MECHANKA KWANTOWA zacznij od tego. Józef E. Sienkiewicz S lawomir Telega

Transkrypt

1 MECHANKA KWANTOWA zacznij o tego Józef E. Sienkiewicz S lawomir Telega

2 2

3 Spis Treści 1 Wste ι p 5 2 Postawy matematyczne Przestrzeń Hilberta Operatory hermitowskie Komutatory Stara teoria kwantów Wzór Plancka Wzór Einsteina Zjawisko Comptona Atom Bohra Postulat Sommerfela-Wilsona Hipoteza e Broglie a Zasaa nieoznaczoności Heisenberga Postulaty mechaniki kwantowej 23 5 Stany stacjonarne Wartość oczekiwana w stanie stacjonarnym Ewolucja czasowa wartości oczekiwanej Ca lki ruchu Twierzenie Ehrenfesta Twierzenie wirialne Pakiety falowe Fala. Pre ι kość fazowa Pakiet. Pre ι kość grupowa Rozmywanie sie ι pakietu falowego Zasaa opowieniości Bohra 41 8 Zasaa zachowania prawopoobieństwa Równanie cia ι g lości

4 4 SPIS TREŚCI 9 Rozpraszanie na potencja lach Bariera potencja lu o skończonej wysokości i nieskończonej szerokości Bariera potencja lu o skończonej wysokości i skończonej szerokości Prostoka ι tna stunia potencja lu o skończonej g le ι bokości Stany parzyste i nieparzyste Liniowy oscylator harmoniczny Wartości w lasne i funkcje w lasne. Wielomiany Hermite a Funkcje tworza ι ce Moment pe ι u Moment pe ι u w mechanice kwantowej Moment pe ι u jako generator obrotów infinityzymalnych Wartości w lasne i funkcje w lasne (funkcje kuliste) Sztywny rotator Wimo pasmowe cza ι steczki wuatomowej Atom wooru Wartości w lasne i funkcje w lasne. Wielomiany Laguerre a Dyskusja otrzymanych wyników Notacja Diraca Funkcja uogólniona Delta Diraca Metoy przybliżone Rachunek zaburzeń la stanów niezegenerowanych Rachunek zaburzeń la stanów zegenerowanych Metoa wariacyjna Rachunek zaburzeń zależny o czasu Macierzowe uje ι cie mechaniki kwantowej Macierzowa reprezentacja funkcji i operatorów Oscylator harmoniczny Macierzowa postać operatorów ˆN, Ĥ, â + i â Spinowy moment pe ι u Ruch elektronu w ciele sta lym Potencja l perioyczny Fale Blocha Pasma energetyczne

5 Rozzia l 1 Wsteι p Celem pore ι cznika, który oajemy o ra ι k stuentów jest u latwienie stuiowania mechaniki kwantowej. Wyk lay z mechaniki kwantowej na Fizyce Technicznej trwaja ι przez jeen semestr i zajmuja ι trzy goziny tygoniowo. Ten w laśnie materia l zawarty w skrypcie należy potraktować jako wste ι p o stuiowania barziej zaawansowanych pore ι czników, których spis znajuje sie ι na końcu. Ponieważ naszym celem jest osia ι gnie ι cie użej jasności poszczególnych wywoów, cze ι sto używamy w trakcie oatkowych wyjaśnień. Wtey owó przerywany jest na znaku..., a naste ι pnie o tego znaku kontynuowany. Naszym zaaniem sa ι wa skrajne sposoby poejścia o stuiowania mechaniki kwantowej, a jest to ziezina ość zaskakuja ι ca i cia ι gle wprawiaja ι ca w zumienie i fascynacje ι wielu stuentów. Pierwszy sposób to próba zrozumienia wszystkiego o postaw. Nie polecamy tej metoy, a za poparcie niech nam pos luża ι s lowa jenego z twórców mechaniki kwantowej, laureata nagroy Nobla Murraya Gell-Manna,,Wspó lczesna ι fizyka ι rza ι zi imponuja ι ca i ba lamutna ziezina, zwana mechanika ι kwantowa ι, która ι wynaleziono pie ι ćziesia ι t lat temu. Przetrwa la ona wzystkie próby i przypuszczamy, że jest ona koncepcja ι prawi lowa ι. Nikt jej nie rozumie, ale wszyscy wieza ι, jak ja ι stosować i jak onosić o wszystkich zaganień. Nauczyliśmy sie ι wie ι c żyć ze świaomościa ι faktu, że nikt jej nie rozumie. Drugi sposób, praktyczny, polega na szczegó lowym rozpracowaniu poszczególnych zaganień w ramach przyje ι tych aksjomatów. Temu rugiemu poejściu ma s lużyć napisany przez nas skrypt. Chcielibyśmy gora ι co pozie ι kować prof. R. Szmytkowskiemu, r. inż. R. Signerskiemu oraz r. inż. M. Krośnickiemu, r inż. M. Gruchowskiemu, mgr inż. V. Konopińskiej i mgr inż. P. Kowalczykowi za przeczytanie manuskryptu oraz za cenne uwagi i yskusje prze oaniem tekstu o wyawnictwa. Józef E. Sienkiewicz S lawomir Telega 5

6 6 ROZDZIA L 1. WSTE ι P

7 Rozzia l 2 Postawy matematyczne 2.1 Przestrzeń Hilberta Definicja Cia ι g wektorów ϕ 1, ϕ 2,... należa ι cy o anej przestrzeni wektorowej Ω nazywamy postawowym (spe lniaja ι cym warunek Cauchy ego) ze wzgle ι u na norme ι, jeżeli la każego ε > 0 istnieje liczba naturalna N, taka że ϕ m ϕ n < ε (2.1.1) la wszystkich m, n > N. Definicja Przestrzeń wektorowa ι nazywamy zupe lna ι ze wzgle ι u na norme ι, jeżeli każy cia ι g postawowy wektorów ϕ 1, ϕ 2,... tej przestrzeni ma granice ι należa ι ca ι o tej przestrzeni, a wie ι c jeżeli istnieje wektor ϕ należa ι cy o tej przestrzeni, taki że lim ϕ n ϕ = 0. (2.1.2) n Definicja Abstrakcyjna ι przestrzenia ι Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorowa ι, w której 1 o zefiniowany jest iloczyn skalarny ϕ ψ C (ϕ, ψ H) spe lniaja ι cy poniższe warunki: aϕ ψ = a ϕ ψ, a C (2.1.3) ϕ ψ = ψ ϕ (2.1.4) (ϕ 1 + ϕ 2 ) ψ = ϕ 1 ψ + ϕ 2 ψ (2.1.5) ϕ ϕ 0 (2.1.6) 2 o zefiniowana jest norma jako ϕ = ϕ ϕ (2.1.7) 7

8 8 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 3 o zachozi zupe lność ze wzgle ι u na określona ι w niej norme ι. Każy element przestrzeni Hilberta a sie ι kombinacja liniowa wektorów bazy Ψ = i zapisać jako skończona lub nieskończona a i ϕ i, (2.1.8) gzie {ϕ i } i=1,2,... jest uk laem ortonormalnym, tzn. la owolnych i oraz j ϕ i ϕ j = δ ij, (2.1.9) gzie δ ij oznacza elte ι Kroneckera. Taki uk la bazowy nazywa sie ι zupe lny. Pomnożymy wzór (2.1.8) lewostronnie skalarnie przez ϕ n, ϕ n Ψ = ϕ n i a i ϕ i, ϕ n i a i ϕ i = i a i ϕ n ϕ i = i a i δ ni = a n a i = ϕ i Ψ. (2.1.10) Ważnym la nas przyk laem przestrzeni Hilberta jest przestrzeń oznaczana jako L 2. Jej elementami sa ι funkcje, które sa ι ca lkowalne z kwaratem mou lu, tzn. np. w przypaku jenowymiarowym: + ϕ(x) 2 x <. (2.1.11) Iloczyn skalarny w przestrzeni L 2, spe lniaja ι cy wymienione wyżej aksjomaty, any jest wzorem: ψ ϕ = Operatory hermitowskie ψ (x)ϕ(x) x. (2.1.12) Definicja Operatorem sprze ι żonym hermitowsko o anego operatora  jest taki operator ˆB, który la elementów ψ, ϕ z zieziny operatorów  i ˆB spe lnia naste ι puja ι ca ι zależność: ψ Âϕ = ˆBψ ϕ. (2.2.1) Ostatnia zależność w przestrzeni L 2 ma postać: + + ψ (x)âϕ(x) x = ( ˆBψ(x)) ϕ(x) x. (2.2.2) Fakt, że ˆB jest sprze ι żony hermitowsko o  zapisujemy Â+ = ˆB. Definicja Operatorem hermitowskim nazywamy operator, który jest samosprze ι żony, tzn.  + = Â, (2.2.3)

9 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 9 przy czym zak laamy, że zieziny operatorów  i Â+ sa ι takie same. Dla operatora hermitowskiego ϕ Âψ = Âϕ ψ. (2.2.4) W mechanice kwantowej używamy operatorów, które sa ι : 1 o liniowe, tzn. Â(aψ 1 + bψ 2 ) = aâψ 1 + bâψ 2 (2.2.5) la owolnych funkcji ψ 1, ψ 2 H, przy czym sta le a i b sa ι liczbami zespolonymi. 2 o hermitowskie czyli samosprze ι żone. Przyk la Uowonić, że operator ˆp x = i h jest operatorem hermitowskim na ziezinie x funkcji które znikaja ι la x ±. Rozwia ι zanie Musimy uowonić, że ϕ ˆp x ψ = ˆp x ϕ ψ Mamy +i h = ϕ ˆp x ψ = ( ) x ϕ (x) ( i h x ϕ(x) ϕ (x)ˆp x ψ(x) x = i hϕ (x)ψ(x) + + ψ(x) x = i h ) ψ(x) x = = ˆp x ϕ ψ. + + ( ) x ϕ(x) ψ(x) x = (ˆp x ϕ(x)) ψ(x) x = Teraz zajmiemy sie ι w lasnościami operatorów sprze ι żonych. Latwo jest pokazać, że Drugi ze wzorów jest naste ι puja ι cy Przeprowaźmy owó. napisać Niech Ĉ =  ˆB. Wówczas ( + ˆB) + = Â+ + ˆB +. (2.2.6) ( ˆB) + = ˆB +  +. (2.2.7) Korzystaja ι c z efinicji sprze ι żenia operatorów, możemy Ψ ĈΦ = Ĉ+ Ψ Φ. Ψ Â ˆBΦ = ( ˆB) + Ψ Φ. Przekszta lćmy lewa ι strone ι powyższego równania, korzystaja ι c z efinicji operatorów sprze ι żonych Ψ Â ˆBΦ = Â+ Ψ ˆBΦ = ˆB +  + Ψ Φ.

10 10 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE To powinno być równe prawej stronie L = P ˆB +  + Ψ Φ = ( ˆB) + Ψ Φ ( ˆB) + = ˆB +  +, c.n.w. W przypaku operatorów hermitowskich wiemy, że  = Â+ i ˆB = ˆB+, czyli Niech teraz ˆB = Â, sta ι ( ˆB) + = ˆBÂ. (ÂÂ)+ = (Â2 ) + = Â2, czyli kwarat operatora Hermitowskiego jest też operatorem Hermitowskim. Rozważmy funkcje ι f(x) L 2 be ι a ι ca ι nato funkcja ι rzeczywista ι, to znaczy, że f(x) = f (x). Zefinujmy operator ˆF ˆF ψ(x) = f(x)ψ(x), ψ(x) L 2. Wykażemy, że ˆF jest operatorem hermitowskim, czyli, że ˆF + = ˆF. Musimy wykazać, że zachozi poniższa równość Zacznijmy o lewej strony ψ ˆF ϕ = + ψ ˆF ϕ = ˆF ψ ϕ. ψ (x) ˆF ϕ(x) x = + ψ (x)f(x)ϕ(x) x = Zajmijmy sie ι = + (f(x)ψ(x)) ϕ(x) x = ˆF ψ ϕ c.n.w. teraz w lasnościami operatorów hermitowskich. W wyniku zia lania operatora  na jaka ιś funkcje ι ostajemy inna ι funkcje ι Âϕ = ψ, ϕ, ψ H. (2.2.8) Czasami może sie ι zarzyć, że Âϕ = aϕ, ϕ / 0, (2.2.9) gzie a jest liczba ι. Jest to tak zwane równanie w lasne operatora Â, przy czym a jest wartościa ι w lasna ι, a ϕ jest opowiaaja ι ca ι jej funkcja ι w lasna ι. Twierzenie 1 Wartości w lasne operatorów hermitowskich sa ι rzeczywiste. Dowó Weźmy operator hermitowski  = Â+ i opowiaaja ι ce mu równanie w lasne Âϕ = aϕ.

11 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 11 Chcemy wykazać, że a = a. Ponieważ operator  jest hermitowski, wolno nam napisać, że ϕ Âϕ = Âϕ ϕ. Przekszta lćmy najpierw lewa ι strone ι powyższej równości Teraz zajmijmy sie ι prawa ι strona ι L = ϕ Âϕ = ϕ aϕ = a ϕ ϕ. P = Âϕ ϕ = aϕ ϕ = a ϕ ϕ. Ponieważ lewa strona musi równać sie ι prawej sta ι mamy, że L = P a ϕ ϕ = a ϕ ϕ a = a, c.n.w. Twierzenie 2 Funkcje w lasne operatora hermitowskiego należa ι ce o różnych wartości w lasnych sa ι o siebie wzajemnie ortogonalne. Dowó Weżmy operator hermitowski  = Â+. Zapiszmy równania w lasne tego operatora la wóch różnych wartości wartości w lasnych Musimy wykazać, że Âϕ l = a l ϕ l, Âϕ n = a n ϕ n. ϕ l ϕ n = 0. Wyjźmy z efinicji hermitowskości operatora  Przekszta lćmy lewa ι strone ι ϕ l Âϕ n = Âϕ l ϕ n. L = ϕ l Âϕ n = ϕ l a n ϕ n = a n ϕ l ϕ n, a teraz prawa ι strone ι P = Âϕl ϕn = alϕl ϕn = a l ϕ l ϕ n. Ponieważ, jak to wcześniej wykazaliśmy, wartości w lasne operatora hermitowskiego, sa ι rzeczywiste, to P = a l ϕ l ϕ n. Przyrównuja ι c o siebie obie strony mamy L = P a n ϕ l ϕ n = a l ϕ l ϕ n. Przenosza ι c wszystko na lewa ι strone ι otrzymujemy Z za lożenia wiemy, że a n a l, ska ι (a n a l ) ϕ l ϕ n = 0. ϕ l ϕ n = 0, c.n.w.

12 12 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 2.3 Komutatory Definicja Komutatorem wóch operatorów  i ˆB nazywamy operator: [Â, ˆB] =  ˆB ˆBÂ. (2.3.1) W ogólności Gy czyli [Â, ˆB] 0. (2.3.2) [Â, ˆB] = 0, (2.3.3)  ˆB = ˆBÂ. (2.3.4) to mówimy, że operatory  i ˆB komutujaι ze soba ι (sa ι przemienne). Wprowaźmy poje ι cie śreniego ochylenia stanarowego zefiniowane la pewnej wartości a jako a = (a a ) 2. (2.5) Jeżeli [Â, ˆB] = 0, to wtey obserwable zwia ι zane z tymi operatorami sa ι zgone. Na przyk la: [ˆx, ˆp y ] = 0 x p y 0. Jeżeli [Â, ˆB] 0, to mamy na przyk la: Przyk la Obliczyć komutator Rozwia ι zanie: [ˆx, ˆp x ] = i h x p x h 2. [ˆx, ˆp x ]. ˆp x = i h x ˆx = x [ˆx, ˆp x ]ϕ(x) = (ˆxˆp x ˆp xˆx)ϕ(x) = ˆxˆp x ϕ(x) ˆp xˆxϕ(x) = x( i h x ϕ(x)) +i h (xϕ(x)) = i hx ϕ(x) + i hϕ(x) + i hx ϕ(x) = i hϕ(x) x x x [ˆx, ˆp x ] = i h. Twierzenie Jeżeli operatory  i ˆB komutujaι ze soba ι to istnieja ι funkcje, które sa ι jenoczesnymi funkcjami w lasnymi obu operatorów (w przypaku egeneracji nie każa funkcja w lasna operatora ˆB jest funkcja ι w lasna ι operatora Â!). Dowó (s luszny w przypaku, gy a jest niezegenerowana ι wartościa ι w lasna ι ) Z za lożenia mamy:  ˆB = ˆB Âϕ = aϕ.

13 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 13 Zazia lajmy na obie strony powyższego równania lewostronnie operatorem ˆB. ˆBÂϕ = ˆBaϕ Â( ˆBϕ) = a( ˆBϕ) ˆBϕ = bϕ, a, b C c.n.w. Ostatnie przejście polega na zauważeniu, że ˆBϕ jest funkcja ι w lasna ι operatora  przy tej samej wartości w lasnej a, co w przypaku funkcji w lasnej ϕ. Sta ι wniosek, że ˆBϕ i ϕ moga ι jeynie różnić sie ι o pewien czynnik liczbowy. W przestrzeni Hilberta oznacza to, że ˆBϕ i ϕ posiaaja ι ten sam,,kierunek, choć moga ι mieć różne lugości.

14 14 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE

15 Rozzia l 3 Stara teoria kwantów 3.1 Wzór Plancka Zefiniujmy cia lo oskonale czarne jako cia lo poch laniaja ι ce ca le paaja ι ce na nie promieniowanie. Fizyczna ι realizacja ι cia la oskonale czarnego jest zamknie ι te nieprzezroczyste pue lko z ma lym otworkiem, be ι a ι ce os lona ι la promieniowania. Jeżeli promieniowanie wewna ι trz pue lka jest w równowaze to jest to promieniowanie cia la oskonale czarnego. Ge ι stość energii u wypromieniowanej w jenostce czasu przez cia lo oskonale czarne określona jest prawem Stefana-Boltzmana u = σt 4, (3.1.1) przy czym T oznacza temperature ι bezwzgle ι na ι cia la, a σ jest pewna ι sta la ι. Z oświaczenia wiaomo, że ge ι stość energii wypromieniowanej w jenostce czasu w przeziale cze ι stości o ν o ν + ν jest proporcjonalna o ν i zależy o cze ι stości i o temperatury promieniowania, a zatem można zapisać ja ι w postaci u(ν, T )ν. (3.2) Wyste ι puja ι ca w powyższym wzorze funkcja u(ν, T ) nosi nazwe ι funkcji rozk lau. Pierwszym wzorem otrzymanym w oparciu o klasyczna ι elektroynamike ι i klasyczna ι fizyke ι statystyczna ι by l wzór Rayleigha-Jeansa u(ν, T ) = 8πν2 c 3 kt, (3.1.3) gzie ν oznacza cze ι stość promieniowania, c oznacza pre ι kość świat la, a k to sta la Boltzmana. Jenak wzór ten nie jest prawziwy gyż la użych cze ι stości mamy tak zwana ι katastrofe ι w nafiolecie(ν u ). Osoba ι która rozwia ι za la ten problem by l Max Planck (Max Planck,,,Berliner Berichte, Dezember 14, 1900) wprowazaja ι c poje ι cie kwantu energii. Wtey to po raz pierwszy pojawi lo sie ι określenie kwant, czyli porcja, ke ι s. W swoich rozważaniach Planck przyja ι l ziwna ι na owe czasy hipoteze ι, że energia może być poch laniana i wysy lana tylko w sposób niecia ι g ly, w kwantach wielkości hν, gzie h jest sta la ι zwana ι ziś sta la ι Plancka. Niemniej jenak uważa l on, że pole elektromagnetyczne jest 15

16 16 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW cia ι g le i że przep lyw energii przez pole obywa sie ι w sposób cia ι g ly. Zaproponowany przez niego wzór na ge ι stość energii promieniowania jest postaci u(ν, T ) = 8πν2 c 3 e hν hν kt 1. (3.1.4) Dla ma lych cze ι stości można wykazać, korzystaja ι c z rozwinie ι cia w szereg funkcji e x, że wzór Plancka przechozi we wzór Rayleigha-Jeansa. Na poniższym wykresie wiać katastrofe ι w nafiolecie wzoru Rayleigha-Jeansa (krzywa R--J), oraz wie krzywe opowiaaja ι ce wzorowi Plancka la wóch różnych temperatur T 1 i T 2, przy czym T 1 < T 2. u(ν, T ) R J T 2 T 1 Rys. 1 Promienowanie cia la oskonale czarnego. 3.2 Wzór Einsteina W roku 1888 Hertz okry l zjawisko fotoelektryczne. Polega ono na wybijaniu elektronów z metalu przez promieniowanie. Nieco później Lenar na roze oświaczenia wykaza l, że liczba fotoelektronów (elektronów wybijanych z metalu przez świat lo) jest proporcjonalna o nate ι żenia świat la, i że maksymalna pre ι kość fotoelektronów (a wie ι c i energia) nie zależy o nate ι żenia paaja ι cego świat la, a tylko o jego cze ι stości. Drugi z powyższych faktów by l niemożliwy o wykazania metoami klasycznymi, a także przy pomocy hipotezy Plancka. Powyższy problem zosta l rozwia ι zany w 1905 roku przez Alberta Einsteina (Albert Einstein,,,Annalen er Physik 17, 132 (1905)), który zapostulowa l, że przenoszenie energii w polu elektromagnetycznym również jest niecia ι g le i obywa sie ι w porcjach zwanych fotonami (kwantami świetlnymi). Einstein za loży l, że foton, paaja ι c na powierzchnie ι metalu, zerza sie ι z jenym z elektronów, przekazuja ι c mu ca la swoja ι energie ι. Dzie ι ki uzyskanej energii elektron jest w stanie uwolnić sie ι z metalu (czyli wykonać prace ι wyjścia W ) i otrzymać pewna ι pre ι kość. Progowa ι energia ι jest energia równa pracy wyjścia, która pozwala na uwolnienie elektronu z metalu bez naania mu pre ι kości. Proces ten opisywany jest wzorem Einsteina hν = mv2 2 ν + W, (3.2.1)

17 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW 17 gzie m oznacza mase ι elektronu, a v jego pre ι kość. 3.3 Zjawisko Comptona Zjawiskiem Comptona nazywamy rozpraszanie promieniowania elektromagnetycznego (fotonów) na swobonych (lub s labo zwia ι zanych) elektronach. W roku 1921 Arthur Compton zaobserwowa l, że w promieniowaniu rozproszonym oprócz oczekiwanego promieniowania o niezmienionej lugości fali wyste ι puje też cze ι ść o zmienionej lugości fali. W swoich rozważaniach Compton potraktowa l to zjawisko jako zerzenie cza ι stki (fotonu) z elektronem, przyjmuja ι c, że oprócz zasay zachowania energii spe lniona jest również zasaa zachowania pe ι u, i że fotonowi przypisany jest pe ι, którego wartość bezwzgle ι na wynosi p = E c = hν c. (3.3.1) Zmiane ι lugości fali można opisać wzorem (niezależnym o materia lu tarczy) Λ = Λ C (1 cos ϑ) (3.3.2) gzie Λ C oznacza tzw. comptonowska ι lugość fali i wynosi 0, 024 Angstrema, natomiast ϑ oznacza ka ι t rozpraszania. Ważnym faktem jest to, że wartość Λ nie zależy o pierwotnej lugości fali promieniowania. 3.4 Atom Bohra Jakkolwiek obecnie stosuje sie ι kwantowe poejście oparte na równaniach Schröingera lub Diraca, to moel atomu Nielsa Bohra by l pierwszym moelem atomu (lub jonu) jenoelektronowego, który w miare ι satysfakcjonuja ι cy sposób t lumaczy l buowe ι atomu. W swojej pracy Bohr wysze l z planetarnego moelu atomu Rutherfora, w którym elektron kra ι ży l po ko lowej lub eliptycznej orbicie wokó l cie ι żkiego ja ι ra, jenak zaproponowa l kilka barzo ziwnych jak na owe czasy postulatów. Cytuja ι c za Cooperem [Leon N. Cooper, Istota i struktura fizyki, PWN, Warszawa 1975, str. 519],,w wyg laszaniu stwierzeń sprzecznych z elektroynamika ι Maxwella i mechanika ι Newtona kry la sie ι pewna zarozumia lość, ale Bohr by l m loy. Zacytujmy te postulaty. 1) W atomie wooru elektron kra ι ży wokó l ja ι ra ruchem ko lowym spowoowanym si la coulombowska ι zgonie z prawami ruch Newtona. 2) Dozwolone sa ι jeynie te orbity, la których moment pe ι u L jest ca lkowita ι wielokrotnościa ι h = h 2π L = n h, n = 1, 2, 3,... 3) Elektron kra ι ża ι cy po ozwolonej orbicie, w niezgozie z elektroynamika ι klasyczna ι, nie promieniuje energii.

18 18 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW 4) Elektron przy przejściu z orbity o wyższej energi E a na orbite ι o niższej energii E b emituje foton o energii E a b = hν a b = E a E b. (3.4.1) Energia elektronu znajuja ι cego sie ι na n-tej orbicie wynosi E n = mv2 n 2 Ze2 r n = RZ2 n 2, (3.4.2) przy czym v n oznacza pre ι kość elektronu na n-tej orbicie, r n jej promień, natomiast R oznacza sta la ι Ryberga R = me4 2 13, 6 ev. (3.4.3) 2 h 3.5 Postulat Sommerfela-Wilsona Moel atomu Bohra zosta l uogólniony na przypaek torów eliptycznych przez urozonego w Królewcu Arnola Sommerfela. Zamieni l on warunek kwantowy Bohra L = n h na barziej ogólny zwany ziś warunkiem kwantowym Sommerfela-Wilsona. Za lóżmy, że mamy uk la o f stopniach swoboy opisywany przez wspó lrze ι ne uogólnione q 1, q 2,..., q f i pe ι y uogólnione p 1, p 2,..., p f. Sommerfel zapostulowa l, że la każego stopnia swoboy na torze stacjonarnym p l q l = nh, l = 1,..., f (3.5.1) przy czym n jest liczba ι ca lkowita ι, a symbol oznacza ca lke ι po konturze zamknie ι tym (tu po orbicie). Wykażemy, że w przypaku orbity ko lowej warunek kwantowy Sommerfela-Wilsona przechzi w warunek kwantowy Bohra. Wiemy, że energia uk lau ana jest wzorem E = mv2 2 Ze2 r (3.5.2) Pre ι kość punktu poruszaja ι cego sie ι po okre ι gu o promieniu r ana jest wzorem v = r ϕ, (3.5.3) przy czym ϕ oznacza pre ι kość ka ι towa ι. Postawiaja ι c to o wzoru na energie ι mamy E = mr2 ϕ 2 2 Ze2 r. (3.5.4) Z mechaniki teoretycznej wiemy, że pe ι uogólniony any jest wzorem p l = L ϕ. (3.5.5)

19 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW 19 W naszym przypaku l = 1, ponieważ mamy jeen stopień swoboy. Wyste ι puja ι ce we wzorze L oznacza lagrangian zefiniowany jako różnica energii kinetycznej i energii potencjalnej L = E k V = mr2 ϕ 2 ( ) Ze2 2 r W naszym przypaku wspó lrze ι na uogólniona q 1 uogólniony any jest wzorem = mr2 ϕ 2 2 p l = L ϕ = ( mr2 ϕ 2 ) + Ze2 = mr 2 ϕ 2 ϕ 2 r ϕ 2 = mr 2 ϕ. + Ze2 r. (3.5.6) = ϕ, sta ι q 1 = ϕ. Czyli pe ι Wstawiamy to o warunku kwantowania Sommerfela-Wilsona i mamy Sta ι ostajemy co jest równe Wiemy jenak, że 2π 0 mr 2 ϕ ϕ = nh. 2π mr 2 ϕ 0 ϕ = nh, 2πmr 2 ϕ = nh. mr 2 ϕ = mvr = L oraz h 2π = h. Po postawieniu ostajemy warunek kwantowy Bohra L = n h, n = 1, 2,.... = 3.6 Hipoteza e Broglie a Do pocza ι tków XIX wieku świat lo by lo uważane za szybko poruszaja ι ce sie ι cza ι stki (korpusku ly). W roku 1801 oświaczalne baanie interferencji zmieni lo ten pogla ι i sugerowa lo falowa ι nature ι świat la. Hipoteza cza ι stkowej natury świat la zosta la zarzucona o roku 1923, kiey to Arthur Compton okry l, że kwanty promieniowania X maja ι pe ι i energie ι. W sumie pokazano, że świat lo posiaa zarówno cechy falowe, jak i cechy cza ι steczkowe. W roku 1924 ksia ι że ι Louis e Broglie opublikowa l swoja ι prace ι oktorska ι po tytu lem,,baania na teoria ι kwantów, w której postulowa l, że ponieważ świat lo wykazuje wiele w laściwości korpuskularnych, to cza ι stki (elektrony), ze wzgle ι u na symetrie ι w przyrozie, powinny wykazywać w laściwości falowe. Te iee zosta ly uowonione oświaczalnie już w roku 1924, gy wykazano,

20 20 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW że elektrony, tak jak świat lo, moga ι ulegać yfrakcji. W swoich pracach Max Planck stwierzi l, że energia fotonu (cza ι stki świetlnej) wyrażona jest wzorem E = hν, gzie ν wyraża cze ι stość fotonu, przy czym ca la energia jest energia ι kinetyczna ι. Arthur Compton okry l, że falom świetlnym można przypisać pe ι i że energie ι fotonu można przestawić w postaci E = pc, gzie p jest pe ι em przyporza ι kowanym fotonowi, a c oznacza pre ι kość świat la w próżni. Korzystaja ι c z tych wóch wzorów wolno nam napisać, że Korzystamy ze zwia ι zku c ν p = hν c = λ, gzie λ oznacza lugość fali i mamy (3.6.1) p = h λ. (3.6.2) Wzór ten może sie ι na pocza ι tku wyawać nieco ziwny, bowiem laczy on w lasność cza ι steczki jaka ι jest pe ι p z w lasnościami typowo falowymi, jak lugość fali λ, czy cze ι stość ν. Korzystaja ι c z tego wzoru i kieruja ι c sie ι symetria ι przyroy, e Broglie wysuna ι l hipoteze ι, że skoro fala jaka ι jest świat lo może wykazywać w lasności w laściwe la cza ι stek, to cza ι stki (elektrony) powinny wykazywać w lasności falowe.wolno zatem napisać, że pe ι elektronu wynosi p = mv = h λ (3.6.3) przy czym v oznacza pre ι kość elektronu, a m jest jego masa ι relatywistyczna ι. Z powyższej równości barzo latwo możemy otrzymać lugość fali przyporza ι kowanej elektronowi λ = h mv = h p. (3.6.4) W swojej pracy e Broglie zajmowa l sie ι elektronami, ale powyższe rozważania możemy rozszerzyć na owolne cia lo materialne. 3.7 Zasaa nieoznaczoności Heisenberga Heisenberg zapostulowa l, że istnieja ι wartości, których jenoczesny ok lany pomiar na poziomie kwantowym jest niemożliwy. Pary takie nazywamy parami komplementarnymi. Do takich par należa ι pe ι cza ι stki i jej po lożenie, la których zachozi tzw. relacja nieoznaczoności x p x h 2. (3.7.1) Analizuja ι c powyższy wzór możemy stwierzić, że gy znamy ok lanie pe ι cza ι stki, to nie możemy nic powiezieć na temat miejsca, w którym sie ι ona znajuje. Innymi

21 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW 21 parami komplementarnymi sa ι na przyk la (y, p y ), (z, p z ), energia i czas (E, t) oraz sk laowe momentu pe ι u (L x, L y ). Natomiast o par niekomplementarnych, czyli zgonych zaliczamy (L 2, L x ), wspó lrze ι ne po lożenia (x, y), lub też (p x, z). Zajmijmy sie ι teraz nierównościa ι, która w szczególnym przypaku przechozi w zasae ι nieoznaczoności Heisenberga. Niech  i ˆB beι a ι operatorami hermitowskimi spe lniaja ι cymi zwia ι zek komutacyjny [Â, ˆB] = iĉ. (3.7.2) Z analizy funkcjonalnej wiemy, że norma jest zawsze wie ι ksza lub równa zeru, czyli wolno nam napisać, że ( + iλ ˆB)ψ 2 = ( + iλ ˆB)ψ ( + iλ ˆB)ψ 0, (3.7.3) przy czym λ jest pewna ι sta la ι rzeczywista ι. Rozpisuja ι c lewa ι strone ι powyższej nierówności, mamy co jest równoważne Âψ Âψ + Âψ iλ ˆBψ + iλ ˆBψ Âψ + iλ ˆBψ iλ ˆBψ 0, Âψ Âψ + iλ( Âψ ˆBψ ˆBψ Âψ ) + λ2 ˆBψ ˆBψ 0. Uporza ι kujmy to wyrażenie wzgle ι em pote ι g λ λ 2 ˆBψ ˆBψ + λi( Âψ ˆBψ ˆBψ Âψ ) + Âψ Âψ 0. Aby ta nierówność by la prawziwa, to wyróżnik opowiaaja ι cego jej równania kwaratowego powinien być mniejszy ba ι ź równy zeru. Mamy [i( Âψ ˆBψ ˆBψ Âψ )]2 4 ˆBψ ˆBψ Âψ Âψ 0. Korzystaja ι c z hermitowskości operatorów  i ˆB, możemy przekszta lcić pierwszy cz lon w powyższym wzorze Âψ ˆBψ ˆBψ Âψ = ψ  ˆBψ ψ ˆBÂψ = ψ ( ˆB ˆBÂ)ψ = ψ [Â, ˆB]ψ. Natomiast rugi z cz lonów możemy zapisać, korzystaja ι c również z hermitowskości, jako ˆBψ ˆBψ Âψ Âψ = ψ ˆB 2 ψ ψ Â2 ψ. Korzystaja ι c z tych obliczeń, możemy zapisać nasza ι nierówność jako [i ψ [Â, ˆB]ψ ] 2 4 ψ ˆB 2 ψ ψ Â2 ψ 0. Pamie ι tamy, że la anego operatora srenia ι Ô, czyli ostajemy Ô wyrażenie ψ Ôψ opisuje jego wartość [i [Â, ˆB] ] 2 4 ˆB 2 Â2 0.

22 22 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW Sta ι po prostych przekszta lceniach ochozimy o wzoru ˆB 2 Â2 1 2 [i [Â, ˆB] ] 4 Ponosimy obie strony o pote ι gi 1 2 Zasta ι pmy teraz  i ˆB przez  i ˆB ˆB 2 Â2 1 2 [i [Â, ˆB] ] 2. ( ˆB) 2 ( Â)2 1 2 [i [ Â, ˆB] ] 2. Komutator wyste ι puja ι cy po prawej stronie powyższej nierówności możemy zapisać jako [ Â, ˆB] = [ Â, ˆB ˆB ] = [Â, ˆB] [Â, ˆB ] [ Â, ˆB] + [ Â, ˆB ]. Ponieważ  i ˆB sa ι liczbami, to trzy ostatnie komutatory sa ι równe zeru i w rezultacie ostajemy [ Â, ˆB] = [Â, ˆB] = iĉ. (3.7.4) Po wstawieniu otrzymanego wyniku o rozważanej przez nas nierówności ochozimy o wyrażenia ( ˆB) 2 ( Â)2 1 Ĉ. (3.7.5) 2 W praktyce cze ι sto oznaczamy przez O, sta ι wolno nam napisać, że ( Ô)2 A B 1 2 Ĉ. Wstawmy teraz zamiast operatorów  i ˆB operatory ˆx i ˆp. Wiemy, że [ˆx, ˆp] = i h. Wstawiaja ι c to o otrzymanej przez nas postacinierówności ostajemy x p 1 2 h, czyli jena ι z postaci zasay nieoznaczoności Heisenberga.

23 Rozzia l 4 Postulaty mechaniki kwantowej Postulat 1. Obserwable i operatory. Każej obserwabli A w fizyce, takiej jak pe ι, energia, moment pe ι u czy liczba cza ι stek, można przyporza ι kować operator hermitowski Â. Wartość pomiaru anej obserwabli jest wartościa ι w lasna ι operatora Â, pochoza ιca ι z równania w lasnego Âϕ a = aϕ a. (4.0.1) Postulat 2. Pomiar w mechanice kwantowej. Jeżeli w wyniku pomiaru obserwabli A otrzymamy wartość a, to stan mierzonego uk lau pozostanie opisany funkcja ι ϕ a, która jest funkcja ι w lasna ι operatora Â. Postulat 3. Funkcja stanu i wartość oczekiwana. Stan uk lau jest opisany funkcja ι falowa ι Ψ(x, t), która jest cia ι g la i różniczkowalna. Wartość oczekiwana pomiaru obserwabli w tym stanie określona jest wzorem A = + Wartość oczekiwana jest wartościa ι śrenia ι. Postulat 4. Ewolucja czasowa. Ψ (x, t)âψ(x, t) x. (4.0.2) Ewolucja czasowa funkcji falowej opisana jest równaniem Schröingera i h Ψ = ĤΨ. (4.0.3) t Dla n cza ι stek Ψ = Ψ( r 1, r 2,,..., r n, t). Dla jenej cza ι stki Ψ = Ψ( r, t). Dla jenej cza ι stki, ale w przypaku jenowymiarowym Ψ = Ψ(x, t). Postulat Borna. 23

24 24 ROZDZIA L 4. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ Interpretacja funkcji falowej zosta la poana przez Maxa Borna. Dla przypaku jenowymiarowego Ψ(x) 2 określa ge ι stość prawopoobieństwa znalezienia cza ι steczki w przeziale [x, x+x], natomiast Ψ(x) 2 x jest prawopoobieństwem znalezienia cza ι steczki w przeziale [x, x + x]. Ponieważ cza ι stka na pewno jest gzieś zlokalizowana, to z powyższej interpretacji otrzymujemy warunek normalizacyjny + Ψ 2 x = 1, Ψ L 2. (4.0.4) Równanie Schröingera jest równaniem liniowym, tzn. jeżeli ψ i ϕ sa ι rozwia ι zaniami równania (4.0.3), to αψ + βϕ, gzie α, β C, również, jest rozwia ι zaniem tego równania. Niech rozwia ι zanie równania Schröingera be ι zie równe Ψ = αψ i α = α e iϕ, gzie e iϕ jest czynnikiem fazowym. Wspó lczynnik normalizacyjny α jest określony z ok lanościa ι o czynnika fazowego. Dowó Korzystaja ι c z warunku normalizacyjnego możemy napisać 1 = + Ψ 2 x = + = α α + + Ψ 2 x = 1, αψ 2 x = + (αψ) (αψ) x = + ψ ψ x = α e iϕ α e iϕ ψ 2 x = + = α 2 ψ 2 x α = Zwykle wybieramy e iϕ = 1 i wtey α = α. 1 + ψ 2 x.

25 Rozzia l 5 Stany stacjonarne 5.1 Wartość oczekiwana w stanie stacjonarnym Za lóżmy, że operator Hamiltona Ĥ jest niezależny o czasu, tzn. Ĥ t Rozwia ι żmy równanie Schröingera z czasem gzie ĤΨ = i h t Ψ, = 0. (5.1.1) Ĥ = h2 + V (x) (5.1.2) 2m x2 Za lóżmy, że rozwia ι zanie tego równania jest postaci Wstawiaja ι c je o równania, otrzymujemy 2 Ψ(x, t) = Φ(x)T (t). (5.1.3) Ĥ(Φ(x)T (t)) = i h (Φ(x)T (t)), t co jest równoważne T (t)ĥφ(x) = i hφ(x) t T (t). Dzielimy lewostronnie obie strony przez Φ(x)T (t) 1 1 = i h Φ(x)ĤΦ(x) T (t) t T (t). Ponieważ obie strony równania sa ι funkcjami różnych zmiennych i stoi pomie ι zy nimi znak równości, wnioskujemy, że musza ι być one równe pewnej sta lej, zwanej sta la ι separacji. Oznaczmy ja ι przez E, 1 1 = i h T (t) = E. Φ(x)ĤΦ(x) T (t) t 25

26 26 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE Dostajemy sta ι wa równania, z których pierwsze można przepisać w postaci E = 1 Φ(x)ĤΦ(x) ĤΦ(x) = EΦ(x). (5.1.4) Jest to równanie w lasne la niezależnego o czasu operatora Hamiltona Ĥ, znane jako niezależne o czasu równanie Schröingera. W wyniku jego rozwia ι zania ostajemy wartości w lasne E n i opowiaaja ι ce im funkcje w lasne Φ n (x), czyli ĤΦ n (x) = E n Φ n (x), n = 1, 2,... (5.1.5) Teraz zajmijmy sie ι rugim równaniem E = i h 1 T (t) t T (t) t T (t) = iē T (t). (5.1.6) h Korzystaja ι c z teorii równań różniczkowych zwyczajnych wiemy, że rozwia ι zniem tego równania jest funkcja postaci T (t) = Ae i Ē h t. (5.1.7) Z rozwia ι zania niezależnego o czasu równania Schröingera mamy wartości w lasne energii E n, czyli En i T (t) = Ae h t. (5.1.8) Wiemy, że Ostatecznie mamy E n = ω n h ω n = E n h. (5.1.9) T (t) = Ae iω nt. (5.1.10) Tak wie ι c rozwia ι zanie równania Schröingera z czasem wynosi Funkcja ta opisuje uk la w stanie stacjonarnym. Ψ n (x, t) = AΦ n (x)e iω nt. (5.1.11) 5.2 Ewolucja czasowa wartości oczekiwanej Niech nasz uk la znajuje sie ι w stanie stacjonarnym opisywanym funkcja ι Ψ n (x, t) = AΦ n (x)e iω nt. (5.2.1) Dla chwili t = 0 mamy Ψ n (x, t = 0) = AΦ n (x). (5.2.2)

27 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE 27 Wprowaźmy operator postaci i zazia lajmy nim na funkcje ι Ψ n (x, 0) e it h Ĥ (5.2.3) Z efinicji funkcji e x wiemy, że e it h ĤΨ n (x, 0) = Ae it h ĤΦ n (x) =... e x = n=0 x n n! = 1 + x x (5.2.4) Skorzystajmy z tego rozwinie ι cia ( (... = A 1 + it ) h Ĥ + 1 ( it ) 2 2 h Ĥ +...) Φ n (x) = ( = AΦ n (x) + A it ) ĤΦn (x) + 1 ( it ) 2 h 2 h Ĥ2 Φ n (x) +... =... Korzystaja ι c z niezależnego o czasu równania Schröingera mamy Ĥ 2 Φ n (x) = Ĥ(ĤΦ n(x)) = Ĥ(E nφ n (x)) = E n ĤΦ n (x) = E 2 nφ n (x). Wstawiamy to o naszych przekszta lceń ( (... = A 1 + it ) h E n + 1 ( it ) 2 2 h E n +...) Φ n (x) = Ae it h E n Φ n (x) = Zatem możemy napisać = Ae iω nt Φ n (x) = Ψ n (x, t). e it h ĤΨ n (x, 0) = Ψ n (x, t). (5.2.5) Sta ι e it h Ĥ zwany jest operatorem ewolucji czasowej. Teraz zajmijmy sie ι wartościa ι oczekiwana ι w stanie stacjonarnym. Niech nasz uk la znajuje sie ι w stanie opisywanym funkcja ι Ψ(x, t) = Φ(x)e iωt. (5.2.6) Chcemy znaleźć wartość śrenia ι obserwabli A, zak laaja ι c że opowiaaja ι cy jej operator hermitowski  nie zależy o czasu (tzn.  Â(t)). Dla owolnej chwili czasu t możemy napisać: = +  t = Ψ ÂΨ = + + = Φ (x)e iωt ÂΦ(x)e iωt x = Ψ (x, t)âψ(x, t) x = + Φ (x)âφ(x) x = Ψ (x, 0)ÂΨ(x, 0) x = Ψ ÂΨ t=0 =  t=0.

28 28 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE Tak wie ι c wykazaliśmy, że wartość oczekiwana obserwabli A, opisywanej przez operator  Â(t), w stanie stacjonarnym jest sta la i zawsze równa wartości oczekiwanej w chwili t = 0, czyli  t=0 =  t. (5.2.7) Teraz zajmiemy sie ι ewolucja ι czasowa ι wartości oczekiwanej w owolnym stanie, niekoniecznie stacjonarnym. Wiemy, że w przestrzeni L 2 wartość śrenia obserwabli A opisywanej przez operator hermitowski  ana jest wzorem +  = Ψ ÂΨ x, i że może to być jeynie funkcja czasu. Zróżniczkujmy to wyrażenie po czasie. + t A = + Ψ ÂΨ x = t = ( Ψ ÂΨ + Ψ Â t t Ψ + Ψ Â Ψ t ) x =... Z zależnego o czasu równania Schröingera i z tego, że i h t Ψ = ĤΨ 2 Ĥ = h2 2m x + V (x) 2 Ĥ = Ĥ możemy napisać t Ψ = ī hĥψ, t Ψ = ī. hĥψ Wstawiamy powyższy wynik o naszych przekszta lceń i mamy = +... = + ( ī hĥψ ÂΨ + Ψ Â t Ψ Ψ Â ī hĥψ) x = Ψ Â t Ψ x + ī + ĤΨ ÂΨ x ī + Ψ h h ÂĤΨ x =... Pierwsza ca lka jest z efinicji wartościa ι śrenia ι operatora Â, czyli mamy t... =  t + ī h ĤΨ ÂΨ ī h Ψ ÂĤΨ =... Korzystamy z hermitowskości operatora Hamiltona Ĥ... =  t + ī h Ψ ĤÂΨ ī h Ψ ÂĤΨ =...

29 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE 29 A teraz wykorzystujemy liniowość iloczynu skalarnego...  = t + ī Ψ ĤÂΨ ÂĤΨ =  h t + ī Ψ (Ĥ ÂĤ)Ψ = h =  t + ī h Ψ [Ĥ, Â]Ψ =... Ale Ψ [Ĥ, Â]Ψ jest wartościa ι oczekiwana ι (śrenia ι ) operatora [Ĥ, Â], czyli Ostatecznie wolno nam napisać, że 5.3 Ca lki ruchu W alszym cia ι gu zak laamy, że... =  t + ī [Ĥ, Â]. h A =  t t + ī [Ĥ, Â]. (5.2.8) h  Â(t) czyli  = 0. (5.3.1) t Wówczas ostajemy równanie ruchu postaci  t Za lóżmy ponato, że mamy stany stacjonarne. Wtey ska ι = ī [Ĥ, Â]. (5.3.2) h A = 0, (5.3.3) t [Ĥ, Â] = 0. (5.3.4) Zajmijmy sie ι teraz owolnym stanem (niekoniecznie stacjonarnym), przy czym wcia ι ż niech obowia ι zuje za lożenie, że  Â(t) czyli  t = 0 i za lóżmy, że operator hermitowski  opisuja ιcy obserwable ι A komutuje z operatorem Hamiltona Ĥ, czyli [Â, Ĥ] = 0. (5.3.5)

30 30 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE Napiszmy wzór opisuja ι cy ewolucje ι czasowa ι wartości śreniej (oczekiwanej) A =  t t + ī [Ĥ, Â]. (5.3.6) h Jeżeli A = 0, t to wartość śrenia (oczekiwana) obserwabli jest sta la w czasie. Nazywamy ja ι wówczas sta la ι ruchu lub ca lka ι ruchu. Dla przyk lau rozpatrzmy operator Hamiltona Ĥ niezależny w sposób jawny o czasu ( tĥ = 0). Ponieważ [Ĥ, Ĥ] = 0, to Ĥ t = 0. Ponieważ obserwabla ι opisywana ι przez operator Hamiltona Ĥ jest energia E to E t = 0. co oznacza, że energia uk lau, którego hamiltonian nie zależy jawnie o czasu, jest ca lka ι ruchu. 5.4 Twierzenie Ehrenfesta W myśl twierzenia Ehrenfesta równania mechaniki kwantowej reukuja ι sie ι o równań mechaniki klasycznej po postawieniu wartości śrenich. Inaczej mówia ι c, równania mechaniki kwantowej la wartości śrenich maja ι postać opowienich równań mechaniki klasycznej. Przestawmy zia lanie tej zasay rozważaja ι c przyk- laowe zaganienie. Weźmy niezależny o czasu operator ˆx, czyli ˆx t = 0. (5.4.1) Wypiszmy raz jeszcze wzór opisuja ι cy ewolucje ι czasowa ι wartości oczekiwanej (śreniej) obserwabli A opowiaaja ι cej operatorowi  A =  t t + ī [Ĥ, Â]. h Wstawmy za  operator ˆx Wiemy ponato, że t x = ī [Ĥ, ˆx]. h [ ˆp x, ˆx] = i h.

31 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE 31 Korzystaja ι c z tego obliczmy komutator [Ĥ, ˆx] = [ ˆp2 x 1 + V (x), ˆx] = 2m 2m [ˆp2 x, ˆx] + [V (x), ˆx] =... Drugi cz lon wynosi zero, gyż owolna funkcja zależna o x komutuje z ˆx = x. Tak wie ι c mamy... = 1 2m (ˆp xˆp xˆx ˆxˆp xˆp x ) =... Doajemy i oejmujemy o wyrażenia w nawiasie ˆp xˆxˆp x.... = 1 2m (ˆp xˆp xˆx ˆp xˆxˆp x + ˆp xˆxˆp x ˆxˆp xˆp x ) = = 1 2m (ˆp x(ˆp xˆx ˆxˆp x ) + (ˆp xˆx ˆxˆp x )ˆp x ) = = 1 2m (ˆp x[ˆp x, ˆx] + [ˆp x, ˆx]ˆp x ) = = 1 2m ( i hˆp x i hˆp x ) = i h m ˆp x. Wracamy o równania opisuja ι cego ewolucje ι czasowa ι wartości oczekiwanej i wstawiamy otrzymany wynik Po uproszczeniu otrzymujemy wzór t x = ī h [Ĥ, ˆx] = ī h ( i) h m p x. p x = m x (5.4.2) t be ι a ι cy kwantowym opowienikiem znanego z mechaniki klasycznej wyrażenia na wartość pe ι u p x = m x t. (5.4.3) 5.5 Twierzenie wirialne Klasyczne, znane z mechaniki teoretycznej, twierzenie o wiriale ma postać n V = 2 T, (5.5.1) gzie n oznacza stopień jenoroności potencja lu, V wartość śrenia ι potencja lu, a T wartość śrenia ι energii kinetycznej. Wróćmy o mechaniki kwantowej i wprowaźmy niezależny o czasu operator  = ˆ r ˆ p. (5.5.2)

32 32 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE Za lóżmy ponato, że mamy stany stacjonarne. Wtey, zgonie z uowoniona ι wcześniej w lasnościa ι, wartość śrenia operatora jest sta la w czasie. Napiszmy wzór opisuja ι cy ewolucje ι czasowa ι wartości śreniej (oczekiwanej) operatora   =  t t + ī [Ĥ, Â]. h Korzystaja ι c z wcześniejszych wniosków, możemy napisać powyższy wzór w prostszej postaci i [Ĥ, Â] = 0. (5.5.3) h Obliczmy komutator [Ĥ, Â] = [Ĥ, ˆ r ˆ p ]. (5.5.4) Operator Ĥ jest postaci czyli gzie operator ˆ p jest postaci Ĥ = ˆ p 2 2m + ˆV, ˆV = V ( r), (5.5.5) 2 ˆ p [Ĥ, Â] = [ 2m + ˆV, ˆ r ˆ p ] = [ ˆ p 2 2m, ˆ r ˆ p ] + [ ˆV, ˆ r ˆ p ] ˆ p = i h. (5.5.6) Obliczmy najpierw komutator [ ˆV, ˆ r ˆ p ]. Dzia laja ι c nim na funkcje ι próbna ι ϕ( r) i k laa ι c ˆV = V, mamy czyli mamy [V, ˆ r ˆ p ]ϕ( r) = (V ˆ r ˆ p ˆ r ˆ p V )ϕ( r) = = V ˆ r ˆ pϕ( r) ˆ r ˆ p(v ϕ( r)) = V ˆ r ˆ pϕ( r) + i hˆ r (V ϕ( r)) = = V ˆ r ˆ pϕ( r) + i hˆ r ( V )ϕ( r) + i hˆ r V ϕ( r) = = ˆ r V ˆ pϕ( r) ˆ r (ˆ p V )ϕ( r) ˆ r V ˆ pϕ( r) = ˆ r (ˆ p V )ϕ( r) [ ˆV, ˆ r ˆ p ] = ˆ r (ˆ pv ) = i hˆ r V (5.5.7) Aby obliczyć komutator [ ˆp2 2m, ˆ r ˆ p ], wygonie jest najpierw obliczyć pomocniczy komutator [ ˆp x 2, ˆx ˆp x ], pamie ι taja ι c przy tym o obliczonym przy rozpatrywaniu twierzenia Ehrenfesta komutatorze Pamie ι taja ι c ponato o tym, że [ˆp 2 x, ˆx] = 2i hˆp x. [ ˆp x 2, ˆx ˆp x ] = ˆp x2ˆxˆp x ˆxˆp xˆp 2 x = (ˆp 2 xˆx ˆxˆp 2 x)ˆp x = = [ˆp 2 x, ˆx]ˆp x = 2i hˆp xˆp x = 2i hˆp 2 x [k, ˆp m ] = i hδ km k, m = x, y, z,

33 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE 33 możemy przysta ι pić o obliczeń [ ˆ p 2 2m, ˆ r ˆ p] = 1 2m [ˆ p 2, ˆ r ˆ p] = 1 2m [ˆp2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z, ˆxˆp x + ŷˆp y + ẑ ˆp z ] = = 1 2m ([ˆp2 x, ˆxˆp x ] + [ˆp 2 y, ŷˆp y ] + [ˆp 2 z, ẑ ˆp z ]) = = 1 2m ( 2i hˆp2 x 2i hˆp 2 y 2i hˆp 2 z) = i h m (ˆp2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z) = i h mˆ p 2. W sumie mamy [Ĥ, ˆ r ˆ p ] = i h mˆ p 2 + i hˆ r V. (5.5.8) Ze wzoru na ewolucje ι czasowa ι wartości oczekiwanej (śreniej) otrzymaliśmy i h [Ĥ, ˆ r ˆ p ] = 0. Po postawieniu obliczonego powyżej komutatora ostajemy Po uproszczeniu ochozimy o wzoru ska ι i h i h m ˆp2 + i hˆ r V = 0. (5.5.9) ˆp2 m + ˆ r V = 0 (5.5.10) ˆp2 m + ˆ r V = 0. (5.5.11) Wprowaźmy operator energii kinetycznej Wówczas mamy czyli Dla V = V (r) możemy napisać, że ˆT = ˆp2 2m (5.5.12) 2 ˆT + r V = 0 (5.5.13) 2 ˆT = r V = 0. (5.5.14) szczególnym przypakiem, a mianowicie potencja lem kulom- Teraz zajmijmy sie ι bowskim postaci V (r) = r r V (r). (5.5.15) r V (r) = Ze2 r. (5.5.16)

34 34 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE Wówczas r V (r) = r r r r2 V (r) = r r r V (r) = r ( ) Ze2 = r Ze2 = r r r 2 = Ze2 = V (r). r Dla potencja lu kulombowskiego mamy zatem ska ι latwo ostajemy, że 2 ˆT = V, (5.5.17) ˆT = 1 2 V. (5.5.18) Otrzymany wzór, ientyczny ze wzorem otrzymanym w mechanice klasycznej, cze ι sto s luży o sprawzania skomplikowanych obliczeń numerycznych.

35 Rozzia l 6 Pakiety falowe 6.1 Fala. Pre ι kość fazowa Zapiszmy równanie w lasne la operatora momentu pe ι u ˆ p Zapisuja ι c je w jawnej postaci, otrzymujemy ˆ pϕ( r) = pϕ( r). (6.1.1) i h ϕ( r) = pϕ( r). (6.1.2) W przypaku jenowymiarowym nasze równanie przechozi w i h x ϕ(x) = p xϕ(x), (6.1.3) gzie ϕ(x) jest funkcja ι w lasna ι, a p x wartościa ι w lasna ι. Rozwia ι zuja ι c to równanie (np. przez separacje ι zmiennych lub przez równanie charakterystyczne) ochozimy o funkcji w lasnej postaci ϕ(x) = Ae i px h x. (6.1.4) Korzystaja ι c ze wzoru Eulera e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ, (6.1.5) możemy przepisać to rozwia ι zanie w innej postaci [ ( ) ( )] px ϕ(x) = A cos h x px + i sin h x. (6.1.6) Z fizyki fal wiemy, że wzór ten opisuje cze ι ść przestrzenna ι stacjonarnej fali monochromatycznej. Jeśli x (, + ) to funkcja ta nie należy o przestrzeni L 2. Możemy to prosto wykazać. Jak pamie ι tamy, przestrzeń L 2 jest to przestrzeń funkcji ca lkowalnych z kwaratem, tzn. ca lka z kwaratu funkcji po ca lej przestrzeni jest mniejsza o nieskończoności. Zapiszmy ta ι ca lke ι + ϕ(x) 2 x = + 35 ϕ(x) ϕ(x)x =

36 36 ROZDZIA L 6. PAKIETY FALOWE = + ( Ae i px h x) Ae i px h x x = + + = A 2 x +. A e i px h x Ae i px h x x = Niech λ be ι zie lugościa ι fali cza ι stki opisywanej przez rozwia ι zanie naszego równania w lasnego. Przejźmy teraz z x o x + λ (x x + λ). To powinno być równe ϕ(x), czyli Sta ι mamy czyli Aby powyższy warunek by l spe lniony, to ϕ(x + λ) = Ae i p x h (x+λ). (6.1.7) ϕ(x) = Ae i p x h x = ϕ(x + λ) = Ae i p x h (x+λ). (6.1.8) Ae i px h x = Ae i px h (x+λ) (6.1.9) ( ) ( ) 1 = e i p x h λ px = cos h λ px + i sin h λ. (6.1.10) p x λ = 2nπ (6.1.11) h p x = 2nπ h λ Pamie ι taja ι c o postulacie e Broglie a = 2nπh 2πλ = nh λ = nh λ. (6.1.12) λ = h p (6.1.13) możemy stwierzić, że wartość w lasna sk laowej operatora pe ι u jest wielokrotnościa ι fali e Broglie a. W naszych alszych rozważaniach be ι ziemy korzystali z postaci funkcji w lasnej sk laowej operatora pe ι u ϕ(x) = Ae ikx, (6.1.14) gzie pe ι p możemy wyrazić jako p = hk, (6.1.15) a liczbe ι falowa ι k jako k = 2π λ. (6.1.16) Rozważmy teraz cza ι stke ι swobona ι opisywana ι zależnym o czasu równaniem Schröingera i h ψ = Ĥψ. (6.1.17) t

37 ROZDZIA L 6. PAKIETY FALOWE 37 Jak wiemy z poprzenich rozzia lów, funkcje ι ψ możemy zapisać jako ψ(x, t) = ϕ(x)e iωt, (6.1.18) gzie ϕ(x) jest rozwia ι zaniem niezależnego o czasu równania Schröingera Ĥϕ(x) = Eϕ(x). (6.1.19) Postaramy sie ι teraz znaleźć postać funkcji ϕ(x). Ponieważ cza ι stka jest cza ι stka ι swobona ι, to nie znajuje sie ι w polu żanego potencja lu. Dlatego nasz hamiltonian jest postaci Ĥ = ˆp2 x 2m = h2 2m x. (6.1.20) 2 Wstawiamy go o równania Schröingera niezależnego o czasu 2 2 h2 ϕ(x) = Eϕ(x), (6.1.21) 2m x2 ska ι 2 2mE ϕ(x) + x2 h 2 ϕ(x) = 0. (6.1.22) Rozwia ι zuja ι c to równanie różniczkowe, ostajemy ϕ(x) = Ae i 2mE h x + Be i 2mE x h (6.1.23) Dla cza ι stki swobonej ca lkowita energia jest równa samej energii kinetycznej, czyli E = p2 x 2m 2mE = p2 x. (6.1.24) Wstawiamy to o rozwia ι zania równania Schröingera niezależnego o czasu i mamy Korzystamy z tego, że i ostajemy ϕ(x) = Ae i p x h x + Be i p x h x. (6.1.25) p x = hk (6.1.26) ϕ(x) = Ae ikx + Be ikx. (6.1.27) Jeżeli A = 0, lub B = 0 to funkcja ta jest taka sama jak funkcje w lasne sk laowej operatora pe ι u. Pe lna ι funkcje ι falowa ι uzyskamy, mnoża ι c funkcje ι ϕ(x) przez e iωt, w wyniku czego ostajemy ψ(x, t) = Ae i(kx ωt) + Be i(kx+ωt) (6.1.28) gzie pierwszy cz lon opisuje fale ι rozchoza ι ca ι sie ι w kierunku x, a rugi w kierunku x.

38 38 ROZDZIA L 6. PAKIETY FALOWE Weźmy teraz owolna ι funkcje ι falowa ι f = f(x, t), ale za lóżmy, że jej zależność o argumentu jest naste ι puja ι ca: f(x, t) = f(x V f t), (6.1.29) gzie V f = x t be ι ziemy nazywać pre ι kość fazowa ι. Niech teraz (6.1.30) Wówczas Zatem t t + t (6.1.31) x x + x (6.1.32) f(x + x, t + t) = f[(x + x) V f (t + t)] = = f(x + x V f t V f t) = f(x + x V f t x t t) = f(x + x V f t x) = f(x V f t) = f(x, t). Niech funkcja falowa be ι zie postaci czyli pre ι kość fazowa V f be ι zie równa W wyniku przekszta lceń ostajemy f(x + x, t + t) = f(x, t). (6.1.33) ψ(x, t) = Ae i(kx ωt) = Ae ik(x ω k t), V f = ω k. (6.1.34) V f = ω k = hω hk = E p2 p = 2m p = p 2m = V klasyczna. 2 Pre ι kość fazowa V f jest równa po lowie pre ι kości klasycznej V klasyczna Ponieważ pe ι jest obrze określony to w myśl zasay nieoznaczoności Heisenberga V f = V klasyczna. (6.1.35) 2 p = h λ, (6.1.36) x p h 2. (6.1.37)

39 ROZDZIA L 6. PAKIETY FALOWE 39 nie możemy nic powiezieć o po lożeniu cza ι stki, czyli może ona znajować sie ι wsze ι zie. Możemy to latwo wykazać wprost z efinicji ge ι stości prawopoobie ι ństwa napotkania cza ι stki. Za lożmy funkcje ι falowa ι postaci ψ(x, t) = Ae i(kx ωt). Ge ι stość prawopoobieństwa jest zefiniowana jako P (x, t) = ψ(x, t) 2. (6.1.38) Obliczmy te ι wartość P (x, t) = ψ(x, t) 2 = (ψ(x, t)) ψ(x, t) = (Ae i(kx ωt) ) Ae i(kx ωt) = = A e i(kx ωt) Ae i(kx ωt) = A 2, czyli ge ι stość prawopoobieństwa napotkania cza ι stki jest sta la i taka sama na ca lej osi x P (x, t) = A 2. (6.1.39) 6.2 Pakiet. Pre ι kość grupowa Funkcja opisuja ι ca pakiet falowy w przypaku jenowymiarowym jest postaci Ψ(x, t) = 1 + e i(kx ω(k)t) ϕ(k)k (6.2.1) 2π Jak nam wiaomo z matematyki jest to transformata Fouriera funkcji ϕ(k)e iω(k)t. Cze ι ść przestrzenna pakietu określana jest przez Ψ(x, 0). Ψ(x, 0) = 1 + e ikx ϕ(k)k. (6.2.2) 2π Jest to klasyczna transformata Fouriera. W przypaku trójwymiarowym funkcja opisuja ι ca pakiet falowy jest postaci Ψ( r, t) = 1 e i( k r ω( k)t) ϕ( k) 3 k, (6.2.3) (2π) 3 2 przy czym ca lkowanie obywa sie ι po ca lej przestrzeni pe ι ów. Zwia ι zki pomie ι zy pe ι em p, a energia ι E sa ι postaci ω = ω(k). (6.2.4) Sa ι to tzw. zwia ι zki yspersyjne (pamie ι tamy, że p = hk, a E = hω). Pakiet falowy porusza sie ι z pre ι kościa ι grupowa ι V g zefiniowana ι jako V g = ω(k) k = hω(k) hk = E(p) p = p2 2m p = p m = V klasyczna. V g = V klasyczna. (6.2.5)

40 40 ROZDZIA L 6. PAKIETY FALOWE 6.3 Rozmywanie sie ι pakietu falowego Najpierw rozwińmy szereg z ok lanościa ι wyrazu pierwszego rze ι u ω(k) = ω(k 0 ) + ω(k) k k=k 0 κ +... ω 0 + V g κ (6.3.1) gzie ω 0 = ω(k 0 ) i κ = k k 0. Wstawiamy to rozwinie ι cie o wzoru Ψ(x, t) = 1 + e i(kx ω(k)t) ϕ(k)k 2π i ostajemy Ψ(x, t) = 1 + e i((κ+k 0)x ω 0 t) V g κt ϕ(k 0 + κ)κ, (6.3.2) 2π czyli Ψ(x, t) = 1 + e i(k 0x ω 0 t) 2π e iκ(x V gt) ϕ(k 0 + κ)κ. (6.3.3) Czyli ca ly pakiet falowy porusza sie ι z pre ι kościa ι grupowa ι V g (wnioskujemy to z postaci funkcji poca lkowej). Po przejściu x i czasie t postać pakietu sie ι nie zmieni. Rozwińmy teraz ω(k) w szereg Taylora z ok lanościa ι o wyrazów rugiego rze ι u ω(k) = ω 0 + V g κ ( ω 2 k 2 k=k 0 κ ω 0 + κ V g ) ω 2 k 2 k=k 0 κ (6.3.4) czyli w porównaniu ze wzorem (6.3.1) V g V g ω 2 k 2 k=k 0 κ. (6.3.5) Wstawiamy to rozwinie ι cie o wzoru opisuja ι cego pakiet falowy i ostajemy Ψ(x, t) = 1 + e i(k 0x ω 0 t) 2π Ψ(x, t) = 1 + e i(kx ω(k)t) ϕ(k)k 2π e iκ(x (Vg+ 1 2 ω 2 k 2 k=k κ)t) 0 ϕ(k 0 + κ)κ, (6.3.6) czyli Ψ(x, t) = 1 + e i(k 0x ω 0 t) 2π e iκ(x Vgt) 1 2 ω 2 k 2 k=k κt 0 ϕ(k 0 + κ)κ. (6.3.7) Po ca lka ι mamy oatkowy cz lon w stosunku o poprzeniego wzoru, który ewoluuje ze zmiana ι t i κ. Ponieważ oatkowy cz lon zależy o κ, to różne cze ι ści pakietu falowego be ι a ι sie ι porusza ly z nieco różnymi pre ι kościami, wie ι c pakiet falowy ulega stopniowemu rozmyciu w czasie.

41 Rozzia l 7 Zasaa opowieniości Bohra W myśl zasay opowieniości Bohra przejście z mechaniki kwantowej o mechaniki klasycznej okonuje sie ι przy przejściu z h o zera (h 0). Praktycznie te ι granice ι osia ι ga sie ι przy przejściu z liczbami kwantowymi o nieskończoności (n + ), o ile wynik nie zależy o h. Dla przyk lau rozpatrzmy cza ι stke ι w jenowymiarowej, nieskończonej stuni potencja lu V (x) = { 0 x (0, L) + x / (0, L). (7.1) Najpierw przeprowaźmy rozważania zgone z mechanika ι klasyczna ι. Wewna ι trz przezia lu (0, L) na cza ι stke ι nie zia la żana si la (poza momentami, gy naste ι puje obicie o ścianek), czyli jej po lożenie opisywane jest wzorem opisuja ι cym ruch jenostajny po lini prostej z pre ι kościa ι V x(t) = x 0 + V t, x 0 = x(t 0 ), (7.2) gzie x 0 oznacza po lożenie pocza ι tkowe. Prawopoobieństwo znalezienia cza ι stki w przeziale (x, x+x) jest wprost proporcjonalne o czasu przelotu rogi x oznaczonego przez t i owrotnie proporcjonalne o okresu w którym cza ι stka przebywa roge ι o 0 o L, który oznaczamy przez T. Zapiszmy to w jawnej postaci P x = t T. (7.3) Po prawej stronie równania mnożymy licznik i mianownik przez V i korzystamy z tego, że V t = x, (7.4) Sta ι mamy czyli w końcu V T = L. (7.5) P x = t T = V t V T = x L, P x = x L. (7.6) 41

42 42 ROZDZIA L 7. ZASADA ODPOWIEDNIOŚCI BOHRA Upraszczaja ι c x mamy wzór na ge ι stość prawopoobieństwa P = 1 L. (7.7) W ogólności P = P (x), tu jenak mamy szczególny przypaek P = const. Teraz rozpatrzymy to zaganienie przy pomocy mechaniki kwantowej. Ponieważ V V (t) to mamy problem stacjonarny, tak wie ι c musimy rozwia ι zać równanie Schröingera bez czasu Ĥψ(x) = Eψ(x). Pozielmy przestrzeń na trzy obszary obszar I x 0 obszar II x (0, L) obszar III x L. (7.8) Pomie ι zy obszarami I i II oraz pomie ι zy II i III musimy narzucić tak zwane warunki zszycia ψ I (0) = ψ II (0), (7.9) ψ II (L) = ψ III (L). Doatkowo mamy jeszcze wa warunki na pochone funkcji falowych ψ I(0) = ψ II(0), ψ II(L) = ψ III(L). (7.10) Ponieważ stunia potencja lu ma nieskończona ι g le ι bokość, to ψ I (x) 0, ψ III (x) 0. (7.11) Zatem wolno nam pomina ι c ineks i zamiast ψ II pisać ψ. Z warunków zszycia mamy, że ψ(0) = 0, (7.12) ψ(l) = 0. W obszarze II potencja l jest zerowy, czyli rozwia ι zanie be ι zie tutaj takie samo jak la cza ι stki swobonej. Obliczyliśmy je wcześniej i jest ono postaci Korzystaja ι c ze wzoru Eulera ψ(x) = Ae ikx + Be ikx. e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ możemy rozwia ι zanie równania Schröingera zapisać w nieco innej postaci ψ(x) = Ae ikx + Be ikx = A(cos(kx) + i sin(kx)) + B(cos(kx) i sin(kx)) = = (A + B) cos(kx) + (A B)i sin(kx) = C cos(kx) + D sin(kx),

43 ROZDZIA L 7. ZASADA ODPOWIEDNIOŚCI BOHRA 43 czyli gzie ψ(x) = C cos(kx) + D sin(kx), (7.13) C = A + B, (7.14) D = (A B)i. (7.15) W tym przypaku warunki brzegowe aja ι nam yskretne rozwia ι znia. Aby to wykazać skorzystajmy z warunku brzegowego. czyli nasza funkcja falowa jest postaci Mamy jeszcze jeen warunek brzegowy ψ(0) = 0 C = 0, (7.16) ψ(x) = D sin(kx). (7.17) ψ(l) = 0 D sin(kl) = 0 (7.18) sin(kl) = 0 (7.19) kl = nπ, n = 0, ±1, ±2,... (7.20) co prowazi o yskretnego rozwia ι zania na liczbe ι falowa ι k Z rugiej strony liczba falowa k zefiniowana jest jako Porównuja ι c wa ostatnie wzory, ostajemy czyli k n = nπ L. (7.21) k n = 2π λ n. (7.22) 2π λ n = nπ L, (7.23) L = nλ n 2. (7.24) Jest to tak zwany warunek fal stoja ι cych, oznaczaja ι cy że na ocinku o 0 o L musi być ca lkowita wielokrotność po lówek lugości fali λ. Liczbe ι n nazywamy liczba ι kwantowa ι. Nasze rozwia ι zanie jest postaci ( ) nπ ψ n (x) = D sin(k n x) = D sin L x. (7.25) Dla n oatnich i ujemnych funkcje falowe sa ι takie same (z ok lanościa ι o czynnika fazowego) ponieważ sin( αx) = sin(αx).