WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM VI METODA WĘGIERSKA

Transkrypt

1 WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM VI METODA WĘGIERSKA 1. Proble przydziału. Należy przydzielić zadań do wykonawców. Każde zadanie oże być wykonywane przez co najwyżej jednego wykonawcę i jeden wykonawca oże wykonywać co najwyżej jedno zadanie. Z wykonanie zadania i przez wykonawcę j związany jest pewien koszt c. Należy dokonać takiego przydziału, aby koszt wykonania był najniejszy. Min : z = ogr. : j = 1 i= 1 i= 1 j = 1 x = 1 x = 1 c x i = 1.. *) j = 1.. **) 1- zadanie i przydzielono do wykonawcy j x = 0 - w p.p. *) ograniczenie po wszystkich wykonawcach **) ograniczenie po wszystkich zadaniach x - zienne decyzyjne, oznaczające przydział (1) lub brak przydziału (0) zadania i do wykonawcy j. Ograniczenia gwarantują to, że każde zadanie zostanie wykonane. Zadanie przydziału jest zadanie zerojedynkowego prograowania liniowego. 2. Algoryt etody węgierskiej Macierz A (standardowo: wiersze - wykonawcy, koluny zadania, choć ożna algoryt stosować też układ jest odwrotny nie a to wpływu na działanie etody) - algoryt stosowany jest dla inializacji funkcji celu; jeśli chcey aksyalizacji to w acierzy A zienia się znaki na przeciwne ( Max z = i= 1 j= 1 ( c ) x ziana kosztów na ( c ) i liczyy Min ); - jeśli liczba wykonawców i liczba zadań jest różna, to acierz A uzupełnia się do acierzy kwadratowej zerai; - jeśli istnieje przydział zakazany (np. zadanie nr 1 do wykonawcy nr 2) to w odpowiednie iejsce w acierzy wstawia się znak. Przykład 1: Krok 1: Jeśli inialny eleent w wierszu i jest różny od 0 to odej go od tego wiersza (krok powtórz dla wszystkich wierszy) Krok 2: Jeśli inialny eleent w kolunie jest różny od zera to odej go od tej koluny (krok powtórz dla wszystkich kolun). Krok 3: W wierszu zawierający dokładnie jedno nie naznaczone 0 naznacz je sybole 0. Skreśl inne zera w tej kolunie aby nie powtórzyć przydziału wykonawcy

2 Krok 4: W kolunie zawierającej dokładnie jedno nie naznaczone 0, naznacz je sybole 0. Skreśl pozostałe zera w odpowiedni wierszu aby nie powtórzyć przydziału tego saego zadania. Krok 5: Powtarzaj krok 3 i 4 do oentu, gdy: a) każdy wiersz w A a przydział 0 albo b) w dwóch wierszach i kolunach są co najniej 2 nie naznaczone zera albo c) nienaznaczonych zer nie a i nie dokonano kopletnego przydziału. Krok 6: Jeżeli w kroku 5 było: a) przydział jest kopletny i optyalny, zakończ; b) naznacz sybole 0 dowolne nie naznaczone 0 (zazwyczaj naznacza się 0 najbardziej północno-zachodnie) i skreśl pozostałe zera w odpowiedni wierszu i kolunie; c) przejdź do kroku 7; Krok 7: Oznacz sybole wiersz, w który nie dokonano przydziału. Krok 8: Oznacz sybole kolunę, która a zero w oznaczony wierszu. Krok 9: Oznacz nie oznaczone wiersze, które ają przydział w oznaczonych kolunach Krok 10: Powtarzaj kroki 8 i 9 aż do wyczerpania ożliwości oznaczania. Krok 11: Pokryj liniai nie oznaczone wiersze i oznaczone koluny Krok 12: Znajdź inialny niepokryty eleent i odej go od niepokrytych wierszy. Dodaj ten sa eleent do każdej pokrytej koluny. Wróć do kroku 3. Rozwiązanie końcowe dla powyższego przykładu: Optyalny przydział dla rozważanego przykładu został osiągnięty: Przy taki przydziale zadań do wykonawców łączny koszt wykonania wynosi 28 i jest inialny (żeby odczytać koszt, odwołujey się do oryginalnej acierzy na wejściu etody). Z * = = 28 Wykonawca Zadanie Koszt

3 Przykład 2: Jeśli liczba linii pokrywających wszystkie zera jest równa liczbie naznaczonych zer, to znajdź inialny niepokryty eleent, odej go od niepokrytych (zaznaczonych) wierszy i dodaj do pokrytych (zaznaczonych) kolun, po czy wróć do kroku 3. W przeciwny razie przejdź do kroku 13. Krok 13: W1 Z1 Skonstruuj graf skierowany o 2+2 S W2 Z3 T wierzchołkach: s, w1,,wn, z1,,zn, t. Dla każdego naznaczonego zera (0) o współrzędnych (i,j) utwórz łuk zj wi; W4 Z4 dla zer skreślonych ( 0 ) o współrzędnych (i,j) - łuk wi zj; dla wierszy i bez przydziału - łuk s wi; dla kolun j bez przydziału łuk zj t. Krok 14: Z otrzyanego grafu utwórz sieć warstwową: do pierwszej warstwy wstaw wierzchołek s, do warstwy i+1 wstaw każdy wierzchołek, którego nie a w warstwie wcześniejszej, i do którego dochodzi łuk z dowolnego wierzchołka warstwy i. W ostatniej warstwie znajdzie się wierzchołek t. S W4 Z1 W1 Z3 W2 Z4 T Krok 15: Przesuwając się po dowolnej ścieżce od s do t utwórz tzw. ścieżkę powiększającą przepływ. Naznacz ( ) zera skreślone o współrzędnych (i,j), odpowiadające łukowi wi zj na tej ścieżce; cofn ( 0 ) przydział zer naznaczonych o współrzędnych (i,j), odpowiadających łukowi zj wi na tej ścieżce. Jeśli znaleziono przydział do zer, to jest on optyalny STOP. S W4 Z1 W1 Z3 W2 Z4 T Wykonawca Zadania Koszt Z*= =24-3 -

4 Przykład 3: Minializacja kosztu (jeśli konflikt skreśl 0 N-W (najniejszy wiersz, pote koluna)) Ostatecznie: I 3, II 4, III 5, IV 2, V 1, łączny koszt = =22 Przykład 4: Minializacja (wynik łatwo przewidzieć, ale dla poćwiczenia rysowania sieci warstwowej przykład jest bardzo cenny ; jeśli konflikt skreśl 0 N-W (najniejszy wiersz, pote najniejsza koluna))

5 Zadania (jedno z nich będzie na kolokwiu; dla ułatwienia w nawiasie podany jest optyalny wynik (tyko funkcja celu, bez przydziału)): Minializacja kosztu: (opt=17) Maksyalizacja zysku: (opt=26) Maksyalizacja zysku: (opt=44) Maksyalizacja zysku: (opt=38) Minializacja kosztu: (opt=22) Minializacja kosztu: (opt=14) Minializacja kosztu: (opt=22) Minializacja kosztu: (opt=25)