Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
|
|
- Aleksander Marszałek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69
2 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
3 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). Definicja Określmy macierz A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m w następujący sposób: 3 / 69
4 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). Definicja Określmy macierz A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m w następujący sposób: { 1 krawędź e j jest incydentna do i tego wierzchołka x i, a ij = 0 w przeciwnym przypadku. 4 / 69
5 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). Definicja Określmy macierz A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m w następujący sposób: { 1 krawędź e j jest incydentna do i tego wierzchołka x i, a ij = 0 w przeciwnym przypadku. Tak określona macierz A(G) nazywa się macierzą incydencji. 5 / 69
6 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). Definicja Określmy macierz A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m w następujący sposób: { 1 krawędź e j jest incydentna do i tego wierzchołka x i, a ij = 0 w przeciwnym przypadku. Tak określona macierz A(G) nazywa się macierzą incydencji. x 1 a x2 b x 3 g f d c e x5 x 4 6 / 69
7 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). Definicja Określmy macierz A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m w następujący sposób: { 1 krawędź e j jest incydentna do i tego wierzchołka x i, a ij = 0 w przeciwnym przypadku. Tak określona macierz A(G) nazywa się macierzą incydencji. x 1 a x2 g f b d x 3 c A(G) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 a b c d e f g e x5 x 4 7 / 69
8 Własności macierzy incydencji każda kolumna A(G) zawiera dokładnie dwie jedynki, ponieważ każda krawędź jest incydentna do dokładnie dwóch wierzchołków x 1 a x2 b x 3 g f d c e x5 x 4 Krawędź a jest incydentna do wierzchołków x 1 i x 2. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 a b c d e f g / 69
9 Własności macierzy incydencji każda kolumna A(G) zawiera dokładnie dwie jedynki, ponieważ każda krawędź jest incydentna do dokładnie dwóch wierzchołków liczba jedynek w każdym wierszu równa się stopniowi odpowiadającego mu wierzchołka x 1 a x2 g f b d x 3 c e x5 x 4 deg(x 2) = 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 a b c d e f g / 69
10 Własności macierzy incydencji każda kolumna A(G) zawiera dokładnie dwie jedynki, ponieważ każda krawędź jest incydentna do dokładnie dwóch wierzchołków liczba jedynek w każdym wierszu równa się stopniowi odpowiadającego mu wierzchołka wiersz złożony z samych zer reprezentuje wierzchołek izolowany x 1 a x2 x5 g f b e d x 3 x 4 c x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 a b c d e f g / 69
11 Własności macierzy incydencji każda kolumna A(G) zawiera dokładnie dwie jedynki, ponieważ każda krawędź jest incydentna do dokładnie dwóch wierzchołków liczba jedynek w każdym wierszu równa się stopniowi odpowiadającego mu wierzchołka wiersz złożony z samych zer reprezentuje wierzchołek izolowany krawędzie równoległe tworzą identyczne kolumny Krawędzie c i d są równoległe x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 a x2 x5 g f b e d x 3 x 4 a b c d e f g c 11 / 69
12 Własności macierzy incydencji c.d. Z algorytmicznego punktu widzenia macierz incydencji jest najgorszą formą reprezentacji grafu. 12 / 69
13 Własności macierzy incydencji c.d. Z algorytmicznego punktu widzenia macierz incydencji jest najgorszą formą reprezentacji grafu. 1 wymaga zdefiniowania tablicy o n m komórkach, z których większość jest wypełniona zerami, 13 / 69
14 Własności macierzy incydencji c.d. Z algorytmicznego punktu widzenia macierz incydencji jest najgorszą formą reprezentacji grafu. 1 wymaga zdefiniowania tablicy o n m komórkach, z których większość jest wypełniona zerami, 2 odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź łącząca konkretne wierzchołki wymaga wykonania m kroków (przeszukania m kolumn). 14 / 69
15 Modyfikacje macierzy incydencji W przypadku, gdy graf G ma pętle, wówczas macierz incydencji A(G) można zdefiniować następująco: 15 / 69
16 Modyfikacje macierzy incydencji W przypadku, gdy graf G ma pętle, wówczas macierz incydencji A(G) można zdefiniować następująco: jeśli krawędź e j jest incydentna do 1 i tego wierzchołka x i i nie jest pętlą przy x i, a ij = 2 jeśli krawędź e j jest pętlą przy wierzchołku x i, 0 w pozostałych przypadkach 16 / 69
17 Macierz sąsiedztwa Niech będzie dany graf G nieskierowany o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n). 17 / 69
18 Macierz sąsiedztwa Niech będzie dany graf G nieskierowany o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n). Definicja Określamy macierz A(G) = [a ij ] n n w następujący sposób: a ij = { liczbie krawędzi łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j 0 jeśli nie istnieje krawędź od x i do x j 18 / 69
19 Macierz sąsiedztwa Niech będzie dany graf G nieskierowany o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n). Definicja Określamy macierz A(G) = [a ij ] n n w następujący sposób: a ij = { liczbie krawędzi łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j 0 jeśli nie istnieje krawędź od x i do x j Tak określoną macierz kwadratową stopnia n nazywamy macierzą sąsiedztwa (przyległości). 19 / 69
20 Macierz sąsiedztwa Niech będzie dany graf G nieskierowany o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n). Definicja Określamy macierz A(G) = [a ij ] n n w następujący sposób: a ij = { liczbie krawędzi łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j 0 jeśli nie istnieje krawędź od x i do x j Tak określoną macierz kwadratową stopnia n nazywamy macierzą sąsiedztwa (przyległości). x 1 a h b i c x 2 k j g x 4 d f e x 3 A(G) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x x 5 20 / 69
21 Własności macierzy sąsiedztwa elementy wzdłuż głównej przekątnej są wszystkie zerami wtedy i tylko wtedy, gdy graf nie ma pętli. k x 3 h i x 2 g x 4 j e x 1 a b c d f x 5 Krawędź f jest pętlą przy wierzchołku x 4, więc a 44 = 1 oraz k jest pętlą przy wierzchołku x 2, więc a 22 = 1. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x / 69
22 Własności macierzy sąsiedztwa elementy wzdłuż głównej przekątnej są wszystkie zerami wtedy i tylko wtedy, gdy graf nie ma pętli. k x 3 jeżeli graf nie ma pętli (albo na przekątnej ma 0), to stopień wierzchołka jest równy sumie elementów w odpowiednim wierszu lub kolumnie macierzy A(G) x 1 a h b i c x 2 g x 4 d j f e x 5 deg(x 5) = 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x / 69
23 Własności macierzy sąsiedztwa elementy wzdłuż głównej przekątnej są wszystkie zerami wtedy i tylko wtedy, gdy graf nie ma pętli. k x 3 jeżeli graf nie ma pętli (albo na przekątnej ma 0), to stopień wierzchołka jest równy sumie elementów w odpowiednim wierszu lub kolumnie macierzy A(G) x 1 a h b i c x 2 g x 4 d j f e x 5 deg(x 5) = 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x / 69
24 Własności macierzy sąsiedztwa elementy wzdłuż głównej przekątnej są wszystkie zerami wtedy i tylko wtedy, gdy graf nie ma pętli. k x 3 jeżeli graf nie ma pętli (albo na przekątnej ma 0), to stopień wierzchołka jest równy sumie elementów w odpowiednim wierszu lub kolumnie macierzy A(G) macierz sąsiedztwa grafu nieskierowanego jest macierzą symetryczną x 1 a h b i c x 2 g x 4 d j f e x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x / 69
25 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. 25 / 69
26 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. 26 / 69
27 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = / 69
28 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = 0. Załóżmy, że cecha P ma własności 28 / 69
29 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = 0. Załóżmy, że cecha P ma własności (a) P(G) = P(G ), jeśli grafy G i G są izomorficzne, 29 / 69
30 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = 0. Załóżmy, że cecha P ma własności (a) P(G) = P(G ), jeśli grafy G i G są izomorficzne, (b) P(G) = 0 dla grafu pustego (bez krawędzi) oraz P(G) = 1 dla grafu pełnego o dostatecznie dużej liczbie wierzchołków, 30 / 69
31 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = 0. Załóżmy, że cecha P ma własności (a) P(G) = P(G ), jeśli grafy G i G są izomorficzne, (b) P(G) = 0 dla grafu pustego (bez krawędzi) oraz P(G) = 1 dla grafu pełnego o dostatecznie dużej liczbie wierzchołków, (c) dodawanie krawędzi nie narusza własności P. 31 / 69
32 Własności macierzy sąsiedztwa Zaleta Odpowiedź na pytanie, czy istnieje krawędź z x i do x j dostajemy po jednym kroku. Wada Niezależnie od ilości krawędzi w grafie macierz zajmuje n 2 jednostek pamięci. Niech P oznacza pewną własność grafu G = V, E. Jeśli graf G ma własność P, to P(G) = 1, w przeciwnym wypadku P(G) = 0. Załóżmy, że cecha P ma własności (a) P(G) = P(G ), jeśli grafy G i G są izomorficzne, (b) P(G) = 0 dla grafu pustego (bez krawędzi) oraz P(G) = 1 dla grafu pełnego o dostatecznie dużej liczbie wierzchołków, (c) dodawanie krawędzi nie narusza własności P. Przykładem takiej własności jest istnienie cyklu. 32 / 69
33 Własności macierzy sąsiedztwa Twierdzenie Jeśli P jest własnością spełniającą (a) (c), to każdy algorytm testujący P na podstawie macierzy sąsiedztwa wykonuje, w najgorszym przypadku Ω(n 2 ) kroków. 33 / 69
34 Własności macierzy sąsiedztwa Twierdzenie Jeśli P jest własnością spełniającą (a) (c), to każdy algorytm testujący P na podstawie macierzy sąsiedztwa wykonuje, w najgorszym przypadku Ω(n 2 ) kroków. Twierdzenie Niech A(G) będzie macierzą sąsiedztwa grafu G. Wówczas liczba dróg długości k pomiędzy wierzchołkami x i i x j jest równa b ij, gdzie B = A k. 34 / 69
35 Przykład k x 3 h i x 2 g x 4 j e x 1 a b c d f x 5 Drogi długości 2 obliczamy wyznaczając A / 69
36 Przykład k x 3 h i x 2 g x 4 j e x 1 a b c d f B = A 2 = x Drogi długości 2 obliczamy wyznaczając A = / 69
37 Przykład Na przykład k x 3 b 42 = a 41a 12 + a 42a 22 + a 43a 32 + a 44a 42 +a 45a 52 = = 4 h i x 2 g x 4 j e Są to drogi gh, gi, jk, fj x 1 a b c d f B = A 2 = x Drogi długości 2 obliczamy wyznaczając A = / 69
38 Przykład k x 3 h i x 2 g x 4 j e x 1 a b c d f Wykonując odpowiednie działania otrzymujemy x 5 A 3 = A4 = / 69
39 Przykład k x 3 Nie są to najkrótsze drogi. h i x 2 g x 4 j e x 1 a b c d f Wykonując odpowiednie działania otrzymujemy x 5 A 3 = A4 = / 69
40 Lista krawędzi Rozważmy graf G o n krawędziach. Lista krawędzi grafu G implementujemy w postaci dwóch tablic F = (f 1, f 2,..., f m), H = (h 1, h 2,..., h m). gdzie {f i, h i } reprezentuje krawędź grafu G (łączącą wierzchołki f i i g i ) / 69
41 Lista krawędzi Rozważmy graf G o n krawędziach. Lista krawędzi grafu G implementujemy w postaci dwóch tablic F = (f 1, f 2,..., f m), H = (h 1, h 2,..., h m). gdzie {f i, h i } reprezentuje krawędź grafu G (łączącą wierzchołki f i i g i ) Mamy F = (1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3), H = (1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5) / 69
42 Listy krawędzi Rozważmy graf G o m krawędziach. Listy krawędzi grafu G implementujemy w postaci dwóch tablic F = (f 1, f 2,..., f m), H = (h 1, h 2,..., h m). gdzie {f i, h i } reprezentuje krawędź grafu G (łączącą wierzchołki f i i g i ). 2 5 Mamy F = (1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3), 1 3 H = (1, 2, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5). np. pętla - krawędź {1}, jest pamiętana jako {f 1, h 1} 4 42 / 69
43 Własności listy krawędzi Zaleta Do reprezentacji grafu potrzebujemy 2m jednostek pamięci (wygodne dla grafów rzadkich, gdzie liczba krawędzi jest znacznie mniejsza od liczby wierzchołków). 43 / 69
44 Własności listy krawędzi Zaleta Do reprezentacji grafu potrzebujemy 2m jednostek pamięci (wygodne dla grafów rzadkich, gdzie liczba krawędzi jest znacznie mniejsza od liczby wierzchołków). Wada Do uzyskania zbioru wierzchołków, do którego prowadzą krawędzie z danego wierzchołka potrzeba, w najgorszym przypadku, m kroków. 44 / 69
45 Listy incydencji Listę incydencji budujemy dla każdego z wierzchołków grafu. 45 / 69
46 Listy incydencji Listę incydencji budujemy dla każdego z wierzchołków grafu. Lista incydencji dla wierzchołka x i V zawiera listę takich wierzchołków u, że {x i, u} jest krawędzią w grafie. 46 / 69
47 Listy incydencji Listę incydencji budujemy dla każdego z wierzchołków grafu. Lista incydencji dla wierzchołka x i V zawiera listę takich wierzchołków u, że {x i, u} jest krawędzią w grafie. Lista incydencji dla grafu : : : : : / 69
48 Listy incydencji Listę incydencji budujemy dla każdego z wierzchołków grafu. Lista incydencji dla wierzchołka x i V zawiera listę takich wierzchołków u, że {x i, u} jest krawędzią w grafie. Lista incydencji dla grafu : : : : : / 69
49 Własności list incydencji lista incydencji składa się z wektora list 49 / 69
50 Własności list incydencji lista incydencji składa się z wektora list każdą krawędź, w grafach nieskierowanych, musimy pamiętać w dwóch różnych miejscach, jeżeli rozważymy krawędź {u, w}, to wierzchołek w znajduje się na liście incydencji wierzchołka v i na odwrót (powyższe spostrzeżenie nie dotyczy pętli) 50 / 69
51 Własności list incydencji lista incydencji składa się z wektora list każdą krawędź, w grafach nieskierowanych, musimy pamiętać w dwóch różnych miejscach, jeżeli rozważymy krawędź {u, w}, to wierzchołek w znajduje się na liście incydencji wierzchołka v i na odwrót (powyższe spostrzeżenie nie dotyczy pętli) Zalety liczba komórek potrzebnych do zapamiętania grafu o n wierzchołkach i m krawędziach jest, w najgorszym wypadku, proporcjonalna do m + n (na ogół wystarczy 2m komórek pamięci), 51 / 69
52 Własności list incydencji lista incydencji składa się z wektora list każdą krawędź, w grafach nieskierowanych, musimy pamiętać w dwóch różnych miejscach, jeżeli rozważymy krawędź {u, w}, to wierzchołek w znajduje się na liście incydencji wierzchołka v i na odwrót (powyższe spostrzeżenie nie dotyczy pętli) Zalety liczba komórek potrzebnych do zapamiętania grafu o n wierzchołkach i m krawędziach jest, w najgorszym wypadku, proporcjonalna do m + n (na ogół wystarczy 2m komórek pamięci), testowanie istnienia pojedynczej krawędzi, w reprezentacji przy pomocy listy incydencji, pochłania czas proporcjonalny do n, 52 / 69
53 Własności list incydencji lista incydencji składa się z wektora list każdą krawędź, w grafach nieskierowanych, musimy pamiętać w dwóch różnych miejscach, jeżeli rozważymy krawędź {u, w}, to wierzchołek w znajduje się na liście incydencji wierzchołka v i na odwrót (powyższe spostrzeżenie nie dotyczy pętli) Zalety liczba komórek potrzebnych do zapamiętania grafu o n wierzchołkach i m krawędziach jest, w najgorszym wypadku, proporcjonalna do m + n (na ogół wystarczy 2m komórek pamięci), testowanie istnienia pojedynczej krawędzi, w reprezentacji przy pomocy listy incydencji, pochłania czas proporcjonalny do n, listy incydencji umożliwiają śledzenie wszystkich połączeń wychodzących z wierzchołka. 53 / 69
54 Macierz incydencji Lista incydencji Niech graf G będzie grafem skierowanym bez pętli o wierzchołkach x 1, x 2,..., x n i krawędziach e 1, e 2,..., e m. 54 / 69
55 Macierz incydencji Lista incydencji Niech graf G będzie grafem skierowanym bez pętli o wierzchołkach x 1, x 2,..., x n i krawędziach e 1, e 2,..., e m. Macierz incydencji A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m określamy jako: 1 jeśli x i jest początkiem e j a ij = 1 jeśli x i jest końcem e j 0 w pozostałych przypadkach 55 / 69
56 Macierz incydencji Lista incydencji Niech graf G będzie grafem skierowanym bez pętli o wierzchołkach x 1, x 2,..., x n i krawędziach e 1, e 2,..., e m. e 1 x 1 x 2 Macierz incydencji A(G) = [a ij ] n m dla i = 1,..., n, j = 1,..., m określamy jako: e 3 e 2 e 4 e 6 e 7 e 8 x 5 1 jeśli x i jest początkiem e j a ij = 1 jeśli x i jest końcem e j 0 w pozostałych przypadkach e 5 x 3 x 4 A(G) = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e / 69
57 Macierz sąsiedztwa Lista incydencji Macierz sąsiedztwa dla grafu skierowanego definiujemy identycznie jak dla grafu nieskierowanego. Przypomnijmy więc, że Definicja a ij = { liczbie krawędzi łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j 0 jeśli nie istnieje krawędź od x i do x j 57 / 69
58 Macierz sąsiedztwa Lista incydencji Macierz sąsiedztwa dla grafu skierowanego definiujemy identycznie jak dla grafu nieskierowanego. Przypomnijmy więc, że Definicja a ij = { liczbie krawędzi łączących wierzchołek x i z wierzchołkiem x j 0 jeśli nie istnieje krawędź od x i do x j 58 / 69
59 Przykład Lista incydencji Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy wierzchołkami. x 4 c x 1 d a b e x 2 x 3 Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci A = / 69
60 Przykład Lista incydencji Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy wierzchołkami. x 4 c x 1 d a b e x 2 x 3 Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci A = Wówczas A 2 = A3 = A4 = 60 / 69
61 Przykład Lista incydencji Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy wierzchołkami. x 4 c x 1 d a Wówczas A 2 = b e x 2 x Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci A = Są 4 drogi długości 2: A3 = a 2 13 = 1 - droga ca a 2 23 = 1 - droga ba a 2 24 = 2 - dwie drogi dc i ec A4 = 61 / 69
62 Przykład Lista incydencji Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy wierzchołkami. x 4 c x 1 d a b e x 2 x 3 Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci A = Są 2 drogi długości 3: a 3 23 = 2 - dwie drogi dca i eca Wówczas A 2 = A3 = A4 = 62 / 69
63 Przykład Lista incydencji Analogicznie jak dla grafów nieskierowanych, kolejne potęgi macierzy sąsiedztwa digrafu, odpowiadają macierzy zawierającej liczbę dróg pomiędzy wierzchołkami. x 4 c x 1 d a b e x 2 x 3 Macierz sąsiedztwa dla grafu jest postaci A = W grafie nie ma dróg długości 4 i więcej Wówczas A 2 = A3 = A4 = 63 / 69
64 Lista incydencji Lista incydencji Podobnie jak dla grafu nieskierowanego, listę incydencji dla digrafu budujemy dla każdego z jego wierzchołków. 64 / 69
65 Lista incydencji Lista incydencji Podobnie jak dla grafu nieskierowanego, listę incydencji dla digrafu budujemy dla każdego z jego wierzchołków. Lista incydencji dla wierzchołka x i V, zawiera listę takich wierzchołków u, że (x i, u) jest krawędzią w grafie. 65 / 69
66 Lista incydencji z d e u c x f a b y 66 / 69
67 Lista incydencji z d e u c x f a b y x : y : z : u : y z x, u x, y 67 / 69
68 Lista incydencji z d e u c x f a b y x : y : z : u : y z x, u x, y W listach incydencji dla digrafów, każda krawędź pamiętana jest tylko raz. 68 / 69
69 Lista incydencji Dziękuję za uwagę!!! 69 / 69
Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoG. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoMarek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoWykład 10 Grafy, algorytmy grafowe
. Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje. Plan. Wstęp. Teoria grafów Graf skierowany. Notatki. Notatki. Notatki. Notatki.
Podstawy Programowania Grafy i ich reprezentacje Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki 7 maja 09 / 4 Plan Wstęp Zastosowania grafów / 4 Wstęp Grafy są w informatyce strukturami danych stosowanymi w wielu
Bardziej szczegółowoCzy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowo. Podstawy Programowania 2. Grafy i ich reprezentacje. Arkadiusz Chrobot. 9 czerwca 2016
Podstawy Programowania 2 Grafy i ich reprezentacje Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki 9 czerwca 2016 1 42 Plan 1 Wstęp 2 Teoria grafów 3 Grafy jako struktury danych 4 Zastosowania grafów 2 42 Wstęp Wstęp
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoRozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy z powracaniem
Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoOgólne wiadomości o grafach
Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoSpis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne
Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................
Bardziej szczegółowo0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoŚcieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne
TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoE: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Grafy Berge a dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 6-83-95-0, p.5/00 Zakład Badań Operacyjnych i
Bardziej szczegółowo6. Wstępne pojęcia teorii grafów
6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 7: Przydziały w grafach i sieciach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 26-83-95-04, p.225/00 Zakład
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
ELEMENTY TEORII GRAFÓW Literatura: N.Deo Teoria grafów i e zastosowania... PWN (1980) Ross, Wright Matematyka yskretna PWN (199) R.Wilson Wprowazenie o teorii grafów PWN (1999) J.Kulikowski Zarys teorii
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoWykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoPorównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First
Bardziej szczegółowoAiSD zadanie trzecie
AiSD zadanie trzecie Gliwiński Jarosław Marek Kruczyński Konrad Marek Grupa dziekańska I5 5 czerwca 2008 1 Wstęp Celem postawionym przez zadanie trzecie było tzw. sortowanie topologiczne. Jest to typ sortowania
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Bardziej szczegółowo10. Kolorowanie wierzchołków grafu
p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoZagadnienie najkrótszej drogi w sieci
L L Zagadnienie najkrótszej drogi w sieci 1 Rozważmy sieć, gdzie graf jest grafem skierowanym (digrafem) a jest funkcją określoną na zbiorze łuków. Wartość tej funkcji na łuku!"$#%'&, którą oznaczać będziemy
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoAlgorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie
Algorytm Dijkstry znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie Używane struktury danych: V - zbiór wierzchołków grafu, V = {1,2,3...,n} E - zbiór krawędzi grafu, E = {(i,j),...}, gdzie i, j Î V i istnieje
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoGrafy podstawowe pojęcia
71 Grafy podstawowe pojęcia Graf jest najbardziej złożoną strukturą dynamiczną. W przeciwieństwie do drzewa i listy, które są szczególnymi przypadkami grafów, nie nakładamy tu żadnych ograniczeń, jeśli
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład IV: dla łańcuchów Markowa 14 marca 2017 Wykład IV: Klasyfikacja stanów Kiedy rozkład stacjonarny jest jedyny? Przykład Macierz jednostkowa I wymiaru #E jest macierzą stochastyczną. Dla tej macierzy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow
9: Digrafy (grafy skierowane) Spis zagadnień Digrafy Porządki częściowe Turnieje Przykłady: głosowanie większościowe, ścieżka krytyczna Digraf (graf skierowany) Digraf to równoważny termin z terminem graf
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO INFORMATYKI. Grafy i struktury grafowe
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej WTĘP DO INFORMATYKI Adrian Horzyk Grafy i struktury grafowe www.agh.edu.pl DEFINICJA GRAFU Graf to
Bardziej szczegółowoTemat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe.
Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Oznaczenia G = V, E - graf bez wag, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi V = n - liczba wierzchołków grafu G E = m
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania
Grafy i Grafy i 5: Rozpinające Spis zagadnień Grafy i i lasy cykle fundamentalne i własności cykli i rozcięć przestrzenie cykli i rozcięć* : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku ( Rozdział 1 Grafy skierowane W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami wyszukiwania najkrótszej drogi w grafach skierowanych Każdej krawȩdzi
Bardziej szczegółowoKlasyczne zagadnienie przydziału
Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie Odpowiedzi do zadania domowego www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST 1) b 2) a 3) b 4) d 5) c 6) d 7) b 8) b 9) d 10) a Zad. 1 ODPOWIEDZI
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoGrafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów
TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL I Grafy i grafy skierowane. Izomorfizmy grafów Rozważmy rysunki 1. Schemat mostów na rzece Pregole w Królewcu 2. Drzewo prawdopodobieństwa przy rzucie moneta 3. Schemat
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowo26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,
Bardziej szczegółowoGrafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3}
Grafy Definicja grafu nieskierowanego. Grafem nieskierowanym nazywamy uporządkowaną trójkę: gdzie: V- niepusty zbiór wierzchołków grafu G E- zbiór wszystkich krawędzi grafu G - funkcja ze zbioru E w zbiór
Bardziej szczegółowo5. Najkrótsze ścieżki
p. Definicja 5. Najkrótsze ścieżki 5.1 Odległości w grafach: definicje i własności (Długość ścieżki). Długościa ścieżki nazywamy liczbę krawędzi występujacych w tej ścieżce. Bardziej formalnie, jeżeli
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące.
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące. Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoMacierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoDigraf o V wierzchołkach posiada V 2 krawędzi, zatem liczba różnych digrafów o V wierzchołkach wynosi 2 VxV
Graf skierowany (digraf) zbiór wierzchołków i zbiór krawędzi skierowanych łączących (co najwyżej jeden raz) uporządkowane pary wierzchołków. Mówimy wtedy, że krawędź łączy pierwszy wierzchołek z drugim
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo