Definicja 3.9. Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernej W mn postaci
|
|
- Sylwia Wróblewska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 8 Iy wose z twerdzea. est Wose.. Jeśl ua a ągłą poodą rzędu a odu [a, b] zaweraąy węzły rzezywste x (,,..., ) put x, to stee wartość > [a, b], przy zy > >(x), że p ( x) rx ( ) ( )! ( ) W dowodze tego wosu orzysta sę z przedstawea ałowego uogóloego lorazu różowego, a astępe stosue sę twerdzee o wartoś średe dla ałe. Wzór (.) est zęsto stosoway w pratye, gdyż w welu przypada potray z własoś rozważaego zagadea oszaować poodą ezae u. Jeśl ( ) ( x) M dla x [a, b], to bezpośredo z wzoru (.) ay ( ξ ). (.) rx ( ) p ( x) ( )! M..7. Iterpolaa wyera Dea.9. Zadae terpola wyere polega a zalezeu dla dae u u wyere W posta W ( x), w tóre stopeń lza est rówy o awyże, a stopeń aowa o awyże, spełaąe dla day węzłów x wartoś u w ty węzła (x ) (,,..., ) waru Zauważy, że ua W zawera współzy, podzas gdy waruów posta (.) est. Nazęśe oreśla sę bowe uę W z doładośą do wspólego zya. Z zależoś (.) ay a x b x W ( x ) ( x ). (.) a x ( x ) b x,,, K,. (.)
2 .8. Iterpolaa trygooetryza 9 Jest to uład rówań edorody ze względu a ewadoe współzy a b. Oazue sę eda, że zastąpee zadaa terpola wyere rozwae ww. uładu e zawsze prowadz do rozwązaa. Przyład.7 Ne oraz Spróbuy oreślć uę wyerą x (x ) spełaąą waru (.). Z zależoś (.) ay a b, a a ( b b), a a ( b b ). Rozwązae tego uładu z doładośą do wspólego zya różego od est Stąd Dla x ay wyrażee eoreśloe. Jeśl dooay redu, to otrzyay uę ~ W, ale ta ua e rozwązue zagadea terpola w pue x, bo ay ~ ( ) W (). # W a ( x) b a x b x a, b, a, b. W x ( x). x Wose.. Zadae terpola wyere e zawsze est rozwązale. Prawe ażde rozwązae uładu (.) est rozwązae uładu (.), ale e a odwrót. W podręzu [] są podae zależoś poędzy rozwązaa uładów (.) (.). W sąże te podao taże algoryt terpola wyere, tóry odpowada algorytow Nelle a w terpola weloaowe..8. Iterpolaa trygooetryza Ne będze day przedzał [, B] oraz puty węzłowe x π wartoś u w ty węzła (x ) (,,...,! ), przy zy wartoś (x ) ogą być zespoloe.
3 4 Dea.. Zadae terpola trygooetryze polega a zalezeu dla dae u oresowe o orese B weloau trygooetryzego T ( x) β β exp( x) β exp( x) K β exp(( ) x), (.) exp(") os" s" (wzór Eulera), ozaza edostę urooą, taego że T ( x ) ( x ),,, K,. (.) Fua est uą zee rzezywste o wartośa zespoloy. Współzy $ w ogóloś ogą być lzba zespoloy. Jeżel daa est ua g o orese T, t. g(y T) g(y), to doouą zaay zee według zależoś x π otrzyay a wę uę oresową o orese B. T y ( x) g yt, π Bez zeszaa ogóloś ożey zate rozważać tylo ue o orese B. Podobe, a w przypadu terpola weloaowe, ożey udowodć Twerdzee.9. Dla dowoly lzb zespoloy (x ) rzezywsty węzłów x π (,,...,! ), gdze lzba est ustaloa, stee dołade ede weloa trygooetryzy (.) spełaąy waru (.). Dowód. Podstawaą w exp(x) z wzoru (.) otrzyuey zagadee terpola trygooetryze sprowadza sę do zagadea terpolayego Lagrage a zalezea weloau stopa!, gdyż π w exp( x) exp w w dla,. # W oley twerdzeu podao wzory a współzy $ weloau (.). Twerdzee.. Jeżel dla weloau trygooetryzego (.) zaodzą zależoś (.), to Dowód. Ozazy w exp(x ). Poażey aperw, że a) w w dla lzb ałowty oraz, b) ww, dla, gdze #, #!., dla, T( w) β βw K βw π β x ( )exp,,, K,. (.4) Rówość a) est ozywsta, gdyż wya z de lzb w. W elu udowodea zależoś b) zauważy, że dla, ±, ±,..., lzba w est perwaste rówaa
4 .8. Iterpolaa trygooetryza 4 w ( w )( w w K ). Zate w dla wszyst, ±, ±,.... May w, dla, ±, ±, K,, w przewy przypadu, a stąd otrzyuey zależość b). Jeżel w przestrze C zaweraąe wszyste wetory ((x ), (x ),..., (x! )) oreśly lozy salary (, g) g, gdze ozaza sprzężee lzby to własoś a) b) ozazaą, że przyporządowae g g, u exp(x) speale ułady lzb tworzą bazę ortooralą w przestrze C, t., dla, ( w, w ),., dla, Poeważ T (x ) (x ), wę z uwag a zależość (.5) ay ( x) w (, w) ( w w w, w). β β K β β w ( w, w, K, w ),,, K,, (.5) # Ne teraz wartoś (x ) będą rzezywste. Ozazy A x B x π ( )os, ( )s π, (.6) gdze ozaza lzbę ałowtą. Z wzoru (.4) wya, że β β x w x w w ( ) ( ), bo, exp( π) ( A B ), β ( A B ), β w β w A os x B s x, bo β β, β w ( A B )exp( x) ( A B )(os x s x ), β w ( A B ) exp( x) ( A B )(os x s x), K,,,. (.7)
5 4 Możey teraz udowodć twerdzee o terpola rzezywsty weloaa trygooetryzy. Twerdzee.. Dla day putów węzłowy x π rzezywsty wartoś u w ty węzła (x ) stee dołade ede weloa trygooetryzy o własoś T (x ) (x ), przy zy dla parzystego ( ) T A A ( x) ( A osx B s x) os x, (.8) a dla eparzystego ( ) T A ( x) ( A osx B s x). (.9) Dowód. Istee edozazość weloaów (.8) (.9) wya z twerdzea.9. Dla z wzorów (.), (.4), (.6) (.7) ay ( x ) T ( x ) β exp( x ) β w β ( β w β w ) β w ( A B) ( A os x B s x) ( A B) w. (.) Z zależoś (.6) otrzyuey bo B B π x ( )s, π x x ( )s ( )s π, w exp( x ) osx sx os x, s x s π s π dlatego wzór (.) dae zależość (.8) dla x x. Gdy lzba est eparzysta dowód przebega podobe. #
6 .9. Iterpolaa ua sleay 4.9. Iterpolaa ua sleay W dotyzas rozpatryway zagadea terpola weloaowe załadalśy, że daa ua est przyblżaa edy weloae a ały odu [a, b] [x, x ]. Jedyą ożlwośą uzysaa lepszego przyblżea było zwęszee stopa weloau. Wadoo eda, że awet dla bardzo regulary u ąg weloaów terpolayy e us być zbeży do terpolowae u. Dlatego do zagadea tego pododz sę w y sposób. Dzely ały przedzał [a, b] a N zęś w ażdy z podprzedzałów przyblżay uę weloae ustaloego (ożlwe sego) stopa. Istote est przy ty, aby ta sostruowae przyblżee było ągłe wraz z poody odpowed rzędów a ały odu [a, b]. Fue o te własoś azywaą sę ua sleay. Dea.. Fuę rzezywstą S azyway uą sleaą stopa z węzła : a x < x < < x b, K eśl a) w ażdy przedzale (x!, x ) dla,,...,, przy zy przyuey x!!4, x 4, ua S est weloae stopa e wyższego ż, b) ua S e poode rzędu,,...,! są ągłe a ałe os rzezywste. Zauważy, że gdy, to ua sleaa est łaaą. Wśród u sleay spealą rolę (zob. dale) spełaą pewe lasy. Dea.. Fuę sleaą S stopa! z węzła ) azyway aturalą uą sleaą, gdy w przedzała (!4, x ) (x, 4) daa est weloae stopa! (a e! ). Dea.. Fuę sleaą S stopa z węzła ) azyway oresową uą sleaą o orese b! a, gdy S ( a ) S ( b) dla,,...,! () (). W dalszy ągu przyey astępuąe ozazea: S ()) lasa u sleay stopa z węzła ), P ()) lasa oresowy u sleay stopa z węzła ), N! ()) lasa aturaly u sleay stopa! z węzła ). Dea.4. Zadae terpola ua sleay polega a zalezeu dla day putów (x, (x )),,,...,, u sleae S, tae że Sx ( ) ( x). (.) W ałe lase S ()) zadae to e a edozazego rozwązaa, atoast w lasa P ()) N! ()) stee dołade eda ua sleaa S spełaąa waru (.) (dowód tego twerdzea zadue sę.. w []).
7 44 Poże podaey algoryt wyzazaa aturale oresowe u sleae stopa trzeego. Taą uę azęśe stosue sę w pratye. Załaday zate, że Sx ( ) a bt t dt, (.) gdze t x! x dla x [x, x ),,,...,!, S N ()) lub S P ()) oraz S(x ) (x ) w węzła ). Z wzoru (.) wya, że ależy wyzazyć 4 współzyów (eśl przedzał [a, b] est podzeloy a podprzedzałów). Z waruów terpola (.) oraz z oreślea u S wzore (.) otrzyuey a ( x),,, K,, (.) gdyż dla x x ay t. Należy zate eszze wyzazyć współzyów.! rówaa a te współzy otrzyay z założea ągłoś u S, SN SO w węzła x (,,...,! ), a pozostałe rówaa z atu, że ua S est aturalą lub oresową uą sleaą. Z oreślea (.) u S ay Z ągłoś u SO w węzła x (,,...,! ), zyl z waruu otrzyuey zyl 6d( x x),,,...,. (.4) Oblzaą poodą u S z wzoru (.) ay z waruu ągłoś u SN w węzła x, t. z waruu ay b ( x x) d( x x) x x b ( x x) d( xx ) x x, a wę S ( x) 6d ( xx ) dla x [ x, x ),,, K,. Postępuą dale podobe, z ągłoś u S w węzła x otrzyay rówaa Z zależoś (.4) wyzazay d! : S ( x ) S ( x ), 6d ( x x ) 6d ( x x ), x x x x S ( x) b ( x x ) d ( xx ) S ( x ) S ( x ), b b ( x x ) d ( x x ),,, K,. (.5) a a b( x x) ( x x) d( x x),,, K,. (.6) d,,, K,, (.7)
8 .9. Iterpolaa ua sleay 45 gdze przyęto ozazee x x, po zy podstaway te wartoś do wzorów (.5) (.6) uwzględaą waru (.). Otrzyuey b b ( ), b ( ), zyl b b ( ), b ( ), gdze dla prostoty ozazylśy (x ). Z drugego z powyższy rówań ożey oblzyć b!. May po podstaweu do perwszego rówaa dostaey Rówae (.8) ożey taże zapsać astępuąo: zyl b b b ( ),,, K, (.8) ( ),,, K,. (.9) ( ),,, K,. (.4) Dla,,...,! z rówań (.9) (.4) otrzyuey ( ) ( ), ( ) Jest to uład! rówań z ewadoy,,...,!. Warue S ( x ) S ( x ) us zaodzć taże w pue x b, zyl w pue x, a stąd (por. wzór (.4)) Rozuuą a poprzedo dostaey (por. wzory (.7) (.8)) d b S ( x )., ( ),,,, K,. (.4) (.4)
9 46 a wę uład (.4) zaodz dla,,...,! (z ewadoy,,..., ). Po prosty przeształea ożey go zapsać w posta Jeżel ua S est aturalą uą sleaą, to poza przedzałe [a, b] est oa weloae stopa!, a w przedzale [a, b] stopa. W aszy przypadu!, a stąd. Ozaza to, że w przedzała (!4, a) (b, 4) ua S est weloae stopa perwszego, a stąd SO(x) dla x ó [a, b]. Z druge stroy ua SO us być ągła w puta x a x b, zyl SO(x ) SO(x ). Zate, bo SO(x) 6d (x! x ) dla x [x, x ) oraz z waruu SO(x! ). Uład (.4) przyue wę postać gdze Maerz tego uładu est tróprzeątowa. Sposób rozwązaa uładu rówań lowy z taą aerzą est poday w p Jeśl ua S est oresową uą sleaą stopa trzeego, to uszą być spełoe waru () () S ( x ) S ( x ) dla,,, a stąd dla otrzyuey ( x ) ( x ), a wę warue, a powa spełać ua w terpola uą oresową. Dla ay zyl Wresze, dla otrzyuey.,, K,. w K K K K u w K K K u w K K K M M M M M M M M K K K K u w K K K K u M,, M w,,, K,, u,,, K,,,,, K,. x x x x b ( x x ) d ( x x ) b ( x x ) d ( x x ), (.4) b b d. (.44)
10 .9. Iterpolaa ua sleay 47 Z zależoś (.44) po uwzględeu rówań (.8) (.4) ay Stąd, uwzględaą, że, po prosty przeształea otrzyuey Rówaa (.4) wzór (.45) prowadzą do uładu rówań lowy z ewadoy,,..., posta gdze a pozostałe weloś w, u (,,...,! ) są oreśloe a poprzedo. Korzystaą z oblzoy współzyów uę S ożey przedstawć w posta Błąd terpola ua sleay est oreśloy w poższy twerdzea. Twerdzee.. Jeśl ua speła warue Höldera, tz. steą stałe L > " (, ], tae że dla dowoly x, y [a, b] ay to ( ) ( ) ( ).. (.45) w u u w u w u w w u K K K K K K K K K M M M M M M M M K K K K K K K M M, w u,,, Sx x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [, ),,,,. K x y L x y ( ) ( ), α ax ( ) ( ) ax ax. [, ], x a b Sx x L 4 α (.46)
11 48 Dowód tego twerdzea zadue sę w []. Zauważy, że z wzoru (.46) wya, że eśl ey, aby oszaowae błędu było rzędu ax α, to welość ax powa być, w przyblżeu rówa. Ozaza to, że węzły powy być rozłożoe w arę rówoere. Założee to e est oeze dla bardze regulare u. May bowe Twerdzee.. Jeżel C () [a, b], to gdze ax Sx ( ) ( x) 5M ax, x [ a, b] M ax ( x). x [ a, b] Dowód tego twerdzea też zadue sę w []. Zadaa. Zaleźć weloa terpolayy Lagrage a, tóry w puta!,,, 4 przyue wartoś odpowedo,,!, 8. Jaa est wartość tego weloau w pue x?. Zaleźć weloa terpolayy Lagrage a, tóry w puta,, przyue wartoś odpowedo,,. Oblzyć wartość tego weloau w pue x /.. Dla day z zadaa zaleźć wartość weloau terpolayego w pue x / stosuą algoryt Nelle a. 4. Dla day z zadaa zaleźć weloa terpolayy stosuą wzór terpolayy Newtoa. 5. Napsać wzór terpolayy Newtoa dla u (x) astępuąy day: (), (), (), (4) 5, (6) Udowodć, że eżel to [ x, x, K, x; ] dla p. Jaa est wartość tego lorazu różowego, gdy p.? 7. Oblzyć róże progresywe weloau przyuą. ( x) ( xx)( xx) K ( xx p ), W ( x) x x 8. Zaleźć róże wsteze weloau W 4 (x) z zadaa Udowodć, że eśl x x,,,...,, to 4 4
12 .9. Iterpolaa ua sleay 49. Poazać, że ( x) [ x, x, K, x ; ].! δ ( x) ( ) ( x).. Udowodć, że ( α ( x) βg( x)) α ( x) β g( x).. Korzystaą z przedstawea weloau terpolayego za pooą róż progresywy zaleźć te weloa, gdy (), (), () ().. Dla day z zadaa zaleźć weloa terpolayy orzystaą ego przedstawea za pooą róż wstezy. 4. Dae są puty x (,, ) o rotośa oraz wartośa u e poody w ty puta: x (x ) N(x ) O(x ) Sostruować weloa terpolayy Herte a posługuą sę wzora (.5) a współzy. 5. Dla day z zadaa 4 wyzazyć współzy weloau terpolayego Herte a orzystaą z uogóloy lorazów różowy. 6. Z aą doładośą oża oblzyć l(,5) przy użyu wzoru terpolayego Lagrage a, eżel dae są wartoś l(), l(), l() l(). 7. Udowodć, że eśl ua g terpolue uę w węzła x, x,..., x!, a ua terpolue uę w węzła x, x,..., x, to ua x x gx ( ) [ gx ( ) x ( )] x x terpolue uę we wszyst węzła x, x,..., x (ue g e uszą być weloaa). 8. Udowodć, że eśl ua g (weloa lub e) terpolue uę w węzła x, x,..., x!, a ua est uą taą, że (x ) * ( # # ), to stee stała, dla tóre ua g terpolue uę w puta x, x,..., x.
13 5 9. Weloa px ( ) ( x ) π( x ) π ( x )( x) terpolue ztery pozątowe puty z tably x! (x)!7 Dodaą do weloau p ede sład, wyzazyć weloa terpoluąy wszyste dae.. Dla a wartoś a, b ua x, x [, ), Sx ( ) ( x ) a( x ) b( x ), x [, ), oże być w przedzale [, ) aturalą uą sleaą stopa trzeego?. Dla a wartoś paraetrów a, b, d ua est uą sleaą stopa trzeego?. Dla a wartoś paraetrów a b ua est uą sleaą stopa trzeego? x, x (, ), Sx ( ) a bx x dx, x [ 4, ), 57 x, x [ 4, ), ( x ) a( x), x (, ), Sx ( ) ( x) ( x), x [, ), ( x ) b( x), x [, ),. Dla a wartoś paraetrów a, b, d ua x, x [, ), Sx ( ) a bx x dx, x [, ), oże być w przedzale [!, ) aturalą uą sleaą stopa trzeego?
i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Indukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
DWUWYMIAROWA FUNKCJA REGRESJI OPISANA ZA POMOCĄ BAZOWYCH FUNKCJI SKLEJANYCH
ZESZYTY AUKOWE AKADEII ARYARKI WOJEEJ ROK XLVI R 6 5 Agata Załęsa-Foral are Zella DWUWYIAROWA FUKCJA REGRESJI OPISAA ZA POOCĄ AZOWYCH FUKCJI SKLEJAYCH STRESZCZEIE W artule przedstawoo ożlwoś zastosowaa
Lista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Regresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Niech Φ oznacza funkcję zmiennej x zależną od n + 1 parametrów a 0, a 1, K, a n, tj.
III. INTERPOLACJA 3.. Ogóe zadae terpoac Nech Φ ozacza fucę zmee x zaeżą od + parametrów a 0, a, K, a, t. Defca 3.. Zadae terpoac poega a oreśeu parametrów a ta, żeby da + da- ych par ( x, f ( x ( 0,,...,
Równania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część
WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego
Sprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych
Sprawdzee stateczośc skarpy wykopu pod składowsko odpadów koualych Ustalee wartośc współczyka stateczośc wykoae zostae uproszczoą etodą Bshopa, w oparcu o poższą forułę: [ W s( α )] ( φ ) ( φ ) W ta F
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7
6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram
Zmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzał Mehazy POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MECHANIKA TECHNICZNA Wyzazee położee środka ężkoś układu mehazego Dr ż. K. Kęk 1.
teorii optymalizacji
Poltechka Gdańska Wydzał Oceaotechk Okrętowctwa St. II stop. se. I Podstawy teor optyalzac wykład 7 M. H. Ghae Ma 5 Podstawy teor optyalzac Oceaotechka II stop. se. I 5 Podstawy teor optyalzac Oceaotechka
( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Funkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Metody Numeryczne Sprawozdanie IV
Jace Złydach (JW) Metody Nuerycze Sprawozdae IV Wtęp Teoretyczy Wtęp Metody Nuerycze Sprawozdae IV Metody aproyac weloaowe (wtęp teoretyczy) Teate tego prawozdaa ą populare etody aproyac fuc. Praca ta,
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Szymon Skibicki, Katedra Budownictwa Ogólnego. 1. Zestawienie sił działających na połączenie. 2. Połączenie jest dwucięte:
Szymo Sb, Katedra Budowtwa Ogólego Przyład oblzea połązee słupa z udametem (rys.), obążoego słam wg putu. Słup wyoao z drewa lasy GLh, śruby stalowe średy 0mm(lasa 5.8). Sróty: EK5 P-E 995--:00AC:006A:008
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM II PROGRAMOWANIE CELOWE, ILORAZOWE I MIN-MAX. min. min
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORAORIUM II PROGRAMOWANIE CELOWE, ILORAZOWE I MIN-MAX Probley prograowae celowego lorazowego to probley prograowae ateatyczego elowego, który oża sktecze zlearyzować
STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
METODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
4. ZASTOSOWANIE METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH (MES) W AKUSTYCE
4. ZAOOWAIE E W AUYCE Astya w bdowtwe. 4. ZAOOWAIE EODY ELEEÓW OŃCZOYCH (E) W AUYCE ożej zostae rzedstawoe sorłowae ateatyze słżąe do aalzy staów staloyh ja estaloyh, rzebeg al astyzej, zastosowayh w rograe
LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE
LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwzee r 4 Temat: Wyzazee współzyka załamaa ezy refraktometrem Abbego.. Wprowadzee Śwatło, przy przejśu przez graę dwóh ośrodków, zmea swój
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2
Zadae. eh K będze próbką prostą z rozkładu ormalego ( μ σ ) zaś: ( ) S gdze:. Iteresuje as względy błąd estymaj: σ R S. σ rzy wartość ozekwaa E R jest rówa ( ) (A).8 (B).9 (C). (D). (E). Zadae. eh K K
WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP
KATARZYNA BŁASZCZYK BOGDAN RUSZCZAK Poltecha Opolsa WIELOWYMIAROWE REGUŁY ASOCJACJI W MODELOWANIU TENDENCJI ROZWOJOWYCH MSP Wstęp Esploraca daych (ag. data g) zaue sę efetywy zadowae ezaych dotychczas
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
Nieparametryczna ANOVA
Nepaametyza NOV Jeżel z pewyh względów założee omaloś błędów w modelu NOV efetów stałyh est e do pzyęa, to moża zbudować ogóleszy model e ozystaąy z tyh ępuąyh założeń. ozważmy pewe epaametyzy odpowed
k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
ZMIENNE LOSOWE WIELOWYMIAROWE
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe ( ΩS P ZMIENNE LOSOWE WIELOWMIAROWE - ustaloa przestrzeń probablstcza. (... - zmea losowa - wmarowa (wetor losow cąg losow. : Ω R (fuca borelowsa P : Β R [0 - rozład zmee
11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD:
//4 Gry o sue zero - gry rozgrywae w strategach eszaych STRATEGIE IESZANE - OTYWACJA. ROZWAśY PRZYKŁAD: 5 DEFINICJA..6 Strategą eszaą π gracza P azyway kaŝdy rozkład prawdopodobeństwa określoy a zborze
Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Badania Operacyjne (dualnośc w programowaniu liniowym)
Badaa Operacye (dualośc w programowau lowym) Zadae programowaa lowego (PL) w postac stadardowe a maksmum () c x = max, podczas gdy spełoe są erówośc () ax = b ( m ), x 0 ( ) Zadae programowaa lowego (PL)
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Zaawansowane metody numeryczne
Zaawasowae metod umercze Programowae lowe (problem dual, program low w lczbach całkowtch) Dualość est kluczowm poęcem programowaa lowego. Pozwala a udowodee że otrzmwae rozwązaa są optmale. Zagadee duale
POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Mh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem
Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h )
Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Modelowanie i Analiza Danych Przestrzennych
odelowae Aalza Dayh Przestrzeyh Wyład 7 Adrze Leśa atedra Geoormaty Iormaty Stosowae Aadema Górzo-Hutza w raowe red występuąy w dayh : may głębooś da edaleo brzegu morza may temperatury w góre zęś sorupy
Immunizacja portfela
Immuzaja porfela Sraega mmuzaj porfelowej [Redgo 9] polega a sworzeu porfela srumeów sało upoowh spełająego dwa waru: - spade e srumeów fasowh wwoła wzrosem sóp spo jes w peł reompesowa przez wzros dohodów
L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =
Sieć kątowa metoda spostrzeżeń pośredniczących. Układ równań obserwacyjnych
Seć kątowa etoda spostrzeżeń pośrednząyh Układ równań obserwayjnyh rzyrosty współrzędnyh X = X X X X = X X Y = Y Y X Y = Y Y Długość odnka X ' ' ' ' x y Współzynnk kerunkowe x y * B * x y x y gdze - odpowedn
System finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
ZASADY WYZNACZANIA DEPOZYTÓW ZABEZPIECZAJĄCYCH PO WPROWADZENIU DO OBROTU OPCJI W RELACJI KLIENT-BIURO MAKLERSKIE
Zasady wyznazana depozytów zabezpezaąyh po wprowadzenu do obrotu op w rela lent-buro malerse ZAADY WYZNACZANIA DEPOZYTÓW ZABEZPIECZAJĄCYCH PO WPROWADZENIU DO OBROTU OPCJI W RELACJI KLIENT-BIURO MAKLERKIE
Dokonajmy zestawienia wszystkich równań teorii sprężystości. 1. Różniczkowe równania równowagi (warunki Naviera)
Wyład 4 Blas rówań teor srężystośc Dooamy zestawea wszystch rówań teor srężystośc Gra rówań. Różczowe rówaa rówowag (war Navera Lczba rówań Lczba ewadomych X 6 (. Zwąz geometrycze (rówaa Cachy ego ( 6
Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
... MATHCAD - PRACA 1/A
Nazwsko Imę (drukowaym) KOD: Dzeń+godz. (p. Śr) MATHCAD - PRACA /A. Stablcuj fukcję: f() = s() + /6. w przedzale od a do b z podzałem a rówych odcków. Sporządź wykres f() sprawdź, le ma mejsc zerowych.
Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej
Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI
Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Spójne przestrzenie metryczne
lz Włd 5 d d Ćel cel@gedpl Spóe pzeszee ecze De Pzeszeń eczą ρ zw spóą eżel e d sę e pzedswć w psc s dwóc zów epsc wc złączc ρ - pzeszeń spó ~ we Icze es ze spó eżel dl dwlc pów czl see cągł c γ : : γ
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.
Zadae p (X p (X ( ( π 6 6 e 6 X m ( π 6 6 e 6 ( X C e m 6 X, gdze staªa C e zale»y od statystyk X (X,, X 6, a m jest w ksze od zera Zatem p (X/p (X jest emalej c fukcj statystyk T (X 6 X ªatwo pokaza,»e
Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w
DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE ateriały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Saochodów i Maszyn Roboczych studia inżyniersie prowadzący: gr inż. Sebastian Korcza część 5 płaszczyzna fazowa Poniższe ateriały tylo dla
WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ
43 Załącznik nr 4 WSKAZANIE OBSZARÓW OBJĘTYCH OCHRONĄ ŚCISŁĄ, CZYNNĄ I KRAJOBRAZOWĄ Lp. Rodzaj ochrony Lokalizacja 1) Powierzchnia ogółem w ha 1 Ochrona ścisła Oddziały 1b, 1c, 1d, 1f, 1g, 1h, 1i, 1j,
Reprezentacja krzywych...
Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc
Politechnika Poznańska
Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor:
Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
UWAGI O BILANSIE MASY I PĘDU W GRADIENTOWEJ TERMOMECHANICE
ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZEZYT 15/2015 Komsa Iżyer Budowlae Oddzał Polse Aadem Nau w Katowcach UWAGI O BILANIE MAY I PĘDU W GRADIENTOWEJ TERMOMECHANICE Ja KUBIK Wydzał Budowctwa Archtetury, Poltecha
PODSTAWY I ZASTOSOWANIA RACHUNKU TENSOROWEGO
PRACE PP FR REPOR /007 Jaa Ostrowsa - Maceewsa PODAWY ZAOOWANA RACHUNKU ENOROWEGO (Wyład a tudach Dotoracch w PP PAN) NYU PODAWOWYCH PROBLEMÓW ECHNK POLKEJ AKADEM NAUK WARZAWA 007 BN 978-8-89687-0-9 N
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań
KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.
Pojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k
Statystya Wyład Adam Ćmel A4 5 cmel@agh.edu.pl Pojęce statysty Pojęce statysty w statystyce matematyczej jest odpowedem pojęca zmeej losowej w rachuu prawdopodobeństwa. Nech X(X,...,X ) będze próbą z pewej
Twierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Zasady wyznaczania minimalnej wartości środków pobieranych przez uczestników od osób zlecających zawarcie transakcji na rynku terminowym
Załązn nr 3 Do zzegółowyh Zasad rowadzena Rozlzeń Transa rzez KDW_CC Zasady wyznazana mnmalne wartoś środów oberanyh rzez uzestnów od osób zleaąyh zaware transa na rynu termnowym 1. Metodologa wyznazana
WYKŁAD 7. MODELE OBIEKTÓW 3-D3 część Koncepcja krzywej sklejanej. Plan wykładu:
WYKŁAD 7 MODELE OIEKTÓW -D cęść Pla wkład: Kocepcja krwej sklejaej Jedorode krwe -sklejae ejedorode krwe -sklejae Powerche eera, -sklejae URS. Kocepcja krwej sklejaej Istotą praktcego pkt wdea wadą krwej
Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że
Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam
p Z(G). (G : Z({x i })),
3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W
Bajki kombinatoryczne
Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI
Poltechka Gdańska Wydzał Elektrotechk Automatyk Katedra Iżyer Systemów Sterowaa MODELOWANIE I PODSAWY IDENYFIKACI Wybrae zagadea z optymalzacj. Materały pomoccze do zajęć ćwczeowych 5 Opracowae: Kazmerz
Spis treści ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5
Ss treśc SPIS TREŚCI WYKŁAD 5 ZŁOŻONOŚĆ OBLICZEŃ 5 ELEMENTY TEORII ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ I PROBLEM DZIELNIKÓW 5 WYKŁAD 9 TESTY PIERWSZOŚCI I LICZBY PSEUDOPIERWSZE 9 LICZBY PSEUDOPIERWSZE EULERA WYKŁAD
Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje
Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa