Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Transkrypt

1 Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria gier modelowanie strategicznego zachowania uczestników, których decyzje wzajemnie wpływają na decyzje. Zajmuje się ona badaniem optymalności decyzji w sytuacjach, w których 2 lub więcej podmiotów (graczy) podejmuje decyzje jednocześnie lub w określonej sekwencji Decyzja jednego gracza wpływa nie tylko na jego własny wynik, ale również na wynik innych graczy (np. gry o sumie zerowej) To, czy decyzja danego gracza jest trafna zależy od decyzji pozostałych graczy. Dlatego nazywamy je strategiami. Podejmując decyzję gracz musi umieć przewidzieć co zrobią pozostali gracze (unikajmy słowa: przeciwnicy)

2 Nobliści z Ekonomii za prace TG 1978 Herbert Simon ewolucyjna teoria gier 1994 John Nash, John Harsanyi, Reinhard Selten rozwój teorii gier, równowaga Nash a 1996 James Mirrlees, William Vickrey modelowanie przetargów, konflikty z asymetryczną informacją uczestników 2005 Robert Aumann, Thomas Shelling rozwiązywanie konfliktów 2007 Leonid Hurwicz, Eric Maskin, R. Myerson mechanizmy rynkowe i regulacje

3 Zastosowanie Teorii gier Analiza oligopoli (kilka firm na rynku) Analiza karteli (zwłaszcza stabilności) Zachowanie podmiotów na rynku (groźby, blokowanie wejścia, wiarygodność) Koszty zewnętrzne (zasoby wspólne, niepieniężne efekty działań odczuwane przez innych) Negocjacje Aukcje Przetargi itd

4 Gra Sytuacja w której gracze podejmują strategiczne decyzje Zbiór graczy (czyli ile uczestników gry) Zbiór strategii (możliwe decyzje każdego gracza) Zbiór wypłat (dla każdego gracza, zależnych od decyzji podjętych przez wszystkich graczy) Szukamy optymalnych strategii graczy (maksymalizujących oczekiwane wypłaty) Gracze są racjonalni Najprostszym rodzajem gier są tzw. gry macierzowe Gry macierzowe są dwu-osobowe Wiersze macierzy reprezentują strategie gracza 1 Kolumny reprezentują strategie gracza 2 Wnętrze macierzy opisuje wynik gry z zależności od decyzji graczy.

5 Macierz wypłat gracz II 2 gracz I Góra R LewoR Prawo 403, 9, 40 1, 860, 30 N Dół 300, 0, 60 50,2, 1 50 Wynik opisany jest za pomocą wypłat dla obu graczy Pierwsza liczba to wypłata gracza 1, druga wypłata gracza 2 Gra jednoczesna Gracze wybierają strategię znając macierz, ale nie znając decyzji drugiego gracza

6 Strategia dominująca Czy dla któregoś gracza istnieje strategia zawsze lepsza od innych? Strategia dominująca strategia, która jest zawsze lepsza od wszystkich innych strategii danego gracza niezależnie od tego co zrobią pozostali gracze Równowaga w strategiach dominujących (2 gracze) każdy gracz wybiera swoją strategię dominującą wynik gry jest określony przez parę strategii dominujących Nie każda gra musi w ogóle mieć strategię dominującą

7 Strategia dominująca Firma A Firma B Reklamować Nie reklamować Reklamować 10,5 15,0 Nie reklamować 6,8 10,2 Dla Firmy A niezależnie od tego co zrobi przeciwnik lepiej reklamować strategia dominująca Dla Firmy B niezależnie od tego co zrobi przeciwnik lepiej reklamować strategia dominująca Równowaga gry w strategiach dominujących

8 Strategia zdominowana Czy dla któregoś gracza istnieje strategia zawsze gorsza od innych? Strategia zdominowana strategia, dla której istnieje inna jedna strategia, która jest zawsze od niej lepsza, niezależnie od tego co zrobią pozostali gracze Strategie zdominowane możemy wyeliminować z gry. Powtarzając iteracyjnie proces eliminacji strategii zdominowanych, czasem możemy dojść do rozwiązania gry Nawet jeśli strategia nie jest zdominowana, może się nie opłacać jej wybierać

9 Strategia zdominowana Firma B Spoty TV Billboardy Nic Spoty TV 10,10 15,5 20,15 Firma A Billboardy 5,15 20,20 15,0 Nic 0,20 0,15 0,0 Dla gracza A Nic zdominowana, bo Spoty TV zawsze lepsza Gracz A nigdy nie będzie wybierał strategii zdominowanej równowaga nigdy się tam nie ukształtuje Dla gracza B brak strategii zdominowanych Czasem stosując taką iterowaną procedurę można znaleźć równowagę całej gry równowaga w zakresie strategii racjonalizowanych

10 Równowaga Nash a Jest para strategii (s 1, s 2 ), które są wzajemnymi najlepszymi odpowiedziami, tzn. s 1 jest najlepszą odpowiedzią na s 2 i vice versa Taka para strategii jest rozwiązaniem gry Żaden z graczy nie ma podstaw do jednostronnego odstąpienia od wybranej strategii Gra może mieć więcej niż jedną równowagę Nash a Równowaga Nash a nie musi być optymalna w sensie Pareto (dylemat więźnia)

11 NE wg filmu Piękny Umysł (2001) 4 graczy (mężczyźni) + 5 kobiet (w tym 1 piękna blond) Lekcja Adama Smitha - we współzawodnictwie, indywidualne ambicje służą wspólnemu dobru.... Każdy odpowiada za siebie. I odkładamy na bok przyjaźnie.... Tu chodzi o blondynkę. Najpierw wszyscy spróbują z nią... ale dostaną kopa... później pójdą po koleżanki... ale też się nie uda, bo nie chcą być tymi drugimi. A co jeżeli nikt nie ruszy do blondynki? Nikt nie wejdzie sobie w drogę... i nie obrazimy pozostałych dziewczyn. I wszyscy wygrywają. To jedyny sposób, żeby się udało. Adam Smith powiedział, że każdy w grupie... powinien robić to co dla niego najlepsze... ale to jest błędne... Trzeba wziąć poprawkę na grupę.... Każdy robi to co dla niego i dla grupy najlepsze - równocześnie.

12 Dylemat więźnia Nie wszystkie równowagi Nasha gry muszą być optimum Pareto Właściwie, żadna z równowag nie musi być optimum Pareto! Taki przypadek opisuje tzw. Dylemat więźnia Kaczmarek/Jakubowska Sypać Milczeć Ziobro/Rywin Sypać 10, 10 1, 30 Milczeć 30, 1 2, 2 Dla każdego z graczy Sypać strategią dominującą Równowaga Nasha gry to (S,S) nie pokrywa się z optimum Pareto

13 Równowaga Nash a Czy każda gra ze skończoną liczbą graczy i skończoną liczbą strategii ma równowagę Nash a? Nie, w strategiach czystych Tak, w strategiach mieszanych Gracze mogą wybierać kombinacje swoich strategii czystych z określonym prawdopodobieństwem strategie meiszane Równowaga Nasha w zakresie strategii mieszanych żaden z graczy nie ma podstaw, żeby jednostronnie zmienić prawdopodobieństwa zagrywania swoich strategii czystych

14 Równowaga Nasha w zakresie strategii mieszanych Gracz A Gracz B Lewo Prawo Góra 1,2 0,4 Dół 0,5 3,2 Gracz A zamiast grać G lub D może grać je z pewnymi prawdopodobieństwami ( pg, pd) = ( pg,1 pg) Gracz A miesza swoje strategie czyste Strategią mieszaną jest rozkład prawdopodobieństwa dla różnych strategii gracza A ( pg,1 pg) Nieskończenie wiele możliwości (w tym strategie czyste)

15 Równowaga Nasha w zakresie strategii mieszanych Gracz A ( p G ) ( p ) Lewo Gracz B p Prawo ( p ) Góra 1,2 0,4 1 G ( ) L Dół 0,5 3,2 1 L Oczekiwana wartość wypłaty gracza A z wyboru strategii: A Góra to: EX G = ( pl) 1+ ( 1 pl) 0 A Dół to: EX D = ( pl) 0+ ( 1 pl) 3 Oczekiwana wartość wypłaty gracza B z wyboru strategii: B Lewo to: EX L = ( pg) 2+ ( 1 pg) 5 B Prawo to: EX = ( p ) 4+ ( 1 p ) 2 P G G

16 Równowaga Nasha w zakresie strategii mieszanych Gracz B Lewo ( p L ) Prawo ( 1 pl ) Gracz A Góra ( p G ) 1,2 0,4 Dół ( 1 pg ) 0,5 3,2 Oczekiwana wypłata gracza A to Oczekiwana wypłata gracza B to ( ( ) ) ( 1 ( 1 ) ) A = ( A A G) G + ( 1 G) D = G( ( L) 1+ ( 1 L) 0) + ( 1 G) (( L) 0+ ( 1 L) 3) = G L + 31 ( L)( 1 G) = 4 G L 3 L 3 G + 3 B = ( B B L) L + ( 1 L) P = L( G 2+ ( 1 G) 5) + ( 1 L) ( G 4+ ( 1 G) 2) = p p + p ( p ) + ( p ) p + ( p )( p ) = EX p EX p EX p p p p p p p p p p p p p p EX p EX p EX p p p p p p L G L G L G L G 5p p + 3p + 2p + 2 L G L G EX = p EX + p EX A A A G G G D EX = p EX + p EX B B B L L L P

17 Równowaga Nasha w zakresie strategii mieszanych A EX = pg B EX = pl 0 0 A EX = 4pL 3= 0 pg B EX = 5pG + 3= 0 pl pg = p = L Gracz A Góra p = 35 G Dół P = D 25 Lewo Gracz B p = 34 Prawo P = 14 L 1,2 0,4 0,5 3,2 P A B EX = 34 EX = 16 5

18 Równowaga Nasha w zakresie strategii mieszanych Alternatywny sposób: Gracz A ( p G ) ( p ) Lewo Gracz B p Prawo ( p ) ( ) L Góra 1,2 0,4 1 G Dół 0,5 3,2 1 L Każdy gracz tak ustala swoje prawdopodobieństwa wyboru strategii czystych, żeby przeciwnikowi było wszystko jedno którą strategię zagrać A ( ) ( ) A EX = p 1+ 1 p 0= EX = p 0+ 1 p 3 G L L D L L B ( ) ( ) B EX = p 2+ 1 p 5= EX = p 4+ 1 p 2 L G G P G G p G 3 3 =, pl = 5 4

19 Gry powtarzalne Gra powtarzalna odbywa się określoną liczbę razy Wypłaty realizowane są wielokrotnie Gracze wypracowują sobie reputację Częste zastosowania rynkowe Optymalna strategia zależy zwykle od tego czy gra powtarzalna: Nieskończona Skończona

20 Gry powtarzalne Ziobro/Rywin Kaczmarek/Jakubowska Sypać Milczeć Sypać 10, 10 1, 30 Milczeć 30, 1 2, 2 Np. gra powtarzana 3 razy co opłaca się zrobić w ostatniej iteracji? Skoro wiadomo, że w ostatniej przeciwnik zdradzi, co opłaca się zrobić w przedostatniej? Co jeśli gra ma powtórzeń? Ale jeśli gra ma nieskończenie wiele powtórzeń mogą istnieć inne wiarygodne równowagi Nasha

21 Gry powtarzalne Eksperyment Axelroda (1980) Konkurs na strategię w iterowanym dylemacie więźnia Różne strategie rywalizowały ze sobą w różnych kontekstach Zmiany przeciwników / ci sami przeciwnicy Znana liczba rund / nieznana liczba rund Wet za wet (tit for tat): 1. Początkowo współpracuj 2. W przypadku zdrady, w kolejnym okresie zdradź (raz) Strategie zapadkowe (trigger strategy) Jeśli raz cię ktoś zdradził zdradzaj go do końca świata