Prawo Biota-Savarta. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski

Transkrypt

1 Prawo Biota-Savarta Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski 2018

2 Prawo Biota-Savarta Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski Istnieje równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć pole B z rozkładu prądu. To prawo jest matematycznie równoważne z prawem Ampère'a (zob. moduł Prawo Ampere'a). Jednak prawo Ampère'a można stosować tylko, gdy znana jest symetria pola (trzeba ją znać do obliczenie odpowiedniej całki). Gdy ta symetria nie jest znana, wówczas dzielimy przewodnik z prądem na różniczkowo małe elementy i stosując prawo Biota-Savarta, obliczamy pole jakie one wytwarzają w danym punkcie. Następnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych prądów żeby uzyskać wypadkowy wektor B. Na Rys. 1 pokazany jest krzywoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu I. Zaznaczony jest element dl tego przewodnika i pole db jakie wytwarza w punkcie P. Zgodnie z prawem Biota-Savarta pole db w punkcie P wynosi Rysunek 1: Pole db wytworzone przez element dla przewodnika PRAWO Prawo 1: Prawo Biota-Savarta db = 0 I dl r 4π r 3 (1) Wartość liczbowa db jest więc dana równaniem db = 4π dlsinθ r 2 (2)

3 PRZYKŁAD Przykład 1: Zastosowanie prawa Biota-Savarta Jako przykład zastosowania prawa Biota-Savarta obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem w punkcie P pokazanym na Rys. 2. Rysunek 2: Kołowy przewodnik o promieniu R przewodzący prąd o natężeniu I Z prawa Biota-Savarta znajdujemy pole db pochodzące od elementu dl (położonego na szczycie okręgu) 0 I dlsin90 o 4π r 2 db = = 4π dl r 2 (3) Zwróćmy uwagę, że element dl jest prostopadły do r. Pole db można rozłożyć na dwie składowe, tak jak na rysunku. Suma wszystkich składowych db y jest równa zeru bo dla każdego elementu przewodnika dl ta składowa znosi się z odpowiednią składową elementu leżącego po przeciwnej stronie okręgu. Wystarczy więc zsumować składowe db. Ponieważ db x = dbcosα (4) zatem db x = Icosαdl 0 4πr 2 (5) Ponadto, zgodnie z Rys. 2 r = R 2 + x 2 (6) oraz R cosα = = r R R2 + x 2 (7) Ostatecznie więc otrzymujemy 0 IR db x = dl 4π( R 2 + x 2 ) 3/2 (8) Zauważmy, że wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów dl prądu. Wykonujemy teraz sumowanie (całkowanie), żeby obliczyć wypadkowe pole B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki) B = d = = B x 0 IR 4π( R 2 + x 2 ) 3/2 dl 0 IR (2πR) = 4π( + R 2 x 2 ) 3/2 0 IR 2 2( R 2 + x 2 ) 3/2 (9)

4 ZADANIE Zadanie 1: Pole magnetyczne w środku obręczy Treść zadania: Wzór ( 9 ) przyjmuje znacznie prostszą postać w szczególnych punktach. Spróbuj na jego podstawie określić pole w środku koła ( x = 0) oraz w dużej odległości od przewodnika tzn. dla x >> R. Jak już mówiliśmy każdy obwód z prądem jest charakteryzowany poprzez magnetyczny moment dipolowy = IS, gdzie S jest powierzchnią obwodu. Wyraź obliczane pole magnetyczne poprzez. B(x = 0) = B(x >> R) = Rozwiązanie: Dane: = IS = π R 2, R, x Pole magnetyczne wytworzone przez kołowy przewodnik o promieniu R (przewodzący prąd o natężeniu I) w odległości x na osi symetrii przewodnika jest dane wyrażeniem B = 0 IR 2 2( R 2 + x 2 ) 3/2 x = 0 W środku koła ( ) ten wzór przyjmuje postać 0 I 0 2πR 3 B = = a w dużej odległości od przewodnika tzn. dla x >> R B = 0 IR 2 = 0 2x 3 2πx 3

5 ZADANIE Zadanie 2: Klasyczne obliczanie pola magnetycznego w atomie wodoru Treść zadania: Korzystając z wyliczonego pola magnetycznego w środku przewodnika kołowego oblicz pole wytwarzane w środku orbity (w miejscu jądra atomowego) przez elektron w atomie wodoru. Zgodnie z modelem Bohra elektron krąży w atomie wodoru po orbicie o promieniu R = 5 10 m z częstotliwością f = /s. Porównaj obliczone pole z wartościami podanymi w tabeli 1 w module Siła magnetyczna B = Rozwiązanie: Dane: 0 = 4π 10 7 Tm/A, R = m, f = /s, e = C Pole magnetyczne wytworzone przez kołowy przewodnik o promieniu R (przewodzący prąd o natężeniu I) w jego środku jest dane wyrażeniem B = Natężenie prądu I wytwarzanego przez elektron o ładunku e przebiegający orbitę w czasie T (okres obiegu) wynosi I = = = ef Łączymy powyższe wzory B = q t ef 0 e T i po podstawieniu danych otrzymujemy B = 13 T. Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie Data generacji dokumentu: :07:55 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: link= d55f79144bd8c ab0a Autor: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski