Stateczność pojazdów szynowych i samochodowych

Transkrypt

1 KISILOWSKI Jerzy ZALEWSKI Jarosław Stateczość poazdów szyowych samochodowych Słowa luczowe: stateczość, model matematyczy, poazd szyowy, poazd samochodowy Streszczee Praca zawera la róŝych podeść do zagadea stateczośc model matematyczych poazdów szyowych samochodowych. Przeprowadzoo aalzę stateczośc techcze modelu matematyczego operaąc sę a właścwoścach masymale mmale wartośc włase macerzy stau (otrzymae z rówań ruchu uładu poazdu szyowego z wózam 5N) oraz wyzaczaąc fucę Lapuowa. Zbadao stateczość tego modelu ze względu a parametry, a tóre fuca Lapuowa est abardze wraŝlwa (badaa wraŝlwośc poazao w pracy [3]). Druge zadae to badae stateczośc techcze stochastycze (defcę zaczerpęto z pracy [4]) elowego modelu matematyczego poazdu szyowego (wago towarowy z wózem 5 N) oraz poazdu samochodowego (samochód Ferrar). W obydwu przypadach zaburzea pochodzły od erówośc toru erówośc drog. o zadae zostało zrealzowae dla róŝych parametrów poazdu szyowego samochodowego. Wy te odoszoo do rzeczywstych obetów p. w poeźdze samochodowym do stateczośc samochodu zdefowaego w orme ISO 8855:99. SABILIY OF RAILWAY AND ROAD VEHICLES Abstract hs wor cotas several dfferet approaches to the subect of stablty of mathematcal models of ralway ad road vehcles. Aalyss of stochastc techcal stablty of mathematcal model was coducted basg o the propertes of maxmal ad mmal egevalues of state matrx (derved from the euatos of moto of the ralway vehcle wth the 5N boges) ad defg the Lapuov fucto. Stablty of ths model was examed vew of the parameters, o whch the Lapuov fucto s most sestve (sestvty aalyss was show [3]). Secod tas s the examato of stochastc techcal stablty (defto from wor [4]) of olear mathematcal model of ralway vehcle (freght car wth 5N boges) ad road sport car (Ferrar). I both cases the dsturbaces orgated from the ueveess of the trac or road respectfully. hs tas was realsed for dfferet parameters of both ralway ad road vehcle. he results were related to real obec for example road vehcle to the stablty defed the orm ISO 8855:99.. WSĘP Stateczość model matematyczych est edym z waŝych zadań badawczych, eśl dodamy, Ŝe eśl model matematyczy opsue dyamę uładu rzeczywstego to wy powy być odoszoe do waruów rzeczywstych. Aby ta było trzeba odpowedzeć a dwa pytaa, po perwsze a został przeprowadzoy proces detyfac strutury parametrów oraz po druge a do modelu wprowadzoo zaburzea zewętrze wywołuące zawsa dyamcze w badaym modelu. Odpowedz a te pytaa pozwalaą a dobór metody badaa stateczośc model matematyczych opsuących obety rzeczywste. Obety te to poazdy samochodowe szyowe. Dla model tych obetów zastosowao wspólą metodę badaa stateczośc. Zagadee badaa stateczośc model matematyczych zaczerpęto z prac [], [], [3] oraz [6]. Zadaa te odoszą sę do badaa model matematyczych opsuących rzeczywste obety. Modele wyzaczao po procese detyfac parametrów strutur. Prześledzea wymaga proces doboru metody badaa stateczośc modelu matematyczego w aspece detyfac parametrów strutury oraz uwzględea charateru zaburzeń wywołuących zawsa dyamcze w modelach matematyczych. o zadae powo róweŝ odpowadać a pytae, dla ach waruów moŝa wy z modelu matematyczego odeść do obetu rzeczywstego fucouącego w oreśloych, rzeczywstych waruach. Przedstawoe zostały wy badaa stateczośc dla róŝych przymowaych załoŝeń.. PRZEGLĄD MEOD BADANIA SAECZNOŚCI Dobór metody badaa stateczośc modelu matematyczego będze zaleŝał od cech daego modelu. Podzał ta to główe dwe grupy: modele lowe modele elowe. Dla badaa model lowych uładu o welu stopach swobody stosue sę aczęśce rachue macerzowy. Jeśl ruch mas taego uładu opszemy rówaem Prof. dr hab. Ŝ., Wydzał rasportu Eletrotech Poltech Radomse Dr Ŝ., Wydzał Admstrac Nau Społeczych Poltech Warszawse 35

2 wetor współrzędych uogóloych, A macerz masowo bezwładoścowa, B macerz tłumeń, C macerz sztywośc, F (t) wetor zaburzeń, to rówae moŝa przeształcć do rówaa w postac A & + B& + C = F (t) & () & () x = G x A G = I B A O C & x = dm I = dmo = x, dmg = x. Rówae () azywa sę rówaem stau, a macerz G azywa sę macerzą stau. RówowaŜość rówaa () () wyazao w pracy [3]. W wyu rozwązywaa rówaa () otrzymamy wartośc wetory włase. Z putu wdzea badaa stateczośc rówaa () będzemy sę zamować badaem wartośc włase, tórą zapsuemy w postac + b λ (3) a współczy tłumea; eśl dla wszystch a < to ruch obetu est asymptotycze stateczy w sese Lapuowa. Wyorzystuąc wy oblczeń wartośc własych dla lowego modelu matematyczego poazdu szyowego (wago towarowy z wózam 5 N) badao stateczość, a wy badań moŝa zaleźć w pracy [3]. Ią metodą badaa stateczośc model matematyczych est metoda oparta o ryterum Hurwtza. Jeda te metody e moŝa polecć dla pratyczych zastosowań gdyŝ dla uładu o welu stopach swobody sprawdzee waruów Hurwtza est ezwyle pracochłoe a uŝyce metody umerycze est efetywesze dla wyzaczaa wartośc własych. W badaach poprzedo wspomaego modelu (wago towarowy z wózam 5 N) matematyczego dla drgań poprzeczych zestawu wyorzystao defcę stateczośc techcze [3]. Przedstawoo tę metodę badaa stateczośc dla uładów lowych z losowym zaburzeam. RozwaŜaa cytowae za pracą [4]. Przeształcaąc rówae () otrzymamy AA z& + BA z& + CA z = R(, & (4) =, 4, = 5,6, = 7,8, = 9,, =, dla tórych R obszaru Ω est rówe dlatego moŝe być przeształcoe w przestrzeń -wymarową. MoŜąc lewą stroę uładu (4) przez ( AA ) oraz sprowadzaąc go do współrzędych stau otrzymao astępuący uład rówań z& = u u& = C z B u + P( ) t, (5) 36

3 gdze P( t) = ( AA) R(, tóre w efece moŝe zostać przedstawoe w astępuące postac: gdze W & = Dw& + F( O = C I B D, macerz bloowa x, O macerz zerowa x, I macerz edostowa x, M F( =, P ( M P ( z B = ( AA ) BA, w =, C = ( AA ) CA. u, (6) Łatwo wyazać, Ŝe dla rówaa (6) waru omawaego twerdzea o steu rozwązaa są spełoe. Ozacza to, Ŝe gdze (X ) ograczoe dlatego D + F( dt = F( dt Λ(( AA ) ) R(, Λ awęszy perwaste charaterystyczy macerzy X, atomast dla ( Dw + F( Dw F( = D( w w ) D w, w D orma macerzy D dla zdetermowaych wartośc parametrów. Następe wyzaczoo fucę Lapuowa, tórą dla uładu (6) zdefowao a poŝe: R przyęto, Ŝe est V ( w) = V ( z, u ) = u u + z ( C + C ) z, (7) 4 gdze des góry ozacza traspozycę. W oleym rou polczoo pochodą fuc Lapuowa względem rozwązań uładu (6). Została oa oreśloa przez astępuącą zaleŝość: O d V = u ( B + B ) u. (8) dt Szczegółowe rozwaŝaa moŝa zaleźć w pracy [4]. Otrzymae wy mogą atomast zostać wyorzystae w programe wyorzystuącym umerycze metody badaa stateczośc. W aalze stateczośc wyszczególoo trzy parametry, tóre, a sę oazało, maą awęszy wpływ a obszary stateczośc. Są to: sztywość mędzy wózem a orpusem wagou oleowego woół os OZ, λ ewwaleta stoŝowatość, v prędość. Wybór wymeoych powyŝe parametrów wya z aalzy wraŝlwośc oraz z pratyczych moŝlwośc modyfac elemetów rzeczywste ostruc, a waruów esploatac. Załadaąc, Ŝe λ est stała dla stablych profl rówa.38 będze aalzoway wpływ, a maą parametry oraz v a obszary stateczośc w prostoące wyzaczoym przez astępuące erówośc: 37

4 v m < < max m < v < v max., (9) NaleŜy podreślć, Ŝe dla stateczośc lowego uładu zdefowaego w te sposób łatwo est udowodć, Ŝe waruem oeczym, aby system był stably w rozumeu stochastyczym techczym est ego stablość w sese Lapuowa. Przyładowe wy oblczeń umeryczych przedstawoo w tabel. ab.. Przyładowe wy badaa stateczośc uładu lowego v = 6[ m / h] λ = Gracze wartośc Lapuowa dla stateczośc w sese max m = [ Nm / rad] 6 = [ Nm / rad] Gracze wartośc dla stateczośc w sese techczym stochastyczym 6 7 = 5.7 [ Nm / rad] = 6.5 [ Nm / rad] 7 = [ Nm / rad] λ =. 38 vmax = 5[ m / h] v = [ m / h] Gracze wartośc v dla stateczośc w sese Lapuowa m Gracze wartośc v dla stateczośc w sese techczym stochastyczym v = 7[ m / h] v = 47[ m / h] Z przedstawoych rezultatów wdać, Ŝe grace stablośc dla ruchów poprzeczych zaleŝe są od parametrów uładu. WaŜe est aby zaburzea zalazły sę w oreśloym obszarze ω. Dale rozwęto badaa stateczośc wyorzystuąc defce stateczośc techcze stochastycze (SS), tórą zastosowao dla badaa uładu z losowym zaburzeam. Defca a podstawe pracy []. Stateczość techcza stochastycza est defcą, tórą alepe, spośród zaych defc, moŝa wyorzystać do badaa ruchu model matematyczych obetów techczych. Główym atutem te defc est moŝlwość aalzy ruchu modelowaego uładu przy występowau losowych zaburzeń pochodzących p. od erówośc awerzch drog w przypadu badaa ruchu modelu matematyczego samochodu czy erówośc toru przy badau stateczośc ruchu poazdu szyowego. Wy badań moŝa odeść do wyów badań rzeczywstych obetów techczych. ZałoŜea. Day est uład rówań stochastyczych dx dt f [ x, ξ ( t)] = () x = ( oraz f ( x, y) = ( f,..., f ) są wetoram, atomast ξ ( t) = ( ξ..., ξ ), t ( x, y x E, y E t. Przyęto róweŝ, Ŝe dla procesu stochastyczego f (, ξ ( t)) zachodz gdze x,..., x ) est procesem stochastyczym opsuącym losowo występuące zaburzea. Dla fuc f ) przyęto załoŝea, Ŝe est oreśloa dla aŝdego P f (, ξ ( t)) dt < =, dla aŝdego > ZałoŜoo róweŝ stee procesu stochastyczego ( X, ( t)) [, ] () f ξ, tóry speła ryterum Lpschtza w przedzale f ( x t t f x t t t x x,, ( )) (,, ξ ( )) η( ) ξ () dla ego procesu η (t), bezwzględe całowalego w daym przedzale. Wyem powyŝszych załoŝeń est stee tylo edego rozwązaa z waruam początowym t = t oraz x ( t ) = x, tóre est procesem stochastyczym bezwzględe cągłym, z prawdopodobeństwem dla t t. Defca stateczośc techcze stochastycze. 38

5 Przyęto stee dwu obszarów w przestrze euldesowe ograczoego zamętego, gdze proces stochastyczy X (t), oreśloy dla t t t x. x ( = x oraz rozwązae prze, ) ) E : ω ograczoego otwartego oraz Ω ω Ω. ZałoŜoo, Ŝe stee róweŝ lczba dodata ε, gdze < ε < oraz t t. Ozaczoo róweŝ waru początowe rozwązaa przez t = t, ( Defca stateczośc techcze stochastycze brzm: eśl aŝde rozwązae rówaa (), maące waru początowe ( t, t, x ) w obszarze ω, aleŝy do obszaru Ω z prawdopodobeństwem ε, to uład () est stateczy techcze stochastycze względem ω, Ω oraz procesu ξ (t) z prawdopodobeństwem ε (rys. ). Rys.. Grafcza terpretaca stateczośc techcze stochastycze [7] {( t, x ) Ω} > ε dla x ω, P (3) RozwaŜaa przeprowadzoo dla model matematyczych poazdu szyowego [5] oraz samochodu za pracą [6]. Za pracą [5] poazae zostaą wy badań stateczośc techcze stochastycze zestawu ołowego. Korzystaąc z przedstawoe defc oreśloo obszar Ω ω dla drgań poprzeczych zestawu ołowego, co przedstawoo a rys.. Ja wdać obszar Ω został oreśloy ao luz mędzy obrzeŝem oła szyą ozaczoo l y. Badaa stateczośc techcze stochastycze przeprowadzoo dla poprzeczych drgań uładu o edeastu stopach swobody z zaburzeam pochodzącym o erówośc geometryczych toru, zmay szeroośc toru oraz zma proflu głów szyy [5]. Przeprowadzoo symulacyą aalzę stateczośc techcze stochastycze. Wyorzystuąc przedstawoą metodę przeprowadzoo szereg symulac, w tórych badao prawdopodobeństwo ruchu stateczego przy róŝych prędoścach (rys. 3). Stateczość techczą stochastyczą wyorzystao róweŝ w badau modelu matematyczego samochodu poruszaącego sę po erówe awerzch drog [6]. Zadae to rozwązao wyorzystuąc symulacę ruchu samochodu, w tórym a sute wypadu bądź olz epoprawe aprawy zaburzeu uległy parametry masowo bezwładoścowe. Dla taego modelu (z zaburzoym parametram) przeprowadzoo badae stateczośc techcze stochastycze porówao z badaam stateczośc techcze - stochastycze bez zaburzea parametrów. Grafcze zadae przedstawoo a rys. 4 defuąc obszar Ω. Metoda oazała sę sutecza; otrzymao róweŝ wy loścowe wyorzystuąc do aalzy prawdopodobeństwa test λ Smrowa-Kołmogorowa. Badaa przeprowadzoo a pozome stotośc α =, 5. Prawdopodobeństwo zalezea sę samochodu w sraym połoŝeu a drodze (dla samochodu z zaburzeam parametrów masowo bezwładoścowych wzrosło trzyrote). Przyład poazue moŝlwość wyorzystaa badaa stateczośc techcze stochastycze dla elowych model matematyczych samochodu. W badau stateczośc techcze stochastycze modelu matematyczego samochodu wyorzystao metodę a w przypadu wagou oleowego [7], czyl podzału obszaru dopuszczalych rozwązań a lasy badau prawdopodobeństwa zalezea sę rozwązaa w dae lase. Metoda ta est uwersala ze względu a moŝlwość doboru dopuszczalych obszarów rozwązań. 39

6 Rys.. Grafcza terpretaca stateczośc techcze stochastycze zestawu ołowego wagou oleowego [5] Rys. 3. Prawdopodobeństwo SS uzysae w symulac omputerowe ruchu wagou oleowego [4]. Prawdopodobeństwo SS: P ) = P( y l ) = x y ( y Ω (w odeseu do obszaru { } Ω : ) uzysae w symulac omputerowe ruchu wagou oleowego ( stop swobody) poruszaącego sę z prędoścą: () v=,m/s, () v=6,666m/s, (3) v=,m/s oraz (4) v=7,777m/s. (y est przemeszczeem poprzeczym środa masy zestawu ołowego). l y 4

7 Rys. 4. Obszary dopuszczalych rozwązań w badau SS modelu matematyczego samochodu [6] Przyład poazue moŝlwośc wyorzystaa badaa stateczośc techcze stochastycze elowych model matematyczych samochodu. NaleŜy dodać, Ŝe tae badae est prawe detycze a badaa stateczośc wg ormy ISO 8855: PODSUMOWANIE Przedstawoe w pracy metody były w róŝych publacach przedstawoe cząstowo. Z przedstawoych aalz moŝa sformułować wose, ze aefetyweszą metodą badaa stateczośc est to metoda stateczośc techcze stochastycze. a metoda est ablŝsza do odoszea wyów z model matematyczych do uładów rzeczywstych. MoŜlwośc wyaą z badaa traetor rozwązań, tórą zawsze moŝa pomerzyć dla obetu rzeczywstego. Dodatowym atutem te metody to moŝlwość rozwaŝaa całego zagadea w uęcu losowym, co dae wy blŝsze rzeczywstośc. W pracy zaprezetowao rezultaty badań, tóre były prowadzoe a przestrzeach welu la a są oe do dzsa w sese metodolog atuale. Badaa tae są ezwyle waŝe zwłaszcza dla prędośc powyŝe m/h. e zares prędośc e był przedmotem aalz stateczośc w pracach, tórych aalzy przedstawoo. MoŜe być o przedmotem dalszych badań. 4. BIBLIOGRAFIA [] Gutows R., Podstawy teor stateczośc ruchu uładów dysretych cągłych, Poltecha Warszawsa, Wydzał Mechaczy Eergety Lotctwa, 98. [] Bogusz W., Stateczość techcza, Warszawa, PWN, 97. [3] Kslows J. red., Dyama uładu mechaczego poazd szyowy tor, Warszawa, PWN 99. [4] Kslows J., Choromańs W., Łopata H., Ivestgato of echcal Stochastc Stablty of Lateral Vbratos of Mathematcal Model of Ral Vehcle, Warsaw, Egeerg rasactos, Polsh Academy of Sceces IPP, Vol.33, 985. [5] Kslows J., Kardas Cal E., Some Problems Related to Ivestgato of Wheelset Model Stablty, Warszawa, Dyamcal Problems Mechacal Systems, PAN IPP, 99. [6] Zalews J., Modelowae wpływu zaburzeń geometr adwoza a stateczość ruchu poazdu samochodowego, PhD thess, Poltecha Warszawsa, Wydzał Samochodów Maszy Roboczych,. [7] Kardas-Cal, E., Badae stateczośc stochastycze modelu matematyczego poazdu szyowego, Rozprawa dotorsa, Poltecha Warszawsa, 994. [8] Kslows J., Kothe K., Advaced Ralway Vehcle System Dyamcs, Warszawa, WN 99. 4