Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów"

Transkrypt

1 Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69

2 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

3 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). Definicja Określmy macierz A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m w następujący sposób: 3 / 69

4 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). Definicja Określmy macierz A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m w następujący sposób: { 1 krawędź e j jest incydentna do i tego wierzchołka x i, a ij = 0 w przeciwnym przypadku. 4 / 69

5 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). Definicja Określmy macierz A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m w następujący sposób: { 1 krawędź e j jest incydentna do i tego wierzchołka x i, a ij = 0 w przeciwnym przypadku. Tak określona macierz A(G) nazywa się macierzą incydencji. 5 / 69

6 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). Definicja Określmy macierz A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m w następujący sposób: { 1 krawędź e j jest incydentna do i tego wierzchołka x i, a ij = 0 w przeciwnym przypadku. Tak określona macierz A(G) nazywa się macierzą incydencji. x 1 a x2 b x 3 g f d c e x5 x 4 6 / 69

7 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). Definicja Określmy macierz A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m w następujący sposób: { 1 krawędź e j jest incydentna do i tego wierzchołka x i, a ij = 0 w przeciwnym przypadku. Tak określona macierz A(G) nazywa się macierzą incydencji. x 1 a x2 g f b d x 3 c A(G) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 a b c d e f g e x5 x 4 7 / 69

8 Własności macierzy incydencji każda kolumna A(G) zawiera dokładnie dwie jedynki, ponieważ każda krawędź jest incydentna do dokładnie dwóch wierzchołków x 1 a x2 b x 3 g f d c e x5 x 4 Krawędź a jest incydentna do wierzchołków x 1 i x 2. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 a b c d e f g / 69

9 Własności macierzy incydencji każda kolumna A(G) zawiera dokładnie dwie jedynki, ponieważ każda krawędź jest incydentna do dokładnie dwóch wierzchołków liczba jedynek w każdym wierszu równa się stopniowi odpowiadającego mu wierzchołka x 1 a x2 g f b d x 3 c e x5 x 4 deg(x 2) = 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 a b c d e f g / 69

10 Własności macierzy incydencji każda kolumna A(G) zawiera dokładnie dwie jedynki, ponieważ każda krawędź jest incydentna do dokładnie dwóch wierzchołków liczba jedynek w każdym wierszu równa się stopniowi odpowiadającego mu wierzchołka wiersz złożony z samych zer reprezentuje wierzchołek izolowany x 1 a x2 x5 g f b e d x 3 x 4 c x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 a b c d e f g / 69

11 Własności macierzy incydencji każda kolumna A(G) zawiera dokładnie dwie jedynki, ponieważ każda krawędź jest incydentna do dokładnie dwóch wierzchołków liczba jedynek w każdym wierszu równa się stopniowi odpowiadającego mu wierzchołka wiersz złożony z samych zer reprezentuje wierzchołek izolowany krawędzie równoległe tworzą identyczne kolumny Krawędzie c i d są równoległe x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 a x2 x5 g f b e d x 3 x 4 a b c d e f g c 11 / 69

12 Własności macierzy incydencji c.d. Z algorytmicznego punktu widzenia macierz incydencji jest najgorszą formą reprezentacji grafu. 12 / 69

13 Własności macierzy incydencji c.d. Z algorytmicznego punktu widzenia macierz incydencji jest najgorszą formą reprezentacji grafu. 1 wymaga zdefiniowania tablicy o n m komórkach, z których większość jest wypełniona zerami, 13 / 69

14 Własności macierzy incydencji c.d. Z algorytmicznego punktu widzenia macierz incydencji jest najgorszą formą reprezentacji grafu. 1 wymaga zdefiniowania tablicy o n m komórkach, z których większość jest wypełniona zerami, 2 odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź łącząca konkretne wierzchołki wymaga wykonania m kroków (przeszukania m kolumn). 14 / 69

15 Modyfikacje macierzy incydencji W przypadku, gdy graf G ma pętle, wówczas macierz incydencji A(G) można zdefiniować następująco: 15 / 69

16 Modyfikacje macierzy incydencji W przypadku, gdy graf G ma pętle, wówczas macierz incydencji A(G) można zdefiniować następująco: jeśli krawędź e j jest incydentna do 1 i tego wierzchołka x i i nie jest pętlą przy x i, a ij = 2 jeśli krawędź e j jest pętlą przy wierzchołku x i, 0 w pozostałych przypadkach 16 / 69

17 Macierz sąsiedztwa Niech będzie dany graf G nieskierowany o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n). 17 / 69

18 Macierz sąsiedztwa Niech będzie dany graf G nieskierowany o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n). Definicja Określamy macierz A(G) = [a ij ] n n w następujący sposób: a ij = { liczbie krawędzi łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j 0 jeśli nie istnieje krawędź od x i do x j 18 / 69

19 Macierz sąsiedztwa Niech będzie dany graf G nieskierowany o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n). Definicja Określamy macierz A(G) = [a ij ] n n w następujący sposób: a ij = { liczbie krawędzi łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j 0 jeśli nie istnieje krawędź od x i do x j Tak określoną macierz kwadratową stopnia n nazywamy macierzą sąsiedztwa (przyległości). 19 / 69

20 Macierz sąsiedztwa Niech będzie dany graf G nieskierowany o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n). Definicja Określamy macierz A(G) = [a ij ] n n w następujący sposób: a ij = { liczbie krawędzi łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j 0 jeśli nie istnieje krawędź od x i do x j Tak określoną macierz kwadratową stopnia n nazywamy macierzą sąsiedztwa (przyległości). x 1 a h b i c x 2 k j g x 4 d f e x 3 A(G) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x x 5 20 / 69

21 Własności macierzy sąsiedztwa elementy wzdłuż głównej przekątnej są wszystkie zerami wtedy i tylko wtedy, gdy graf nie ma pętli. k x 3 h i x 2 g x 4 j e x 1 a b c d f x 5 Krawędź f jest pętlą przy wierzchołku x 4, więc a 44 = 1 oraz k jest pętlą przy wierzchołku x 2, więc a 22 = 1. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x / 69

22 Własności macierzy sąsiedztwa elementy wzdłuż głównej przekątnej są wszystkie zerami wtedy i tylko wtedy, gdy graf nie ma pętli. k x 3 jeżeli graf nie ma pętli (albo na przekątnej ma 0), to stopień wierzchołka jest równy sumie elementów w odpowiednim wierszu lub kolumnie macierzy A(G) x 1 a h b i c x 2 g x 4 d j f e x 5 deg(x 5) = 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x / 69

23 Własności macierzy sąsiedztwa elementy wzdłuż głównej przekątnej są wszystkie zerami wtedy i tylko wtedy, gdy graf nie ma pętli. k x 3 jeżeli graf nie ma pętli (albo na przekątnej ma 0), to stopień wierzchołka jest równy sumie elementów w odpowiednim wierszu lub kolumnie macierzy A(G) x 1 a h b i c x 2 g x 4 d j f e x 5 deg(x 5) = 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x / 69

24 Własności macierzy sąsiedztwa elementy wzdłuż głównej przekątnej są wszystkie zerami wtedy i tylko wtedy, gdy graf nie ma pętli. k x 3 jeżeli graf nie ma pętli (albo na przekątnej ma 0), to stopień wierzchołka jest równy sumie elementów w odpowiednim wierszu lub kolumnie macierzy A(G) macierz sąsiedztwa grafu nieskierowanego jest macierzą symetryczną x 1 a h b i c x 2 g x 4 d j f e x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x / 69

25 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. 25 / 69

26 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. 26 / 69

27 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = / 69

28 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = 0. Załóżmy, że cecha P ma własności 28 / 69

29 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = 0. Załóżmy, że cecha P ma własności (a) P(G) = P(G ), jeśli grafy G i G są izomorficzne, 29 / 69

30 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = 0. Załóżmy, że cecha P ma własności (a) P(G) = P(G ), jeśli grafy G i G są izomorficzne, (b) P(G) = 0 dla grafu pustego (bez krawędzi) oraz P(G) = 1 dla grafu pełnego o dostatecznie dużej liczbie wierzchołków, 30 / 69

31 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = 0. Załóżmy, że cecha P ma własności (a) P(G) = P(G ), jeśli grafy G i G są izomorficzne, (b) P(G) = 0 dla grafu pustego (bez krawędzi) oraz P(G) = 1 dla grafu pełnego o dostatecznie dużej liczbie wierzchołków, (c) dodawanie krawędzi nie narusza własności P. 31 / 69

32 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = 0. Załóżmy, że cecha P ma własności (a) P(G) = P(G ), jeśli grafy G i G są izomorficzne, (b) P(G) = 0 dla grafu pustego (bez krawędzi) oraz P(G) = 1 dla grafu pełnego o dostatecznie dużej liczbie wierzchołków, (c) dodawanie krawędzi nie narusza własności P. Przykładem takiej własności jest istnienie cyklu. 32 / 69

33 Własności macierzy sąsiedztwa Twierdzenie Jeśli P jest własnością spełniającą (a) (c), to każdy algorytm testujący P na podstawie macierzy sąsiedztwa wykonuje, w najgorszym przypadku Ω(n 2 ) kroków. 33 / 69

34 Własności macierzy sąsiedztwa Twierdzenie Jeśli P jest własnością spełniającą (a) (c), to każdy algorytm testujący P na podstawie macierzy sąsiedztwa wykonuje, w najgorszym przypadku Ω(n 2 ) kroków. Twierdzenie Niech A(G) będzie macierzą sąsiedztwa grafu G. Wówczas liczba dróg długości k pomiędzy wierzchołkami x i i x j jest równa b ij, gdzie B = A k. 34 / 69

35 Przykład k x 3 h i x 2 g x 4 j e x 1 a b c d f x 5 Drogi długości 2 obliczamy wyznaczając A / 69

36 Przykład k x 3 h i x 2 g x 4 j e x 1 a b c d f B = A 2 = x Drogi długości 2 obliczamy wyznaczając A = / 69

37 Przykład Na przykład k x 3 b 42 = a 41a 12 + a 42a 22 + a 43a 32 + a 44a 42 +a 45a 52 = = 4 h i x 2 g x 4 j e Są to drogi gh, gi, jk, fj x 1 a b c d f B = A 2 = x Drogi długości 2 obliczamy wyznaczając A = / 69

38 Przykład k x 3 h i x 2 g x 4 j e x 1 a b c d f Wykonując odpowiednie działania otrzymujemy x 5 A 3 = A4 = / 69

39 Przykład k x 3 Nie są to najkrótsze drogi. h i x 2 g x 4 j e x 1 a b c d f Wykonując odpowiednie działania otrzymujemy x 5 A 3 = A4 = / 69

40 Lista krawędzi Rozważmy graf G o n krawędziach. Lista krawędzi grafu G implementujemy w postaci dwóch tablic F = (f 1, f 2,..., f m), H = (h 1, h 2,..., h m). gdzie {f i, h i } reprezentuje krawędź grafu G (łączącą wierzchołki f i i g i ) / 69

41 Lista krawędzi Rozważmy graf G o n krawędziach. Lista krawędzi grafu G implementujemy w postaci dwóch tablic F = (f 1, f 2,..., f m), H = (h 1, h 2,..., h m). gdzie {f i, h i } reprezentuje krawędź grafu G (łączącą wierzchołki f i i g i ) Mamy F = (1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3), H = (1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5) / 69

42 Listy krawędzi Rozważmy graf G o m krawędziach. Listy krawędzi grafu G implementujemy w postaci dwóch tablic F = (f 1, f 2,..., f m), H = (h 1, h 2,..., h m). gdzie {f i, h i } reprezentuje krawędź grafu G (łączącą wierzchołki f i i g i ). 2 5 Mamy F = (1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3), 1 3 H = (1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5). np. pętla - krawędź {1}, jest pamiętana jako {f 1, h 1} 4 42 / 69

43 Własności listy krawędzi Zaleta Do reprezentacji grafu potrzebujemy 2m jednostek pamięci (wygodne dla grafów rzadkich, gdzie liczba krawędzi jest znacznie mniejsza od liczby wierzchołków). 43 / 69

44 Własności listy krawędzi Zaleta Do reprezentacji grafu potrzebujemy 2m jednostek pamięci (wygodne dla grafów rzadkich, gdzie liczba krawędzi jest znacznie mniejsza od liczby wierzchołków). Wada Do uzyskania zbioru wierzchołków, do którego prowadzą krawędzie z danego wierzchołka potrzeba, w najgorszym przypadku, m kroków. 44 / 69

45 Listy incydencji Listę incydencji budujemy dla każdego z wierzchołków grafu. 45 / 69

46 Listy incydencji Listę incydencji budujemy dla każdego z wierzchołków grafu. Lista incydencji dla wierzchołka x i V zawiera listę takich wierzchołków u, że {x i, u} jest krawędzią w grafie. 46 / 69

47 Listy incydencji Listę incydencji budujemy dla każdego z wierzchołków grafu. Lista incydencji dla wierzchołka x i V zawiera listę takich wierzchołków u, że {x i, u} jest krawędzią w grafie. Lista incydencji dla grafu : : : : : / 69

48 Listy incydencji Listę incydencji budujemy dla każdego z wierzchołków grafu. Lista incydencji dla wierzchołka x i V zawiera listę takich wierzchołków u, że {x i, u} jest krawędzią w grafie. Lista incydencji dla grafu : : : : : / 69

49 Własności list incydencji lista incydencji składa się z wektora list 49 / 69

50 Własności list incydencji lista incydencji składa się z wektora list każdą krawędź, w grafach nieskierowanych, musimy pamiętać w dwóch różnych miejscach, jeżeli rozważymy krawędź {u, w}, to wierzchołek w znajduje się na liście incydencji wierzchołka v i na odwrót (powyższe spostrzeżenie nie dotyczy pętli) 50 / 69

51 Własności list incydencji lista incydencji składa się z wektora list każdą krawędź, w grafach nieskierowanych, musimy pamiętać w dwóch różnych miejscach, jeżeli rozważymy krawędź {u, w}, to wierzchołek w znajduje się na liście incydencji wierzchołka v i na odwrót (powyższe spostrzeżenie nie dotyczy pętli) Zalety liczba komórek potrzebnych do zapamiętania grafu o n wierzchołkach i m krawędziach jest, w najgorszym wypadku, proporcjonalna do m + n (na ogół wystarczy 2m komórek pamięci), 51 / 69

52 Własności list incydencji lista incydencji składa się z wektora list każdą krawędź, w grafach nieskierowanych, musimy pamiętać w dwóch różnych miejscach, jeżeli rozważymy krawędź {u, w}, to wierzchołek w znajduje się na liście incydencji wierzchołka v i na odwrót (powyższe spostrzeżenie nie dotyczy pętli) Zalety liczba komórek potrzebnych do zapamiętania grafu o n wierzchołkach i m krawędziach jest, w najgorszym wypadku, proporcjonalna do m + n (na ogół wystarczy 2m komórek pamięci), testowanie istnienia pojedynczej krawędzi, w reprezentacji przy pomocy listy incydencji, pochłania czas proporcjonalny do n, 52 / 69

53 Własności list incydencji lista incydencji składa się z wektora list każdą krawędź, w grafach nieskierowanych, musimy pamiętać w dwóch różnych miejscach, jeżeli rozważymy krawędź {u, w}, to wierzchołek w znajduje się na liście incydencji wierzchołka v i na odwrót (powyższe spostrzeżenie nie dotyczy pętli) Zalety liczba komórek potrzebnych do zapamiętania grafu o n wierzchołkach i m krawędziach jest, w najgorszym wypadku, proporcjonalna do m + n (na ogół wystarczy 2m komórek pamięci), testowanie istnienia pojedynczej krawędzi, w reprezentacji przy pomocy listy incydencji, pochłania czas proporcjonalny do n, listy incydencji umożliwiają śledzenie wszystkich połączeń wychodzących z wierzchołka. 53 / 69

54 Macierz incydencji Lista incydencji Niech graf G będzie grafem skierowanym bez pętli o wierzchołkach x 1, x 2,..., x n i krawędziach e 1, e 2,..., e m. 54 / 69

55 Macierz incydencji Lista incydencji Niech graf G będzie grafem skierowanym bez pętli o wierzchołkach x 1, x 2,..., x n i krawędziach e 1, e 2,..., e m. Macierz incydencji A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m określamy jako: 1 jeśli x i jest początkiem e j a ij = 1 jeśli x i jest końcem e j 0 w pozostałych przypadkach 55 / 69

56 Macierz incydencji Lista incydencji Niech graf G będzie grafem skierowanym bez pętli o wierzchołkach x 1, x 2,..., x n i krawędziach e 1, e 2,..., e m. e 1 x 1 x 2 Macierz incydencji A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m określamy jako: e 3 e 2 e 4 e 6 e 7 e 8 x 5 1 jeśli x i jest początkiem e j a ij = 1 jeśli x i jest końcem e j 0 w pozostałych przypadkach e 5 x 3 x 4 A(G) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e / 69

57 Macierz sąsiedztwa Lista incydencji Macierz sąsiedztwa dla grafu skierowanego definiujemy identycznie jak dla grafu nieskierowanego. Przypomnijmy więc, że Definicja a ij = { liczbie krawędzi łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j 0 jeśli nie istnieje krawędź od x i do x j 57 / 69

58 Macierz sąsiedztwa Lista incydencji Macierz sąsiedztwa dla grafu skierowanego definiujemy identycznie jak dla grafu nieskierowanego. Przypomnijmy więc, że Definicja a ij = { liczbie krawędzi łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j 0 jeśli nie istnieje krawędź od x i do x j 58 / 69

59 Przykład Lista incydencji Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy wierzchołkami. x 4 c x 1 d a b e x 2 x 3 Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci A = / 69

60 Przykład Lista incydencji Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy wierzchołkami. x 4 c x 1 d a b e x 2 x 3 Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci A = Wówczas A 2 = A3 = A4 = 60 / 69

61 Przykład Lista incydencji Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy wierzchołkami. x 4 c x 1 d a Wówczas A 2 = b e x 2 x Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci A = Są 4 drogi długości 2: A3 = a 2 13 = 1 - droga ca a 2 23 = 1 - droga ba a 2 24 = 2 - dwie drogi dc i ec A4 = 61 / 69

62 Przykład Lista incydencji Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy wierzchołkami. x 4 c x 1 d a b e x 2 x 3 Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci A = Są 2 drogi długości 3: a 3 23 = 2 - dwie drogi dca i eca Wówczas A 2 = A3 = A4 = 62 / 69

63 Przykład Lista incydencji Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy wierzchołkami. x 4 c x 1 d a b e x 2 x 3 Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci A = W grafie nie ma dróg długości 4 i więcej Wówczas A 2 = A3 = A4 = 63 / 69

64 Lista incydencji Lista incydencji Podobnie jak dla grafu nieskierowanego, listę incydencji dla digrafu budujemy dla każdego z jego wierzchołków. 64 / 69

65 Lista incydencji Lista incydencji Podobnie jak dla grafu nieskierowanego, listę incydencji dla digrafu budujemy dla każdego z jego wierzchołków. Lista incydencji dla wierzchołka x i V, zawiera listę takich wierzchołków u, że (x i, u) jest krawędzią w grafie. 65 / 69

66 Lista incydencji z d e u c x f a b y 66 / 69

67 Lista incydencji z d e u c x f a b y x : y : z : u : y z x, u x, y 67 / 69

68 Lista incydencji z d e u c x f a b y x : y : z : u : y z x, u x, y W listach incydencji dla digrafów, każda krawędź pamiętana jest tylko raz. 68 / 69

69 Lista incydencji Dziękuję za uwagę!!! 69 / 69

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 Grafy, algorytmy grafowe

Wykład 10 Grafy, algorytmy grafowe . Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016

. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016 Podstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki 9 czerwca 2016 1 42 Plan 1 Wstęp 2 Teoria grafów 3 Grafy jako struktury danych 4 Zastosowania grafów 2 42 Wstęp Wstęp

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34

a) 7 b) 19 c) 21 d) 34 Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy z powracaniem

Algorytmy z powracaniem Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Ogólne wiadomości o grafach

Ogólne wiadomości o grafach Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne

Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,

Bardziej szczegółowo

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew

Drzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne

E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 7: Przydziały w grafach i sieciach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 26-83-95-04, p.225/00 Zakład

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ELEMENTY TEORII GRAFÓW Literatura: N.Deo Teoria grafów i e zastosowania... PWN (1980) Ross, Wright Matematyka yskretna PWN (199) R.Wilson Wprowazenie o teorii grafów PWN (1999) J.Kulikowski Zarys teorii

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Teoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

AiSD zadanie trzecie

AiSD zadanie trzecie AiSD zadanie trzecie Gliwiński Jarosław Marek Kruczyński Konrad Marek Grupa dziekańska I5 5 czerwca 2008 1 Wstęp Celem postawionym przez zadanie trzecie było tzw. sortowanie topologiczne. Jest to typ sortowania

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego

Bardziej szczegółowo

10. Kolorowanie wierzchołków grafu

10. Kolorowanie wierzchołków grafu p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci

Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy

Bardziej szczegółowo

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie

Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 Macierze i wyznaczniki

Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1

Zofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1 Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Grafy podstawowe pojęcia

Grafy podstawowe pojęcia 71 Grafy podstawowe pojęcia Graf jest najbardziej złożoną strukturą dynamiczną. W przeciwieństwie do drzewa i listy, które są szczególnymi przypadkami grafów, nie nakładamy tu żadnych ograniczeń, jeśli

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład IV: dla łańcuchów Markowa 14 marca 2017 Wykład IV: Klasyfikacja stanów Kiedy rozkład stacjonarny jest jedyny? Przykład Macierz jednostkowa I wymiaru #E jest macierzą stochastyczną. Dla tej macierzy

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych.

Algorytmy i Struktury Danych. Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow 9: Digrafy (grafy skierowane) Spis zagadnień Digrafy Porządki częściowe Turnieje Przykłady: głosowanie większościowe, ścieżka krytyczna Digraf (graf skierowany) Digraf to równoważny termin z terminem graf

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe

WSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej WTĘP DO INFORMATYKI Adrian Horzyk Grafy i struktury grafowe www.agh.edu.pl DEFINICJA GRAFU Graf to

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania Grafy i Grafy i 5: Rozpinające Spis zagadnień Grafy i i lasy cykle fundamentalne i własności cykli i rozcięć przestrzenie cykli i rozcięć* : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy bez pamięci w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz

Bardziej szczegółowo

Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe.

Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Oznaczenia G = V, E - graf bez wag, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi V = n - liczba wierzchołków grafu G E = m

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,

Bardziej szczegółowo

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA

KURS MATEMATYKA DYSKRETNA KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy

Bardziej szczegółowo

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI

TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów

Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów Rozważmy rysunki 1. Schemat mostów na rzece Pregole w Królewcu 2. Drzewo prawdopodobieństwa przy rzucie moneta 3. Schemat

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa 1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne

Bardziej szczegółowo

26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136

26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,

Bardziej szczegółowo

Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3}

Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3} Grafy Definicja grafu nieskierowanego. Grafem nieskierowanym nazywamy uporządkowaną trójkę: gdzie: V- niepusty zbiór wierzchołków grafu G E- zbiór wszystkich krawędzi grafu G - funkcja ze zbioru E w zbiór

Bardziej szczegółowo

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25 MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno

Bardziej szczegółowo

5. Najkrótsze ścieżki

5. Najkrótsze ścieżki p. Definicja 5. Najkrótsze ścieżki 5.1 Odległości w grafach: definicje i własności (Długość ścieżki). Długościa ścieżki nazywamy liczbę krawędzi występujacych w tej ścieżce. Bardziej formalnie, jeżeli

Bardziej szczegółowo

Klasyczne zagadnienie przydziału

Klasyczne zagadnienie przydziału Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące.

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące. Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące. Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Digraf o V wierzchołkach posiada V 2 krawędzi, zatem liczba różnych digrafów o V wierzchołkach wynosi 2 VxV

Digraf o V wierzchołkach posiada V 2 krawędzi, zatem liczba różnych digrafów o V wierzchołkach wynosi 2 VxV Graf skierowany (digraf) zbiór wierzchołków i zbiór krawędzi skierowanych łączących (co najwyżej jeden raz) uporządkowane pary wierzchołków. Mówimy wtedy, że krawędź łączy pierwszy wierzchołek z drugim

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo