Analiza komparatywna koncepcji czasowej struktury stóp procentowych. Podejście analityczne i krytyczne

Transkrypt

1 Dr Agaa Gemzik-Salwach Kaedra Makroekonomii Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie Analiza komparaywna koncepcji czasowej srukury sóp procenowych. Podejście analiyczne i kryyczne Wprowadzenie Czasowa srukura sóp procenowych jes niewąpliwie jednym z podsawowych i najbardziej isonych obszarów zaineresowań rynków finansowych i całej gospodarki. Definiuje się ją dość proso jako relacje, w jakich pozosają sopy dochodowości insrumenów dłużnych o różnych erminach do wykupu, naomias graficzny obraz ych związków określa się jako krzywą dochodowości. Zmiany krzywej dochodowości odzwierciedlają konkurencję panującą zarówno na rynku pieniężnym, jak i kapiałowym, oczekiwaną inflację oraz zmiany warunków gospodarczych. Analiza przebiegu krzywej sopy procenowej pozwala na zorienowanie się, jakich sawek oprocenowania można się spodziewać w przyszłości. Na ej podsawie zbudowane zosały inne liczne koncepcje, np. umożliwiające szacowanie ryzyka kredyowego, wycenę insrumenów pochodnych na sopę procenową czy założenie o równowadze rynku finansowego. Naomias już esymacja srukury erminowej sóp procenowych, mimo iż przydana, jes równocześnie dość skomplikowana. Należy zmierzyć się u zarówno z wyborem jednej z wielu możliwych dróg esymacji, zasanowić się nad doborem właściwych danych, jak i uporać się z problemem niewysarczającej płynności rynku. W obliczu isnienia wielu koncepcji wyjaśniających kszał krzywej dochodowości oraz dużej liczby problemów, kóre powinny zosać rozwiązane przy esymacji krzywej dochodowości, powsało spore zamieszanie związane ze sosowaną erminologią oraz meodologią. Celem arykułu jes zebranie i przedsawienie w syneycznej formie zagadnień związanych z eorią czasowej srukury sóp procenowych oraz jej esymacją w oparciu o grunowne sudia lieraurowe. Podjęa zosała u próba uporządkowania i usysemayzowania obecnego sanu wiedzy na en ema. Teorie erminowej srukury sóp procenowych Teorie erminowej srukury sóp procenowych poprzez opis czynników deerminujących ich zróżnicowanie czasowe oraz objaśnienia mechanizmów kszałujących poziom sanowią podsawę prognozy sóp erminowych. Badaniem przebiegu krzywej dochodowości ekonomiści zajmowali się przez większą część XX w., pomimo o pierwsze modele maemayczne, dające się skuecznie sosować w prakyce, pojawiły się dopiero w połowie la 70., a modele bardziej realisyczne bazujące na sopie forward dopiero na począku la 90.. Isnieje wiele konkurujących ze sobą modeli objaśniających kszałowanie się sóp procenowych na rynku i ich zróżnicowanie czasowe, kóre częso sprowadza się do rzech zasadniczych podejść 3 : eorii oczekiwań, eorii nauralnych preferencji, Szerzej: F.J. Fabozzi, Bond Markes, Analysis and Sraegies, Prenice Hall, 00; J. Van Horne, Financial Marke Raes and Flow, Prenice Hall, 00; M. Livingson, Bonds and Bond Derivaives, Blackwell Publishing, Boson 005; W. Semmler, Asse Prices Booms and Recessions, Springer, 004. A. Weron, R. Weron, Inżynieria finansowa, Wydawnicwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 998, s J.F. Sinkey, Commercial Bank Financial Managemen in he Financial-Services Indusry, Macmillan Publishing Company, New York 99, s. 39. Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie 40

2 eorii preferowanych habiaów (segmenacji rynków). Każda z ych koncepcji opiera się na szeregu upraszczających założeń, kóre mogą sanowić ich wyróżnik, ale równocześnie podsawę wysuwanych wobec nich zarzuów. Należy w ym miejscu podkreślić, że żadna ze sworzonych do ej pory hipoez nie wyjaśnia w sposób zadowalający empirycznych obserwacji kszałów przybieranych przez krzywą dochodowości. Najsarsze i najbardziej rozpowszechnione podejście o wywodząca się od I. Fischera 4 eoria oczekiwań, kóra swój rozwój zawdzięcza F.A. Luzowi 5 i D. Meiselmanowi 6 (o ich częso uważa się za jej wórców). Wśród wcześniej prowadzonych badań zmierzających w kierunku ej hipoezy można wymienić prace auorswa B.J. Saya 7, E.V. Bohm-Bawerka 8 oraz H. Sidgwicka 9. Opiera się ona na nasępujących założeniach:. Wszyskie podmioy gospodarcze wysępujące na rynku zachowują się w sposób racjonalny, a ich celem jes maksymalizacja zysków.. Insrumeny finansowe o jednakowym, konrakowym okresie rwania są homogeniczne. 3. Na rynku brak jes barier wejścia i wyjścia na jego poszczególne segmeny. 4. Wszyscy inwesorzy mają pełny dosęp do informacji. Analizując powyższe warunki, można swierdzić, że mamy do czynienia z rynkiem doskonale efekywnym, na kórym podmioy gospodarcze przechodzą swobodnie, bez żadnych koszów ransakcyjnych pomiędzy jego segmenami, wybierając en, kóry w danym momencie przynosi najwyższy zysk. Te obwarowania w połączeniu z jednakowym dosępem do informacji implikują homogeniczność zachowań inwesorów, kórych deerminaną są oczekiwania doyczące przyszłego kszałowania się poziomu sóp procenowych 0. Uczesnicy rynków finansowych poprzez swoje decyzje dają wyraz oczekiwań co do kszałowania się sawek w przyszłości. Jeżeli dominująca liczba podmioów gospodarczych oczekuje w przyszłości wzrosu krókoerminowych sóp procenowych, o sopa długoerminowa, jako średnia z oczekiwanych warości sóp krókoerminowych, będzie wyższa od sopy krókoerminowej, a krzywa sopy procenowej będzie rosnąca. W przypadku oczekiwanego spadku sóp krókoerminowych będziemy mieć do czynienia z syuacją odwroną. Płaski przebieg krzywej dochodowości sopy procenowej świadczyłby o niesprecyzowanych oczekiwaniach uczesników rynku. Wobec powyższych swierdzeń zależność pomiędzy króko- i długoerminowymi sopami procenowymi można zapisać przy pomocy równania 3 : y n, ( y, )( f, ) ( f, n ) n -, () y n, n-okresowa sopa procenowa obserwowana w momencie ; f, +, f, +,..., f, + n- oczekiwane roczne sopy procenowe rozpoczynające się w kolejnych okresach: +, +,..., aż do momenu + n -. 4 Zob. I. Fisher, The Theory of Ineres, MacMillan, London Zob. F.A. Luz, The Srucure of Ineres Raes, Quarerly Journal of Economics 940, nr 55, s Zob. D. Meiselman, The Term Srucure of Ineres Raes, Prenice Hall, Englewood Cliffs Zob. J.B. Say, A Treaise on Poliical Economy, Lippinco Grambo & Co., Philadelphia Zob. E.V. Bohm-Bawerk, The Posiive Theory of Capial, G.E. Schwer & Co., London Zob. H. Sidgwick, The Principles of Poliical Economy, MacMillian, London W lieraurze przedmiou funkcjonują czery różne odmiany eorii oczekiwań: hipoeza czysych oczekiwań, hipoeza lokalnych oczekiwań, hipoeza zwrou do wykupu oraz hipoeza renowności do wykupu. Czynnikiem różnicującym jes podejście do problemu, czy oczekiwania inwesorów są jedynym deerminanem kszału krzywej. Teoria przedsawiona w niniejszej pracy opiera się hipoezie czysych oczekiwań, kóra jes najbardziej rozpowszechnioną jej wersją. Opisy pozosałych hipoez można znaleźć w pracy: J.C. Cox, J.E. Ingersoll, S.A. Ross, A Re-Examinaion of Tradiional Hypohesis abou he Term Srucure of Ineres Raes, The Journal of Finance 98, Sepember, s F.S. Mishkin, Yield Curve, NBER Working Paper, 3550, MA, Cambridge 990, s.. Z. Fedorowicz, Funkcjonowanie i zadania bankowości w procesie przebudowy sysemu gospodarczego, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa 99, s J.F. Sinkey., op.ci., s. 4. Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie 4

3 W lieraurze przedmiou można spokać jeszcze dwa inne zapisy ej zależności 4 :, n,,, f, n e n y e r e f e, () y n, = ( y, f, f, n ). (3) n Badania empiryczne, polegające na prognozowaniu sóp za pomocą przedsawianych równań i zesawianiu orzymanych wyników ze sanem fakycznym dość częso wskazują na niską sprawdzalność ej koncepcji 5. Podsawę jej kryyki sanowi również zakładana u prosoa i jednorodność prognozowania erminowych sóp procenowych oraz sprzeczność wobec innych eorii erminowej srukury sóp procenowych 6. Mimo o eoria oczekiwań wciąż odgrywa fundamenalną rolę w wyjaśnianiu poziomu sóp procenowych i właśnie na niej opiera się wiele narzędzi opisujących funkcjonowanie współczesnych rynków finansowych. Druga z wymienionych hipoez, eoria nauralnych preferencji, zwana eż eorią insyucjonalnego popyu, przyjmuje za czynnik deerminujący poziom sóp procenowych oczekiwania inwesorów doyczące kszałowania się krókoerminowych sóp procenowych, uzupełnione o premię wynikającą z czasu rwania lokay. Za jej auora uważa się zwykle J.R. Hicksa 7, chociaż cała koncepcja nauralnych preferencji wychodzi znacznie poza omawiany przez niego zakres, kóry sanowi ylko jeden z głównych nurów ej hipoezy, j. eorię preferencji płynności. Inne nazwiska, kórym zawdzięcza się obecną posać ej koncepcji, o R.A. Kessel 8, F. Modigliani i R. Such 9 oraz E.J. Kane i B.G. Malkiel 0. Zgodnie z ą eorią inwesorzy posiadają pewne preferencje czasowe wynikające z charakeru ich działalności, decyzji w zakresie rozłożenia konsumpcji w czasie lub regulacji prawnych. Rezygnacja z preferowanego okresu inwesycyjnego musi zosać zrekompensowana premią, ym większą, im większa jes różnica pomiędzy konrakowym okresem rwania insrumenu, a wspomnianym ulubionym horyzonem inwesycyjnym. Oprócz dążenia podmioów rynku do maksymalizacji zysków jako część mechanizmu równowagi uwzględniona jes więc akże niepewność doycząca kszałowania się wysokości sawek procenowych w przyszłości, rosnąca wraz z upływem czasu. Relację pomiędzy sopami króko- i długoerminowymi wyrażają zapisy 3 : y n, ( y, )( f, L) ( f, n Ln) n -, (4) n, yn,, f, L f, n Ln e e r e e, (5) y n, = ( y, f, L f, n Ln ), (6) n 4 K. Jackowicz, Zarządzanie ryzykiem sopy procenowej. Meoda duracji, PWN, Warszawa 999, s Wyniki akich badań można znaleźć np. w pracach: J.M. Culberson, The Term Srucure of Ineres Raes, Quarerly Journal of Economics 957, nr 7, s ; F.R. Macaulay, Some Theoreical Problems Suggesed by Movemens of Ineres Raes, Bond Yields and Sock Prices in he Unied Saes, NBER, New York Wyniki badań ych aspeków eorii oczekiwań zosały opublikowane w 958 r. przez J. Tobina: J. Tobin, Liquidiy Preference as Behavior Towards Risk, Review of Economic Sudies 958, nr 76, s Zob. J.R. Hicks, Value and Capial, Oxford Universiy Press, London Zob. R.A. Kessel, The Cyclical Behavior of he Term Srucure of Ineres Raes, NBER Working Paper, 9, Cambridge Zob. F. Modigliani, R. Such, Innovaions in Ineres-Rae Policy, American Economic Review 966, May, s Zob. E.J. Kane, B.G. Malkiel, The Term Srucure of Ineres Raes: An Analysis of a Survey of Ineres-Rae Expecaions, Review of Economics and Saisics 967, Augus, s ; E.J. Kane, The Term Srucure of Ineres Raes: An Aemp o Reconcile Teaching wih Pracice, Journal of Finance 970, May, s ; B. G. Malkiel, The Term Srucure of Ineres Raes: Expecaions and Behavior Paerns, Princeon Universiy Press, Princeon 966. K. Jackowicz, op.ci., s. 0. F.A. Luz, op.ci., s J.F. Sinkey, op.ci., s. 43. Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie 4

4 L premia za ryzyko. Długoerminową sopę procenową określa się wedy jako średnią oczekiwań z krókoerminowych sóp procenowych z danego okresu, a do ego dodaje się jeszcze marżę z yułu długookresowego erminu lokay. W ramach eorii nauralnych preferencji mieści się sformułowana przez J.R. Hicksa i częso przyaczana jako zasadnicza koncepcja preferencji płynności. Od opisanego powyżej podejścia różni się ona ym, że odnosi upodobania inwesorów wyłącznie do krókiego okresu czasu i nie uznaje ich preferencji doyczących zmian sopy reinwesycji. Oznacza o przyjęcie założenia o zawsze rosnącej krzywej dochodowości i dodanich warościach przyjmowanych przez omawiany wcześniej spread. Teorie oczekiwań i preferencji płynności są częso rozparywane łącznie i sanowią wzajemne uzupełnienie swych reści. Powsanie i rozwój preferowanych habiaów zawdzięcza się J.M. Culbersonowi 4 oraz S. Homerowi i R.L. Johannesenowi 5. Preferowany habia o aki segmen rynku, na kórym dana insyucja finansowa może kupić lub sprzedać papiery warościowe o erminach zapadalności (wymagalności) odpowiadających okresom zmian sawek procenowych już posiadanych akywów i pasywów 6. W zależności od rodzaju insyucji finansowej preferowanym habiaem może być rynek papierów krókoerminowych (np. dla banków posiadających głównie pasywa krókoerminowe) lub rynek papierów długoerminowych (np. fundusze inwesycyjne) 7. Głównym celem insyucji jes urzymanie się na rynku. Aby o osiągnąć, musi ona minimalizować ryzyko. Meodą zabezpieczania się przed ryzykiem sopy procenowej jes urzymywanie akiej srukury porfela akywów finansowych, by ich średni ważony ermin zapadalności był możliwie zbliżony do średniego ważonego erminu zapadalności pasywów. Inwesorzy, kórzy dopasowują erminy zapadalności akywów do erminów zapadalności pasywów, ponoszą najniższe ryzyko. W ramach ak określonych warunków nie można sformułować posaci funkcyjnej zależności sóp długoerminowych od krókoerminowych. Premia za ryzyko cenowe bądź ryzyko reinwesowania jes premią za ryzyko wyjścia danej insyucji finansowej poza bezpieczny dla niej habia. Oznacza o, że jeżeli akywa o innych erminach zapadalności zapewnią dosaecznie wysoką sopę zwrou, wówczas inwesorzy dososują swoją pozycję w aki sposób, aby uwzględnić więcej akywów, kóre przynoszą wysoki dochód. Premie więc pojawiają się przy ych erminach wykupu, w przypadku kórych zaznaczył się niedosaeczny popy i są one konieczne, aby skłonić inwesorów do opuszczenia preferowanego środowiska. Jeżeli chęć emisji insrumenów długoerminowych wyraża więcej firm w porównaniu do liczby inwesorów zaineresowanych lokowaniem w akie walory, o insrumeny długoerminowe muszą zapewnić odpowiednią premię. Podobnie, jeśli wiele firm i insyucji przejawia wolę emisji zadłużenia krókoerminowego, a równocześnie niewielu inwesorów chce lokować w krókich erminach, o wówczas premia wysąpi w przypadku insrumenów krókoerminowych 8. Tak więc w pewnym sensie eoria preferowanych habiaów łumaczy kszał krzywej dochodowości na ych odcinkach, na kórych wysępuje ściąganie jej w dół. Spekulacja na rynku papierów warościowych jes siłą wygładzającą kszał krzywej dochodowości. W przypadku jej braku krzywa miałaby kszał falisy, obniżający się w miejscach, w kórych popy na rynkach papierów 4 Zob. J.M. Culberson, op.ci., s Zob. S. Homer, R.L. Johannesen, The Price of Money,946 o 969, Rugers Universiy Press, Rugers Okres zapadalności doyczy akywów i jes o przedział czasu pomiędzy daą analizy a daą wpływu należności do banku, naomias okres zapadalności odnosi się do pasywów i jes przedziałem czasu pomiędzy daą analizy a daą realizacji przez bank zobowiązań. Oprócz dopasowywania do srukury już posiadanych akywów i pasywów pozycji o odpowiednich erminach zapadalności i wymagalności można jeszcze wykorzysać insrumeny, kórych okresy przeszacowywania sawek procenowych odpowiadają ym erminom. 7 A. Grą, Ryzyko sopy procenowej i insrumeny służące zabezpieczaniu się przed nim, Maeriały i Sudia, Zeszy nr 85, NBP, Warszawa 999, s J. Elon, M.J. Gruber, Nowoczesna eoria porfelowa i analizy papierów warościowych, WIG Press, Warszawa 998, s Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie 43

5 warościowych jes relaywnie większy. Hipoezę ę uznaje się za koncepcję najlepiej sprawdzającą się w rzeczywisości. Pierwona wersja eorii preferowanych habiaów nazywana była eorią segmenacji rynku. Zakłada ona, że o kszałowaniu się sóp procenowych w różnych okresach decydują relacje pomiędzy podażą i popyem na środki finansowe w poszczególnych segmenach rynku, a spekulacja na rynku papierów warościowych nie isnieje ze względu na rudno przewidywalne zmiany sóp procenowych. W ej syuacji największym mankamenem akiej eorii jes odrzucenie możliwości subsyucyjności króko- i długoerminowych insrumenów dłużnych. W rzeczywisości bowiem mimo isnienia wyraźnych preferencji inwesorów w sosunku do określonego segmenu rynku są oni skłonni go porzucić, jeżeli ylko orzymają w zamian odpowiednio wysoką premię 9. Podsumowanie podsawowych założeń funkcjonujących w ramach każdej z zaprezenowanych eorii przedsawia ab.. Tab.. Porównanie podsawowych eorii erminowej srukury sóp procenowych Kryerium porównawcze Kluczowa deerminana Zmienne decyzyjne uwzględniane przez podmioy gospodarujące: a) dochód b) zmiany cen insrumenów finansowych c) zmiany sóp reiwensycji Subsyucyjność insrumenów finansowych Relacja miedzy króko- i długoerminowymi sopami procenowymi Wyznaczanie sóp erminowych Teoria oczekiwań Oczekiwane przyszłe krókoerminowe sopy procenowe ak nie nie Teoria nauralnych preferencji Oczekiwane przyszłe krókoerminowe sopy procenowe oraz preferencje czasowe inwesorów ak ak ak Teoria segmenacji rynku Popy i podaż insrumenów finansowych na oddzielnych rynkach nie ak doskonała ograniczona brak liniowa formuła wykorzysująca oczekiwane sopy procenowe na podsawie oczekiwanych sóp procenowych liniowa formuła wykorzysująca sopy erminowe na podsawie oczekiwanych sóp procenowych oraz premii kompensacyjnej ak nieokreślona (rynki worzą osobne segmeny) nie określa odpowiedniej formuły Źródło: Opracowanie własne na podsawie: K. Jackowicz, op.ci., s. 0, J.F. Sinkey, op ci., s. 40 oraz S.D. Smih, R.E. Spudeck, Ineres Raes. Principles and Applicaions, The Dryden Press, New York 993, s F. Modigliani, R. Such, op.ci., s. 84. Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie 44

6 Esymacja srukury erminowej sóp procenowych Pełna krzywa dochodowości nie jes obserwowalna na rynku, warość niekórych wymaganych sóp naychmiasowych można uzyskać, wyznaczając renowność dla pewnych grup płynnych insrumenów dłużnych 30. Dobierając insrumeny w grupy, przy konsrukcji krzywej dochodowości, przesrzega się zasady, że muszą one odzwierciedlać jednakową wiarygodność kredyową. Grupy e mogą worzyć przykładowo obligacje skarbowe o ym samym kuponie, wszyskie bony i obligacje skarbowe o sałym oprocenowaniu dosępne na rynku, jak eż konraky depozyowe oraz konraky FRA. W Polsce częso wykorzysuje się w ym celu bony skarbowe oraz wszyskie obligacje skarbowe o sałym oprocenowaniu albo worzy się krzywą dochodowości, kórej erminowa srukura sóp procenowych w okresie do roku budowana jes na bazie sóp WIBOR, a dla okresu powyżej jednego roku (najczęściej jes o przedział czasowy 0 la) erminowa srukura sóp procenowych worzona jes na podsawie kwoowań sandardowych ransakcji zamiany sóp procenowych (IRS) 3. Pierwszym eapem w procesie esymacji jes wyznaczenie równania zerokuponowej krzywej dochodowości na podsawie przekszałceń funkcji dyskonowej: d() =, (7) ( y ) d() czynnik dyskonowy kalkulowany dla okresu czasu ; y() -lenia naychmiasowa sopa procenowa. y ( ) d( ), (8) Konsrukcji funkcji dyskonowej owarzyszy założenie, że jes ona ciągła i nierosnąca względem okresu czasu, co ma na celu uniknięcie syuacji, w kórej sopy erminowe przybierałyby warości ujemne 3. Jak widać, srukura erminowa czynników dyskonowych i srukura erminowa sóp procenowych są obiekami dualnymi w ym sensie, że jedna srukura wyznacza równocześnie drugą 33. Sopę zwrou wyznacza się na podsawie noowanych na rynku insrumenów. Ze względu na wspomnianą wcześniej niewielką liczebność zbioru bezkuponowych papierów dłużnych na rynku polskim wymuszona jes konieczność wykorzysania wszyskich bonów i obligacji Skarbu Pańswa o sałym oprocenowaniu 34. Renowność bonów skarbowych wyznacza krzywą dochodowości na odcinku należącym do rynku pieniężnego. Można zapisać ją za pomocą równania: N y( ), (9) P 30 Oprócz cyowanych pozycji lieraury opis meod esymacji krzywej dochodowości można znaleźć np. w: J. Campbell, A. Lo, A. Mackinlay, Economericof Financial Markes, Princeon, 997; G. Maddala, C. Rao, Handbook of Saisics Saisical Mehods in Finance, Elsevier, 996; K. Paerson, An Inroducion o Applied Economerics, Palgrave, Krzywą sóp procenowych zbudowaną w głównej mierze na podsawie noowań konraków IRS nazywa się zwykle swapową krzywą sóp procenowych. 3 Założenie o jes prawdziwe ylko w przypadku, gdy nie isnieje możliwość arbirażu na rynku. 33 W. Waluś, Duraion i wypukłość w przypadku niepłaskiej srukury sóp procenowych, Rynek Terminowy 00, nr 4, s Jes o sprzeczne z założeniem o zw. homogeniczności insrumenów dłużnych wykorzysywanych do konsrukcji krzywej dochodowości. Mówi ono o akim doborze warościowych papierów procenowych, by różniły się one jedynie czasem pozosającym do wykupu. Isniejące na polskim rynku obligacje o sałym oprocenowaniu charakeryzują się zróżnicowana wysokością kuponów, sąd orzymana na ich podsawie krzywa jes wewnęrznie niespójna. 45 Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie

7 y() renowność bonu skarbowego sanowiąca -okresową zerokuponową sopę procenową; czas pozosały do erminu wykupu bonu skarbowego (wyrażony w laach); N warość nominalna bonu; P cena usalona na przeargu w dniu zakupu. W pozosałym przedziale czasowym, j. okresie powyżej jednego roku, sopy zerokuponowe uzyskiwane są z kwoowań obligacji skarbowych o sałym oprocenowaniu, przy wykorzysaniu formuły ich wyceny. Dla obligacji zerokuponowych sopa renowności wyznaczana jes bezpośrednio z wzoru: N y ( ), (0) P y() renowność obligacji zerokuponowej; czas pozosały do erminu wykupu; N warość nominalna bonu; P warość rynkowa obligacji. Bardziej skomplikowane jes wyznaczanie sóp zerokuponowych na podsawie noowań cen kuponowych obligacji skarbowych. Wykorzysuje się u zw. meodę boosrapingu, łumaczoną eż jako meoda samouzgodnienia. Zgodnie z nią esymacja opiera się na założeniu, że każdą obligację kuponową można porakować jako porfel obligacji bezkuponowych o erminach wykupu przypadających na day płaności insrumenu. Podsawowa rudność polega u na wyznaczeniu sóp zwrou w erminie do wykupu, wymaga ono zapisania równania bieżącej warości ciągu płaności: P m Nk k sopa oprocenowania kuponu; N warość nominalna obligacji; P warość rynkowa obligacji; y() sopa zwrou erminu wykupu ; m ilość przeprowadzanych w ciągu roku kapializacji. y( ) y( ) N, () m m Zapisane w en sposób równanie ceny obligacji należy przekszałcić ak, aby orzymać wymaganą sopę zerokuponową r. Kolejne sopy zerokuponowe o odpowiadających im erminach zapadalności, wyznaczane ą droga dla różnych obligacji sanowią odpowiednie punky krzywej dochodowości. Esymacja krzywej dochodowości na dalszym eapie pracy może przebiegać w oparciu o jedną z dwóch podsawowych meodologii: pierwsza z nich opiera się na szacowaniu srukury erminowej sóp procenowych poprzez eksrakcje i wygładzanie danych uzyskanych na podsawie noowań cen rynkowych insrumenów dłużnych, naomias druga ujmuje ceny akywów finansowych za pomocą procesów sochasycznych, worząc modele czasowej srukury sóp procenowych w konekście założenia, że rynek zachowuje san równowagi bądź eż nie isnieje na nim możliwość arbirażu 35. Pierwsza z możliwych dróg określa momeny w czasie =,,, n, dla kórych sopy zerokuponowe są zwane na podsawie kwoowań na rynku mianem węzłów krzywej dochodowości. Prze- m 35 T. Dacewicz, E. Radkowska, Terminowa srukura sóp procenowych, Nasz Rynek Kapiałowy 999, nr 8, s. 4. Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie 46

8 dłużeniu krzywej służą meody eksrapolacji, naomias aby wypełnić pozosałą przesrzeń pomiędzy danymi i uzyskać odpowiednią gładkość krzywej, wykorzysuje się zwykle inerpolację liniową, chociaż sosowane w ym celu programy kompuerowe czasami odwołują się do innych jej rodzajów, np. inerpolacji logarymicznej, kwadraowej czy sześciennej 36. Druga grupa meod w zakresie esymacji krzywej dochodowości polega na poszukiwaniu odpowiednio dobranej posaci funkcji dyskonowej d(), kóra może znaleźć zasosowanie w równaniu krzywej dochodowości. Sposobem na uzyskanie obrazu czasowej srukury sóp procenowych jes zasosowanie funkcji sklejanych. Meoda a polega na podzieleniu krzywej renowności na kilka segmenów i dobraniu dla nich odrębnych form funkcyjnych, kóre najlepiej aproksymują ją w przyjęych przedziałach, akich, że ich pierwsze pochodne liczone w usalonych węzłach zachowują ożsamość 37. Przykładem ej meody esymacji krzywej dochodowości jes model łączonych wielomianów, kórego wórcą jes J. H. McCulloch 38. Posać krzywej dochodowości w poszczególnych przedziałach czasowych worzą u wielomiany połączone ze sobą kombinacją liniową: k d( ) af j j( ), () f j () j-y wielomian; a j paramer j-ego wielomianu. j Krzywa dochodowości esymowana w en sposób wykazuje się bardzo dobrym dopasowaniem posaci funkcyjnej do obserwowanych renowności insrumenów finansowych, jednak należy swierdzić, że prowadzi o do zby dużej elasyczności ej krzywej, co oznacza oscylacje wokół prawdziwej funkcji dyskonującej i auomayczne zniekszałcenie obrazu krzywej dochodowości wyznaczonej ą meodą. Problem en zosał częściowo rozwiązany w kolejnych rozwinięciach modelu proponowanych przez M. Fishera, D. Nychka i D. Zervosa 39, wprowadzających ograniczenie elasyczności, oraz D.F. Waggonera 40, kóry dopuszcza przyjmowanie przez krzywą dochodowości różnych rozmiarów elasyczności w jej poszczególnych segmenach. Krzywa renowności worzona a drogą posiada większą elasyczność w przedziałach czasowych zapadalności krókoerminowych insrumenów finan- 36 Rodzaje przybliżeń, kórymi można się posłużyć, wykorzysując inerpolację na podsawie sandardowych sóp zerokuponowych oraz odpowiadające im warości czynników dyskonowych, obliczanych na bazie różnych rodzajów kapializacji oraz wynikające z ich zasosowań implikacje, omówione są w arykułach: W. Waluś, Noa o inerpolacji czynników dyskonowych, Rynek Terminowy 00, nr, s. 8 ; W. Waluś, Duraion i wypukłość w przypadku niepłaskiej srukury sóp procenowych op.ci., s Problemayka esymacji srukury erminowej sop procenowych w warunkach rynku polskiego podejmowana była w nasępujących pracach: E. Gurazdowski, Wykorzysanie modelu zmiennej szywności krzywej sóp erminowych do przybliżania krzywej rynku pieniężnego, Bank i Kredy 003, nr, s. 87 9; P. Kliber, Esymacja srukury erminowej sóp procenowych w Polsce, Bank i Kredy 009, nr, s. 09 6; M. Marciniak, Yield Curve Esimaion a he Naional Bank of Poland, Bank i Kredy 006, nr 0, s. 5 74; M. Samirowski, Jednoczynnnikowe modele Vasička oraz CIR analiza empiryczna na podsawie danych z polskiego rynku obligacji skarbowych, Bank i Kredy 003, nr 7, s ; M. Samirowski, The Polish Term Srucure Versus Is Core Marke Counerpars A Comparaive Analysis, [w:] W. Milo, G. Szafrański (red.), Financial Markes.Principles of Model ling, Forecasing and Decision-Making, Łódź Universiy Press, Łódź 007; M. Święoń, Terminowa srukura dochodowości skarbowych papierów warościowych w Polsce w laach , Maeriały i Sudia, Zeszy nr 50, NBP, Warszawa 00; I. Sępniak, J. Zieliński, Esymacja i inerpreacja zerokuponowej krzywej dochodowości, Maeriały i Sudia, Zeszy nr 08, NBP, Warszawa 000; U. Ziarki- Siwek, Czasowa srukura sóp procenowych w świele wybranych eorii ekonomicznych, Ruch Prawniczy, Ekonomiczny i Socjologiczny 003, nr, s Zob. J.H. McCulloch, Measuring he Term Srucure of Ineres Raes, Journal of Business 97, nr 8, s Zob. M. Fisher, D. Nychka, D. Zervos, Fiing he Term Srucure of Ineres Rae wih Smoohing Splines, Finance and Economics Discussion Series, Federal Reserve Board, Washingon Zob. D.F. Waggoner, Spline Mehod for Exracing Ineres Rae Curves from Coupon Bond Prices, Federal Reserve Bank of Alana, Alana 997. Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie 47

9 sowych, co umożliwia dobre jej dopasowanie do danych empirycznych w ych sekorach, a mniejszą elasyczność w przedziałach czasowych zapadalności insrumenów długoerminowych, dzięki czemu osiąga się sabilność esymowanych wielkości. Meoda łączonych wielomianów pozwala na orzymanie bardzo dokładnego przybliżenia krzywej dochodowości, urudnieniem, kóre ogranicza jej sosowanie, są problemy z usaleniem liczby oraz położenia punków węzłowych. Inne podejście do esymacji krzywej czasowej srukury sóp procenowych, polegające na wykorzysaniu chwilowej krzywej forwardowej, reprezenują Ch.R. Nelson i F. Siegel 4. Posiada ono ę przewagę nad poprzednimi meodami, że szacowanej funkcji nadaje się własności asympoyczne, co skukuje możliwościami jej eksrapolacji. Związek chwilowej krzywej forwardowej z krzywą dochodowości można przedsawić za pomocą równania: f() chwilowa sopa procenowa; laa do zapadalności insrumenu finansowego. y() f ( ) d, (3) 0 Wsawiając za f() funkcję chwilowej forwardowej, orzymujemy posać krzywej dochodowości 4 : ( )( e ) ( ) 0 e, (4) y 0,,, paramery esymowanej krzywej. Powyższe wzory opisują posać funkcyjną krzywej dochodowości, zakładając wykorzysanie kapializacji ciągłej. Aby przejść od nich do obrazu czasowej srukury sóp procenowych o kapializacji dyskrenej, należy dokonać przekszałcenia zgonie z zapisem 43 : ŷ sopa przy kapializacji ciągłej. ŷ = exp(y) -, (5) Kszał krzywej dochodowości worzonej według propozycji Ch.R. Nelsona i F. Siegela określają rzy esymowane paramery: ( ) ( e ) jes deerminaną krzywej dochodowości 4 Zob. F. Siegel, Ch. R. Nelson, Long-Term Behavior of Yield Curves, Journal of Financial and Qualiaive Analysis 998, nr, s Posać funkcyjna krzywej dochodowości powsaje w wyniku wsawienia do jej równania zapisu określającego chwilową krzywą forwardową i przeprowadzenia odpowiednich przekszałceń upraszczających. Sama chwilowa krzywa forwardowa ma posać równania: f ( ) 0 e e. 43 I. Sępniak, J. Zieliński, Esymacja i inerpreacja zerokuponowej krzywej dochodowości, Maeriały i Sudia, Zeszy nr 08, NBP, Warszawa 000, s. 0. Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie 48

10 w krókim przedziale czasu, e określa jej położenie i kszał w średnim przedziale czasowym zapadalności insrumenów finansowych, naomias 0 deerminuje obraz krzywej dochodowości w jej krókim końcu 44. Dodakowymi własnościami modelu są asympoy funkcji opisującej krzywą dochodowości: lim y( ) 0 lim y( ) 0 0. Oznacza o, że sopa procenowa insrumenu o bardzo długim erminie zapadalności ( m ) dąży do warości określanej przez paramer β 0, naomias w bardzo krókim okresie czasu ( m 0) jes o warość β 0 + β. Za wielkość ę częso przyjmuje się sopę procenową konraku O/N. Jeżeli graficznym obrazem srukury erminowej sóp procenowych jes prosa o nachyleniu dodanim lub ujemnym, o zasosowanie ej meody szacowania krzywej dochodowości pozwala na osiągnięcie poprawnego odzwierciedlenia procesów zachodzących na rynkach finansowych, naomias w przypadku bardziej złożonego kszału srukury erminowej sóp procenowych zby niska elasyczność ego modelu uniemożliwia orzymanie prawidłowych wyników. Jednak ławość esymacji, możliwość prosej inerpreacji ekonomicznej oraz eksrapolacji na erminy zapadalności nieobserwowalne na danym rynku przyczyniły się do upowszechnienia modelu Nelsona i Siegela, kóry sanowi jedną z najczęściej wykorzysywanych przez banki cenralne meod esymacji krzywych dochodowości 45. W laach L. Svensson najpierw sam, a nasępnie w 996 r. wspólnie z M. Dahlquisem, zaproponował nasępujące rozwinięcie modelu Nelsona i Siegela, mające na celu poprawę elasyczności orzymanej funkcji 46 : ( )( e ) e y ( ) 0 e 3 ( e ) (6) Krzywa dochodowości orzymana a drogą posiada akie same możliwości eksrapolacyjne jak meoda Nelsona i Siegela, dodakowo elasyczność funkcji esymowanej w en sposób jes większa w porównaniu z modelem oryginalnym, co jes bardzo przydane w przypadku wysąpienia sosunkowej złożoności srukury erminowej sóp procenowych 47. Wszyskie opisane powyżej sposoby esymacji krzywej dochodowości posiadają swoje wady i zaley; zosały one porównane i zesawione ze sobą w ab.. 44 M. Samirowski, Empirical Applicaion of he Nelson and Siegal Parsimonious Zero-Coupon Yield Curve Model, Maeriały i Sudia, Zeszy nr 6, NBP, Warszawa 999, s Por. I. Sępniak, J. Zieliński, op.ci., s.. 46 Zob. L.E.O. Svensson, Esimaing and Inerpreing Forward Ineres Raes: Sweden , Naional Bureau of Economic Research, Cambridge 994, L.E.O. Svensson, Esimaing Forward Ineres Raes wih he Exended Nelson & Siegel Mehod, Quarerly Review 995, nr 3, s oraz M. Dahlquis, L.E.O. Svensson, Esimaing he Term Srucure of Ineres Raes for Moneary Policy Analysis, Scandinavian Journal of Economics 996, nr, s Chwilowa krzywa forwardowa w ujęciu Svenssona wyrażona jes równaniem: f ( ) 0 e e 3 e Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie. 49

11 Tab.. Porównanie podsawowych meod esymacji erminowej srukury sóp procenowych Kryerium porównawcze Podsawy eoreyczne Problemy z esymacją Dopasowanie do danych obserwowanych w prakyce Model łączonych wielomianów Model Nelsona-Siegela Model Svenssona nie ak ak małe, esymacja na podsawie regresji liniowej mogą wysępować znaczne rozbieżności duże, zasosowanie nieliniowej meody najmniejszych kwadraów dość duże b. duże, zasosowanie nieliniowej meody najmniejszych kwadraów, więcej paramerów do oszacowania niż w meodzie Nelsona-Siegela Źródło: Opracowanie własne na podsawie: P. Kliber, Esymacja srukury erminowej sóp procenowych w Polsce, Bank i Kredy 009, nr, s Oprócz cech wymienionych w ej abeli waro również wspomnieć o dwóch innych wadach odnoszących się do każdej z ych meod. Po pierwsze, meody e charakeryzują się zw. niespójnością czasową. Chodzi o o, że jeżeli srukura erminowa sóp procenowych w momencie jes opisywana np. przez model Nelsona-Siegla, a dynamika sóp procenowych dana jes modelem HJM, o rozwiązanie w dowolnym momencie s > nie ma już posaci funkcji Nelsona-Segla. Rzecz a doyczy również dwóch pozosałych modeli. Druga wada wiąże się problemami prakycznymi napoykanymi przy esymacji krzywej. Wymaga ona bowiem częso wprowadzenia dodakowej zmienności i w efekcie zmienność esymowanej sopy procenowej dla danego okresu jes wyższa niż zmienność sopy orzymanej w inny sposób, np. meoda boosrapingu. Jeżeli uzyskana krzywa będzie nam służyć do oceny ryzyka czy wyceny jakiś insrumenów, o mogą pojawić się u błędy 48. Jako że esymacja krzywej dochodowości, przeprowadzona w oparciu o e same dane, ale wykorzysująca odmienne meody, może prowadzić do powsawania różnic w wyniku, sąd dla jej uwiarygodnienia wskazane jes wykorzysanie kilku modeli, a nasępnie porównanie ich rezulaów. Podsawową miarą pozwalającą ocenić dopasowanie krzywych do danych empirycznych jes wskaźnik RMSE: P ceny eoreyczne; P i ceny obserwowane; n liczba obserwacji. RMSE n i ( P n Pi) duże, (7) Kryerium opymalizacyjnym jes więc wielkość zdefiniowana jako pierwiasek z sumy kwadraów błędów, czyli różnic między warością zadaną (wzorcową) a warością orzymaną na wyjściu w przeliczeniu na jednoskę obserwacji. Ponieważ esymowana krzywa powinna przebiegać maksymalnie blisko obserwacji rzeczywisych, poszukuje się akiego modelu, dla kórego błąd mierzony RMSE jes jak najniższy. 48 P. Kliber, op. ci., s Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie 50

12 Zakończenie Przeprowadzone rozważania wykazały, iż zagadnienie srukury erminowej sóp procenowych jes zasadniczym problemem o charakerze eoreycznym i prakycznym. Przedsawione eorie erminowej srukury sóp procenowych pozwalają na zidenyfikowanie i zrozumienie czynników ją kszałujących. W każdej z omawianych eorii owe deerminany zosają przedsawione w nieco inny sposób, a poznanie i porównanie ich ze sobą pozwala uzyskać pełniejszy obraz wzajemnych zależności. Z kolei opisane modele esymacji krzywej dochodowości pozwalają bezpośrednio na jej konsruowanie. Efekywne rozpoznanie krzywej dochodowości ma fundamenalne znaczenie w sferze ekonomii i finansów. W srukurze erminowej sóp procenowych zaware są bowiem informacje o oczekiwaniach inflacyjnych, a krzywa dochodowości jes wykorzysywana przez bank cenralny do konrolowania poziomu inflacji. Sawki procenowe ją worzące sanowią również isone paramery przy zarządzaniu długiem publicznym. Ponado znajomość erminowej srukury sóp procenowych sanowi klucz do sukcesu w procesie wyceny insrumenów finansowych oraz zarządzania ryzykiem finansowych, a w szczególności ryzykiem sopy procenowej. Lieraura Bohm-Bawerk E.V., The Posiive Theory of Capial, G.E. Schwer & Co., London 89. Campbell J., Lo A., Mackinlay A., Economericof Financial Markes, Princeon, 997. Cox J.C., Ingersoll J.E., Ross S.A., A Re-Examinaion of Tradiional Hypohesis abou he Term Srucure of Ineres Raes, The Journal of Finance 98, Sepember. Culberson J.M., The Term Srucure of Ineres Raes, Quarerly Journal of Economics 957, nr 7. Dacewicz T., Radkowska E., Terminowa srukura sóp procenowych, Nasz Rynek Kapiałowy 999, nr 8. Dahlquis M., Svensson L.E.O., Esimaing he Term Srucure of Ineres Raes for Moneary Policy Analysis, Scandinavian Journal of Economics 996, nr. Elon J., Gruber M.J., Nowoczesna eoria porfelowa i analizy papierów warościowych, WIG Press, Warszawa 998. Fabozzi F.J., Bond Markes, Analysis and Sraegies, Prenice Hall, 00. Fedorowicz Z., Funkcjonowanie i zadania bankowości w procesie przebudowy sysemu gospodarczego, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa 99. Fisher I., The Theory of Ineres, MacMillan, London 930. Fisher M., Nychka D., Zervos D., Fiing he Term Srucure of Ineres Rae wih Smoohing Splines, Finance and Economics Discussion Series, Federal Reserve Board, Washingon 995. Grą A., Ryzyko sopy procenowej i insrumeny służące zabezpieczaniu się przed nim, Maeriały i Sudia, Zeszy nr 85, NBP, Warszawa 999. Gurazdowski E., Wykorzysanie modelu zmiennej szywności krzywej sóp erminowych do przybliżania krzywej rynku pieniężnego, Bank i Kredy 003, nr. Hicks J.R., Value and Capial, Oxford Universiy Press, London 953. Homer S., Johannesen R.L., The Price of Money,946 o 969, Rugers Universiy Press, Rugers 969. Jackowicz K., Zarządzanie ryzykiem sopy procenowej. Meoda duracji, PWN, Warszawa 999. Kane E.J., Malkiel B.G., The Term Srucure of Ineres Raes: An Analysis of a Survey of Ineres-Rae Expecaions, Review of Economics and Saisics 967, Augus. Kane E.J., The Term Srucure of Ineres Raes: An Aemp o Reconcile Teaching wih Pracice, Journal of Finance 970, May. Kliber P., Esymacja srukury erminowej sóp procenowych w Polsce, Bank i Kredy 009, nr. Kessel R.A., The Cyclical Behavior of he Term Srucure of Ineres Raes, NBER Working Paper, nr 9, Cambridge 965. Livingson M., Bonds and Bond Derivaives, Blackwell Publishing, Boson 005. Luz F.A., The Srucure of Ineres Raes, Quarerly Journal of Economics 940, nr 55. Macaulay F.R., Some Theoreical Problems Suggesed by Movemens of Ineres Raes, Bond Yields and Sock Prices in he Unied Saes, NBER, New York 938. Maddala G., Rao C., Handbook of Saisics Saisical Mehods in Finance, Elsevier, Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie

13 Malkiel B.G., The Term Srucure of Ineres Raes: Expecaions and Behavior Paerns, Princeon Universiy Press, Princeon 966. Marciniak M., Yield Curve Esimaion a he Naional Bank of Poland, Bank i Kredy 006, nr 0. McCulloch J.H., Measuring he Term Srucure of Ineres Raes, Journal of Business 97, nr 8. Meiselman D., The Term Srucure of Ineres Raes, Prenice Hall, Englewood Cliffs 96. Mishkin F.S., Yield Curve, NBER Working Paper, 3550, MA, Cambridge 990. Modigliani F., Such R., Innovaions in Ineres-Rae Policy, American Economic Review 966, May. Paerson K., An Inroducion o Applied Economerics, Palgrave, 000. Say J.B., A Treaise on Poliical Economy, Lippinco Grambo & Co., Philadelphia 855. Semmler W., Asse Prices Booms and Recessions, Springer, 004. Sidgwick, H., The Principles of Poliical Economy, MacMillian, London 887. Siegel F., Ch. R. Nelson, Long-Term Behavior of Yield Curves, Journal of Financial and Qualiaive Analysis 998, nr. Sinkey J. F, Commercial Bank Financial Managemen in he Financial-Services Indusry, Macmillan Publishing Company, New York 99. Samirowski M., Empirical Applicaion of he Nelson and Siegal Parsimonious Zero-Coupon Yield Curve Model, Maeriały i Sudia, Zeszy nr 6, NBP, Warszawa 999. Samirowski M., Jednoczynnnikowe modele Vasička oraz CIR analiza empiryczna na podsawie danych z polskiego rynku obligacji skarbowych, Bank i Kredy 003, nr 7. Samirowski M., The Polish Term Srucure Versus Is Core Marke Counerpars A Comparaive Analysis, [w:] W. Milo, G. Szafrański (red.), Financial Markes.Principles of Model ling, Forecasing and Decision- Making, Łódź Universiy Press, Łódź 007. Sępniak I., Zieliński J., Esymacja i inerpreacja zerokuponowej krzywej dochodowośc, Maeriały i Sudia, Zeszy nr 08, NBP, Warszawa 000. Svensson L.E.O., Esimaing and Inerpreing Forward Ineres Raes: Sweden , Naional Bureau of Economic Research, Cambridge 994. Svensson L.E.O., Esimaing Forward Ineres Raes wih he Exended Nelson & Siegel Mehod, Quarerly Review 995, nr 3. Święoń M., Terminowa srukura dochodowości skarbowych papierów warościowych w Polsce w laach , Maeriały i Sudia, Zeszy nr 50, NBP, Warszawa 00. Tobin J., Liquidiy Preference as Behavior Towards Risk, Review of Economic Sudies 958, nr 76. Van Horne J., Financial Marke Raes and Flow, Prenice Hall, 00. Waggoner D.F., Spline Mehod for Exracing Ineres Rae Curves from Coupon Bond Prices, Federal Reserve Bank of Alana, Alana 997. Waluś W., Duraion i wypukłość w przypadku niepłaskiej srukury sóp procenowych, Rynek Terminowy 00, nr 4. Waluś W., Noa o inerpolacji czynników dyskonowych, Rynek Terminowy 00, nr. Weron A., Weron R., Inżynieria finansowa, Wydawnicwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 998. Ziarko-Siwek U., Czasowa srukura sóp procenowych w świele wybranych eorii ekonomicznych, Ruch Prawniczy, Ekonomiczny i Socjologiczny 003, nr. Finansowy Kwaralnik Inerneowy e-finanse 00, vol. 6, nr Wyższa Szkoła Informayki i Zarządzania w Rzeszowie 5