Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11

Transkrypt

1 Testy zgodności Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej

2 27. Nieparametryczne testy zgodności Weryfikacja hipotezy nieparametrycznej zbadanie zgodności między hipotetycznym rozkładem w populacji, a empirycznym rozkładem w próbce zbadanie zgodności między empirycznymi rozkładami w dwóch próbkach Wstępne informacje co do postaci rozkładu analiza histogramu uzyskanego z próbki a) b) 0 0 Rys Przykłady histogramów empirycznych

3 Testy zgodności dla jednej populacji (27.1) Testy zgodności dla jednej populacji test χ 2 Pearsona (n 80) test λ Kołmogorowa (liczność dowolna, cecha typu ciągłego) test Shapiro-Wilka (rozkład normalny, n 50) test Kołmogorowa-Lillieforsa (rozkład normalny, n > 30) Hipotezy H 0 : cecha X ma rozkład określony dystrybuantą F H 1 : H 0 Dla cechy typu ciągłego zakładamy, że wartości próbki są przedstawione w postaci szeregu przedziałowego rozdzielczego Lp. 1 2 k Granice klas x 1d x 1g x 2d x 2g x kd x kg Liczebność empiryczna n i n 1 n 2 n k Zauważmy, że x id = x i-1g

4 Test χ 2 Pearsona Model (test χ 2 Pearsona, n 80) Jeśli hipoteza H 0 jest prawdziwa, to prawdopodobieństwo p i, że cecha X typu ciągłego przyjmuje wartości należące do i-tej klasy można obliczyć ze wzoru pi = F( xig ) F( xi 1g ) Wtedy liczność hipotetyczna w i-tej klasie wyraża się wzorem np i i zachodzą następujące twierdzenia Twierdzenie a) Jeśli próba jest liczna (n 80), to statystyka ( N np ) 2 2 k i i χ = i= 1 npi ma w przybliżeniu rozkład χ 2 z k 1 stopniami swobody, gdzie N i jest zmienną losową, oznaczającą liczbę elementów próbki, należących do i-tej klasy

5 Test χ 2 Pearsona Twierdzenie cd. b) Jeśli dystrybuanta F cechy X zależy od l parametrów o nieznanych wartościach, to statystyka χ 2 ma w przybliżeniu rozkład χ 2 z k l 1 stopniami swobody Obszar krytyczny dla hipotezy alternatywnej H 1 : H 0 ma dla ustalonego poziomu ufności α postać K = χ 2 (1 α, k l 1), ) Uwaga Do klasy 1-szej i k-tej (ostatniej) powinno należeć co najmniej 5 elementów, do pozostałych klas co najmniej 10 elementów

6 Test χ 2 Pearsona Przykład (a) Z populacji, w której badana cecha X ma nieznaną dystrybuantę F pobrano próbkę o liczności 200 Wyniki po podziale na 10 równych klas zawarto w tabeli Środki klas 45,25 45,75 46,25 46,75 47,25 47,75 48,25 48,75 49,25 49,75 n i Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować hipotezę, że cecha X ma rozkład jednostajny na przedziale 40,50

7 Test χ 2 Pearsona Przykład (b) Doświadczenie dotyczy selekcji grochu Mendel obserwował liczności występowania różnych rodzajów nasion, otrzymanych przy krzyżowaniu roślin z okrągłymi i żółtymi nasionami oraz roślin z pomarszczonymi i zielonymi nasionami Otrzymane wyniki zebrano w tabeli Nasiona żółte zielone okrągłe pomarszczone 101 Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować hipotezę, że stosunek liczby czterech rodzajów nasion wynosi 9:3:3:1 32

8 Test χ 2 Pearsona Przykład (c) Dokonano 100 pomiarów wytrzymałości elementów żelbetonowych Wyniki przedstawiono w tabeli Wytrzymałość Liczba pomiarów Wytrzymałość Liczba pomiarów Na poziomie istotności 0.05 sprawdzić hipotezę, że zmienna losowa X, będąca modelem wytrzymałości tych elementów, ma rozkład normalny

9 Testy zgodności dla dwóch populacji (27.2) Testy zgodności dla dwóch populacji (cecha typu ciągłego) test serii test Smirnowa-Kołmogorowa test Wilcoxona Założenia W dwóch populacjach dystrybuanty F 1 i F 2 badanej cechy X są ciągłe Dane są dwie niezależne próbki proste o licznościach n 1 i n 2 odpowiednio Hipotezy H 0 : F 1 (x) = F 2 (x) H 1 : F 1 (x) F 2 (x)

10 Test serii Model (test serii) Wyniki obu próbek ustawiamy w n 1 +n 2 -elementowy ciąg niemalejący Tworzymy drugi ciąg, w którym a odpowiada elementom pierwszej próbki, b drugiej, np. aaabbabaab Ustalamy liczbę k serii występujących w ciągu (w powyższym jest 6 serii) Wyznaczamy obszar krytyczny K = 2, k( α, n, n ) gdzie k(α, n 1,n 2 ) odczytujemy z tablic rozkładu serii Odrzucamy hipotezę H 0 o zgodności rozkładów, jeśli k K 1 2

11 Test serii Przykład Chcemy sprawdzić, która kapusta: biała czy czerwona, zawiera więcej witaminy C Pobrano próbki 100 gramowe z każdego gatunku i wyznaczono ilość witaminy C dla każdej próbki w mg: Kapusta biała Kapusta czerwona Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować testem serii hipotezę, że rozkłady zawartości witaminy C dla obu gatunków kapusty są identyczne

12 Dziękuję za uwagę