Geometria wykreślna. 1. Rysunek inżynierski historia. Metody rzutowania. Rzut prostokątny na dwie rzutnie. dr inż. arch.

Transkrypt

1 Geometria wykreślna 1. Rysunek inżynierski historia. Metody rzutowania. Rzut prostokątny na dwie rzutnie. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I

2 1. Rysunek inżynierski historia. Metody rzutowania. Rzut prostokątny na dwie rzutnie. Historia stosowania rysunku w praktyce inżynierskiej Znaczenie geometrii wykreślnej dla grafiki inżynierskiej Przestrzeń rzutowa Rzut środkowy i równoległy. Niezmienniki rzutowania Metody rzutowania: perspektywa, aksonometria, rzut cechowany Rzut prostokątny na dwie rzutnie. Metoda Monge a Odwzorowanie punktu Transformacja układu odniesienia Punkt w ćwiartkach przestrzeni Odwzorowanie prostej i płaszczyzny, szczególne położenia Przynależność 2

3 Rysunek inżynierski historia. Pierwszy zachowany zapis obiektu w rzucie prostokątnym, z uwzględnieniem odpowiedniej skali - posąg Gudei, inżyniera i władcy sumeryjskiego miastapaństwa Lagasz z rzutem architektonicznym świątyni, ok r. p.n.e. (teren obecnego Iraku). 3 Posąg Gudei, Muzeum Luwr, Paryż.

4 Średniowiecze. Podstawowe znaczenie symboliczne przy projektowaniu miały geometryczne zasady - ad quadratum i ad triangulum. Rysunek katedry w Mediolanie. 4

5 XVII wiek. Stereotomia - nauka o kształtach elementów budowlanych z kamienia i drewna. Gérard Desargues ( r.). Plansza 5 rysunkowa z dzieła A.F. Frezera ( r.).

6 Francuski uczony Gaspard Monge ( ) twórca spójnej naukowej teorii, nazwanej geometrią wykreślną. Pierwszy cykl wykładów 1795 r. na pierwszej wyższej uczelni technicznej - Ecole Polytechnique w Paryżu. 6 Tablica I. z pierwszego wydania Geometrie descriptive G. Monge'a z 1795 r.,

7 Geometria wykreślna - kluczowy przedmiot w kształceniu technicznym w całej Europie. Geometria wykreślna gramatyka języka inżynier 7 Plansza rysunkowa z dzieła krakowskiego profesora F. Sapalskiego, 1822 r.

8 RZUTOWANIE odwzorowanie trójwymiarowej przestrzeni na daną powierzchnię zwaną rzutnią, które każdemu punktowi przestrzeni przypisuje jego rzut. RZUTOWANIE = rzucanie + przecinanie W C 1 A 1 C 2 A 2 B 1 B 2 8

9 Rzutowanie realizowane jest w PRZESTRZENI RZUTOWEJ PRZESTRZEŃ RZUTOWA = przestrzeń Euklidesowa + elementy niewłaściwe Elementy niewłaściwe: - punkt niewłaściwy - prosta niewłaściwa - płaszczyzna niewłaściwa W E 1 E 2 C 1 A 1 C 2 A 2 B 1 B 2 E 2 9

10 Rzutowanie realizowane jest w PRZESTRZENI RZUTOWEJ PRZESTRZEŃ RZUTOWA = przestrzeń Euklidesowa + elementy niewłaściwe Elementy niewłaściwe: - punkt niewłaściwy F 2 E F =m - prosta niewłaściwa - płaszczyzna niewłaściwa W E 1 E 1 E 2 F 2 E 2 10

11 11

12 12 Perspektywa

13 13 Rzut cechowany

14 14 Aksonometria

15 RZUT ŚRODKOWY, własności W E 1 E 2 C 1 A 1 C 2 A 2 B 1 B 2 E 2 Niektóre własności (niezmienniki) rzutu środkowego: 15 rzutem punktu jest zawsze punkt

16 RZUT ŚRODKOWY, własności q 1 W p 1 q 2 p 2 16 rzutem prostej jest prosta, w szczególnym wypadku punkt

17 RZUT ŚRODKOWY, własności W q 1 q 2 17 rzutem prostej równoległej do rzutni jest prosta równoległa do prostej

18 RZUT ŚRODKOWY, własności W a 1 g 1 W a 2 g 2 18 rzutem płaszczyzny jest rzutnia, w szczególnym wypadku prosta

19 RZUT ŚRODKOWY, własności q 1 W A 1 A 2 q 2 19 przynależność punktu i prostej jest niezmiennikiem rzutowania

20 Rzut równoległy, własności W 20 Niektóre własności (niezmienniki) rzutu równoległego: rzutem punktu jest zawsze punkt rzutem prostej jest prosta, w szczególnym wypadku punkt rzutem prostej równoległej do rzutni jest prosta równoległa do prostej rzutem płaszczyzny jest rzutnia, w szczególnym wypadku prosta przynależność punktu i prostej jest niezmiennikiem rzutowania rzutem odcinka równoległego do rzutni jest odcinek równoległy i równej długości; rzutem figury płaskiej równoległej do rzutni jest figura przystająca

21 Rzut równoległy, własności B 1 C 1 W A 1 A 2 B 2 C 2 A 1 B 1 /B 1 C 1 = A 2 B 2 /B 2 C stosunek podziału odcinka jest niezmiennikiem rzutu równoległego

22 Rzut równoległy, własności W a 1 b 1 a 2 b 2 22 rzutem prostych równoległych są proste równoległe

23 Rzut prostokątny, własności 23 Niektóre własności (niezmienniki) rzutu prostokątnego: wszystkie własności rzutu równoległego, a ponadto: rzutem prostokątnym odcinka jest odcinek nie dłuższy od rzutowanego

24 Rzut prostokątny, własności 24 rzutem prostokątnym ramion kąta prostego są proste prostopadłe, gdy co najmniej jedno ramię jest do rzutni równoległe

25 Rzut prostokątny na dwie rzutnie P g P h - wysokość g głębokość p 2 h P Metoda Monge a p 1 25

26 P g P p 2 h P P h p 1 g P 26

27 Transformacja układu odniesienia p 3 p 2 P g P P h P h h h P x 13 g p 1 P h 27 x 13 P

28 Transformacja układu odniesienia x 34 p 2 P P IV P P p 3 P p 4 p 1 P x 13 g x 34 P P IV 28 x 13 P

29 II P g P I Odwzorowanie punktów położonych w różnych ćwiartkach przestrzeni p 2 h P P h p 1 29 III IV g P Rzuty punktu leżącego w pierwszej ćwiartce

30 II I R p 2 R R R R p 1 III IV 30 Rzuty punktu leżącego w drugiej ćwiartce

31 II I p 2 Q Q p 1 III Q Q IV Q 31 Rzuty punktu leżącego w trzeciej ćwiartce

32 II I p 2 S S=S p 1 S III IV S 32 Rzuty punktu leżącego na rzutni poziomej

33 33

34 Odwzorowanie prostej. Prosta w położeniu ogólnym P P p 2 a P P S S p 1 a S S a P 34

35 Szczególne położenia prostej. Prosta pozioma p 2 P a P P P a p 1 a P 35

36 Szczególne położenia prostej. Prosta czołowa P P p 2 S a a P P S S S a P 36

37 Szczególne położenia prostej. Prosta pionowa a p 2 a x12 a 37

38 Szczególne położenia prostej. Prosta celowa a p 2 a x12 a 38

39 Szczególne położenia prostej. Prosta prostopadła do osi rzutów a p 2 a x12 a 39

40 Szczególne położenia prostej. Prosta prostopadła 1 1 a do osi rzutów p a x12 1 a 40 2

41 Szczególne położenia płaszczyzn. Płaszczyzna pozioma g p 2 g g" p 1 41

42 Szczególne położenia płaszczyzn. Płaszczyzna czołowa p 2 g g p 1 g 42

43 Szczególne położenia płaszczyzn. Płaszczyzna (poziomo) rzutująca g p 2 g p 1 g 43

44 Szczególne położenia płaszczyzn. Płaszczyzna (pionowo) rzutująca g p 2 g g p 1 44

45 Szczególne położenia płaszczyzn. Płaszczyzna prostopadła do osi rzutów g p 2 g =g g p 1 45

46 Odwzorowanie płaszczyzny. Położenie ogólne (pośrednie). g = A, B, C A g A p 2 A C C A B B=B p 1 C B B C A C 46

47 Odwzorowanie płaszczyzny. Położenie ogólne (pośrednie). g = a,a a g p 2 A a A=A A p 1 a 47 A

48 Odwzorowanie płaszczyzny. Położenie ogólne (pośrednie). g = a,b P g P p 2 b a a b P b b P p 1 a P 48 b

49 Przynależność jako niezmiennik rzutowania P Jeżeli punkt należy do prostej to rzut punktu należy do rzutu prostej P p 2 a P P a p 1 a P

50 b Przynależność Zadanie 1. Skonstruować rzut pionowy trójkąta ABC, należącego do płaszczyzny a=ab. B b C A a

51 B b b Zadanie 1. Jeżeli trójkąt ABC należy do płaszczyzny a=a,b, to jego boki, oraz ich przedłużenia przecinają się z prostymi a i b. Przedłużamy bok BC, zaznaczamy punkty przecięcia się z prostymi a i b (1, 2). 2 C A a 1

52 Zadanie 1. 2 b 1 Wyznaczamy rzut pionowy punktów 1 i 2, wyznaczmy rzut pionowy prostej. B b 2 C A a 1

53 Zadanie 1. B 2 b C 1 Wyznaczamy na prostej rzuty pionowe punktów C i B. B b 2 C A a 1

54 Zadanie 1. B 2 b C 1 Przedłużamy bok AB, wyznaczamy punkt przecięcia się z prostą a (punkt 3). B b 2 C A 3 a 1

55 Zadanie 1. B 2 b C 1 Wyznaczamy rzut pionowy punktu 3 i rzut prostej. 3 B b 2 C A a 1 3

56 Zadanie 1. B 2 b C 1 Wyznaczamy rzut pionowy punktu A. A 3 B b 2 C A a 1 3

57 Zadanie 1. B 2 b C 1 Pogrubiamy boki trójkąta ABC. A 3 B b 2 C A a 1 3

58 Przynależność Zadanie 2. 1 b 2 =2 Skonstruować rzut pionowy dowolnej prostej poziomej, należącej do płaszczyzny a=ab. b=1,2 b 1 a

59 m Przynależność Zadanie 2. 1 b 2 =2 Przyjmujemy rzut pionowy dowolnej prostej poziomej m; zakładamy, że należy do płaszczyzny a. b 1 a

60 4 1 m 3 b 2 =2 Przynależność Zadanie 2. Jeżeli m należy do a, to przecina się z prostymi a i b, odpowiednio w punktach 3 i 4. b 1 a

61 m b 2 =2 b Przynależność Zadanie 2. Wyznaczamy rzut poziomy punktu 3. Wyznaczenie rzutu poziomego punktu 4 jest niewygodne, więc nie będziemy go używać, skorzystamy z prostej pomocniczej. 1 a 3

62 m 4 3 Przynależność Zadanie 2. p 1 b Przyjmujemy pomocniczą prostą p, leżącą na płaszczyźnie a. 2 =2 b 1 a 3

63 6 m 4 3 Przynależność Zadanie 2. p 5 1 b Prosta p przecina się z prostymi a i m, odpowiednio w punktach 5 i 6. 2 =2 b 1 a 3

64 6 m 4 3 Przynależność Zadanie 2. p 5 1 b Wyznaczamy rzut poziomy prostej p za pomocą punktów 2 i 5. 2 =2 b 5 1 a 3 p

65 6 m 4 3 Przynależność Zadanie 2. p 5 1 b Wyznaczamy rzut poziomy prostej m za pomocą punktów 3 i 6. 2 =2 b 5 1 a 3 p m 6

66 Literatura : 1. K. Przyłucka, M. Helenowska-Peschke, Wykłady z geometrii wykreślnej, 2. M. Helenowska-Peschke, A. Wancław, Zadania z geometrii wykreślnej, 3. Konstrukcje cieni, M. Helenowska Peschke, A. Wancław, 4. Danuta Ciemnołońska, Antonina Błocka, Materiały do wykładów z geometrii wykreślnej, JSC, Gdańsk Franciszek i Edward Otto, Podręcznik geometrii wykreślnej, PWN