Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1"

Wacława Kubicka
4 lat temu
Przeglądów:

1 Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 1

2 Zasady współpracy wykłady nie są obowiązkowe, ale nieobecności będą odnotowywane nieobecności nie należy usprawiedliwiać, nieobecności rzutują na swobodę wyboru zadań na egzaminie egzamin odbędzie się, będą? pytania teoretyczne i? zadania miesiąc przed egzaminem pojawi się zestaw tematów teoretycznych i przykładowe zadania (podobne w sensie trudności będą na egzaminie)

3 Logika Definicja Zdanie, któremu można przypisać wartość logiczną, prawdę (oznaczenie 1) lub fałsz (oznaczenie 0), nazywamy zdaniem logicznym. Przykłady Budynek Wydziału MFiI UG znajduje się przy ulicy Wita Stwosza. Budynek Wydziału MFiI UG ma 6 pięter. 91 jest liczbą pierwszą. 101 jest liczbą pierwszą. Prędkość światła w próżni wynosi m/s

4 Typy zdań logicznych p q koniunkcja (jest prawdziwa tylko w jednym przypadku ) p q alternatywa (jest fałszywa tylko w jednym przypadku ) p q implikacja (jest fałszywa tylko w jednym przypadku ) p q równoważność (jest prawdziwa w dwóch przypadkach: )

5 Przykłady 4 > Jeśli dzisiaj jest poniedziałek, to za 20 dni będzie Jeśli dzisiaj jest wtorek, to jesteśmy w Belgii. (tytuł filmu z 1969 roku)

6 Ciekawostka p q r s p q r s

7 Niektóre prawa dotyczące p q q p zdań logicznych (p q) ((p q) (q p)) ~(p q) ~p ~q, ~(p q) ~p ~q (prawa de Morgana) (p q) ~p q ~(p q) p ~q

8 Zbiory i działania na zbiorach A = {1, 2, 3, 4}, N = {0, 1, 2, }, Z = {0, ±1, ±2, }, Q = { l : l Z, m Z 0 } m R zbiór liczb rzeczywistych B = x R: x + 1 5

9 Operacje na zbiorach, własności suma zbiorów A B = {x: x A x B} różnica zbiorów A\B = {x: x A x B} iloczyn zbiorów A B = {x: x A x B} dopełnienie zbioru, A X, A = {x X: x A} iloczyn kartezjański zbiorów A B = { x, y : x A x B} A B = B A A B = B A X =, = X

10 Funkcje Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y nazywamy funkcją ze zbioru X w zbiór Y i oznaczamy f: X Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, zbiór Y przeciwdziedziną funkcji f.

11 Funkcja liniowa f: R R, f x 20 = ax + b, a, b R

12 Funkcja kwadratowa f: R R, f x = ax 2 + bx + c, a, b, c R, a

13 Funkcja kwadratowa f: R R, f x = ax 2 + bx + c, a, b, c R, a x w = b 2a, y w = 4a, = b2 4ac, x 1 = b 2a, x 2 = b + 2a x 1 + x 2 = b a, x 1 x 2 = c a

14 Funkcja wartość bezwzględna

15 Operacje na funkcjach dodawanie funkcji odejmowanie funkcji mnożenie funkcji dzielenie funkcji składanie funkcji

16 Odwracanie funkcji f: X Y, f x = y; chcemy znaleźć taką funkcję g: Y X, że g f x = x, f g y = y. Powrót w to samo miejsce nie zawsze jest możliwy; jeśli jest możliwy, to funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do f i oznaczamy f 1.

17 Podręczniki [K] Grażyna Kwiecińska, Matematyka. Analiza funkcji jednej zmiennej, Wydawnictwo UG [GS] Marcin Gewert, Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS

18 Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Ćwiczenia 1

19 Zasady naszej współpracy Ćwiczenia są obowiązkowe, można mieć tylko jedną nieobecność nieusprawiedliwioną. Nieobecności należy usprawiedliwiać szybko. Będzie kilka kartkówek (około 10 minutowych); na ogół będą to zadania domowe. Kolokwium odbędzie się 9 stycznia. Co pewien czas przed kolokwium pojawiać się będą zestawy zadań, podobne w sensie trudności i typu będą na kolokwium.

20 Logika 1. Podaj przykład: a) koniunkcji prawdziwej, b) koniunkcji nieprawdziwej, c) alternatywy nieprawdziwej, d) implikacji nieprawdziwej, e) równoważności nieprawdziwej. 2. Udowodnij, że równoważność (p q) ~p q jest prawdziwa.

21 Zbiory i działania na zbiorach 3. Dane są podzbiory R 2 : A = x, y : 2x + 1 < 5, B = { x, y : 4x + 2y 6}. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory A B, A B, B\A. 4. W rachunku zbiorów prawdziwe jest prawo A B = B A (prawo przemienności iloczynu zbiorów). Uzasadnij to prawo.

22 Funkcje (dziedzina, zbiór wartości) 5. Znajdź możliwie największą dziedzinę funkcji: a) f x = x 2 3x 4 3 b) f x = x 8 3x Znajdź zbiór wartości funkcji: a) f: R R, f x = 0,5x + 2 b) f: R R, f x = 2x 2 + 3x + 5 c) f: R R, f x = x 4 + 3x d) f: R R, f x = x 2 + 3

23 Zadanie domowe 1. Udowodnij jedno z praw de Morgana. 2. Dane są podzbiory R 2 : A = x, y : 2y + 1 > 5, B = { x, y : 4x + 2y 6}. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory A B, A B, B\A. 3. Znajdź zbiór wartości funkcji f: R R, f x = x 2 + 3x + 2 3

Podobne dokumenty

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja