. Oznaczmy t odkształcnia przz { ε }. Naprnia w lmnci wywołan bd rónicami pomidzy tymi odkształcniami, a odkształcniami wystpujcymi aktualni. Ponadto wygodni jst załoy, na pocztku oblicz ciało jst poddan działaniu znango układu pocztkowych napr rsztkowych (rsidualnych) δ }, któr mona pomirzy, lcz zminnoci ich ni {

18 da si przwidzi bz znajomoci płnj historii matriału. Naprnia t mona po prostu doda do zdfiniowanych ogólni. Zatm, przy załoniu sprystych własnoci matriału, zwizk pomidzy odkształcniami i naprniami staj si liniowy i przyjmuj posta: { δ } [ D ]({ ε} { ε }) + { δ } (5.8) gdzi: [D] -macirz sprystoci, opisujca zadan własnoci matriału. Dla szczgólngo przypadku płaskigo stanu mamy trzy naprnia składow, odpowiadajc trzm rozpatrywanym składowym odkształcniom. Naprniami tymi s: δ x { δ} δ y τ xy za macirz [D] dla matriału izotropowgo otrzymuj si z znanych zalnoci : ν ε x ( ε x ) δ x δ y ; E E ν ε y ( ε y ) δ x + δ y ; (5.9) E E ( + ν ) γ xy ( γ xy ) τ xy E Równowa n siły wzłow. Nich wktor (macirz) : Fi Fj { F } Fm... przdstawia siły wzłow, statyczni równowan napiciom na granicach lmntu i innym obciniom lmntu. Kada z sił {F i } musi mi t sam liczb składowych jak odpowidni przmiszczni wzła { δ i } i musi by skirowana w właciwym kirunku. Obcinia {p} dfiniowan s jako działajc na jdnostk objtoci wwntrz lmntu i majc kirunki odpowiadajc kirunkom przmiszcz {f} w odpowidnich punktach wntrza. W szczgólnym przypadku płaskigo stanu naprnia siły wzłow maj posta: U i { F i} Vi gdzi: U i V składow sił odpowiadajc kirunkom przmiszcz u i, za obcini rozłoon {p}: X { p} Y gdzi: X i Y znan składow "siły masowj". Aby uczyni siły w wzłach statyczni równowan napiciom na brzgach i obciniom rozłoonym, najprocij jst załoy dowoln wirtualn przmiszcznia wzłów i porówna prac sił zwntrznych i wwntrznych, któr wszystki siły wykonaj na tych przmiszczniach. Funkcj przmiszcz z nicigłoci pomidzy lmntami W pwnych przypadkach napotyka si na znaczn trudnoci przy poszukiwaniu funkcji przmiszcz, któr były by automatyczni cigł na całym obwodzi pomidzy ssidnimi lmntami.

19 Nicigło przmiszcz spowoduj niograniczon odkształcnia wzdłu linii podziału, poniwa udział nrgii ograniczano do samych lmntów. Gdy jdnak siatka podziału malj, wówczas w granicy cigło zostani przywrócona i sformułowani nasz doprowadzi do poprawnych wyników. Warunk tn czsto mona osign, jli : a). warunk stałych odkształc automatyczni zapwnia cigło przmiszcz, b). krytrium stałych odkształc jst spłnion. 3. Uogólnini koncpcji lmntów skoczonych Problmy fizyki stosowanj wystpujc w tchnic mona bada jdnym z dwu sposobów. W pirwszym zadan s równania róniczkow opisujc zachowani si typowgo niskoczni małgo obszaru. W drugim postuluj si wano w całym badanym obszarz wariacyjnj zasady kstrmalnj. Poprawnym rozwizanim problmu jst taki rozwizani, któr minimalizuj pwn wilko X, zdfiniowan przz odpowidni całkowani poszukiwanych wilkoci po całym obszarz. Taka wilko całkowa X, bdca funkcj niznanych funkcji, nosi nazw funkcjonału. Oba t sposoby s matmatyczni równowan; dokładn rozwizani jdngo zagadninia jst rozwizanim drugigo. Kad z nich mona uwaa za podstawow sformułowani problmu, aczkolwik sformułowani za pomoc równania róniczkowgo prawdopodobni jst bardzij uytczn. Moliw jst t czysto matmatyczn, formaln przjci od jdngo sformułowania do drugigo [35,6]. Załómy, fizyczn (lub czysto-matmatyczn) sformułowani zadania wymaga minimalizacji funkcjonału X w pwnym obszarz. X jst zdfiniowan jako pwna całka w obszarz V i na czci jgo brzgu S, w których istnij niznana funkcja {φ } lub jj pochodn, tj.: δ δ χ f ({ φ}, { φ},...) dv + g({ φ}, { φ},...) ds (5.) δx δx V S Podzilmy obszar na mnijsz czci (podobszary), któr nazwimy lmntami, i nich funkcja, któr chcmy znal, bdzi w kadym lmnci opisana przz: { N φ} φ } [ ]{ (5.) W równaniu tym {φ } mo by zbiorm wartoci w wzłach funkcji zwizanj z lmntm lub po prostu zbiorm pwnych jgo charaktrystycznych paramtrów. Oznaczni niznanj funkcji ujto w klamry aby zaznaczy, mo ona by wktorm. [N] jst zstawinim funkcji kształtu, bdcych funkcjami tylko współrzdnych. Aby zminimalizowa funkcjonał X wzgldm wszystkich paramtrów {φ } wystpujcych w całym obszarz, naly napisa układ równa: χ φ χ χ (5.) { φ} φ : Jli prawdziw jst twirdzni, całkowity funkcjonał jst sum składników pochodzcych od poszczgólnych lmntów, tj.: χ χ (5.3)

20 wówczas typow równani przybira posta: χ χ φ φ n n (5.4) gdzi sumowani naly rozcign na wszystki lmnty. W tn sposób otrzymujmy rguł budowania całgo minimalizujcgo układu równa. W szczgólnym przypadku, gdy X jst funkcjonałm formy kwadratowj od {φ } i jj pochodnych, momy zawsz zapisa pochodn dla okrlongo lmntu jako: χ [ k ] { φ} + { F} (5.5) { φ} gdzi: [k] i {F} - macirz stałych. Minimalizujcy układ równa momy zatm zapisa jako: χ [ K ] { φ} + { F} (5.6) { φ} gdzi : [K ij ] Σ [k ij ] {F i } Σ{F i } Sumowani objmuj wszystki lmnty. Zminn pozawzłow Dfiniujc funkcj kształtu lmntu stwirdzilimy i Φ oznacza albo wartoci niznanych funkcji w wzłach, albo niktór paramtry zwizan z omawianym lmntm. Aby zapwni cigło funkcji midzy ssidnimi lmntami, jak wymaga tgo krytrium, i aby podkrli fizyczn znaczni poszukiwanj funkcji Φ, koncntrujmy zwykl uwag na wartociach wzłowych. Zawsz mona ustali tak zminno funkcji, cigło jj ni zostani zakłócona, np. przz przyjci wartoci zrowych w wzłach lub na granicy lmntów, a nastpni pomnoy j przz pwin paramtr, wzgldm którgo ma by minimalizowany funkcjonał. Taki "paramtry pozawzłow" poprawiaj czasm dokładno odwzorowania i mog by uytczn. Poniwa, ogólni biorc, paramtry taki zwizan s tylko z jdnym lmntm, mona zminimalizowa j przd zbudowanim równa i wyliminowa z macirzy lmntów. Szczgóln postaci zminnych pozawzłowych jst znany ogólni mnonik Lagrang'a. Stosujmy go wówczas, gdy na funkcj Φ nałoon jst pwn ograniczni dodatkow, ni wynikajc ani z warunków granicznych, ani z proponowanj funkcji kształtu. Nich tym ogranicznim bdzi : G({Φ}) (5.7) Rozwizani wymaga traz minimalizacji postaci : χ χ + λg (5.8) gdzi: λ jst typowym paramtrm dodatkowym. Jli załoymy istnini szrgu takich warunków, wówczas minimalizujmy : s χ χ + λig i (5.9) i gdzi: λ i s dodatkowymi paramtrami zagadninia, któr mog by zwizan albo z lmntami albo z powirzchniami midzy lmntami. Warto przy okazji rozpatrzy posta równa - otrzymywanych w przypadku typowym,

21 gdy funkcjonał zbudowany jst na formi kwadratowj i mnoniki Lagrang' a przyjt zostały w postaci szrgu l i n i o w y c h sił w wzłach Φ. Momy traz napisa ogólni : T T χ { φ} [ K ]{ φ} + { F} { φ} (5.) gdzi: λ jst funkcj paramtrów wzłowych, za [K] macirz symtryczn. Liniow siły w wzłach mona traz wyrazi w postaci macirzowj: [G]{Φ} (5.) gdzi: [G] jst macirz stałych. Wprowadzajc mnoniki Lagrang'a λ jako wktor o liczbi wirszy równj liczbi kolumn w macirzy [G] (tj. równj liczbi sił w wzłach), mamy: T T T χ { φ} [ K ]{ φ} + { F} { φ} + ([ G]{ φ}) { λ} (5.) Podstawiajc układ równa minimalizujcych otrzymujmy : x { } T φ [ K] [ G] { φ} { F} (5.3) χ [ G] { λ} {} { λ} Naly zauway, : po pirwsz, układ równa pozostaj symtryczny własno bardzo podana w obcni stosowanych sposobach rozwizywania; po drugi, zra pojawiaj si i na przktnj głównj, co czasm powoduj trudnoci w rozwizywaniu. 3.3 Algorytm MES dla płaskigo zadania płaskigo Sformułowani zadania w zapisi macirzowym Typowymi obiktami przy formułowaniu algorytmu MES bd wktory i macirz. Na wstpi zostan zdfiniowan podstawow trminy w tj konwncji: - punkt obszaru: x x [x, y] T, - wktor przmiszcznia: x u(x) [u(x, y ), (x, y)] T, - wktor naprnia: 3x σ(x) [σ x (x, y) σ y (x, y) τ xy (x, y)] T, - wktor odkształcnia: 3x ε(x) [ε x (x, y) ε y (x, y) γ xy (x, y)] T. W clu uproszcznia zapisu, tnsory naprnia i odkształcnia bd rprzntowan przz wktory naprnia i odkształcnia, których lmntami s uporzdkowan współrzdn tych tnsorów. Indksy po lwj stroni litry rdzniowj s oznaczniami wymiaru macirzy lub wktora. Schmat statyczny obszaru pokazany został na rys.5., na którym obszar V jst ograniczony brzgim S. Przyjmijmy, matriał obszaru jst jdnorodny, izotropowy i sprysty o stałych matriałowych E i. Obcinim obszaru jst obcini rozłoon o intnsywnoci p(x). Ponadto zakładamy, wwntrz obszary wystpuj zadan pol odkształc pocztkowych okrlon funkcj wktorow postaci: 3 x ε (x) [ε x (x, y) ε y (x, y) γ xy (x, y)] T. (5.4)

22 Rys.5. Schmat statyczny obszaru Inn obcinia obszaru taki jak siły skupion, obcinia liniow, pocztkowy stan naprnia oraz wpływ pola tmpratury, zostani omówiony przy opisi odpowidnigo fragmntu algorytmu. Na podobszarz S σ S zadan s kintyczn (naprniow) warunki brzgow, któr bd traktowan idntyczni jak obcinia wwntrzn obszaru V. Na podobszarz S u S zadan s kinmatyczn (przmiszczniow) warunki brzgow postaci: u (x) u * (x) dla x S u (5.5) Dla płaskigo zadania torii sprystoci otrzymujmy równania: x u x ε y y ε x y u xy + γ, (5.6) Równania, któr bd wykorzystan w MES naly przkształci do postaci macirzowj. Wówczas równani zwizków gomtrycznych przyjmi posta : ε (x) + u x y y x x y u y x u xy y x / / / / / / / / γ ε ε B[u(x)], (5.7) gdzi: B [...] jst opratorm róniczkowym zwizków gomtrycznych. Równania zwizków fizycznych dla płaskigo stanu napr zapisanych w postaci odwrotnj przdstawiaj si nastpujco:, + y x E x ε ε σ, + x y E y ε ε σ ( ). xy E xy γ τ (5.8) po przkształcniu równania t momy zapisa w postaci : σ (x) + + xy y x E xy x y y x E xy y x γ ε ε γ ε ε ε ε τ σ σ Dε(x), (5.9) gdzi: macirz D jst macirz sprystoci: 3x3D E, (5.3) W przypadku kidy w obszarz V zadan jst pol odkształc pocztkowych ε (x), równania zwizków fizycznych maj posta :

23 σ(x) D ( x) ( ) (5.3) ε ε x Przy formułowaniu algorytmu MES ni zostan wykorzystan bzpordnio róniczkow warunki równowagi wwntrznj. Równowanikim tych zwizków jst równani wariacyjn. Funkcjonał wyraajcy całkowit nrgi potncjaln układu bdzi wynosił: Π U + L εt ( x) σ ( x) dv u T ( x) p( x) dv (5.3) V V gdzi: U jst nrgia spryst układu, natomiast L jst zmiana nrgii potncjalnj obcinia zwntrzngo. Wyrani nrgii potncjalnj układu zalnj wyłczni od pola przmiszcznia : Π [ u( x) ] ( B[ u( x) ]) T D( B[ u( x) ]) ( x) dv u T (5.33) ε ( x) p( x) dv, V V Mona udowodni, w warunkach równowagi statycznj obszaru dla kinmatyczni dopuszczalnych pól przmiszczania funkcjonał Π osiga minimum. Warunkim kstrmum funkcjonału jst znikani wariacji tgo funkcjonału co zapiszmy: δπ. (5.34) 3.4 Podstawow równania lmntu skoczongo Równania lmntu skoczongo zostan pokazan na przykładzi lmntu trójktngo. Równania t w zapisi wskanikowym lub macirzowym s uniwrsaln i ich posta ni jst zalna od rodzaju ES [35,6]. Typowy lmnt trójktny został pokazany na rys. 5.. Gomtria lmntu zdtrminowana jst za pomoc trzch wzłów (numracja wzłów przciwna do ruchu wskazówk zgara). x( ) (5.35) x X ( ) y( ) dla,, 3. W kadym wl lmntu przyjto wktor paramtrów wzłowych, który ma intrprtacj wktora przmiszcznia punktu wzłowgo: u (5.36) ( ) x q ( ) ( ) dla,, 3. Paramtry wzłow odgrywaj bardzo istotn rol w MES. Globalna liczba paramtrów w punktach wzłowych lmntu okrla liczb stopni swobody lmntu. Z punktu widznia analizy funkcjonalnj paramtry wzłow wraz z skojarzonymi z nimi funkcjami bazowymi dtrminuj skoczni-wymiarowa przstrz funkcyjn. W tym przypadku mamy doczyninia z lmntm skoczonym o szciu stopniach swobody.

24 Rys.5. Elmnt skoczony trójktny Rys.5. Paramtry w punktach wzłowych Typowymi funkcjami aproksymacyjnymi przmiszcznia punktów ES w obszarz () s funkcj wilomianow zminnych (x, y). Z uwagi na liczb paramtrów wzłowych moliwy jst jdyni wybór funkcji liniowych postaci: u(x, y) f + f x + f 3 y, (5.37) (x, y) f 4 + f 5 x + f 6 y. Stał f... f 6 dobiramy tak, aby funkcj przmiszcznia (u, ) w poszczgólnych wzłach x ( ) (,, 3) były równ paramtrom wzłowym q ( ) (u, ) T. Std otrzymujmy: u(x, y) [(a + b x + c y)u + (a + b x + c y)u + (a 3 + b 3 x + c 3 y)u 3 ], A (5.38) (x, y) [(a + b x + c y) + (a + b x + c y) + (a 3 + b 3 x + c 3 y) 3 ], A gdzi: a x + y + - x + y +, (5.39) b y + y + c x + x + A pol powirzchni lmntu. W notacji macirzowj równani 5.49 przdstawia si nastpujco: u () (x) N (x)q ( ) (5.4) gdzi: macirz funkcji bazowych ma posta: ( a + b x + c y) (5.4) x N (x) A ( a + b x + c y) A Macirz funkcji bazowych (zwana równi funkcj kształtu) skojarzona z wktorm paramtrów wzłowych w punkci x ( ) jst równa macirzy jdnostkowj w tym wl oraz równa macirzy zrowj w pozostałych wzłach co zapisujmy: N (x β I dla β (5.4) ) dla β Po podstawiniu funkcji aproksymacyjnych otrzymujmy: u / x bu + bu + b3u3 / y c + c + c33 ε () (x) A u / y + / x cu + b + cu + b + c3u 3 + b 3 3 (5.43)