Kalibracja dwuczynnikowego modelu chwilowej stopy procentowej typu G2++ w mierze rzeczywistej i neutralnej względem ryzyka

Transkrypt

1 Bank i Kredy 48(4, 7, Kalibracja dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka Łukasz Delong, Damian Sulik # Nadesłany: sycznia 7 r. Zaakcepowany: 6 czerwca 7 r. Sreszczenie Jako model srukury erminowej sóp procenowych proponujemy dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++, w kórym rozkład czynników w mierze neuralnej względem ryzyka jes dwuwymiarowym rozkładem normalnym, a rozkład czynników w mierze rzeczywisej jes dowolny (zarówno rozkłady brzegowe czynników, jak i srukura zależności są dowolne. Do kalibracji modelu sugerujemy zasosować meodę quasi-wiarogodności oparą na zaobserwowanych renownościach obligacji dla wszyskich dosępnych erminów zapadalności. W pracy oszacowaliśmy nasz model ypu G++, wykorzysując renowności obligacji skarbowych z polskiego rynku. Jako dwuwymiarowy rozkład czynników w mierze rzeczywisej zidenyfikowaliśmy rozkład z brzegowymi rozkładami -Sudena i kopułę -Sudena o różnych sopniach swobody. Przeprowadziliśmy szczegółową analizę dopasowania naszego modelu w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka. Oszacowany model wykorzysaliśmy do prognozy krzywej dochodowości renowności polskich obligacji skarbowych w perspekywie jednego roku. Dodakowo, jako inny przykład zasosowania modelu, na podsawie prognoz krzywej dochodowości wyznaczyliśmy warość porfela obligacji i wymóg kapiałowy z yułu ryzyka sopy procenowej dla porfela obligacji. Słowa kluczowe: krzywa dochodowości, model G++, meoda quasi-wiarogodności, kopuła -Sudena, wymóg kapiałowy SCR JEL: C5, C58, G Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, Insyu Ekonomerii; lukasz.delong@sgh.waw.pl # Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, Insyu Ekonomerii, Aviva owarzyswo Ubezpieczeń na Życie SA.

2 44 Ł. Delong, D. Sulik. Wsęp Jednym z zadań insyucji finansowych, banków i firm ubezpieczeniowych jes wyznaczanie warości bilansowej akywów i pasywów. Po sronie akywów i pasywów znajdują się m.in. insrumeny finansowe i zobowiązania, kórych cena zależy od sopy procenowej. Zgodnie z eorią finansów i fundamenalnym wierdzeniem z maemayki finansowej o braku arbirażu cena insrumenu finansowego i warość zobowiązania powinny być wyznaczone jako warość oczekiwana zdyskonowanych przyszłych przepływów pieniężnych (zdyskonowanych przy użyciu wolnej od ryzyka sopy procenowej. W przypadku wielu insrumenów, np. cap, caple, floor, floorle, swapion, same przyszłe przepływy zależą od sopy procenowej. Wyznaczenie warości bilansowych akywów i pasywów banku czy firmy ubezpieczeniowej wymaga więc użycia modelu sopy procenowej (np. Korn, Korn, Kroisand, rozdz. 5.5; Møller, Seffensen 7, rozdz..4. Model sopy procenowej wykorzysuje się w prakyce nie ylko do bieżącej wyceny akywów i pasywów, ale akże do prognozowania ich przyszłej warości. W bankowości i w ubezpieczeniach obecnie obowiązuje umowa kapiałowa Bazylea II i dyrekywa Wypłacalność. Obligują one insyucje finansowe do prognozowania, jak zmienia się warość akywów i pasywów w wyniku zmian czynników ryzyka, m.in. na skuek zmian sopy procenowej. Zgodnie z dyrekywą Wypłacalność dla firm ubezpieczeniowych kwanyl rzędu 99,5% zmiany podsawowych środków własnych w ciągu roku określa zw. wymóg kapiałowy SCR, czyli minimalny poziom nadwyżki akywów nad zobowiązaniami, kórą firma ubezpieczeniowa musi mieć na dzień wyceny, aby wypełnić swoje zobowiązania w ciągu najbliższych miesięcy. Elemenem składowym wymogu kapiałowego SCR jes wymóg kapiałowy z yułu ryzyka sopy procenowej, kóry określamy analogicznie jako kwanyl rzędu 99,5% zmiany podsawowych środków własnych w ciągu roku w wyniku zmian sopy procenowej. Powyższe dwa argumeny powierdzają, że model sopy procenowej jes bardzo ważny w działalności insyucji finansowych, banków i firm ubezpieczeniowych. Użycie zwrou model sopy procenowej nie oznacza, że modelujemy losowość jednej zmiennej jednej sopy procenowej. Model sopy procenowej musi uwzględnić wielowymiarowość sopy procenowej i musi opisywać srukurę erminową sóp procenowych za pomocą zw. krzywej dochodowości. Dobry model sopy procenowej musi więc poprawnie odzwierciedlać bieżącą krzywą dochodowości na porzeby bieżącej wyceny akywów i pasywów, a jednocześnie generować realisyczne zmiany krzywej dochodowości w przyszłości, zgodne z zaobserwowanymi w przeszłości zmianami krzywej dochodowości, na porzeby wyznaczenia wymogu kapiałowego z yułu ryzyka sopy procenowej w usalonym okresie. e dwa ważne zadania są realizowane przez model sopy procenowej w mierze neuralnej względem ryzyka i w mierze rzeczywisej. W zasosowaniach prakycznych model sopy procenowej służący do wyceny akywów i pasywów (model w mierze neuralnej względem ryzyka bardzo częso jes inny niż model sopy procenowej służący do generowania zmian krzywej dochodowości w przyszłości (model w mierze rzeczywisej. Sandardem jes wykorzysanie sochasycznych równań różniczkowych i procesów dyfuzyjnych w mierze neuralnej względem ryzyka do wyceny akywów i pasywów (np. Weron, Weron 7, rozdz. 7 oraz sosowanie modelu głównych składowych w mierze rzeczywisej do analizy zmian krzywej dochodowości w czasie (np. McNeil, Frey, Embrechs 5, rozdz akie podejście ma pewne zaley, np. Inernaional Convergence of Capial Measuremen and Capial Sandards, hp:// Direcive 9/38/EC on he aking-up and pursui of he business of insurance and reinsurance, hp://eur-lex.europa. eu/legal-conen/en/x/pdf/?uri=celex:39l38&from=en.

3 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 45 umożliwia rozróżnienie między zmiennością implikowaną a hisoryczną dla sóp procenowych czy wybranie innego mechanizmu losowego rozkładu czynników generujących zmiany sopy procenowej w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka. Ma eż oczywise wady związane z wykorzysaniem dwóch różnych modeli, częso niespójnych i oparych na różnych założeniach. W ej pracy przedsawiamy jeden spójny model srukury erminowej sóp procenowych w mierze neuralnej względem ryzyka i w mierze rzeczywisej. Jes on szacowany na podsawie bieżącej i hisorycznej informacji o srukurze erminowej sóp procenowych i może być jednocześnie użyy do bieżącej wyceny akywów i pasywów oraz do generowania realisycznych zmian krzywej dochodowości w usalonym przyszłym okresie (i wyznaczenia wymogu kapiałowego z yułu ryzyka sopy procenowej. Proponujemy wykorzysanie dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej. Nasz model bazuje na dwuczynnikowym gaussowskim modelu chwilowej sopy procenowej G++, kóry jes bardzo popularny w eorii i w prakyce (np. Brigo, Mercurio 6, rozdz. 4; Hibber, Mowbray, urnbull ; Andersen, Pierbarg, rozdz. 3; Dai, Singleon. Dwuczynnikowy gaussowski model chwilowej sopy procenowej G++ ma wiele zale: a wolna od ryzyka chwilowa sopa procenowa jes modelowana za pomocą liniowej kombinacji dwóch czynników o prosych dynamikach oparych na dwóch skorelowanych, powracających do średniej, procesach sochasycznych ypu Ornseina-Uhlenbecka, b isnieją wzory analiyczne pozwalające wycenić obligacje i insrumeny ypu cap, caple, floor, floorle, swapions, c dopasowanie cen eoreycznych do cen rynkowych jes zadowalające model G++ pozwala m.in. na odworzenie rynkowej zmienności implikowanej dla insrumenów pochodnych sopy procenowej z garbem, d zmiany sóp spo i forward o różnych erminach zapadalności nie są doskonale skorelowane i krzywa dochodowości nie przesuwa się równolegle przy zadanych szokach, e funkcja wiarogodności dla czynników i zaobserwowanych sóp procenowych ma posać analiyczną, f zaobserwowane zmiany krzywej dochodowości są w dużym sopniu wyjaśnione przez oszacowany model. Dwuczynnikowy gaussowski model chwilowej sopy procenowej G++ może zaem sanowić punk wyjścia do skonsruowania bardziej zaawansowanych modeli sopy procenowej. W klasycznym dwuczynnikowym gaussowskim modelu chwilowej sopy G++ zakłada się, że rozkład czynników generujących zmiany sóp procenowych i krzywej dochodowości w czasie jes dwuwymiarowym rozkładem normalnym w mierze neuralnej względem ryzyka i w mierze rzeczywisej. Sosując model G++, należy się spodziewać dobrego dopasowania modelu w mierze neuralnej względem ryzyka, zn. dobrego dopasowania cen eoreycznych do cen rynkowych dla obligacji i insrumenów pochodnych. Dopasowanie modelu G++ w mierze rzeczywisej, zn. sopień wyjaśnienia przez model zaobserwowanych w czasie zmian srukury erminowej sóp procenowych, może być jednak niewysarczające (szczegóły omawiamy w rozdziale 3. Oznacza o, że klasyczny model G++ z rozkładem normalnym czynników w mierze neuralnej względem ryzyka i w mierze rzeczywisej jes odpowiedni do bieżącej wyceny akywów i pasywów. Nie powinien być jednak wykorzysywany do generowania zmian krzywej dochodowości w przyszłości i do wyznaczenia wymogu kapiałowego z yułu ryzyka sopy procenowej, a aka właśnie syuacja częso ma miejsce w prakycznych zasosowaniach. Proponujemy więc dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++, w kórym rozkład czyn-

4 46 Ł. Delong, D. Sulik ników w mierze neuralnej względem ryzyka pozosanie dwuwymiarowym rozkładem normalnym, a rozkład czynników w mierze rzeczywisej jes dowolny (zarówno rozkłady brzegowe, jak i srukura zależności są dowolne. Celem jes modelowanie srukury erminowej wolnych od ryzyka sóp procenowych. Wolna od ryzyka krzywa dochodowości może być wyznaczana na podsawie sóp swap lub renowności obligacji skarbowych. Zgodnie z wyycznymi Europejskiego Urzędu Nadzoru Ubezpieczeń i Pracowniczych Programów Emeryalnych (EIOPA 7 3 w konsruowaniu wolnej od ryzyka krzywej dochodowości dla Polski należy się opierać na renowności obligacji skarbowych. W ej pracy oszacowaliśmy nasz dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej, wykorzysując renowności obligacji skarbowych z polskiego rynku. Dwuwymiarowy rozkład normalny czynników w mierze neuralnej okazał się wysarczający na porzeby wyceny obligacji i prosych insrumenów pochodnych sopy procenowej. Jako dwuwymiarowy rozkład czynników w mierze rzeczywisej zidenyfikowaliśmy jednak rozkład z brzegowymi rozkładami -Sudena i kopułę -Sudena o różnych sopniach swobody. W celu kalibracji naszego modelu wykorzysaliśmy meodę quasi-wiarogodności opisaną w pracach: Duffee (; Fisher, Gilles (996; Ai-Sahalia, Kimmel (. Meoda kalibracji uwzględniła informacje o zmianach srukury sóp procenowych w czasie (porzebne do generowania realisycznych zmian krzywej dochodowości w przyszłości i bieżącej srukurze sóp procenowych (porzebne do bieżącej wyceny akywów i pasywów. Przy kalibracji modelu wzięliśmy pod uwagę renowności obligacji skarbowych dla wszyskich dosępnych erminów zapadalności. Przeprowadziliśmy szczegółową analizę dopasowania naszego dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka. Nasępnie nasz oszacowany model ypu G++ wykorzysaliśmy do prognozowania krzywej dochodowości renowności polskich obligacji skarbowych w perspekywie jednego roku. Dodakowo, jako inny przykład zasosowania modelu, na podsawie prognozy krzywej dochodowości wyznaczyliśmy wymóg kapiałowy z yułu ryzyka sopy procenowej dla porfela obligacji. W polskiej lieraurze jes kilka prac podejmujących ema oszacowania modeli sóp procenowych i krzywych dochodowości. Nasz arykuł jes najbliższy pracy Samirowskiego (3 i zawiera rozszerzenie wyników z ej pracy. Samirowski (3 oszacował jednoczynnikowy model Vasicka (i model CIR, wykorzysując informacje o hisorycznej i bieżącej srukurze sóp procenowych dla polskiego rynku. Do wyznaczenia szeregu czasowego chwilowej sopy procenowej wykorzysał model Svensona. Na podsawie dosępnych na rynku danych o renowności obligacji skarbowych oszacował parameryczną posać krzywej sóp procenowych R(, τ dla okresu zapadalności τ (meodą najmniejszych kwadraów, a nasępnie wyznaczył granicę R(, τ dla τ, kórą można inerpreować jako chwilową sopę procenową w chwili. Mając szereg chwilowych sóp procenowych (lub raczej przybliżenie chwilowych sóp procenowych, Samirowski (3 oszacował paramery jednoczynnikowego modelu Vasicka meodą największej wiarogodności (w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka. Wydaje się, że model sopy procenowej i podejście do esymacji modelu przedsawione w naszej pracy są lepsze z rzech powodów. Po pierwsze, dwuczynnikowy model sopy procenowej dokładniej odzwierciedli bieżący kszał krzywej dochodowości i w konsekwencji orzymamy dokładniejszą bieżącą wycenę akywów i pasywów oraz replikacji cen rynkowych. Po drugie, sosując meodę quasi-wiarogodności, 3 echnical documenaion of he mehodology o derive EIOPA s risk-free ineres rae erm srucure, hps://eiopa. europa.eu/regulaion-supervision/insurance/solvency-ii-echnical-informaion/risk-free-ineres-rae-erm-srucures.

5 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 47 możemy wybrać dowolny rozkład czynników w mierze rzeczywisej, dzięki czemu nasz model w większym sopniu wyjaśni zaobserwowane w przeszłości zmiany krzywej dochodowości i dzięki emu będzie generował bardziej realisyczne zmiany krzywej dochodowości w przyszłości. Po rzecie, zasosowana w naszej pracy meoda esymacji jes opara na funkcji wiarogodności dla szeregu czasowego renowności obligacji, a nie na funkcji wiarogodności dla szeregu chwilowej sopy procenowej. Należy podkreślić, że na rynku obserwujemy renowności obligacji skarbowych, naomias nie obserwujemy chwilowych sóp procenowych. Nieobserwowalne chwilowe sopy procenowe są odworzone na podsawie renowności wybranych obligacji, co jes elemenem meody esymacji modelu sopy procenowej. Zapewnia o spójną esymację chwilowych sóp procenowych i paramerów modelu. Należy akże wspomnieć o innych pracach związanych z modelowaniem srukury erminowej sóp procenowych dla polskiego rynku. Waszkowski ( oszacował krzywe dochodowości dla rynku polskiego, wykorzysując modele Nelsona-Siegela i Svenssona. Na podsawie oszacowanych modeli wyznaczył chwilową sopę procenową, sosując podobne echniki jak Samirowski (3. Waszkowski ( nie dopasowywał jednak żadnego modelu chwilowej sopy procenowej. Marciniak (6 zasosował funkcje sklejane (B-spline do esymacji krzywych dochodowości. W jego pracy można znaleźć dokładny opis paramerycznych i nieparamerycznych meod esymacji krzywych dochodowości. Oprócz esymacji krzywych dochodowości oszacował model AR-GARCH dla zmian renowności 5-lenich obligacji skarbowych. Wybór modelu wskazuje na gruboogonowy rozkład zmian renowności obligacji w czasie, co również powierdziliśmy w naszym badaniu. Model AR-GARCH nie zosał wykorzysany do prognozy krzywej dochodowości (model doyczył ylko renowności obligacji 5-lenich, ale do oceny wpływu nieoczekiwanych zdarzeń na rynek obligacji. Kliber (9 porównał rzy meody esymacji krzywych dochodowości: meodę Nelsona-Siegela, meodę Svenssona i funkcje sklejane, wykazując przewagę funkcji sklejanych. Dodakowo Kliber (9 wyznaczył krzywą hisorycznych zmienności renowności obligacji skarbowych dla różnych erminów zapadalności, jednak nie oszacował żadnego modelu probabilisycznego opisującego zmienność renowności. Na koniec waro wspomnieć, że model głównych składowych dla krzywych dochodowości dla polskiego rynku zosał oszacowany w pracy Olszy (. W lieraurze zagranicznej jes wiele prac na ema modeli sóp procenowych i krzywych dochodowości. Chcielibyśmy zwrócić uwagę na pracę Cassoli i Luisa (, w kórej oszacowano dwuczynnikowy model Vasicka dla gospodarki niemieckiej, wykorzysując filr Kalmana i meodę największej wiarogodności. Opracowanie o jes zbliżone do naszej pracy, my jednak dopuszczamy dowolny rozkład czynników w mierze rzeczywisej i sosujemy funkcję quasi-wiarogodności, co jes bardzo ważnym uogólnieniem. W rozdziale omówimy dwuczynnikowy gaussowski model chwilowej sopy procenowej G++ i meodę esymacji oparą na funkcji wiarogodności. W rozdziale 3 wprowadzimy dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej i zaproponujemy kalibrację modelu, wykorzysując funkcję quasi-wiarogodności. W rozdziale 4 przedsawimy wyniki kalibracji naszego model dla polskiego rynku oraz analizę dopasowania modelu w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka. W rozdziale 5 zaprezenujemy prognozę krzywej dochodowości renowności polskich obligacji w perspekywie jednego roku i pokażemy, jak wyznaczyć warość rynkową przykładowego porfela obligacji oraz wymóg kapiałowy z yułu ryzyka sopy procenowej dla porfela obligacji.

6 48 Ł. Delong, D. Sulik. Dwuczynnikowy gaussowski model chwilowej sopy procenowej G++ W rozdziale. wprowadzimy dwuczynnikowy gaussowski model chwilowej sopy procenowej G++ i przedsawimy podsawowe własności chwilowej sopy procenowej oraz jej czynników, kóre są porzebne w procesie esymacji i analizy wyników modelu G++. Szczegółowy opis dwuczynnikowego gaussowskiego modelu G++, wraz ze wszyskimi podanymi poniżej formułami maemaycznymi, można znaleźć np. w pracy: Brigo, Mercurio (6, rozdz. 4. W rozdziale. korzysamy z podsawowych pojęć maemayki finansowej i procesów sochasycznych, kóre są dobrze wyjaśnione np. w książkach Werona i Werona (999 lub Jakubowskiego i in. (3. W rozdziale. omówimy meodę esymacji paramerów dwuczynnikowego gaussowskiego modelu G++ przy użyciu funkcji wiarogodności, kóra zosała zaproponowana w pracach: Fisher, Gilles (996, Duffee (, Ai-Sahalia, Kimmel (, i kórą zasosowaliśmy w naszym badaniu... Dynamika chwilowej sopy procenowej i czynników chwilowej sopy procenowej w modelu G++ W maemayce finansowej zakłada się, że dynamika warości wolnego od ryzyka rachunku oszczędnościowego jes opisana równaniem: db B ( ( = r gdzie r jes procesem wolnej od ryzyka chwilowej sopy procenowej. Pojęcie wolnego od ryzyka rachunku oszczędnościowego ma charaker absrakcyjny i nie należy uożsamiać rachunku B z rachunkiem w banku komercyjnym. Wolna od ryzyka chwilowa sopa procenowa również jes pojęciem absrakcyjnym, ale sopę r częso uożsamia się ze sopą overnigh. W dwuczynnikowym modelu chwilowej sopy procenowej opisujemy chwilową sopę procenową r przy użyciu dwóch skorelowanych markowskich procesów x i y. Oznacza o, że w dwuczynnikowym modelu chwilowej sopy procenowej renowności obligacji, a w konsekwencji srukura erminowa sóp procenowych oraz ceny wszyskich insrumenów pochodnych sopy procenowej zależą od bieżących warości dwóch czynników x i y. Na porzeby wyceny obligacji i insrumenów pochodnych oraz modelowania zmian srukury erminowej sóp procenowych w czasie musimy zdefiniować dynamikę chwilowej sopy procenowej i jej dwóch czynników w mierze neuralnej względem ryzyka i w mierze rzeczywisej. Niech oznacza momen analizy ceny obligacji, momen wykupu obligacji, τ = ermin zapadalności obligacji, horyzon czasowy badania. W ym rozdziale rozważamy klasyczny dwuczynnikowy gaussowski model chwilowej sopy procenowej G++. ak jak Brigo i Mercurio (6 zakładamy, że dynamika chwilowej sopy procenowej w mierze neuralnej względem ryzyka jes dana równaniami: (d r ( x ( y ( ( = + + (.

7 gdzie (, W db B ( ( = r Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 49 τ = db( = r(d B( r ( = x ( + y ( + ( dx( = ax( d + σ dw ( (. τ = dx( = ax( d + σdw ( x ( = r x ( = r r ( = x ( + y ( + ( dy by d dw (.3 dy( = by( d + dw ( η dx( = ax( d + σdw ( y ( = ( ( = ( = ( + η ( ε x ( = r (d a v a ( v e dv dy byd dw dv W jes dwuwymiarowym ruchem Browna (w mierze neuralnej względem ryzyka y ( = ze współczynnikiem korelacji ρ, ( paramery, W W a, b, σ, η, ε są sałymi dodanimi, naomias a ( v r R, [-, ]. ( = εe dv a, b, σ, η, ε Można wykazać (Brigo, Mercurio 6, rozdz. 4..5, że model G++ (. (.4 jes równoważny dwuczynnikowemu ( modelowi, W W Vasicka, w kórym dynamika chwilowej sopy procenowej opisana jes r R, [-, ]. równaniami: a, b, σ, η, ε dr( ( ar( d dw ( σ dr( = ( ε + q( ar( d + dw (.5 r R, [-, ]. r( = r dq( bq( d dw ( dq( = bq( d + ηdw (.6 dr( = ( ε + q( ar( d + σdw ( q ( = r( = r gdzie ( W, W jes dwuwymiarowym ruchem Browna (w mierze neuralnej względem ryzyka ze dq( bq współczynnikiem korelacji ρ ( d η oraz ( dw W, = + W( q ( = σ + η σ = σ + η + ση, η = η ( a b, = σ Paramery modelu (, W W (.5 (.6 są ławiejsze do zinerpreowania niż paramery modelu (. (.4. W zasosowaniach prakycznych może τ = jednak wysąpić porzeba esymacji rzyczynnikowego modelu db( = r(d σ + η chwilowej sopy procenowej σ = σ + db η i ( + wedy ση, model η = (. (.4 η ( a b, może = być w prosy sposób poszerzony o rzeci B( = r(d σ czynnik. B( rvdv ( Cena wolnej od ryzyka kredyowego P( U obligacji,,, zerokuponowej = E e x( w, chwili y( z momenem wykupu τ = τ = (z erminem zapadalności τ = w modelu G++ (. (.4 jes dana wzorem: r ( = x ( + y ( + = exp[ γ (, τ, γ( τ, U ] rvdv r ( = x ( + y ( ( + ( P( U,,, = E e x(, y( U = x (, y( dx (.7 ( = axd ( + σ dx( = ax( d + σdw ( x ( = r = [ a, b, σ, η,,ε] x ( = exp[ r γ (, τ, γ( τ, U ] dy( = byd ( + η a b τ τ ( e dy = by e U = x (, y( γ( ( τ, d + = ηdw (, a b y ( = = [ a, b, y σ, ( η, =,ε] a a ( v ε e aτ ( = εe dv a γa ( ( ( v,, τ bτ = τ + e ( = e εe edv a a γ( τ, =, a b σ 3 η ( W, W 3 (.4 aτ aτ bτ bτ

8 4 Ł. Delong, D. Sulik gdzie: U = (, y( x = [ a, b, σ, η,,ε] (, γ τ = aτ e e, a b bτ a ε e aτ γ ( (, τ, = τ + e a a σ aτ aτ 3 τ + e e a a a a η bτ bτ 3 τ + e e b b b b e a τ e b τ e ( a + b τ ση τ + + ab a b a + b Ze wzoru (.7 wynika, że renowność obligacji z erminem zapadalności τ przed urocznieniem jes funkcją afiniczną czynników x( oraz y(, zn.: g( U,, τ, = ln P( U,, + τ, = γ (, τ, + γ( τ, U (.8 Renowność obligacji w sosunku rocznym wyraża się wzorem [ g( U,, τ, ] τ. W ej pracy zawsze rozważamy i przedsawiamy renowności przy kapializacji ciągłej. Funkcja τ [ g( U,, τ, ] τ opisuje srukurę erminową wolnych od ryzyka sóp procenowych na momen. Zauważmy, że: ( U,, τ, g lim = r(, (.9 τ τ W celu przeanalizowania hisorycznych zmian renowności obligacji i srukury erminowej sóp procenowych musimy zdefiniować dynamikę chwilowej sopy procenowej w mierze rzeczywisej, kóra jes równoważną miarą probabilisyczną dla miary neuralnej względem ryzyka. Z maemaycznego punku widzenia musimy zasosować echnikę zamiany miary probabilisycznej dla ruchów Browna, kóre pojawiają się w równaniach (. (.3. Zgodnie z wierdzeniem Girsanowa proces W jes ruchem Browna względem pewnej miary probabilisycznej równoważnej mierze neuralnej względem ryzyka, jeżeli ma posać: gdzie π jes pewnym procesem sochasycznym. dw ( = dw ( π ( d (. Sosując (. w równaniach (. (.3, dosaniemy dynamiki czynników x i y w mierze równoważnej. Proces π należy wybrać ak, aby dynamiki czynników x i y w mierze rzeczywisej najpełniej wyjaśniały zaobserwowane zmiany srukury erminowej sóp procenowych. Oczywiście na porzeby

9 τ dw ( = dw ( τ π ( d dw ( = dw ( π ( d π π = λ lub π ( Kalibracja ( = λ x π dwuczynnikowego ( = λlub π ( x( modelu = λ sopy procenowej 4 π ( = λ lub π ( λ x( ( π ( λ π λ π ( π ( esymacji modelu G++ musimy usalić posać procesu π. Dwie najprossze możliwości, kóre zapewniają, że ( π π dynamiki czynników x i y w mierze rzeczywisej będą miały aką samą posać jak dynamiki w mierze neuralnej π ( = λ i względem π ( = λ i π ( = λ π ( = λ i π ( = λ ( = λryzyka, o wybór π( = λlub π ( = λ x( (i analogicznie dla π (. W naszym badaniu wybraliśmy π ( = λ i π ( = λ. Formę zamiany miary wybrali również π ( λ π λ Dai i Singleon r ( = x ( (, + y ( Ai-Sahalia + φ( i Kimmel ( oraz r ( = x ( + y ( + φ( Samirowski r (3. ( = x ( + y ( + φ( Dynamika procesu chwilowej sopy procenowej w mierze rzeczywisej jes więc dana równaniami: dx( = ( λσ ax( + d φ+ σdw ( dx ( = ( λσ ax( d + σdw ( dx( = ( λσ ax( d + σdw ( x ( = r x ( = r λ σ x ( = r r ( = x σ( + y ( + φ( (. dy( = ( λη by( d + ηdw ( dy( = ( ( λ η by d + ηdw ( dy ( = ( λ dx η( by= ( ( λ σ d + ax ηdw ( d ( + σdw ( (. y ( = y ( = λ η η x ( = r y ( = a ( v a ( v φ φ ( = e dv dy( = ( λ ( = e dv a ( v η by( d + ηdw = e dv ( φ (.3 y ( = dw ( = dw ( π ( d φ ( W, W W, W ( W, W a ( v φ( = e dv (.4 U = x (, y( U = x (, y( U = x (, y( gdzie ( W, W jes dwuwymiarowym ruchem Browna (w mierze rzeczywisej ze współczynnikiem korelacji U ρ. = x( s, y( s U s = x ( s, y( s s Warunkowy U rozkład s = x( zmiennej s, y( s U = x (, y( pod warunkiem U s = x( s, y( s w mierze rzeczywisej jes dwuwymiarowym rozkładem normalnym o paramerach: a ( s λσ a ( s λσ a( s a( E{ x( x( s } = μx ( s,, = x s e E + ( { x ( e x( s } = μx ( s,, = x s( s e + e a a ( s λσ a( s a E{ x( x( s } = μx ( s,, = x( s e + ( e s a ( s λσ a a s E{ x( x( s } = μx ( s,, = x( s eb ( s + λ η ( e b ( s λ η b( s b( s E{ y( y( s } = μy ( s,, = y s e E + a( { y ( e y( s } = μy ( s,, = y s( s e + e b b ( s λ η b( s b E{ y( y( s } = μy ( s,, = y( s e + ( e s b ( s λ η b b( E y( y( s μ y s,, = σ y( s e a( + s ( e σ a ( s s Var { x ( x( s } = σx ( s,, = ( e Var { x ( x( s } = σx ( s,, b = s ( e a σ a( s a Var { x ( x( s } = σx ( s,, = ( e s σ a a( s Var { x ( x( s } = σ x ( s, = η ( e ( s s ( Var { y ( y( s } = ( a( b η s σ y s,, = e Var { y ( y( s } = σ ( s ( b y s,, = e b η ( b { ( (} ( ( b s Var y y s = σ y s,, = e s η b ( s Var { y ( y( s } = ( ( b a cov{ x (, y( ( x( s, yσ (} sy s, =, = ( e σ η ση ( a+ b( s cov ( s xy s,, = cov{ ( e, y( ( x( s, y(} s cov s xy s,, = e b a + b ση ( a+ b( s a + b cov{ x (, y( ( x( s, y(} s = cov xy ( s,, = ( e s ση a + b ( a+ b( s cov{ x (, y( ( x( s, y(} s = cov ( ( xy s,, = e s (.5 a + b gdzie = ( = ( [ ] [ ] a, b, σ, η,, ε, λ, λ =, λ, λ. = [ a, b, σ, η,, ε, λ ] [ ], λ =, λ, λ = [ a, b, σ, η,, ε, λ ] [ ], λ =, λ, λ = [, b, σ, η,, ε, λ, λ ] = [, λ λ ] λ λ ( ( ( + b( s x = ( ( Waro a, ( λ, wyjaśnić, λ jaką rolę odgrywają paramery (, z ekonomicznego punku widzenia. Mówimy, że paramery ( λ, λ odzwierciedlają rynkowe premie za ryzyko związane z inwesycją w obliga- cje w sosunku ( λ, λ do inwesycji na rachunku oszczędnościowym, na kórym zarabiamy wolną od ryzyka chwilową sopę procenową. Miara neuralna względem ryzyka o aka miara, względem kórej zdys-

10 4 Ł. Delong, D. Sulik konowany proces kszałowania się ceny obligacji jes maryngałem. Ponieważ modelujemy chwilową sopę procenową, czynnik dyskonujący za okres [, ] przyjmuje posać: e Z wierdzenia o reprezenacji maryngału wynika, że zdyskonowany proces kszałowania się ceny obligacji o erminie wykupu musi być opisany równaniem: rvdv ( d e P (, rvdv ( = ( dw ( + ( dw ( d e P (, rvdv ( rvdv ( e P(, e = ( dw ( + ( dw ( rvdv ( e P(, rvdv ( d e P dp (,(, Sosując formułę Iô do wzoru (.7, możemy wywnioskować, = ( ( dw że: ( + ( dw ( rvdv ( rvdv ( P (, = r d e P(, dp(, ( P (, = r d γ(, θ; σdw ( γ(, θ; ηdw ( rvdv ( d e P (, (.6 dp(, ( γ(, θ; σdwp (,( = γ r ( d γ(, θ= ;, ( γ( dw (, θ; + ( dw ( rvdv ( e, θ; ηdw ( P(, γ gdzie γ(, θ;, γ(, θ; (, θ; γ σ( dw, ( θ γ(, θ; ηdw ( są odpowiednio pierwszymi i drugimi składowymi wekora γ θ σ γ θ η γ (, θ. dp(, γ θ γ(, θ;, γ(, θ; P (, = r dp ( d, Wyprowadzenie dynamiki γ (.6 θ w γ przypadku θ modelu = r jednoczynnikowego można znaleźć np. d w książce Jakubowskiego i in. (3, γ ( γ( s., 3. θ, θ; P Dokonując ( σdw ( ( γ(, θ; σλ γ(, θ; ηλ, ( zamiany γ(, miary θ; ηdw neuralnej ( względem ryzy- ka na miarę rzeczywisą w γ równaniu θ (.6, zgodnie z równaniami (. (.3, dosajemy dynamikę ceny obligacji: γ γ dp(, ;,, ( θ γ (, θ, ; ; θ σdw ( γ(, θ; ηdw( dp (, r d = ( ( ( P = r( ( ( d P ( ( γ, θ; σλ γ, θ; ηλ γ, (, θγ, θ; σλ γ, θ; ηλ, γ(, θ; σλ γ(, θ; ηλ γ(, θ; σdw ( γ(, θ; ηdw( γ(, θdp ; σdw ( γ(, θ; ηdw db( (, ( = r(d = r B( db( d P ( ( ( γ(, θ; σλ (, θ; ηλ γ, r( v dv = r(d Widzimy eraz, że wyrażenie γ, θ; σλ ( γ e, θ; ηλ opisuje chwilową B( premię za ryzyko związaną z inwesycją γw ( obligację, θ; o σλerminie γ( zapadalności, θ; ηλτ =, zn. nadwyżkę w chwili ocze- E x(, y( γ( r( v dv, θ; σdwe ( e γ (, xθ ( ;, ηy ( dw ( kiwanej chwilowej sopy zwrou z inwesycji w obligację o erminie zapadalności τ = nad wolną od ryzyka chwilową sopą procenową, kórą możemy r( v zarobić na dv r rachunku ( = x ( oszczędnościowym. + y ( + ( Wyrażenie e o powinno przyjąć warość dodanią, E zn. r( v dv paramery λ, λ powinny x(, y( być ujemne. γ r ( = x ( + y ( + ( e(, θ; σλ (, ; γ θ ηλ Rozważmy nasępujące r( v dv rvdv ( Ewyrażenie: E e x( x( y (, y(, dx( = ax( d + σdw ( r( v dv / E [ e x (, y( ] E e x, y dx = axd + σdw ( ( r( v dv x = r rvdv ( e r( v dv dy( = by( d + dw ( E η e ( / rvdv ( E [ e x, y x (, y( ] r( v dv dy( = by( d + (.7 ηdw ( / E [ e E x e (, y( ] x(, y( y ( = ( ( ( ( ( r( y ( = ( v dv a ( v e ( av b v r v = λ σ r v e e = a + λ η + εe dv b rvdv ( a ( v ( = εe dv / E [ e x ( λ σ, y( ] ( ( ( ( λ σ ( av ( λ η ( av λ η b v r v = r v + e( W ( + e v a, W ( ( ( (, ;, ; r r v dv v θ σλ + v θ ηλ dv r v dv b ( v r( v dv e rvdv ( x ( = r ( ( ( (

11 γ(, θ dp, Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy = r d P procenowej ( ( ( γ(, θ; σλ γ(, θ; 43 ηλ dp (,, = r d P ( ( ( γ(, θ; σλ γ(, θ; ηλ, γ(, θ; σdw ( γ(, θ; ηdw( Zauważmy, że γ(, θ; σdw ( γ(, θ; ηdw( rvdv ( / E [ e x (, y( ] określa całkowią sopę zwrou z inwesycji w obligację o erminie zapadalności γ(, θ; σλ γ(, θ; ηλ. r( v dv γ(, θ; σλ γ(, θ; ηλ Z kolei e określa całkowią sopę zwrou z inwesycji na wolnym od ryzyka rachunku oszczędnościowym w okresie od do. r( v dv e W konsekwencji wyrażenie (.7 opisuje r( całkowią v dv premię E za ryzyko związaną z inwesycją x(, y( w obligację o erminie zapadalności, zn. e oczekiwaną całkowią nadwyżkę sopy zwrou z inwesycji w obligację o erminie zapadalności r( v dv E E e x(, y( x(, y( r ( v dv E e w porównaniu ze sopą zwrou uzyskaną w wyniku inwesycji na rachunku oszczędnościowym zgodnie z wolną od ryzyka chwilową sopą procenową w ym x(, y( samym okresie. Oczywiście liczymy warość oczekiwaną w (.7 względem rvdv ( miary rzeczywisej, ponieważ ineresuje nas rzeczywisy zysk, kóry osiągniemy. W modelu / E G++, [ e wykorzysując x (, y( ] rvdv ( (.5, orzymujemy zależność: / E [ e x (, y( ] λ σ ( ( ( ( ( ( av λ η r( v dv b v r v = r v + e + e e v a b r( v dv e gdzie sopa r opisana jes za pomocą dynamik (. (.4 i zadanych warości λ σ sarowych ( x(, y(. ( ( ( ( ( Dosaniemy więc: + av λ η b v r v = r v + e + e a b λ σ ( ( ( ( ( ( av λ η b v r v = r v + e + e v a b ( ( ( ( ( ( (, ;, ; r r v dv v θ σλ + v θ ηλ dv r v dv E e x, y = e Er ( v dve x(, y( ( ( v ( θ θ ηλ ( (, θ ; σλ + v, θ ; ηλ dv E e x, y = e E e ( ( ( ( ( ( (, ;, ; r r v dv v θ σλ + v θ ηλ dv r v dv E e x, y = e E e x(, y( Osaecznie całkowia premia za ryzyko związana z inwesycją w obligację o erminie zapadalności w dwuczynnikowym gaussowskim modelu G++ wynosi: ( E rvdv ( e rvdv ( e x, rvdv ( E E e x (, y rvdv ( E e x, y ( y ( ( ( rvdv ( ( ( e, ; E v θ σλ+ ( v, θ ; ηλ dv x(, y ( = e = e rvdv ( ( ( v ( ( E e( x (, θ, y ( ; σλ + v, θ ; ηλ dv x, y = e (.8 ( ( v, θ; σλ τ, τ, τ3,, τ K τ τ τ τ co odpowiada urocznionej premii τ za, τryzyko, τ3,, τprzy K kapializacji ciągłej. τ τ Γ g U,, τ, = γ, τ, + γ τ, γ τ + γ τ g( U,, τ, = γ(, τ, + γg( τu,,, τu, = γ, τ, + γ τ, = γ τ + γ τ g U,, τ, = γ, τ, + γ τ, U U Γ g ln ( ( Jes o zgodne z wcześniejszą inerpreacją wyrażenia γ, θ; σλ γ, θ; ηλ jako θ σλ θ ηλ chwilowej premii za ryzyko. W pracy γ będziemy, θ; σλ esymowali γ wyrażenie:, θ; ηλ ln E ( ( E e e r ( v dv r ( v dv x (, y( E ( ( x, Ey e e r ( v dv r ( v dv x (, y( x (, y( ( ( ( ( ( ( ( ( ( U = Γ ( g (, ( ( =, (.9 U U

12 44 r( v dv e ( ( ( ( ( ( (, ;, ; r r v dv v θ σλ + v θ ηλ dv r v dv E e x, y = e E e x, y Ł. Delong, λ σ ( ( D. ( Sulik ( ( ( av λ η b v r v = r v + e + e v a b ( (. Esymacja modelu G++ ( meodą największej ( ( wiarogodności ( (, ; (, ; r r v dv v θ σλ + v θ ηλ dv r ( v dv E e x, y = e rvdv ( E e xθ(, y σλ + ( e Dane wejściowe sanowi szereg czasowy E cen obligacji lub renowności x(, y ( obligacji = e o erminach rvdv ( zapadalności τ, τ, τ3,, τ K. O ile nie wskazano E e inaczej, x ( przez, y ( renowności obligacji będziemy rozumieć renowności przed urocznieniem przy kapializacji ciągłej (parz wzór.8. Model G++ dopasowujemy w en sposób, żeby renowności rvdv ( obligacji w oszacowanym modelu dla dwóch wybranych ( ( v erminów zapadalności τ, τ dokładnie replikowały γ(, θ; hisoryczne σλ ( renowności ych obligacji oraz aby ( γ (, θ ; σλ+ ( v, θ ; ηλ dv e E, θ; ηλ x, y = e renowności obligacji w oszacowanym rvdv modelu ( E e dla pozosałych erminów zapadalności, τ 3,, τ K były x (, y ( możliwie blisko hisorycznych renowności ych obligacji. Rozważmy najpierw szereg czasowy renowności g obligacji r ( v dv o wybranych dwóch erminach zapadalności τ e oraz τ Dysponując renownościami ln E obligacji w chwili dla dwóch x(, y( erminów zapadalności, γ r ( v dv (, θ; σλ γ τ oraz τ, możemy uzyskać warości nieobserwowanych E (, θ; e czynników x ηλ (, y ( x( oraz y(. Posługujemy się równaniem (.8. Musimy rozwiązać układ równań: ( (, ; (, θ ; ηλ v v dv r ( v dv g( U,, τ, e ln E = γ(, τ + γ( τ, U τ, τ, τ3,, τ x(, y( K r ( v dv g( UE,, eτ, = γx ( (, τy (, + γ( τ, U γ γ g( U,, τ, = Dosajemy wekor warości czynników: γ γ(, τ, γ + γ( τ, U g( U,, τ, = γ (, τ, + γ( τ, U τ, τ, τ3,, τ K U = ( ( (. Γ g, U = Γ ( g (, gdzie: g( U,, τ, = γ(, τ, + γ( τ, U γ Γ g( U,, τ, = γ (, τγ, ( γ ( τ, + γ ( τ, U Γ = γ( τ, U γ = Γ ( g Γ (, γ(, τ, Γ (, = γ( τ (, τ,, Γ ( = γ( τ, g( U,, τ, g = g( U,, τ, γ(, τ, Γ (, = Kolejnym krokiem jes znalezienie rozkładu (, τ, prawdopodobieńswa (w mierze ( s rzeczywisej dla wekora renowności g ( s,, = μx,,. Niech i s będą dwoma momenami czasu i s. Znamy warunkowy s rozkład g prawdopodobieńswa wekora U ( U,, τ, μy( s,, pod gwarunkiem = U s. Na podsawie (.5 ma on dwuwymiarowy rozkład g( U,, τ, normalny o wekorze warości oczekiwanych M oraz macierzy wariancji-kowariancji Σ: ( ( s s σx,, covxy,, s,, = s μx( s,, covxy ( s,, y ( s,, ( s,, = s μy( s,, (. σx ( s,, covxy ( s,, ( s,, = s cov s,, s,, xy ( ( y

13 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 45 Dzięki (. znamy akże zależność pomiędzy zmienną losową U a renownościami obligacji g. Możemy więc wyznaczyć warunkowy rozkład prawdopodobieńswa zmiennej losowej U pod warunkiem g s, wykorzysując wierdzenie o odwzorowaniu gładkim dla zmiennych losowych o zadanej funkcji gęsości (Jakubowski, Szencel, rozdz Funkcja gęsości f g rozkładu warunkowego g g s ma posać: f g ( s ( g g = f [ Γ( θ ] [ g Γ (, θ ] [ Γ( θ ] [ g Γ ( s θ ] s U, [{ }] gdzie f U jes funkcją gęsości rozkładu warunkowego U U s. de [ ( ] [ g ( ' Γ θ Γ, ] θ s Licząc pochodną przekszałcenia liniowego, dosajemy: f g = ( ( [ ] [ ( ] [ ( ] ( ( g gs fu [ Γ θ ] g ( s s, Γ, θ Γ θ g Γ θ de[ Γ θ ] s Po podsawieniu funkcji gęsości rozkładu normalnego z paramerami (. oraz wprowadzeniu rozszerzonego zbioru paramerów θ funkcja gęsości f g (g g s dana jes wzorem: f g ( g gs = π de ( s,, θ exp( ( U M( s,, θ ( s,, θ ( U M( s,, θ de Γ θ [ ( ] (. s gdzie: Licząc granicę f g (g o posaci: U = ( g (, Γ θ Γ θ we wzorach (., orzymamy momeny rozkładu sacjonarnego rozkładu M( θ = μx ( θ μ ( θ y λσ = a λη b ( θ = σ x cov ( θ covxy ( θ ( θ ( θ xy y = σ a σ η a + b σ η a + b η b Osani eap o skonsruowanie funkcji wiarogodności dla szeregu czasowego renowności obligacji. Załóżmy, że obserwujemy renowności obligacji o erminach zapadalności τ oraz τ w momenach,,..., n. Wekory renowności dla ych obligacji są równe g, g,...,g n Po wykorzysaniu (. funkcja wiarygodności dla szeregu renowności obligacji o erminach zapadalności τ oraz τ w dwuczynnikowym gaussowskim modelu G++ przyjmuje posać:

14 46 Ł. Delong, D. Sulik L n ( g, g,, g = f g ( g f g ( g g =, n i i i= = exp U ( ( U ( θ π de θ n i= π de de Γ θ ( Zakładamy, że obserwacja g pochodzi z rozkładu sacjonarnego. Logarym funkcji wiarogodności jes równy:, ( ( g g... g ] [ g ( g + Σ g ( g g ln L,,, = ln f ln f = ( [ ( ] (,, θ i i ( n n i= [ ] ( de Γ( ( ( ( ( (,, θ exp U,,,, U i i i θ i i θ i i i i i = ( n ln ( ln de ( ( ( U Σ ( ( U ( + n ln de [ ] Σ ln de Σ( i, i, i = + ( n + ( + [ ] U,,,, U,, n Σ ( i ( i i ( i i ( i ( i i i= + (.3 Rozważmy eraz szereg czasowy renowności h obligacji o pozosałych erminach zapadalności τ 3,..., τ K. Załóżmy, że obserwujemy renowności obligacji o erminach zapadalności τ 3,..., τ K w momenach,,..., n. Wekory renowności ych obligacji są równe h, h,...,h n Przy usalonym zesawie paramerów = [ ab,,,,,,, ] oraz warościach procesu U na podsawie (.8 możemy wyznaczyć prognozowane renowności ych obligacji zgodnie ze wzorem: ( τ ( γ( ˆ h U,,, γ, τ, τ, U + τ, τ = τ,..., 3 τ K = + Oczywiście ak wyznaczone renowności h nie będą się pokrywały z hisorycznymi renownościami h. Przyjmujemy założenie, że dla każdego erminu zapadalności τ j różnica pomiedzy zaobserwowaną urocznioną renownością a prognozowaną urocznioną renownością ma rozkład normalny o warości oczekiwanej zero i wariancji δ j. Dodakowo zakładamy, że błędy dopasowań są niezależne w kolejnych okresach obserwacji i niezależne pomiędzy erminami zapadalności. Założenie doyczące renowności o erminach zapadalności τ 3,..., τ K jes inuicyjnie jasne i zgodne z podejściem zaproponowanym przez Chena i Scoa (993, według kóryego renowności obligacji o erminach zapadalności τ, τ są obserwowane bez błędów, naomias renowności obligacji o pozosałych erminach zapadalności τ 3,..., τ K są obserwowane z błędami. Założenie o jes zgodne z powszechnym przekonaniem, że kwoowane ceny obligacji są narażone na szum rynkowy i są różne od cen fundamenalnych. Możemy więc zapisać funkcję wiarogodności dla szeregu renowności obligacji h, h,...,h n o erminach zapadalności τ 3,..., τ K w momenach,,..., n. Orzymujemy:

15 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 47 K ln L ( h,,, ( ( 3 ln ( ( ln (, h n K n j h = n π Σ δ j= 3 n K ΣΣ ( ( ( γ i, τj, + γ τj, Ui h U, i, τj, τ i= j= 3 δ j (.4 Osaecznie, logarym funkcji wiarogodności dla szeregu czasowego renowności obligacji o erminach zapadalności τ, τ, τ 3,..., τ K jes sumą logarymów funkcji wiarogodności (.3 i (.4, zn.: ( g,,,,,,, g g h h h L n n ln = gdzie = [ ab,,,,,,,,,..., ] ( g g g L ( h h h ln L,,, ln,,, = +, n, n K. (.5 W celu wyznaczenia paramerów dwuczynnikowego gaussowskiego modelu chwilowej sopy procenowej G++ maksymalizujemy funkcję (.5 względem wekora paramerów θ. Podkreślmy, że badając renowności obligacji w danym momencie, możemy wnioskować o paramerach modelu sopy procenowej w mierze neuralnej względem ryzyka (kóry jes porzebny do wyceny akywów i pasywów. W wyniku analizy zmian renowności obligacji w czasie możemy wnioskować o paramerach modelu sopy procenowej w mierze rzeczywisej (kóry jes porzebny do prognozowania zmian srukury erminowej sóp procenowych. Maksymalizując funkcję wiarogodności (.5, dosajemy jednocześnie oszacowania paramerów dynamiki chwilowej sopy procenowej i dynamiki dwóch czynników x i y w mierze neuralnej względem ryzyka (a, b, σ, η, ρ, ε i w mierze rzeczywisej (a, b, σ, η, ρ, ε, λ, λ. Paramery (δ 3,..., δ K nie są wykorzysywane w modelu. Są one porzebne do skonsruowania funkcji wiarogodności i opisują odchylenia sandardowe błędów esymacji urocznionych renowności obligacji o erminach zapadalności (τ 3,..., τ K w kolejnych momenach obserwacji. Paramery (δ 3,..., δ K służą więc jedynie do oceny dopasowania modelu w mierze neuralnej względem ryzyka. Powyżej przedsawiliśmy meodę esymacji dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej. Model dwuczynnikowy może być rozszerzony do modelu rzyczynnikowego, kóry może być esymowany w analogiczny sposób (Ai-Sahalia, Kimmel. 3. Dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej Oszacowany dwuczynnikowy gaussowski model chwilowej sopy procenowej G++ można wykorzysać do bieżącej wyceny akywów i pasywów i do prognozowania krzywej dochodowości wyłącznie w syuacji, gdy oszacowany model G++ będzie dobrze dopasowany do danych, zn. gdy czynniki x i y będą mogły być opisane dynamikami Vasicka w mierze neuralnej względem ryzyka (. (.4 i w mierze rzeczywisej (. (.4.

16 48 Ł. Delong, D. Sulik Rozważmy dopasowanie dwuczynnikowego gaussowskiego modelu chwilowej sopy procenowej G++ w mierze neuralnej względem ryzyka. Będzie on dobrze dopasowany, jeżeli ceny obligacji wyznaczone zgodnie ze wzorem (.7, przy paramerach orzymanych w wyniku maksymalizacji funkcji (.5, będą bliskie hisorycznym cenom obligacji dla wszyskich momenów,,..., n i erminów zapadalności τ, τ, τ,..., τ 3 K. Przedsawiona w poprzednim rozdziale meoda esymacji zapewnia, że ceny obligacji w oszacowanym modelu G++ będą się pokrywały z hisorycznymi cenami obligacji dla erminów zapadalności τ, τ. Błąd dopasowania cen obligacji należy więc zweryfikować dla obligacji o erminach zapadalności τ 3,..., τ K. Dopasowanie dwuczynnikowego gaussowskiego modelu G++ w mierze neuralnej względem ryzyka powinno być dobre, przynajmniej dla większości erminów zapadalności. Wiąże się o z fakem, że hisorycznie obserwowane krzywe dochodowości są gładkie, a funkcja τ g(.,, τ, θ renowności obligacji w modelu G++ (.8 jes na yle elasyczna, że dopasowując ją do renowności dla dwóch skrajnych erminów zapadalności τ, τ, powinniśmy akże móc odworzyć (z małym błędem renowności dla erminów zapadalności pomiędzy τ i τ oraz bliskich τ, τ. Wąpimy jednak w dobre dopasowanie dwuczynnikowego gaussowskiego modelu chwilowej sopy procenowej G++ w mierze rzeczywisej. Jeżeli dysponujemy danymi o renownościach obligacji w momenach równo oddalonych od siebie o mały inerwał czasowy Δ, o dynamiki czynników w czasie ciągłym (. (.3 mogą być przybliżone przez równania rekurencyjne w czasie dyskrenym. Sosując schema Eulera (Korn, Korn, Kroisand, rozdz , dosaniemy nasępujące dynamiki czynników w mierze rzeczywisej: ( ( ( x( = σ ax( σ ε,, n x + + = x( = r y( y( = ( by( η + η ε( y ( = =,, n + gdzie ( (, ( =,..., n jes ciągiem niezależnych zmiennych losowych o dwuwymiarowym sandardowym rozkładzie normalnym i współczynniku korelacji ρ. Meoda esymacji dosarczy nam oszacowania czynników xˆ i ŷ. Dwuczynnikowy gaussowski model G++ będzie więc dobrze dopasowany w mierze rzeczywisej, jeżeli przy oszacowanych paramerach reszy xˆ ( + xˆ ( ( ( ( ˆ σˆ ˆˆ ax R = =,, n σˆ (3. yˆ ( ( + yˆ ( ( ˆ ˆ ˆˆ η by( R = =,, n ηˆ będą worzyły ciąg niezależnych zmiennych losowych o dwuwymiarowym sandardowym rozkładzie normalnym i współczynniku korelacji ρˆ. Spodziewamy się, że warunek en nie będzie spełniony w prakyce, ponieważ zmiany srukury erminowej sóp procenowych w czasie mogą być generowane przez mechanizm losowy bardziej wyrafinowany niż dwuwymiarowy rozkład normalny. Proponujemy zaem wykorzysanie dwuczynniko-

17 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 49 wego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników i zasosowanie meody quasi-wiarogodności. Meodę quasi-wiarogodności zaproponował Whie (98 i obecnie sanowi ona sandardową meodę esymacji szeregów czasowych. Esymacja szeregu czasowego z wykorzysaniem meody quasi-wiarogodności polega na ym, że najpierw szacowane są paramery szeregu czasowego przy założeniu, że składnik losowy jes z rozkładu normalnego, a nasępnie dopasowywany jes odpowiedni rozkład do resz w modelu szeregu czasowego (np. McNeil, Frey, Embrechs 5, rozdz Proponujemy zasosowanie akiego samego podejścia do kalibracji dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej. Gdy wykorzysujemy meodę największej quasi-wiarogodności, funkcja (.5 nie jes prawdziwą funkcją wiarogodności obserwacji, lecz jedynie kryerium opymalizacyjnym zbliżonym do funkcji wiarogodności. W konsekwencji, sosując meodę największej quasi-wiarogodności, należy zadbać o sprawdzenie, czy wyniki kalibracji są sensowne. Podsumowując, w pracy ej jako model srukury erminowej sóp procenowych proponujemy dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej. W naszym modelu cena wolnej od ryzyka kredyowego obligacji zerokuponowej o erminie zapadalności τ dana jes wzorem (.7, czyli: ( τ exp[ γ ( τ ( τ, Z kolei dynamiki Δczynników λx σi y w mierze Δ rzeczywisej σ Δ dane są równaniami: ( Δ x( ( λ σ ax( Δ + σ Δ Z ( ( = r ( Δ y( = ( η by( Δ η ΔZ ( = λ,, n (3. x + = x + P U,,, =,, U ] =,, n y + + = y ( = gdzie ( Z(, Z ( =,, n jes ciągiem niezależnych zmiennych losowych o dowolnym dwuwymiarowym rozkładzie. ση ε λ λ Paramery ( ab,, ση,,, ε, λ, λ są kalibrowane przez maksymalizację funkcji quasi-wiarogodności (.5, a paramery dwuwymiarowego rozkładu (Z, Z są kalibrowane w wyniku analizy saysycznej orzymanych resz (3.. Używamy eraz określenia kalibracja, a nie esymacja, ponieważ wydaje się bardziej odpowiednie w zaproponowanej meodzie. W szczególności zwracamy uwagę, że saysyczna meoda quasi-wiarogodności opiera się na pewnych założeniach, kórych nie sprawdzamy w ej pracy. W funkcji quasi-wiarogodności (.5 warunkowe momeny wyznaczone w modelu z czasem ciągłym z ruchem Browna (.-(.3 możemy zasąpić, sosując dyskreyzację Eulera, warunkowymi momenami wyznaczonymi w modelu z czasem dyskrenym z dowolnym rozkładem szumu (3. (3.3. Dla małego inerwału czasowego Δ różnica między warunkowymi momenami czynników x i y w modelu ciągłym i dyskrenym będzie zaniedbywalna. Usunięcie założenia, że dwuwymiarowy rozkład normalny generuje zmiany krzywej dochodowości w czasie, jes kluczowe dla wielu zasosowań prakycznych. Wybierając najlepszy możliwy rozkład ρ,, n (3.3

18 4 Ł. Delong, D. Sulik dla czynników x i y, możemy eraz generować realisyczne zmiany krzywej dochodowości w przyszłości, odpowiadające zmianom zaobserwowanym w przeszłości, i wyznaczyć poprawny wymóg kapiałowy z yułu ryzyka sopy procenowej. Nasza modyfikacja dwuczynnikowego gaussowskiego modelu chwilowej sopy procenowej G++ zapewnia więc lepsze dopasowanie modelu w mierze rzeczywisej i poszerza obszar zasosowań modelu. Jednocześnie zwracamy uwagę, że nasz dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ (ak jak gaussowski model G++ jes kalibrowany w mierze neuralnej względem ryzyka wyłącznie na podsawie cen obligacji. Ponieważ wypłay i ceny obligacji nie zależą od łącznego rozkładu sóp dla różnych erminów zapadalności, ak oszacowany model w mierze neuralnej względem ryzyka nie powinien być wykorzysywany do wyceny insrumenów z wypłaami zależnymi od łącznego rozkładu sóp dla różnych erminów zapadalności (Brigo, Mercurio 6, rozdziały 4. i Nasz model chwilowej sopy procenowej ypu G++ w mierze neuralnej względem ryzyka, oszacowany zgodnie z opisaną powyżej meodą, możemy więc wykorzysać do wyceny sałych przepływów (kuponów, nominałów obligacji, świadczeń z yułu zgonu lub przeżycia w ubezpieczeniach na życie insrumenów ypu cap, caple, floor, floorle, ale nie powinniśmy go sosować do wyceny insrumenów ypu swapcja. Meoda największej quasi-wiarogodności i zaproponowana meoda kalibracji dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej nie są opymalne. Z punku widzenia saysyki lepszym rozwiązaniem byłoby zdefiniowanie dynamik (. (.3 w czasie ciągłym dzięki zasąpieniu ruchu Browna procesem procesem Lévy- ego, dla kórego znamy w posaci zamknięej (lub porafimy przybliżyć funkcję gęsości przejścia (np. Hainau, MacGilchris. W akim modelu z procesem Lévy ego moglibyśmy zapisać prawdziwą funkcję wiarogodności dla naszych obserwacji. Dodakowo, afiniczna posać ceny obligacji (.8 wysępuje w przypadku szerszej klasy procesów sopy procenowej (Duffi, Filipovic, Schachermayer 3, w szczególności gdy w równaniach (. (.3 zasąpimy ruch Browna procesem Lévy ego. W konsekwencji wyniki z rozdziału. można rozszerzyć na przypadek modelu z procesem Lévy ego. Uważamy jednak, że nasze podejście z funkcją quasi-wiarogodności jes zdecydowanie prossze do sosowania i jak pokażemy w nasępnym rozdziale daje rozsądne wyniki. 4. Wyniki kalibracji dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej dla rynku polskiego W ym rozdziale przedsawimy szczegóły i osaeczne wyniki kalibracji zaproponowanego wcześniej dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ dla rynku polskiego. Omówimy wybór danych do kalibracji modelu, procedurę maksymalizacji funkcji quasi-wiarogodnosci i sposób oszacowania dwuwymiarowego rozkładu czynników x i y w mierze rzeczywisej oraz ocenimy sopień dopasowania osaecznego modelu w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka.

19 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej Wybór danych do kalibracji modelu Zgodnie z wyycznymi Urzędu Nadzoru Ubezpieczeń i Pracowniczych Programów Emeryalnych (EIOPA 7 do esymacji modelu srukury erminowej wolnych od ryzyka sóp procenowych w Polsce należy wykorzysywać dane z I77 CMPL Index z agencji prasowej Bloomberg. Są o dane o renowności polskich obligacji skarbowych dla wybranych erminów zapadalności w sosunku rocznym przy kapializacji rocznej. Dysponowaliśmy dziennymi noowaniami renowności obligacji skarbowych o erminach zapadalności 3 i 6 miesięcy, roku,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, 5 i la w okresie od sycznia r. do marca 7 r. Zgodnie z założeniem przyjęym w ej pracy (parz (.8 (.9, renowności przy kapializacji rocznej zosały zamienione na renowności przy kapializacji ciągłej. Renowności dla erminów zapadalności roku i la w okresie od sycznia do marca 7 r. przedsawiono na wykresie a. Widać na nim wyraźne obniżenie się renowności dla obu erminów zapadalności w analizowanym okresie. Wykorzysanie wszyskich dosępnych danych o renowności z widocznym rendem spadkowym do esymacji modelu sopy procenowej byłoby sprzeczne z założeniem o sacjonarności procesów x i y wpływających na zmiany renowności obligacji. Osani wyraźny rend spadkowy renowności obligacji -lenich wysąpił pomiędzy syczniem 4 a syczniem 5 r. W konsekwencji zdecydowaliśmy się usalić środek ego okresu, zn. lipca 4 r., jako począek szeregu czasowego, kóry wykorzysaliśmy do esymacji modelu (parz wykres b. W okresie od lipca 4 do marca 7 r. obserwowaliśmy wzrosy i spadki renowności obligacji -lenich; renowność obligacji -leniej na koniec okresu była bardzo podobna jak renowność na począku okresu. Renowność obligacji jednorocznej nadal malała w okresie od lipca 4 do sycznia 5 r., a nasępnie urzymywała się na sałym poziomie. Ponieważ od lipca 4 do marca 7 r. renowności obligacji 3-miesięcznych były idenyczne jak renowności obligacji 6-miesięcznych, e pierwsze zosały wykluczone z szeregu czasowego obserwacji użyych do esymacji modelu. Nasępny krok polegał na wybraniu erminów zapadalności τ, τ i renowności, kóre deerminują warości nieobserwowanych czynników x i y zgodnie z (.. Zgodnie z inuicją ermin zapadalności τ powinien być króki, ermin zapadalności τ długi, a renowności dla erminów zapadalności τ, τ powinny być silnie skorelowane z renownościami dla pozosałych erminów zapadalności. Według wyycznych EIOPA na polskim rynku obligacje skarbowe o erminach zapadalności powyżej la i poniżej roku nie są płynne, co sanowi dodakowy argumen za wyłączeniem obligacji 3-miesięcznych z analizy. W konsekwencji nauralny wybór o τ = rok i τ = la. Dodakowo wykresy a i b pokazują, że renowności obligacji jednorocznych są silnie skorelowane i bardzo bliskie renownościom obligacji 6-miesięcznych i -lenich oraz że renowności obligacji -lenich są silnie skorelowane i bardzo bliskie renownościom obligacji 5-lenich i 5-lenich (a akże renownościom obligacji o erminach zapadalności od 5 do la. Podsumowując, wydaje nam się, że wybór lipca 4 r. jako day sarowej szeregu czasowego danych o renowności wykorzysanych w esymacji naszego modelu sopy procenowej oraz wybór erminów zapadalności rok i la do wyznaczenia warości nieobserwowanych czynników x i y są najsensowniejsze w konekście dosępnych danych. Oczywiście inne wybory są możliwe i pozosają w gesii osoby kalibrującej model. Nasz szereg czasowy w okresie od lipca 4 do marca 7 r. składał się z 687 dziennych obserwacji renowności dla erminów zapadalności: 6 miesięcy, roku,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, 5 i la. Odsępy czasu pomiędzy kwoowaniami renowności nie były równe, w związku z weekendami i świę-

20 4 Ł. Delong, D. Sulik ami, co posanowiliśmy pominąć. Usaliliśmy odsęp czasowy pomiędzy obserwacjami na poziomie Δ = /53. Daa począkowa szeregu czasowego, =, przypada na lipca 4 r. Przy usalonym odsępie czasowym Δ = /53 = wypada lipca 5 r., a = 3 wypada czerwca 6 r. Dacie końcowej szeregu czasowego ( marca 7 r. odpowiada =,75. Osani krok o eliminacja obserwacji odsających w szeregu czasowym renowności. Na wykresie b widzimy wyraźny spadek renowności obligacji -leniej, a na wykresie b wyraźny wzros renowności obligacji 5-leniej. W syuacji, gdy zmiany kwoowanych renowności w ciągu dwóch kolejnych dni były większe niż % i miały przeciwne kierunki, zasępowaliśmy kwoowaną renowność średnią z renowności dla dni przyległych. W szeregu zidenyfikowaliśmy łącznie 9 warości odsających dla wszyskich erminów zapadalności, kóre zosały odpowiednio zmodyfikowane. 4.. Esymacja modelu meodą quasi-wiarogodności Maksymalizacja funkcji (.5 jes zadaniem rudnym z numerycznego punku widzenia. Proponujemy nasępującą procedurę, kórą zasosowaliśmy w naszym badaniu:. Zakładamy, że δ,5y =... = δ Y = δ. Generujemy warości (a, b, σ, η, ε z niezależnych rozkładów jednosajnych z przedziału [; ], warości (ρ, λ, λ z niezależnych rozkładów jednosajnych z przedziału [-; ] oraz warość δ z rozkładu jednosajnego z przedziału [;,]. Nie spodziewamy się oszacowań paramerów poza zadanymi zakresami rozkładów jednosajnych.. Maksymalizujemy funkcję (.5 względem (a, b, σ, η, ρ, ε, λ, λ, δ, rakując warości z kroku jako warości sarowe w problemie opymalizacyjnym. W badaniu wykorzysaliśmy dodaek Solver w Excelu do rozwiązania problemów opymalizacyjnych. 3. Kroki i powarzamy kilkakronie i idenyfikujemy zesaw paramerów (a, b, σ, η, ρ, ε, λ, λ, δ, orzymanych w kroku, dla kórych funkcja (.5 przyjęła największą warość w serii rozwiązań problemu opymalizacyjnego. Kroki i powórzyliśmy 5 razy; wyniki znajdują się w abeli. 4. Usalamy warość δ na podsawie wyniku z kroku 3. W badaniu usaliliśmy δ =,%. Wszyskie pozosałe paramery (a, b, σ, η, ρ, ε, λ, λ orzymane w kroku 3 są losowane ponownie z niezależnych rozkładów jednosajnych, kórych przedziały są usalone jako [o,5;,5] począkowej warości parameru. 5. Ponownie maksymalizujemy funkcję (.5 względem (a, b, σ, η, ρ, ε, λ, λ, rakując warości z kroku 4 jako warości sarowe w problemie opymalizacyjnym. ym razem σ pozosaje na sałym poziomie usalonym w kroku 4. Kroki 4 i 5 powarzamy kilkakronie i idenyfikujemy zesaw paramerów (a, b, σ, η, ρ, ε, λ, λ, orzymanych w kroku 5, dla kórych funkcja (.5 przyjęła największą warość w serii rozwiązań problemu opymalizacyjnego. W badaniu kroki 4 i 5 powórzyliśmy 5 razy. 7. Przy paramerach (a, b, σ, η, ρ, ε, λ, λ wybranych w kroku 6 esymujemy paramery (δ,5y,..., δ Y meodą największej wiarogodności, wykorzysując funkcję (.4. Dla każdego erminu zapadalności wyznaczamy pierwiasek ze średniego kwadrau odchyleń pomiędzy wyesymowaną urocznioną renownością a zaobserwowaną urocznioną renownością dla wszyskich momenów obserwacji. Wyniki orzymane w krokach 6 i 7 znajdują się w abeli. 8. Ponownie maksymalizujemy funkcję (.5 względem (a, b, σ, η, ρ, ε, λ, λ, rakując warości z kroków 6 i 7 jako warości sarowe w rozwiązaniu problemu opymalizacyjnego. Po wyznaczeniu (a, b, σ, η, ρ, ε, λ, λ esymujemy paramery (δ,5y,..., δ Y analogicznie jak w kroku 7; wyniki prezenujemy w abeli.

21 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 43 Kroki 7 i 8 możemy powórzyć, zaburzając warości począkowe w osanim problemie opymalizacyjnym. Wyniki orzymane w kroku 8 (abela były odporne na zaburzenia warości począkowych w osanim problemie opymalizacyjnym. Możemy również powórzyć kroki 7 i 8 ak, aby warości począkowe (δ,5y,..., δ Y w kroku 7 zgadzały się z warościami końcowymi w kroku 8. Wyniki w abeli pokazują, że nie było porzeby kolejnych ieracji Esymacja dwuwymiarowego rozkładu czynników w mierze rzeczywisej i ocena dopasowania modelu W analizie saysycznej wykorzysano Excel i pakie R (biblioeki fidisrplus, copula, gofcopula. Zaczniemy od przedsawienia analizy czynników x i y w mierze rzeczywisej oraz oceny dopasowania oszacowanego modelu sopy procenowej w mierze rzeczywisej. Mając oszacowania paramerów (â, bˆ, σˆ, ηˆ, ρˆ, εˆ, λˆ, λˆ, orzymane w kroku 8 procedury esymacji omówionej w poprzednim rozdziale, możemy wyznaczyć warości nieobserwowanych czynników x i y oraz realizacje składników losowych czynników x i y zgodnie ze wzorami (. i (3.. Warości czynników i realizacje składników losowych (reszy w naszym modelu przedsawiliśmy na wykresach 3 i 4. Zgodnie z (3. (3.3 składniki losowe (Z, Z czynników x i y powinny być niezależne i pochodzić z ego samego rozkładu; w szczególności powinny mieć sałą w czasie warość oczekiwaną i zmienność. Analizując wykres 4, możemy swierdzić, że realizacje składników losowych czynników x i y charakeryzują się sałą w czasie warością oczekiwaną i zmiennością. Wykres 4 wyraźnie wskazuje na sacjonarność analizowanych resz (w szczególności nie wysępuje zjawisko heeroskedasyczności resz. Na wykresie 5 obserwujemy funkcje auokorelacji realizacji składników losowych czynników x i y. Reszy cechują się niską auokorelacją. Dodakowo wykonaliśmy es Ljunga-Boxa dla opóźnienia oraz. Dla składnika losowego czynnika x warości p w eście wyniosły odpowiednio,484 i,3943. Dla składnika losowego czynnika y warości p w eście wyniosły odpowiednio,6 i,468. Wyniki esów Ljunga-Boxa oraz wykres 5 wskazują, że wysępuje bardzo słaba auokorelacja rzędu pierwszego pomiędzy reszami. Brakuje jednak silnych wskazań do odrzucenia hipoezy o niezależności realizacji składników losowych czynników x i y (na poziomie isoności,5. W konsekwencji reszy przedsawione na wykresach 4a i 4b można rakować jako dwa ciągi niezależnych zmiennych losowych o akim samym rozkładzie i dopasować rozkład do resz. Rozkłady brzegowe składników losowych czynników x i y dopasowaliśmy meodą największej wiarogodności. Ze względu na symerię składników losowych czynników x i y, widoczną na wykresach 4a i 4b, dopasowywaliśmy jedynie rozkład -Sudena i rozkład normalny (jako szczególny przypadek rozkładu -Sudena. Wyniki esymacji znajdują się w abeli. Funkcje wiarogodności wskazują na rozkłady -Sudena z 6 sopniami swobody. Wykonaliśmy es Kołmogorowa-Smirnowa, sprawdzający dopasowanie rozkładów -Sudena z abeli. Warości p w eście wyniosły,4697 dla składnika x i,553 dla składnika y. Nie mamy podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej o poprawności rozkładu -Sudena (na poziomie isoności,5. Dodakowo wykonaliśmy es Kołmogorowa-Smirnowa dla rozkładów normalnych z abeli. Orzymaliśmy warości p w eście na poziomie,44 dla składnika x i,554 dla składnika y. Parząc na warości p w esach Kołmogorowa-Smirnowa i na warości funkcji wiarogodności, widzimy, że dopasowanie rozkładów -Sudena jes znacznie lepsze niż rozkładów normalnych. Wykresy kwanylowe dla oszacowanych rozkładów -Sudena (wykres 6 wyraźnie wskazują na bardzo

22 44 Ł. Delong, D. Sulik dobre dopasowanie rozkładów -Sudena z 6 sopniami swobody jako rozkładów brzegowych składników losowych czynników x i y. Jedynie dwie eksremalne warości (najmniejsza i największa resza spośród 687 resz są rochę gorzej dopasowane. Kolejny krok o analiza zależności pomiędzy realizacjami składników losowych czynników x i y z wykresu 4. Wyniki esymacji modelu w abeli wskazują na bardzo silną korelację składników losowych czynników x i y, kóra zosała oszacowana na poziomie -,997 przy użyciu współczynnika Pearsona w funkcji quasi-wiarogodności dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka. W naszym modelu w mierze rzeczywisej dwuwymiarowy rozkład składników losowych czynników x i y może być dowolny. Jako rozkłady brzegowe wybraliśmy rozkłady -Sudena z 6 sopniami swobody. Musimy jeszcze oszacować srukurę zależności pomiędzy składnikami losowymi. Sandardowym podejściem w lieraurze jes esymacja funkcji łączącej (kopuły dla zmiennych losowych. Szczegóły na ema funkcji łączących i meod esymacji kopuł można znaleźć np. w książce McNeila, Embrechsa i Freya (5, rozdz. 5. Szacowaliśmy dwie funkcje łączące: kopułę -Sudena i kopułę Gaussa (jako szczególny przypadek kopuły -Sudena. Sandardową echniką w analizie zależności jes pozbycie się rozkładów brzegowych i analiza rang obserwacji. Na wykresie 7 widzimy pary wysandaryzowanych rang (rang podzielonych przez liczbę obserwacji dla realizacji składników losowych czynników x i y. Wykres 7 powierdza silną ujemną zależność pomiędzy realizacjami składników losowych czynników x i y. Mimo o widać na nim kilka obserwacji cechujących się słabą dodanią zależnością. Wykres 7 wskazuje więc na wysępowanie słabej dodaniej (i silnej ujemnej zależności w ogonie, co świadczy, że kopuła -Sudena może być lepszym modelem zależności pomiędzy składnikami losowymi czynników x i y niż kopuła Gaussa (McNeil, Embrechs, Frey 5, rozdz i Gdybyśmy mieli reszy z kopuły Gaussa z wysokim ujemnym współczynnikiem korelacji, rangi resz na wykresie 7 leżałyby bardzo blisko linii y = x i obserwowalibyśmy jedynie minimalne odchylenia w kierunku górnego prawego i dolnego lewego rogu. Kopuły Gaussa i -Sudena oszacowaliśmy meodą największej wiarogodności z użyciem empirycznych rozkładów brzegowych (McNeil, Embrechs, Frey 5, rozdz W abeli 3 znajdują się wyniki oszacowań. Warości funkcji największej wiarogodności wskazują na znacznie lepsze dopasowanie kopuły -Sudena z 3 sopniami swobody niż kopuły Gaussa, co jes zgodne z wykresem 7. Na podsawie ransformay Rosenblaa wykonaliśmy es sprawdzający dopasowanie kopuły -Sudena i kopuły Gaussa z abeli 3 (parz es S (B n w pracy: Genes, Remillard, Beaudoin 9. Według auo- jes najlepszy. Warości p zosały w nim oszacowane na podsawie symu- rów arykułu es S (B n lacji boosrap. Warości p w eście wyniosły,994 dla kopuły -Sudena i,6 dla kopuły Gaussa. Nie mamy więc podsaw do odrzucenia hipoezy zerowej o poprawności kopuły -Sudena z 3 sopniami swobody i odrzucamy hipoezę zerową o poprawności kopuły Gaussa (na poziomie isoności,5. Szacując kopułę -Sudena dla realizacji składników losowych czynników x i y w mierze rzeczywisej, orzymaliśmy akże warość parameru korelacji kopuły -Sudena. Paramer en zosał oszacowany na poziomie -,995 (abela 3. Zwracamy uwagę, że poza dwuwymiarowym rozkładem -Sudena paramer korelacji kopuły -Sudena dla dwóch zmiennych nie pokrywa się ze współczynnikiem korelacji Pearsona dla ych zmiennych (McNeil, Embrechs, Frey 5, rozdział 5.. W naszej syuacji gdy składniki losowe czynników x i y pochodzą z rozkładów -Sudena o 6 sopniach swobody, a zależność pomiędzy składnikami opisana jes kopułą -Sudena z 3 sopniami swobody i współczynnikiem korelacji -,995 współczynnik korelacji Pearsona dla składników losowych będzie bardzo bliski -,995. Zosał on oszacowany na poziomie -,99 na podsawie symulacji (nasz dwuwymiarowy mo-

23 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 45 del jes bliski dwuwymiarowemu rozkładowi -Sudena. Jednocześnie, maksymalizując funkcję quasi- -wiarogodności (.5, orzymaliśmy oszacowanie współczynnika korelacji Pearsona dla składników losowych czynników x i y dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka na poziomie -,997 (parz krok 8 w abeli. Należy podkreślić, że warość współczynnika korelacji kopuły -Sudena -,995 orzymaliśmy, maksymalizując poprawną funkcję wiarogodności dla realizacji składników losowych czynników x i y. Warość współczynnika korelacji Pearsona -,997 orzymaliśmy, maksymalizując funkcję quasi-wiarogodności dla renowności, kóra oczywiście nie musi się pokrywać z prawdziwą funkcją wiarogodności dla renowności. Ponieważ chcielibyśmy mieć jedną warość współczynnika korelacji w dwuczynnikowym modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka, posanowiliśmy zmniejszyć (opymalną w sensie funkcji quasi-wiarogodności dla renowności warość współczynnika korelacji -,997 i wybrać warość bliską -,995. Jes ona opymalna w sensie funkcji wiarogodności do realizacji składników losowych czynników x i y w mierze rzeczywisej. Zdecydowaliśmy się wyznaczyć 99-procenowy przedział ufności dla współczynnika korelacji kopuły -Sudena i wybrać prawą warość ego przedziału jako osaeczne oszacowanie parameru ρ w naszym dwuczynnikowym modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka. Przedział ufności skonsruowaliśmy na podsawie esu ilorazu wiarogodności. Prawa warość 99-procenowego przedziału ufności odpowiadała więc najmniejszej (w sensie warości bezwzględnej warości współczynnika korelacji, kóra spowodowała spadek funkcji wiarogodności dla kopuły -Sudena o maksymalnie 3,3 (jes o połowa kwanyla rzędu 99% w rozkładzie chi kwadra z jednym sopniem swobody. Wybraliśmy warość współczynnika korelacji na poziomie -,9938. Przy nowej warości współczynnika korelacji funkcja wiarogodności dla kopuły Sudena z 3 sopniami swobody spadła z 453,46 do 45,36 (abela 3. Należy podkreślić, że zmiana współczynnika korelacji ρ w oszacowanym modelu z -,997 na -,9938 zmieniła warości czynników x i y (. oraz warości realizacji składników losowych (3.. Jednak zmiany e w naszym przypadku były niewielkie i nie wpłynęły na wyniki przedsawionych powyżej analiz (warości p w esach nieco się zmniejszyły, ale konkluzje w esach są akie same. W szczególności wykresy 3 7 i warości w abelach 3 pozosają bez zmian. Osaeczne paramery dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ w mierze rzeczywisej są podane w abeli 4b. Wybrany dwuwymiarowy rozkład składników losowych (z, z czynników x i y w równaniu (3. (3.3 w mierze rzeczywisej ma brzegowe rozkłady -Sudena z paramerami z abeli 4b oraz kopułę -Sudena z 3 sopniami swobody i współczynnikiem korelacji z abeli 4b. W mierze rzeczywisej współczynnik korelacji ρ z abeli 4b pełni funkcję współczynnika korelacji kopuły -Sudena. Wyniki analiz saysycznych przedsawionych w ym podrozdziale wyraźnie wskazują, że wybór dwuwymiarowego rozkładu normalnego jako rozkładu składników losowych czynników x i y w mierze rzeczywisej byłby błędny i powodowałyby błędne prognozowanie krzywych dochodowości. Widzimy zaem przewagę zaproponowanego modelu ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej i meody kalibracji modelu oparej na funkcji quasi-wiarogodności. Dzięki odpowiedniemu wyborowi dwuwymiarowego rozkładu dla składników losowych czynników x i y nasz oszacowany dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ jes bardzo dobrze dopasowany w mierze rzeczywisej do zmian krzywej dochodowości zaobserwowanych na polskim rynku. Przejdziemy eraz do analizy dopasowania oszacowanego modelu sopy procenowej w mierze neuralnej względem ryzyka. Nie możemy w niej zmieniać dynamiki procesu chwilowej sopy procenowej (. (.4, zn. w mierze neuralnej względem ryzyka składniki losowe czynników x i y mają dwuwy-

24 46 Ł. Delong, D. Sulik miarowy rozkład normalny (dwuwymiarowy ruch Browna. Dynamika procesu chwilowej sopy procenowej w mierze neuralnej względem ryzyka wpływa na ceny obligacji (.7 i renowności obligacji (.8. W konsekwencji dopasowanie dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ w mierze neuralnej względem ryzyka wiąże się z dopasowaniem renowności implikowanych przez oszacowany model do renowności zaobserwowanych na rynku. Procedura kalibracji modelu zapewnia, że renowności obligacji jednorocznych i -lenich są idealnie dopasowane, ponieważ równanie (. zawsze jes spełnione. Musimy zweryfikować sopień dopasowania renowności dla pozosałych erminów zapadalności. Najprosszą miarą dopasowania jes błąd średniokwadraowy dla urocznionych renowności, czyli pierwiasek ze średniego kwadrau odchyleń urocznionej renowności implikowanej przez oszacowany model od urocznionej renowności zaobserwowanej na rynku dla wszyskich da obserwacji, liczony dla pojedynczych erminów zapadalności lub dla wszyskich erminów zapadalności łącznie. Na pierwszym eapie kalibracji wyznaczyliśmy paramery modelu sopy procenowej w mierze rzeczywisej i neuralnej względem ryzyka, maksymalizując funkcję quasi-wiarogodności (parz krok 8 w abeli. Przy opymalnych paramerach z kroku 8 w abeli błąd średniokwadraowy dopasowania urocznionych renowności dla wszyskich erminów zapadalności wyniósł,94 pk proc. Analizując rozkład składników losowych czynników x i y w mierze rzeczywisej, podjęliśmy decyzję o zmianie współczynnika korelacji. Zmiana a doyczyła akże parameru korelacji w mierze neuralnej względem ryzyka. Osaeczne paramery dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ w mierze neuralnej względem ryzyka są podane w abeli 4a. Zwracamy uwagę, że w mierze neuralnej względem ryzyka współczynnik korelacji ρ z abeli 4a pełni funkcję współczynnika korelacji Pearsona dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego dla składników losowych czynników x i y. Wybór nieopymalnej warości współczynnika korelacji powoduje spadek warości funkcji quasi-wiarogodności (.5. Z prakycznego punku widzenia wiąże się o z gorszym dopasowaniem renowności obligacji, kóre w procedurze opymalizacyjnej były rakowane jako obserwowane z błędem (renowności obligacji jednorocznych i -lenich nadal będą idealnie dopasowane. Przy osaecznych oszacowaniach paramerów z abeli 4a błąd średniokwadraowy dopasowania urocznionych renowności dla wszyskich erminów zapadalności wyniósł,945 pk proc. Widzimy, że zmiana współczynnika korelacji, związana z analizą danych w mierze rzeczywisej, w niewielkim sopniu pogorszyła sopień dopasowania modelu w mierze neuralnej względem ryzyka. Błędy średniokwadraowe dopasowań urocznionych renowności dla poszczególnych erminów zapadalności znajdują się w abeli 4a i dane są przez oszacowania paramerów δ,5y,..., δ Y. Z największym błędem, rzędu,5 pk proc., zosała dopasowana uroczniona renowność obligacji -lenich. Błędy dopasowań urocznionych renowności dla pozosałych erminów zapadalności były poniżej, pk proc. Parząc na błędy średniokwadraowe dopasowania urocznionych renowności, możemy swierdzić, że oszacowany przez nas dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ jes dobrze dopasowany w mierze neuralnej względem ryzyka do renowności zaobserwowanych na polskim rynku dla erminów zapadalności powyżej 6 miesięcy i poniżej 5 la. Powierdzenia ego wniosku dosarcza dokładne porównanie krzywych dochodowości implikowanych przez oszacowany model z zaobserwowanymi renownościami dla wszyskich erminów zapadalności i kilku wybranych da obserwacji (wykres 8. Poprawę dopasowania modelu w mierze neuralnej względem ryzyka można uzyskać ylko przez wprowadzenie rzeciego czynnika do modelu chwilowej sopy procenowej.

25 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 47 Wykonaliśmy jeszcze dwie analizy powierdzające, że nasz oszacowany model sopy procenowej jes poprawny. Przy zadanych oszacowaniach paramerów z abeli 4a możemy wyznaczyć chwilową sopę procenową zgodnie ze wzorem (.. Wykres 9a przedsawia oszacowaną rajekorię chwilowej sopy procenowej. Powszechnie uważa się, że jej dobrym przybliżeniem jes sopa overnigh. Na wykresie 9b porównujemy chwilową sopę procenową implikowaną przez nasz oszacowany model ze sopą WIBID overnigh. Dane na ema sopy WIBID overnigh zosały pobrane ze srony Ponieważ sopy overnigh podlegają dużym wahaniom, wykres 9b jes rudny do inerpreacji. Możemy jednak swierdzić, że wynik naszej kalibracji jes rozsądny. Co prawda obserwujemy okresy, w kórych chwilowa sopa procenowa implikowana przez oszacowany model jes wyższa lub niższa niż sopa WIBID overnigh, jednak kierunki zmian ych sóp są zgodne. Parząc na wykresy 8a 8f, możemy zaobserwować, że nasz model niedoszacowuje renowności obligacji 6-miesięcznych, a akże niedoszacowuje renowności obligacji 3-miesięcznych, kóre pokrywały się z renownościami obligacji 6-miesięcznych w analizowanym okresie. Ponieważ chwilowa sopa procenowa spełnia równanie (.9, spodziewamy się, że implikowana przez oszacowany model chwilowa sopa procenowa może być zaniżona w sosunku do rzeczywisej chwilowej sopy procenowej (sopy WIBID overnigh. Przeanalizowaliśmy również premie za ryzyko dla obligacji skarbowych. Ponieważ w naszym dwuczynnikowym modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ rozkład czynników w mierze rzeczywisej nie jes dwuwymiarowym rozkładem normalnym, zależność (.8 określająca premię za ryzyko dla obligacji o danym erminie zapadalności nie jes spełniona. W naszym modelu musimy więc szacować premie za ryzyko dla obligacji bezpośrednio ze wzoru (.7. Wyznaczyliśmy premie za ryzyko dla obligacji skarbowych na marca 7 r., zn. na momen =,75. Cenę obligacji o erminie zapadalności τ we wzorze (.7 wyznaczyliśmy zgodnie ze wzorem (.7; szczegóły można znaleźć w przykładzie w kolejnym rozdziale. Meodą Mone Carlo oszacowaliśmy oczekiwaną warość czynnika dyskonującego w mierze rzeczywisej za okres o długości τ, zn. +τ rvdv ( E e x (, y( W ym celu generowaliśmy rajekorie czynników x i y zgodnie z równaniami rekurencyjnymi (3. (3.3 i wyznaczyliśmy chwilową sopę procenową zgodnie ze wzorem (.; szczegóły można znaleźć w przykładzie w kolejnym rozdziale. Esymację meodą Mone Carlo przeprowadziliśmy, wykonując powórzeń. Wyniki analiz, zn. urocznione premie za ryzyko przy kapializacji ciągłej (.9, są podane w abeli 5. Wszyskie urocznione premie za ryzyko są dodanie i rosną wraz z erminem zapadalności obligacji, co jes zgodne z oczekiwaniami inwesorów. Jedynie uroczniona premia za ryzyko dla obligacji -leniej jes niższa niż uroczniona premia za ryzyko dla obligacji 5-leniej. Zgodnie z wcześniejszymi obserwacjami nasz oszacowany dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ nie opisuje dobrze renowności obligacji -lenich. Waro sprawdzić, czy oszacowane premie za ryzyko dla obligacji skarbowych z abeli 5 są racjonalne. Możemy sarać się oszacować hisoryczne premie za ryzyko, zn. dla każdego momenu możemy wyznaczyć nadwyżkę sopy zwrou z inwesycji w obligację skarbową o erminie zapadalności τ ponad sopę zwrou z inwesycji środków na wolnym od ryzyka rachunku oszczędnościowym w ciągu τ la. W ym celu przybliżyliśmy hisoryczną wolną od ryzyka sopę zwrou z rachunku oszczędnościowego e +τ rvdv (

26 48 Ł. Delong, D. Sulik za pomocą skumulowanego oprocenowania przy sopie WIBID overnigh w analizowanym przedziale czasu [, +τ]. Ponieważ rozważaliśmy dane z okresu krószego niż 3 laa (od lipca 4 do marca 7 r., mogliśmy oszacować hisoryczne premie za ryzyko ylko dla erminów zapadalności krószych niż rzy laa. Na wykresie podano oszacowania hisorycznych premii za ryzyko dla obligacji jednorocznych i -lenich. Średnia premia za ryzyko dla obligacji jednorocznej w badanym okresie wyniosła,34 pk proc, a średnia premia za ryzyko dla obligacji -leniej w badanym okresie wyniosła,5 pk proc. Wyniki w abeli 5 dla obligacji jednorocznych i -lenich zgadzają się z oszacowaniami hisorycznych premii za ryzyko dla ych obligacji. Powierdza o poprawność naszego oszacowanego dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++. Uważamy akże, że abela 5 zawiera warościowe informacje na ema premii za ryzyko dla obligacji skarbowych z polskiego rynku. Podsumowując, udało nam się dopasować dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej, kóry bardzo dobrze opisuje zmiany renowności obligacji jednorocznych i -lenich w czasie i w zadowalającym sopniu opisuje srukurę erminową sóp procenowych dla erminów zapadalności dłuższych niż 6 miesięcy i krószych niż 5 la. 5. Przykłady zasosowania oszacowanego dwuczynnikowego modelu chwilowej sopy procenowej ypu G++ z dowolnym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej Poniżej omówimy prognozę krzywej dochodowości w perspekywie jednego roku, wycenę porfela obligacji (wycenę gwaranowanych przepływów finansowych i wyznaczenie wymogu kapiałowego z yułu ryzyka sopy procenowej dla porfela obligacji. Przykład. Inwesorzy są zaineresowani prognozą krzywej dochodowości w usalonym horyzoncie czasu, ponieważ prognoza krzywej dochodowości dosarczy m.in. informacji na ema przyszłych sóp, po kórych inwesorzy będą mogli odnowić inwesycje. Oszacowany model ypu G++ wykorzysaliśmy do prognozowania krzywej dochodowości renowności polskich obligacji skarbowych w perspekywie jednego roku oraz do wyznaczenia przedziałów ufności dla krzywej dochodowości. Oczywiście możemy prognozować krzywą dochodowości w innym horyzoncie czasowym. W celu wyznaczenia prognozy krzywej dochodowości w perspekywie roku i przedziałów ufności dla krzywej dochodowości w naszym modelu sopy procenowej posępujemy w nasępujący sposób:. Przy usalonym kroku dyskreyzacji Δ rocznego okresu, generujemy realizacje ( Z (, Z( = Δ, Δ,, niezależnych par składników losowych czynników x i y zgodnie z oszacowanym rozkładem czynników w mierze rzeczywisej. W naszym badaniu Δ = /53, wygenerowaliśmy więc 53 niezależne pary o brzegowych rozkładach -Sudena z paramerami z abeli 4b o zależności opisanej kopułą -Sudena z 3 sopniami swobody i współczynnikiem korelacji z abeli 4b. Sposób generowania zmiennych losowych z kopuły -Sudena można znaleźć np. w książce McNeila, Embrechsa i Freya (5, rozdz Mając pary ( Z (, Z( =,,,, generujemy realizacje czynników x i y w perspekywie jednego roku zgodnie z równaniami rekurencyjnymi (3. (3.3, zaczynając od osanich dosępnych warości czynników x i y (warości x i y na osani dzień w szeregu czasowym. Osanie dosępne warości czynników x i y przypadały na marca 7 r. (wykres 3 i zosały oszacowane na poziomie x(,75 =,534%, y(,75 + -,7%.

27 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej Znając warości czynników x i y w perspekywie jednego roku, wyznaczamy ceny obligacji i renowności obligacji dla wszyskich erminów zapadalności zgodnie ze wzorami (.7 (.8 przy zadanych warościach x i y na momen o rok późniejszy niż osania daa w szeregu czasowym. W naszym przypadku, mając warości x(3,75, y(3,75 na marca 8 r., orzymane w kroku, wyznaczyliśmy ceny obligacji i renowności obligacji dla wszyskich erminów zapadalności zgodnie ze wzorami (.7 (.8 na momen = 3,75. Urocznione warości renowności worzą krzywą dochodowości w perspekywie jednego roku. 4. Kroki 3 powarzamy. W badaniu kroki 3 zosały powórzone razy. Rozparywaliśmy erminy zapadalności o miesięcznych odsępach. 5. W próbie wygenerowanych urocznionych renowności, orzymanych w kroku 4, wyznaczamy percenyle ineresującego nas rzędu oddzielnie dla każdego erminu zapadalności. W badaniu wyznaczyliśmy percenyle rzędu,5%,,5%, 97,5% i 99,5%. 6. Percenyle orzymane w kroku 5 dla kolejnych erminów zapadalności worzą zw. punkowy przedział ufności dla krzywej dochodowości w perspekywie roku. W badaniu wyznaczyliśmy punkowe 99- i 95-procenowe przedziały ufności dla krzywej dochodowości w perspekywie roku. Wykres przedsawia oszacowane punkowe 95- i 99-procenowe przedziały ufności dla krzywej dochodowości w perspekywie jednego roku (na marca 8 r. dla polskiego rynku. Waro odnoować, że krzywa składająca się z percenyli rzędu,5% dla renowności dla poszczególnych erminów zapadalności jes nad zerem. Oznacza o, że dla każdego erminu zapadalności uroczniona renowność obligacji skarbowej w perspekywie jednego roku będzie dodania z prawdopodobieńswem 99,5%. Wśród wygenerowanych przez nas krzywych dochodowości znalazły się jednak dwie krzywe z ujemnymi renownościami. Dwie wygenerowane krzywe dochodowości implikowały ujemne renowności dla erminów zapadalności poniżej 3 la, a jedna wygenerowana krzywa dochodowości implikowała ujemne renowności dla erminów zapadalności poniżej 6 la. Możemy swierdzić, że ujemne sopy procenowe w perspekywie jednego roku nie grożą polskiej gospodarce. Zgodnie z oszacowanym przez nas dwuczynnikowym modelem chwilowej sopy procenowej ypu G++ polska gospodarka jes narażona na ujemne renowności obligacji skarbowych w perspekywie jednego roku z prawdopodobieńswem zaledwie,%. Należy podkreślić, że generowana zgodnie z naszym modelem krzywa dochodowości w perspekywie jednego roku nie powsaje w wyniku równoległego przesunięcia bazowej krzywej dochodowości. Nasz model pozwala na wygenerowanie różnych kszałów krzywej dochodowości, co oczywiście należy uznać za jego zaleę. Na wykresie widzimy kilka wybranych krzywych dochodowości wygenerowanych w naszym badaniu symulacyjnym prognozy krzywej dochodowości w perspekywie roku. Widzimy również krzywą dochodowości z ujemnymi renownościami. Przykład. Przykład pokazuje bardzo ważne zasosowanie modelu sopy procenowej w mierze rzeczywisej. Omówimy eraz przykład wykorzysania modelu w mierze neuralnej względem ryzyka. Oszacowany dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ możemy wykorzysać do wyceny rynkowej przepływów finansowych (w ramach ograniczeń, o kórych wspomnieliśmy w rozdziale 3. Wybraliśmy nasępujące obligacje sałokuponowe: seria DS76, oprocenowanie =,5%, daa wykupu 5 lipca 6 r., seria DS9, oprocenowanie = 5,5%, daa wykupu 5 października 9 r., seria DS3, oprocenowanie = 4%, daa wykupu 5 października 3 r., seria WS49, oprocenowanie = 5,75%, daa wykupu 5 kwienia 9 r.

28 43 Ł. Delong, D. Sulik Obligacje wypłacają sałe kupony w rocznice wykupu obligacji. Ceny nominalne obligacji wynoszą zł. Z każdą z wymienionych powyżej obligacji wiążą się nasępujące przepływy finansowe: a kupony wyznaczane od ceny nominalnej zgodnie z zadanym sałym oprocenowaniem wypłacane w rocznice wykupu, b warość nominalna zwracana w dniu wykupu. W celu wyznaczenia warości rynkowej przepływów finansowych i cen obligacji na marca 7 r. wykorzysaliśmy wzór (.7. Oczywiście opisuje on cenę obligacji zerokuponowej o jednoskowej warości nominalnej i erminie zapadalności τ lub, równoważnie, warość rynkową jednoskowego przepływu finansowego nasępującego w erminie τ la. Wybraliśmy x(,75 =,534%, y(,75 = -,7%, co odpowiadało warościom czynników na dzień wyceny ( =,75. Jako ermin zapadalności τ we wzorze (.7 przyjmowaliśmy warości odpowiadające erminom do płaności kuponu lub warości nominalnej, w zależności od ego, jaki przepływ wycenialiśmy. Ceny obligacji implikowane przez oszacowany dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++ znajdują się w abeli 6. Ponieważ ceny analizowanych obligacji były noowane na rynku, porównaliśmy ceny implikowane przez nasz model z cenami rynkowymi (z marca 7 r., co można rakować jako dodakowy es sprawdzający dopasowanie modelu w mierze neuralnej względem ryzyka. Błędy względne dopasowań cen obligacji były na niskim poziomie (abela 6, co powierdziło dobre dopasowanie oszacowanego modelu w mierze neuralnej względem ryzyka dla erminów zapadalności krószych niż 5 la. Oczywiście błędy dopasowań cen obligacji w abeli 6 są pochodnymi błędów dopasowań renowności, kóre obserwujemy na wykresie 8f (krzywe dochodowości implikowane przez nasz model i renowności zaobserwowane marca 7 r.. W przykładzie wyceniliśmy przepływy finansowe związane z obligacjami sałokuponowymi, kóre są kwoowane na rynku. Analogicznie możemy wycenić każde inne gwaranowane przepływy związane ze zobowiązaniami, kóre nie są przedmioem obrou na rynku finansowym. Klasycznym przykładem byłaby u wycena rynkowa gwaranowanych zobowiązań związanych z ubezpieczeniami na życie (por. Møller, Seffensen 7, rozdz. 3. Przykład 3. Mając wygenerowane krzywe dochodowości w perspekywie jednego roku (przykład i mechanizm wyceny gwaranowanych przepływów finansowych (przykład, możemy wyznaczyć prognozę zmian warości rynkowej przepływów w wyniku rocznych zmian srukury erminowej sóp procenowych. W przypadku porfela obligacji sałokuponowych z poprzedniego przykładu ego rodzaju przeliczenie pozwoli oszacować maksymalną, przy zadanym poziomie ufności, uraę warości porfela obligacji w horyzoncie jednego roku i wyznaczyć wymóg kapiałowy z yułu ryzyka sopy procenowej dla porfela obligacji w horyzoncie jednego roku. Jak wspomnieliśmy we Wsępie, banki i firmy ubezpieczeniowe są zobligowane przez prawo do obliczania wymogów kapiałowych. Ceny obligacji sałokuponowych z przykładu zosały przeliczone przy założeniu, iż srukura erminowa sóp procenowych zmienia się zgodnie z wygenerowanymi krzywymi dochodowości w perspekywie jednego roku oraz że czas do wykupu warości nominalnej i płaności kuponów obligacji się nie zmieni. Zgodnie z prakyką wyznaczenie wymogu kapiałowego z yułu ryzyka sopy procenowej dla porfela obligacji powinno się wiązać z wyznaczeniem zmiany warości porfela obligacji wyłącznie w wyniku wahań sóp procenowych, bez zmiany czasu rwania (duracji obligacji. Ceny obligacji sałokuponowych w scenariuszach zmian srukury erminowej sóp procenowych wyznaczyliśmy ak jak w przykładzie, wykorzysując wzór (.7. ym razem podsawiliśmy jednak = 3,75 i warości czynników x i y wygenerowane w kroku 3 z przykładu. Ponieważ w przykładzie wygenerowaliśmy realizacji czynników x i y oraz krzywych dochodowości na momen = 3,75, dosaliśmy

29 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 43 realizacji cen obligacji sałokuponowych w różnych scenariuszach srukury erminowej sóp procenowych. abela 7 zawiera odpowiednie percenyle dla wygenerowanych cen obligacji i zmian cen obligacji w ciągu roku. Przyjmijmy, że firma liczy wymóg kapiałowy z yułu ryzyka sopy procenowej dla porfela obligacji jako kwanyl rzędu,5% zmiany warości porfela (uray warości porfela. Wymóg kapiałowy zabezpieczający porfel obligacji przez ryzykiem sopy procenowej wyniósłby zaem 59,7 zł, co sanowiłoby około 3,5% bieżącej warości porfela obligacji. 6. Zakończenie W pracy jako model srukury erminowej sóp procenowych zaproponowaliśmy dwuczynnikowy model chwilowej sopy procenowej ypu G++, w kórym rozkład czynników w mierze neuralnej względem ryzyka jes dwuwymiarowym rozkładem normalnym, a rozkład czynników w mierze rzeczywisej jes dowolny (zarówno rozkłady brzegowe czynników, jak i srukura zależności są dowolne. Na podsawie danych o renowności obligacji skarbowych z polskiego rynku oszacowaliśmy nasz model sopy procenowej ypu G++, sosując meodę quasi-wiarogodności. Model bardzo dobrze wyjaśnił zmiany renowności obligacji jednorocznych i -lenich w czasie oraz w zadowalającym sopniu opisał srukurę erminową sóp procenowych dla erminów zapadalności dłuższych niż 6 miesięcy i krószych niż 5 la. Jako przykład zasosowania modelu wyznaczyliśmy prognozę krzywej dochodowości renowności polskich obligacji skarbowych w perspekywie jednego roku, a na podsawie prognoz krzywej dochodowości wyznaczyliśmy warość porfela obligacji i wymóg kapiałowy z yułu ryzyka sopy procenowej dla porfela obligacji. Bibliografia Ai-Sahalia Y., Kimmel R. (, Esimaing affine mulifacor erm srucure models using closed-form likelihood expansions, Journal of Financial Economics, 98, Andersen L., Pierbarg V. (, Ineres Rae Modeling. Volume : erm Srucure Models, Alanic Financial Press. Brigo D., Mercurio F. (6, Ineres Rae Models heory And Pracice. Wih smile, Inflaion and Credi, Springer. Cassola N., Luis J.B. (, A wo-facor model of he German erm srucure of ineres raes, Working Paper, 46, European Cenral Bank. Chen R., Sco L. (993, Maximum likelihood esimaion for a mulifacor equilibrium model of he erm srucure of ineres raes, Journal of Fixed Income, December, 4 3. Dai., Singleon K.J. (, Specificaion analysis of affine erm srucure models, Journal of Finance, 55, Duffee C.R. (, erm premia and ineres rae forecass in affine models, Journal of Finance, 57,

30 43 Ł. Delong, D. Sulik Duffi D., Filipovic D., Schachermayer W. (3, Affine processes and applicaions in finance, Annals of Applied Probabiliy, 3, Fisher M., Gilles C. (996, Esimaing exponenial-affine models of he erm srucure. echnical repor, Federal Reserve Bank of Alana, niepublikowany rapor. Genes C., Remillard B., Beaudoin D. (9, Goodness-of-fi for copulas: a review and a power sudy, Insurance: Mahemaics and Economics, 44, Hainau D., MacGilchris R. (, An ineres rae ree driven by a Lévy process, he Journal of Derivaives, 8, Hibber J., Mowbray P., urnbull C. (, A sochasic asse model and calibraion long-erm financial planning purposes, niepublikowany rapor. Jakubowski J., Palczewski A., Rukowski A., Sener Ł. (3, Maemayka finansowa, Wydawnicwo Naukowo-echniczne. Jakubowski J., Szencel R. (, Wsęp do eorii prawdopodobieńswa, SCRIP. Kliber P. (9, Esymacja srukury erminowej sóp procenowych w Polsce, Bank i Kredy, 4, 9 6. Korn R., Korn E., Kroisand G. (, Mone Carlo Mehods and Models in Finance and Insurance, CRC Press. Marciniak M. (6, Yield curve esimaion a he Naional Bank of Poland, Bank i Kredy,, McNeil A., Frey R., Embrechs P. (5, uaniaive Risk Managemen, Princeon Universiy Press. Olsza P. (, Mierzenie ryzyka sóp procenowych: przypadek rynku międzybankowego w Polsce, Przegląd Saysyczny, 4, Samirowski M. (3, Jednoczynnikowe modele Vasicka oraz CIR analiza empiryczna na podsawie danych z polskiego rynku obligacji skarbowych, Bank i Kredy, 34, Waszkowski A. (, Esymacja krzywej dochodowości sop procenowych dla Polski, Meody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych, XIII/3, Weron A., Weron R. (999, Inżynieria finansowa, Wydawnicwo Naukowo-echniczne. Whie H. (98, Maximum-likelihood esimaion of misspecified models, Economerica, 5, 5. Podziękowania Auorzy pragną podziękować dwóm recenzenom, kórych bardzo cenne uwagi przyczyniły się do isonej zmiany pierwszej wersji arykułu i zachęciły do poszerzenia zakresu badania.

31 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 433 Aneks Wykres Renowności (w sosunku rocznym przy kapializacji ciągłej polskich obligacji skarbowych jednoroczych i -lenich % A. Renowności od sycznia do marca 7 r. 7,5 6,5 5,5 4,5 3,5,5,5, Obligacje jednoroczne Obligacje -lenie 4, % B. Renowności od lipca 4 do marca 7 r. 3,5 3,,5,,5, Obligacje jednoroczne Obligacje -lenie Źródło: I77 CMPL Index Bloomberg.

32 434 Ł. Delong, D. Sulik Wykres Renowności (w sosunku rocznym przy kapializacji ciągłej polskich obligacji skarbowych od lipca 4 do marca 7 r. A. Renowności dla erminów zapadalności 6 miesięcy, rok i laa,6 %,4,,,8,6,4,, Obligacje 6-miesięczne Obligacje jednoroczne Obligacje -lenie B. Renowności dla erminów zapadalności 5, i 5 la 5, % 4,5 4, 3,5 3,,5,,5, Obligacje 5-lenie Obligacje -lenie Obligacje 5-lenie Źródło: I77 CMPL Index Bloomberg.

33 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 435 Wykres 3 Warości czynników x i y przy oszacowaniach paramerów modelu z kroku 8 z abeli 3,,,, -, -, -3, -4, -5, % A. Czynnik x -6, , % B. Czynnik y 6, 5, 4, 3,,,, -, -, -3,

34 436 Ł. D el on g, D. S ul ik Wykres 4 Realizacje składników losowych czynników x i y (reszy przy oszacowaniach paramerów modelu z kroku 8 z abeli Składnik losowy x Składnik losowy y

35 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 437 Wykres 5 Funkcje auokorelacji dla realizacji składników losowych czynników x i y, A. Funkcja auokorelacji dla składnika losowego x,8,6,4,, Opóźnienie (w dniach, B. Funkcja auokorelacji dla składnika losowego y,8,6,4,, Opóźnienie (w dniach Uwaga: realizacje składników losowych z wykresu 4.

36 438 Ł. Delong, D. Sulik Wykres 6 Wykresy kwanylowe dla rozkładów -Sudena z abeli dla składników losowych czynników x i y A. Wykres kwanylowy dla składnika losowego x B. Wykres kwanylowy dla składnika losowego y Uwaga: realizacje składników losowych z wykresu 4.

37 439 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej Wykres 7 Wysandaryzowane rangi i empiryczna funkcja łącząca (kopuła dla realizacji składników losowych czynników x i y,,9,8,7,6,5,4,3,,,,,3 Uwaga: realizacje składników losowych z wykresu 4.,4,5,6,7,8,9,

38 44 Ł. Delong, D. Sulik Wykres 8 Krzywe dochodowości implikowane przez oszacowany model z paramerami z abeli 4a i 4b oraz rzeczywise renowności obligacji A. Krzywe dochodowości na lipca 4 r. % 4, 3,5 3,,5,,5, ermin zapadalności (w laach,8,6,4,,,8,6,4,, % B. Krzywe dochodowości na 3 marca 5 r ermin zapadalności (w laach % 4, 3,5 3,,5,,5, C. Krzywe dochodowości na lipca 5 r ermin zapadalności (w laach 3,5 3,,5,,5, % D. Krzywe dochodowości na marca 6 r ermin zapadalności (w laach % 3,5 3,,5,,5, E. Krzywe dochodowości na lipca 6 r ermin zapadalności (w laach 4, 3,5 3,,5,,5, % F. Krzywe dochodowości na marca 7 r ermin zapadalności (w laach Uwaga: renowności w sosunku rocznym przy kapializacji ciągłej.

39 Kalibracja dwuczynnikowego modelu sopy procenowej 44 Wykres 9 rajekoria procesu chwilowej sopy procenowej implikowana przez oszacowany model z paramerami z abeli 4a i 4b oraz porównanie rajekorii ze sopami WIBID overnigh,5 % A. Sopa chwilowa,,5,,5, ,,5 % B. Sopy chwilowe a sopy overnigh,,5,,5, Sopy chwilowe Sopy overnigh