Przykład. 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony. Postać ekstensywna Postać normalna
|
|
- Eleonora Sokołowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przykład Postać ekstensywna Postać normalna Na poczatku gry dwaj gracze wkładaja do puli po 1$. Następnie, gracz 1 losuje kartę z potasowanej talii, w której połowa kart ma kolor czarny a połowa czerwony.
2 Przykład Postać ekstensywna Postać normalna Gracz 1 patrzy na kolor karty (gracz 2 nie widzi karty) i podejmuje decyzję czy podbić stawkę dodajac 1$ do puli (raise) czy spasować (fold). Jeżeli spasuje, to wygrywa pieniadze w puli jeżeli karta jest czerwona i przegrywa jeżeli czarna. Jeżeli gracz 1 podbija stawkę, to ruch należy do gracza 2.
3 Przykład Postać ekstensywna Postać normalna Teraz gracz 2 musi zadecydować czy sprawdzić (meet) czy spasować (pass). Jeżel spasuje, to gra się kończy i gracz 1 wygrywa pieniadze w puli. Jeżeli sprawdza, to dokłada 1$ do puli i gra również się kończy. Gracz 1 pokazuje swoja kartę i wygrywa jeżeli ta karta jest czerwona; w przeciwnym wypadku przegrywa.
4 Przykład Postać ekstensywna Postać normalna Kluczowym faktem jest to, że gracz 1 zna kolor karty a gracz 2 nie. Gracz 1 dokładnie wie, w którym wierzchołku drzewa się znajduje. Natomiast gracz 2 nie potrafi powiedzieć w którym z dwóch wierzchołków się znajduje. Wierzchołki te tworza zbiór informacyjny gracza 2. Zbiór ten zawiera dwa wierzchołki. Gracz 1 posiada dwa zbiory informacyjne składajace się z pojedynczych wierzchołków.
5 Gry z dokładna informacja Postać ekstensywna Postać normalna Jeżeli wszystkie zbiory informacyjne obu graczy składaja się z pojedynczych wierzchołków, to gra posiada dokładna informację. W takim przypadku każdy gracz wie dokładnie w jakim wierzchołku drzewa się znajduje. Przykłady gier z dokładna informacja: Szachy, Kółko i krzyżyk, Reversi, Hex, Go
6 Strategia Postać ekstensywna Postać normalna Strategia i-tego gracza nazywamy przyporzadkowanie ruchu do każdego zbioru informacyjnego tego gracza. Strategia opisuje więc kompletny plan gry zadanego gracza. Przykładowa strategia (FR) dla gracza 1: jeżeli karta jest czerwona to spasuj i podbij w przeciwnym wypadku. Gracz 1 ma dokładnie 4 strategie: FR, FF, RF, RR.
7 Strategia Postać ekstensywna Postać normalna Przykładowa strategia (M) dla grcza 2: gracz 2 pasuje. Gracz 2 ma dokładnie 2 strategie M i P.
8 Strategia Postać ekstensywna Postać normalna Jeżeli każdy gracz wybierze strategię, to można obliczyć oczekiwana wypłatę dla każdego gracza. Dla pary strategii (FR, M) istnieja dwie możliwe ścieżki gry. Każda z nich może się z realizować z prawdopodobieństwem 0.5. Zatem oczekiwana wypłata gracza 1 wynosi 0.5*1-0.5*2=-0.5 a gracza 2 odpowiednio -0.5*1+2*0.5=0.5
9 Gra w postaci normalnej Postać ekstensywna Postać normalna Dla danej gry 2-osobowej niech S 1 = {α 1,..., α k } będzie zbiorem strategii gracza 1 a S 2 = {β 1,..., β l } będzie zbiorem strategii gracza 2. Niech a ij będzie oczekiwana wypłata gracza 1 a b ij oczekiwana wypłata gracza 2 jeżeli gracz 1 użyje α i a gracz 2 użyje β j. Wówczas gra może być przedstawiona w postaci normalnej: β 1 β 2... β l α 1 (a 11, b 11 ) (a 12, b 12 )... (a 1l, b 1l ) α 2 (a 21, b 21 ) (a 22, b 22 )... (a 2l, b 2l ) α k (a k1, b k1 ) (a k2, b k2 )... (a kl, b kl )
10 Przykład Postać ekstensywna Postać normalna M P RF (0.5,-0.5) (0,0) RR (0,0) (1,-1) FR (-0.5,0.5) (1,-1) FF (0,0) (0,0)
11 Przykład Rozpatrzmy dylemat więźnia: Przyznaj się Nie przyznawaj się Przyznaj się (-4,-4) (-1,-5) Nie przyznawaj się (-5,-1) (-2,-2) Racjonalny gracz nigdy nie wybierze strategii Nie przyznawaj się, ponieważ strategia Przyznaj się jest lepsza dla każdej strategii drugiego gracza. Dlatego strategie Nie przyznawaj się moga być usunięte. W efekcie otrzymujemy unikalne rozwiazanie (Przyznaj się, Przyznaj się).
12 β 1 β 2... β n α 1 (a 11, b 11 ) (a 12, b 12 )... (a 1n, b 1n ) α 2 (a 21, b 21 ) (a 22, b 22 )... (a 2n, b 2n ) α i (a i1, b i1 ) (a i2, b i2 )... (a in, b in ) α m (a m1, b m1 ) (a m2, b m2 )... (a ml, b mn) Strategia α i jest zdominowana jeżeli istnieje inna strategia α j, taka że a jk a ik (z co najmniej jedna nierównościa >) dla każdeg k = 1,... n. Definicja dla gracza 2 jest taka sama. można usunać. Jeżeli w efekcie dla każdego gracza zostanie tylko jedna strategia, to otrzymamy rozwiazanie gry.
13 Przykład β 1 β 2 β 3 α 1 (3,6) (1,5) (2,4) α 2 (5,6) (2,3) (1,5) α 3 (3,3) (-2,4) (3,5) W tej grze nie występuja strategie zdominowane. Co powinni zrobić gracze?
14 Przykład Zaznaczamy za pomoca * najlepsze odpowiedzi na strategię każdego gracza, na przykład β 1 jest najlepsza odpowiedzia na α 1 : β 1 β 2 β 3 α 1 (3,6*) (1,5) (2,4) α 2 (5*,6*) (2*,3) (1,5) α 3 (3,3) (-2,4) (3*,5*) Pary strategii (α 2, β 1 ) i (α 3, β 3 ) maja ta własność, że strategia pierwszego gracza jest najlepsza odpowiedzia na strategię gracza drugiego i vice versa.
15 Parę strategii (α i, β j ) nazywamy equilibrium (para strategii w równowadze) jeżeli α i jest najlepsza odpowiedzia na β j i β j jest najlepsza odpowiedzia na α i. jest stabilnym rozwiazaniem gry. Żaden z graczy nie może zwiększyć swojej wypłaty poprzez zmianę strategii.
16 Uwagi 1 Gra może mieć wiele par strategii w równowadze, różnia- cych się wypłatami dla obu graczy. 2 nie musi być Pareto optymalne, tj. może istnieć inna para strategii dajaca większe wypłaty obu graczom (zobacz dylemat więźnia). 3 Istnieja gry, w którym para strategii w równowadze nie istnieje.
17 Przykład Dwaj gracze jednocześnie pokazuja 1 lub dwa palce. Jeżeli suma palców jest parzysta, gracz 1 wygrywa 1$ od gracza 2; w przeciwnym wypadku gracz 2 wygrywa 1$ od gracza 1. Ta gra nie posiada pary strategii w równowadze.
18 Strategie mieszane Gracz 1 wybiera I z prawdopodobieństwem p i II z prawdopodobieństwem 1 p. Gracz 2 wybiera I z prawdopodobieństwem q i II z prawdopodobieństwem 1 q. Wypłata dla gracza 2 jest wówczas następujaca: I II (p I,(1-p) II) 1 2p 2p 1 Najlepsza odpowiedź dla gracza 2 (tj. wybór q) zależy od p. Jeżeli p < 1 2,to gracz 2 powinien grać I (q = 1), jeżeli p > 1 2, to gracz 2 powinien grać II (q = 0). Ale, jeżeli p = 1 2, to dowolna randomizacja q [0, 1] pomiędzy I i II jest najlepsza odpowiedzia na p.
19 Strategie mieszane 1 if p < 1 2 B 2 (p) = [0, 1] if p = if p > if q > 1 2 B 1 (q) = [0, 1] if q = if q < 1 2 Wartość p = 0.5 jest najlepsza odpowiedzia na q = 0.5 i vice versa.
20 Przykład I II 0.5 I (1,-1) (-1,1) 0.5 II (-1,1) (1,-1) Obaj gracze powinni wybrać I lub II z jednakowym prawdopodobieństwem 0.5. Obaj gracze uzyskuja wówczas oczekiwana wypłatę równa 0. Jest to jedyne rozwiazanie tej gry.
21 Przykład w c w (0,0) (9*,1*) c (4*,4*) (5,3) Ta gra ma dwie różne pary strategii w równowadze. Para (w, c) jest lepsza dla gracza 1 a para (c, w) jest lepsza dla gracza 2.
22 Przykład 1 if p < 1 2 B 2 (p) = [0, 1] if p = if p > if q < 1 2 B 1 (q) = [0, 1] if q = if q > 1 2 Gra ma trzy rozwiazania. Dwa z nich (w rogach) odpowiadaja parom czystych strategii w równowadze. Trzecia odpowiada mieszanym strategiom w równowadze z p = 0.5 i q = 0.5.
23 Eqilibrium Nasha Strategia mieszana gracza 1 nazywamy rozkład prawdopodobieństwa x = (p 1,..., p m ) na zbiorze strategii α 1,..., α m. Podobnie, strategia mieszana gracza 2 nazywamy rozkład prawdopodobieństwa q = (q 1,..., q n ) na zbiorze strategii β 1,..., β n. Wypłata gracza 1 wynosi: M 1 (x, y) = m n p i q j a ij i=1 j=1 a wypłata gracza 2 wynosi: M 2 (x, y) = m n p i q j b ij i=1 j=1
24 Nasha Parę strategii mieszanych (x, y ) nazywamy equilbrium (equiibrium Nasha) if jeżeli x jest najlepsza odpowiedzia na y i y jest najlepsza odpowiedzia na x : 1 M 1 (x, y ) M 1 (x, y ) for all x 2 M 2 (x, y ) M 2 (x, y) for all y Twierdzenie [Nash] Każda skończona gra dwuosobowa posiada equilibrium Nasha.
25 Gry o sumie zero Grę dwuosobowa nazywamy gra o sumie zero jeżeli a ij = b ij dla każdego i = 1,..., m i j = 1,..., n, tj. cele obu graczy sa dokładnie przeciwstawne. Każda taka grę można przedstawić podajac tylko wypłaty a ij pierwszego gracza. Dla strategi mieszanych x, y, wypłata gracza 1 wynosi M(x, y) a gracza 2 odpowiednio M(x, y). M P RF (0.5,-0.5) (0,0) RR (0,0) (1,-1) FR (-0.5,0.5) (1,-1) FF (0,0) (0,0) M P RF RR 0 1 FR FF 0 0
26 w grach o sumie zero Strategia max-min gracza 1 nazywamy następujac a strategię mieszana: v 1 = max x min M(x, β i ) i=1,...,m Strategia min-max gracza 1 nazywamy następujac a strategię mieszana: v 2 = min y max M(α i, y) i=1,...,n Theorem [von Neumann] Para strategii (x, y ) jest equilibrium wtedy i tylko wtedy gdy x jest strategia max-min gracza 1 a y jest strategia min-max gracza 2; v1 = v2 = v i każda gra o sumie zero ma unikalna wartość v.
27 Wyznaczanie equilibrium (przypadek 2 2) q 1 q β 1 β 2 p α p α max min{3p + 2(1 p), p + 4(1 p)} = max min{p + 2, 4 3p} p [0,1] p [0,1] min max{3q + 1(1 q), 2q + 4(1 q)} = min max{2q + 1, 4 2q} q [0,1] q [0,1]
28 Wyznaczanie equilibrium (przypadek 2 2) Gracz 1 powinien grać x = (0.5, 0.5), która gwarantuje mu oczekiwana wypłatę 2.5 a gracz 2 powinien grać y = (0.75, 0.25), która gwarantuje mu oczekiwana wypłatę -2.5.
29 Wyznaczanie equilibrium (przypadek 2 2) Rozwiazanie: Wartość gry wynosi β 1 β α α = 2.5
30 Wyznaczanie equilibrium [kamień, papier, scyzoryk] Obaj gracze wypowiadaja jednocześnie jedno z trzech słów: kamień, papier, scyzoryk. Wypłaty dla gracza 1 pokazane sa w poniższej tabeli: kamień papier scyzoryk kamień papier sczoryk
31 Wyznaczanie equilibrium w grach o sumie zero q 1 q 2 q 3 kamień papier scyzoryk p 1 kamień p 2 papier p 3 scyzoryk Gracz 1 wyznacza rozkład p 1, p 2, p 3, taki że: max min{p 2 p 3, p 1 + p 3, p 1 p 2 } Gracz 2 wyznacza rozkład q 1, q 2, q 3, taki że: min max{ q 2 + q 3, q 1 q 3, q 1 + q 2 }
32 Wyznaczanie equilibrium w grach o sumie zero Dla gracza 1 otrzymujemy model: Dla gracza 2 otrzymujemy model: max v 1 p 2 p 3 v 1 p 1 + p 3 v 1 p 1 p 2 v 1 p 1 + p 2 + p 3 = 1 p 1, p 2, p 3 0 min v 2 q 2 + q 3 v 2 q 1 q 3 v 2 q 1 + q 2 v 2 q 1 + q 2 + q 3 = 1 q 1, q 2, q 3 0 Wynikiem jest x = (1/3, 1/3, 1/3) i y = (1/3, 1/3, 1/3) z v 1 = v 2 = 0.
33 Wyznaczanie equilibrium w grach o sumie zero q 1 q 2... q n β 1 β 2... β n p 1 α 1 a 11 a a 1n p 2 α 2 a 21 a a 2n p m α m a m1 a m2... a mn P 1 : max v 1 p 1 a 11 + p 2 a p ma m1 v 1 p 1 a 12 + p 2 a p ma m2 v 1... p 1 a 1n + p 2 a 2n + + p ma mn v 1 p 1 + p p m = 1 p 1,..., p m 0 P 2 : min v 2 q 1 a 11 + q 2 a q na 1n v 2 q 1 a 21 + q 2 a q na 2n v 2... q 1 a n1 + q 2 a n2 + + q na mn v 2 q 1 + q q n = 1 q 1,..., q n 0
34 Przykład [Bitwa na morzu Bismarcka] Japoński generał Imamura ma wysłać transport piechoty przez Morze Bismarcka do Nowej Gwinei. Amerykański generał Kenney chce zbombardować transport. Imamura ma do wyboru dwie trasy: krótsza północna, trwajac a 2 dni lub dłuższa południowa, trwajac a 3 dni. Kenney musi postanowić na która z tych tras wysłać bombowce. Jeżeli wybierze zła trasę, to musi odwołać bombowce i wysłać je na właściwa trasę. Kenney może obserwować ruch Imamury przed podjęciem decyzji.
35 Indukcja wstecz (backward induction) SS SN NS NN S (-3,3*) (-3,3*) (-2,2) (-2,2) N (-1*,1) (-2*,2*) (-1*,1) (-2*,2*) Indukcja wstecz prowadzi do equilibrium (N, SN). Istnieje drugie equlibrium (N,NN), które daje takie samo rozwiazanie. Jednak strategia SN jest bezpieczniejsza dla Kenneya, ponieważ zawiera ona optymalny ruch dla każdego wierzchołka, który kontroluje. Zatem jeżeli Immamura popełni bład, to wypłata Kenneya będzie większa.
36 Przykład A B 1.a 8,7 C 2.a 2.b 7,2 6,3 l r l r 8,7 1/4 0 3/4 2.c 8,4 1.b 8,8 l r A B 4,1 7,2 6,3 4,0 0,0 8,4 8,8 0,8 lll llr lrl lrr rll rlr rrl rrr AA (4,1) (4,1) (4,1) (4,1) (7*,2*) (7,2*) (7*,2*) (7*,2*) AB (4,1) (4,1) (4,1) (4,1) (7*,2*) (7,2*) (7*,2*) (7,2*) BA (6*,3*) (6,3*) (4,0) (4,0) (6,3*) (6,3*) (4,0) (4,0) BB (6*,3*) (6,3*) (4,0) (4,0) (6,3*) (6,3*) (4,0) (4,0) CA (6*,6) (8*,7*) (6*,6) (8*,7*) (6,6) (8*,7*) (6,6) (8*,7*) CB (0,6) (2,7*) (0,6) (2,7*) (0,6) (2,7*) (0,6) (2,7*)
37 Perfekcyjne equilibria W każdej grze z dokładna informacja indukcja wstecz prowadzi do equilibrium w czystych strategiach. Gra na poprzednim slajdzie posiada wiele różnych equilibriów. Jednak tylko equilibrium (CA, rlr) jest racjonalne w następujacym sensie: wyznacza ono equilibrium w każdym poddrzewie gry (tj. ruch przez nie wyznaczony jest optymalny w każdym wierzchołku drzewa gry). Takie equilibrium nazywamy perfekcyjnym (subgame perfect). Indukcja wstecz prowadzi do perfekcyjnego equilibrium.
38 Strategie wygrywajace Rozważmy grę dwuosobowa z dokładna informacja bez zdarzeń losowych, w których jedynymi możliwymi wypłatami sa: 1 (1,-1) - gracz 1 wygrywa, gracz 2 przegrywa 2 (-1,1) - gracz 1 przegrywa, gracz 2 wygrywa 3 (0,0) - remis Gracz 1 ma strategię wygrywajac a jeżeli wygrywa niezależnie od strategii wybranej przez drugiego gracza. Inaczej mówiac, istnieje equilbrium dajace wypłaty (1,-1). Definicja dla gracza 2 jest podobna.
39 Strategie wygrywajace Twierdzenie. W każdej grze spełniajacej założenia podane na poprzednim slajdzie zachodzi dokładnie jeden z przypadków: 1 Gracz 1 ma strategię wygrywajac a. 2 Gracz 2 ma strategię wygrywajac a. 3 Każdy gracz ma strategię gwarantujac a remis. Jeżeli remis w grze nie jest możliwy, to jeden z graczy ma strategię wygrywajac a. Gra ma dokładna informację, zatem posiada parę czystych strategii w równowadze. Gra ma sumę zero, zatem posiada unikalna wartość 0, 1 lub -1. Jeżeli wartość ta wynosi 1, to zachodzi przypadek pierwszy, jeżeli -1, to zachodzi przypadek 2, jeżeli 0, to zachodzi przypadek 3.
40 Strategie wygrywajace 1 Który przypadek zachodzi dla gry w kółko i krzyżyk na planszy 3 3? 2 Opisana sytuacja jest prawdziwa dla szachów, jednak nie wiadomo który z trzech przypadków ma miejsce. 3 Wiadomo, że dla warcabów zachodzi przypadek 3. Zatem każdy gracz ma strategię gwarantujac a remis.
41 Przykład gry n-osobowej W grze bierze udział n państw. Każde państwo musi dokonać wyboru czy uchwalić prawo przeciwko zanieczyszczaniu powietrza czy nie. Koszt wdrożenia takiego prawa wynosi 3. Każde państwo, które nie kontroluje zanieczyszczeń zwiększa koszt każdego z pozostałych państwo o 1.
42 Przykład gry n-osobowej 1 W grze bierze udział n graczy. 2 Każdy gracz ma dwie strategie, S i = {tak, nie}, i = 1,..., n gdzie tak oznacza, że kraj uchwala prawo a nie oznacza, że nie uchwala. 3 Przykładowe koszty ponoszone przez państwa: C i (tak, tak,..., tak) = 3 dla i = 1,..., n C i (nie, nie,..., nie) = n dla i = 1,..., n C 1 (tak, nie,..., nie) = 3 + (n 1) i C i (tak, nie,..., nie) = n 1 dla i 1. C 1 (nie, tak,..., tak) = 1 and C i (nie, tak,..., tak) = 4 dla i 1. Co wydarzy się w tej grze, gdy państwa nie moga (lub nie chca) ze soba współpracować?
Optymalizacja decyzji
Optymalizacja decyzji Dr hab. inż Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia
Bardziej szczegółowo10. Wstęp do Teorii Gier
10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej
Bardziej szczegółowoTeoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1
Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowo11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane
11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoLEKCJA 4. Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją. Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności.
LEKCJA 4 Gry dynamiczne z pełną (kompletną) i doskonałą informacją Grą dynamiczną jest każda gra w której gracze wykonują ruchy w pewnej kolejności. Czy w dowolnej grze dynamicznej lepiej być graczem,
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ
TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o
Bardziej szczegółowoTworzenie gier na urządzenia mobilne
Katedra Inżynierii Wiedzy Teoria podejmowania decyzji w grze Gry w postaci ekstensywnej Inaczej gry w postaci drzewiastej, gry w postaci rozwiniętej; formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry z
Bardziej szczegółowoTeoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Oligopol Oligopol Monopol jedna firma na rynku. Duopol dwie firmy na rynku. Oligopol kilka firm na rynku. W szczególności decyzje każdej firmy co do ceny lub ilości produktu
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Teoria gier dr Olga Kiuila LEKCJA 3
LEKCJA 3 Wybór strategii mieszanej nie jest wyborem określonych decyzji, lecz pozornie sztuczną procedurą która wymaga losowych lub innych wyborów. Gracze mieszają nie dlatego że jest im obojętna strategia,
Bardziej szczegółowoPropedeutyka teorii gier
Propedeutyka teorii gier AUTORZY: KAROLINA STOLARCZYK, WIKTOR SZOPIŃSKI, KONRAD TOMASZEK, MATEUSZ ZAKRZEWSKI WYDZIAŁ MINI POLITECHNIKA WARSZAWSKA ROK AKADEMICKI 2016/2017, SEMESTR LETNI KRÓTKI KURS HISTORII
Bardziej szczegółowoBisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja
Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 18.03.2009 Plan prezentacji Przypomnienie: Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje
Bardziej szczegółowoElementy teorii gier. Badania operacyjne
2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoTeoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.
Bardziej szczegółowoWyznaczanie strategii w grach
Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych
Bardziej szczegółowoGry w postaci normalnej
Gry w postaci normalnej Rozgrzewka Przykład 1. (Dylemat więźnia) Dwóch przestępców, którzy zorganizowali napad na bank, zostało tymczasowo aresztowanych i czeka ich rozprawa. Jeżeli obaj będa zeznawać
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne.
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Równowagi Nasha. Rozwiązania niekooperacyjne. Przypomnienie Gra o sumie zerowej Kryterium dominacji Kryterium wartości oczekiwanej Diagram przesunięć Równowaga Can a Round
Bardziej szczegółowoTemat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe
Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu
Bardziej szczegółowoLista zadań. Równowaga w strategiach czystych
Lista zadań Równowaga w strategiach czystych 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Podaj definicję Pareto optymalności i znajdź pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,-1 (b)
Bardziej szczegółowoZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),
Bardziej szczegółowoTeoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.
Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz
Bardziej szczegółowoGry o sumie niezerowej
Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a
Bardziej szczegółowoModelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.
GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy
Bardziej szczegółowoTeoria Gier. Piotr Kuszewski 2018L
Teoria Gier Piotr Kuszewski 2018L Tematyka wykładów plan akcji Wykład I John von Neumann Trochę historii Czym jest gra i strategia Użyteczność Jak wyeliminować niektóre strategie Wykład II John Nash Równowaga
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER. Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier. Rok 1994: Nagroda Nobla z dziedziny ekonomii
TEORIA GIER HISTORIA TEORII GIER Rok 1944: powszechnie uznana data narodzin teorii gier Monografia: John von Neumann, Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teoria gier i postępowanie
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoCzym zajmuje się teroia gier
Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 12 Teoria gier II Spis treści Wstęp Oligopol, cła oraz zbrodnia i kara Strategie mieszane Analiza zachowań w warunkach dynamicznych Indukcja wsteczna Gry powtarzane
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Teoria gier. Odróżniać losowość od wiedzy graczy o stanie!
Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), 2-osobowe(np. szachy, warcaby, go, itp.), wieloosobowe(np. brydż, giełda, itp.); wygraną/przegraną:
Bardziej szczegółowoSchemat sprawdzianu. 25 maja 2010
Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,
Bardziej szczegółowoTeoria gier. Wykład7,31III2010,str.1. Gry dzielimy
Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy Wykład7,31III2010,str.1 Gry dzielimy ze względu na: liczbę graczy: 1-osobowe, bez przeciwników(np. pasjanse, 15-tka, gra w życie, itp.), Wykład7,31III2010,str.1 Gry
Bardziej szczegółowo-Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji
1 -Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji 2 Teoria gier bada,w jaki sposób gracze powinnirozgrywać grę, a każdy dąży do takiego wyniku gry, który daje mu jak największą
Bardziej szczegółowoDaria Sitkowska Katarzyna Urbaniak
Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.
Bardziej szczegółowoGry wieloosobowe. Zdzisław Dzedzej
Gry wieloosobowe Zdzisław Dzedzej 2012 2013-01-16 1 Przykład 1 Warstwa A Warstwa B K K W A B W A B A 1,1,-2-4,3,1 A 3,-2,-1-6,-6,12 B 2,-4,2-5,-5,10 B 2,2,-4-2,3,-1 2013-01-16 2 Diagram przesunięć 2013-01-16
Bardziej szczegółowoHyper-resolution. Śmieciarki w Manncheim
Hyper-resolution Hyper-resolution Algorytm repeat NGi NGi NGj NGi nowe Nogoods, które da się wywieść z NGi if NGi then NGi NGi NGi roześlij NGi do wszystkich sąsiadów if NGi then stop end until NGi nie
Bardziej szczegółowoElementy teorii gier
Elementy teorii gier. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. U 2,3-2,7 D 6,-5 0,- U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Pewien ojciec ma dwóch synów. Umierając zostawia
Bardziej szczegółowoCzym zajmuje się teroia gier
Czym zajmuje się teroia gier Analiza zachowań graczy (czyli strategii graczy) jak zachowują się gracze jakie są ich możliwe zachowania czy postępują racjonalnie i co to znaczy Poszukiwanie optymalnych
Bardziej szczegółowoDowód probabilistyczny Uwagi do dowodu Bibliografia. Prawo Haczykowe. Łukasz Bieniasz-Krzywiec
09.10.2008 Plan prezentacji 1 Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe 2 3 4 Diagram Ferrersa Wstęp Diagram Ferrersa Tableau Young a Haczyk (Hook) Twierdzenie Haczykowe
Bardziej szczegółowoMikroekonomia. O czym dzisiaj?
Mikroekonomia Joanna Tyrowicz jtyrowicz@wne.uw.edu.pl http://www.wne.uw.edu.pl/~jtyrowicz 1.12.2007r. Mikroekonomia WNE UW 1 O czym dzisiaj? Macierze wypłat, czyli ile trzeba mieć w razie się straci...
Bardziej szczegółowoTeoria gier. mgr Przemysław Juszczuk. Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych Figure: Podział gier Definicje Formalnie, jednoetapowa gra w postaci strategicznej dla n graczy definiowana jest jako:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii gier
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 1 1 Klasyfikacja gier 2 Gry macierzowe, macierz wypłat, strategie czyste i mieszane 3 Punkty równowagi w grach o sumie zerowej 4 Gry dwuosobowe oraz n-osobowe
Bardziej szczegółowoModelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?
Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny
Bardziej szczegółowoGRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej)
GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ (rozwiniętej) Gra w postaci ekstensywnej formalny opis wszystkich możliwych przebiegów gry, z uwzględnieniem struktury czasowej, możliwości wielokrotnego podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER WPROWADZENIE. Czesław Mesjasz
TEORIA GIER WPROWADZENIE Czesław Mesjasz 2010 1 GENEZA TEORII GIER Próby budowy matematycznych modeli konfliktów i negocjacji podejmowane były już przez A. Cournota, F. Edgewortha i F. Zeuthena. Koncepcje
Bardziej szczegółowo1 S t r o n a. Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania
1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę,
Bardziej szczegółowoSkowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.
mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w
Bardziej szczegółowoLista zadań. 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne.
Lista zadań 1. Podaj wszystkie czyste równowagi Nasha. Zaznacz pary strategii, które są Pareto optymalne. (a) U 2,3-2,7 D 6,-5 0,-1 (b) U 2,3-2,7 D 6,-5 3,5 2. Rozwiąż gry używając algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowoTeoria gier w ekonomii - opis przedmiotu
Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki
Bardziej szczegółowoEKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER.
Wykład 5 Oligopol. Strategie konkurencji a teoria gier. 1 OLIGOPOL. STRATEGIE KONKURENCJI A TEORIA GIER. 1. OLIGOPOL Oligopol - rynek, na którym działa niewiele przedsiębiorstw (od do 10) Cecha charakterystyczna
Bardziej szczegółowoStrategie kwantowe w teorii gier
Uniwersytet Jagielloński adam.wyrzykowski@uj.edu.pl 18 stycznia 2015 Plan prezentacji 1 Gra w odwracanie monety (PQ penny flip) 2 Wojna płci Definicje i pojęcia Równowagi Nasha w Wojnie płci 3 Kwantowanie
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą
TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji
Bardziej szczegółowoMixed-UCT: Zastosowanie metod symulacyjnych do poszukiwania równowagi Stackelberga w grach wielokrokowych
Mixed-UCT: Zastosowanie metod symulacyjnych do poszukiwania równowagi Stackelberga w grach wielokrokowych Jan Karwowski Zakład Sztucznej Inteligencji i Metod Obliczeniowych Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych
Bardziej szczegółowoMikroekonomia II: Kolokwium, grupa II
Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Prowadząca: Martyna Kobus 2012-06-11 Piszemy 90 minut. Sprawdzian jest za 70 punktów. Jest 10 pytań testowych, każde za 2 punkty (łącznie 20 punktów za test) i 3 zadania,
Bardziej szczegółowoRuletka czy można oszukać kasyno?
23 stycznia 2017 Ruletka czy można oszukać kasyno? M. Dworak, K. Maraj, S. Michałowski Plan prezentacji Podstawy ruletki System dwójkowy (Martingale) Czy system rzeczywiście działa? 1/22 Podstawy ruletki
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER- semestr zimowy 2011. ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej
TEORIA GIER- semestr zimowy 2011 ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej 1. Jaś i Małgosia dostali do podziału między siebie cztery zabawki, z których każda jest niepodzielna: dwie identyczne lalki, misia
Bardziej szczegółowoAukcje groszowe. Podejście teoriogrowe
Aukcje groszowe Podejście teoriogrowe Plan działania Aukcje groszowe Budowa teorii Sprawdzenie teorii Bibliografia: B. Platt, J. Price, H. Tappen, Pay-to-Bid Auctions [online]. 9 lipca 2009 [dostęp 3.02.2011].
Bardziej szczegółowour. 28 Czerwca 1928 w Bluefield w Wirginii, matematyk i ekonomista, profesor Uniwersytetu Princeton
ur. 28 Czerwca 1928 w Bluefield w Wirginii, matematyk i ekonomista, profesor Uniwersytetu Princeton Przygotowali Ostrowski Damian Ryciak Norbert Ryciuk Wiktor Seliga Marcin Lata młodości ojciec John Forbes
Bardziej szczegółowoWYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA
WYTYCZNE DOTYCZĄCE PRAWIDŁOWEGO PRZEBIEGU GIER W MISTRZOSTWACH SZKÓŁ PODSTAWOWYCH W TABLICZCE MNOŻENIA SZYBKI BILL 15 kart czerwonych i 15 kart czarnych na których występują trudniejsze przypadki tabliczki
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa w grach losowych.
Rachunek prawdopodobieństwa w grach losowych. Lista zawiera kilkadziesiąt zadań dotyczących różnych gier z użyciem kart i kości, w tym tych najbardziej popularnych jak brydż, tysiąc itp. Kolejne zadania
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoGRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne
GRY DWUOSOBOWE O SUMIE NIEZEROWEJ 1. 2. Równowaga Nasha Rozwiązania niekooperacyjne Gdy dwuosobowa gra nie jest grą o sumie zerowej, to aby ją opisać musimy podać wypłaty obu graczy. Jak wiadomo niektóre
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER - semestr zimowy 2011
TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 Przykładowe rozwiązania 4. Gracz I, mąż, wychodzi pod wieczór z domu mówiąc, że idzie jeszcze popracować. W rzeczywistości dopiero zdecyduje, czy naprawdę pójdzie do pracy,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowoa) Znajdź równowagi Nasha tej gry oraz wypłaty w równowadze obu tenisistek...
Egzamin z przedmiotu: Wstęp do Teorii Gier Zadanie 1 Prowadzący: dr Michał Lewandowski gnieszka Radwańska gra w tenisa z Karoliną Woźniacki. gnieszka może zaserwować na backhand lub na forehand Woźniacki.
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoDane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik:
Elementy teorii gier Dane są następujące reguły gry losowej: losujemy jedną kartę z pełnej talii (bez jokerów) i sprawdzamy wynik: wylosowanie karty w kolorze czerwonym (kier lub karo) oznacza wygraną
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoPlan. Prosty model aukcji: Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach słabo dominujących Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha
Plan Przypomnienie: Dominacja oraz równowaga Nasha Model konkurencji ilościowej Cournot Model konkurencji cenowej Bertranda jednakowe produkty produkty zróżnicowane Prosty model aukcji: Aukcja drugiej
Bardziej szczegółowoGra karciana dla dwóch graczy umiejscowiona w post-apokaliptycznym Wrocławiu. PRZYGOTOWANIE GRY
Gra karciana dla dwóch graczy umiejscowiona w post-apokaliptycznym Wrocławiu. Autor: Adam Korkosz Ilustracje: Ludwik Łukaszewski PRZYGOTOWANIE GRY 1. Należy potasować talię 36 kart postaci, następnie gracze
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5
Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Wykład prowadził dr hab. Igor Walukiewicz Notatki przygotował Dymitr Pszenicyn 02-04-2003 1 Spis treści 1 Przypomnienie 3 1.1
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoEgzamin z Wstępu do Teorii Gier. 19 styczeń 2016, sala A9, g Wykładowca: dr Michał Lewandowski. Instrukcje
Egzamin z Wstępu do Teorii Gier 19 styczeń 2016, sala A9, g. 11.40-13.10 Wykładowca: dr Michał Lewandowski Instrukcje 1) Egzamin trwa 90 minut. 2) Proszę wyraźnie zapisać swoje imię, nazwisko oraz numer
Bardziej szczegółowoOdmiany Gry. Rozpoczęcie gry
Odmiany Gry Limit: każda runda ma określony wcześniej limit podbicia, Pot-Limit: w każdej rundzie gracz nie może postawić więcej niż wartość puli znajdującej się na stole, No-Limit: w każdej chwili można
Bardziej szczegółowoEGZAMIN DYPLOMOWY, część II, Biomatematyka
Biomatematyka Niech X n oznacza proporcję pozycji w nici DNA, które po n replikacjach są obsadzone takimi samymi nukleotydami, jak w chwili początkowej, tak więc X 0 = 1. Zakładamy, że w każdej replikacji
Bardziej szczegółowo1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2
1. Które z następujących funkcji produkcji cechują się stałymi korzyściami ze skali? (1) y = 3x 1 + 7x 2 (2) y = x 1 1/4 + x 2 1/3 (3) y = min{x 1,x 2 } + min{x 3,x 4 } (4) y = x 1 1/5 x 2 4/5 a) 1 i 2
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań
Algorytmiczne Aspekty Teorii Gier Rozwiązania zadań Bartosz Gęza 19/06/2009 Zadanie 2. (gra symetryczna o sumie zerowej) Profil prawdopodobieństwa jednorodnego nie musi być punktem równowagi Nasha. Przykładem
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 90...... Zadanie 1. (8 punktów) Załóżmy, że w diploidalnej populacji, dla której zachodzi prawo Hardy ego- Weinberga dla loci o dwóch allelach A i a proporcja osobników o genotypie AA wynosi
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne (dr Robert Kowalczyk) Wykład: Poniedziałek 16.15-.15.48 (sala A428) Ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Wykład nr 9: Przybliżanie liczb rzeczywistych. Ułamki łańcuchowe (cz.1) Semestr letni 2018/2019
Teoria liczb Wykład nr 9: Przybliżanie liczb rzeczywistych. Ułamki łańcuchowe (cz.1) Semestr letni 2018/2019 Trzy sposoby definiowania liczb rzeczywistych Dedekind Parę (A, B) podzbiorów zbioru Q nazywamy
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 11 Teoria gier Spis treści Wstęp Postać ekstensywna Strategie Postać normalna Równowaga Nasha Wstęp W sporcie i grach towarzyskich najczęściej mamy do czynienia
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER. Wspólna wiedza dotyczy nie tylko zachowań (reguł postępowania), ale i samej gry : każdy zna jej reguły i wypłaty (swoje i uczestników).
TEOR GER 1. Wstęp Teoria gier jest dziedziną zajmującą się opisem sytuacji, w których podmioty (gracze) podejmujący świadome decyzje (nazywane strategie), w wyniku których zapadają rozstrzygnięcia mogące
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
IMIE I NAZWISKO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 100 ZADANIE 1 (5 PKT) Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A na każdej kostce wypadła
Bardziej szczegółowo11/22/2014. Jeśli stała c jest równa zero to takie gry nazywamy grami o sumie zerowej.
/22/24 Dwuosobowe gry o sume zero DO NAUCZENIA I ZAPAMIĘTANIA: Defnca zaps ger o sume zero, adaptaca ogólnych defnc. Punkt sodłowy Twerdzena o zwązkach punktu sodłowego z koncepcam rozwązań PRZYPOMNIENIE:
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowo