Matematyczne Podstawy Informatyki

Transkrypt

1 Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014

2 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój Ćwiczenia tablicowe: dwa kolokwia w ciągu semestru, kolokwium zbiorcze na ostatnich zajęciach. 3. Wykład: test na przedostatnich zajęciach, wpisy i kolokwium poprawkowe na zajęciach ostatnich.

3 Zakres materiału 1. Wprowadzenie do teorii grafów 2. Języki formalne 3. Automaty skończone 4. Elementy teorii obliczeń 5. Elementy kombinatoryki

4 Wprowadzenie do teorii grafów 1. Mapy drogowe 2. Sieci komputerowe 3. Dokumenty hipertekstowe 4. Obwody elektryczne, hydrauliczne itp. 5. Struktura programu

5 Grafy prosty, ogólny i digraf Grafy Graf prosty to niepusty zbiór skończony wierzchołków V (G) i skończony zbiór krawędzi E(G) łączących pary tych wierzchołków. Określoną parę wierzchołków łączy co najwyżej jedna krawędź. Graf, w którym dopuszczalne jest występowanie więcej niż jednej krawędzi łączącej dwa wierzchołki a także krawędzie łączące wierzchołek ze samym sobą (pętle) to graf ogólny. Graf skierowany (digraf) to niepusty, skończony zbiór wierzchołków (V (D)) i skończona rodzina A(D) par uporządkowanych elementów ze zbioru V (D) (pary te są często nazywane łukami).

6 Grafy prosty

7 Grafy ogólny

8 Graf skierowany - digraf

9 Dalsze definicje Stopień wierzchołka to liczba krawędzi wychodzących z danego wierzchołka. Trasa (ścieżka) jest to linia, po której można przejść z jednego wierzchołka do innego. Droga (ścieżka prosta) to taka trasa na której żaden wierzchołek nie występuje więcej niż raz. Cykl to taka droga, w której pierwszy i ostatni wierzchołek są takie same.

10 Przykłady grafów Graf pusty - graf, w którym zbiór krawędzi jest zbiorem pustym, każdy wierzchołek jest w nim izolowany. Oznaczany jest symbolem N n, gdzie n jest liczbą wierzchołków.

11 Przykłady grafów Graf pełny - graf, w którym każda para wierzchołków jest połączona krawędzią. Oznaczany jest symbolem K n, gdzie n jest liczbą wierzchołków.

12 Przykłady grafów Grafe cykliczny - to graf spójny, regularny stopnia 2 (oznaczany C n, gdzie n jest liczbą wierzchołków). Jeżeli zostanie usunięta jedna krawędź z grafu cyklicznego to powstanie graf liniowy (oznaczany P n, gdzie n jest liczbą wierzchołków). Jeżeli zostanie utwrzony graf z grafu C n 1 poprzez wstawienie jednego wierzchołka i połączenie go z wszystkimi pozostałymi to powstanie graf nazywany kołem (oznaczany W n, gdzie n jest liczbą wierzchołków).

13 Przykłady grafów Graf regularny - graf, w którym każdy wierzchołek ma ten sam stopień. Grafem regularnym stopnia r (grafem r-regularnym) nazywany jest graf, w którym każdy wierzchołek ma stopień r.

14 Przykłady grafów Graf dwudzielny - graf, w którym zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory, tak aby każda krawędź łączyła parę wierzchołków wziętych z jednego i drugiego zbioru. Oznaczany jest K m,n, gdzie m to liczba wierzchołków czarnych a n białych (na rysunku jest graf K 2,3 ).

15 Izomorfizm Izomorficzność grafów Grafy są izomorficzne jeżeli istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy ich wierzchołkami taka, że liczba krawędzi łączących dane dwa wierzchołki z jednego grafu jest równa liczbie krawędzi łączących odpowiadające im wierzchołki z drugiego grafu.

16 Izomorfizm

17 Spójność Istnieje możliwość połączenia dwóch grafów, jeżeli oznaczy się pierwszy graf jako G 1 natomiast drugi jako G 2 i założy się, że zbiory ich wierzchołków są rozłączne to można wówczas przedstawić graf, którego wierzchołki i krawędzie będą wierzchołkami i krawędziami z obu grafów. Graf jest spójny, gdy nie można go przedstawić w postaci sumy grafów (w przeciwnym razie jest niespójny).

18 Sąsiedztwo Dwa wierzchołki grafu G - x i y są sąsiednie, jeżeli istnieje krawędź xy, która je łączy (x i y są incydentne z tą krawędzią). Dwie krawędzie są sąsiednie jeśli mają wspólny wierzchołek.

19 Podgrafy Podgraf Podgraf grafu G to graf, którego wszystkie wierzchołki należą do V (G), a krawędzie należą do E(G).

20 Reprezentacja macierzowa Reprezentacja w postaci rysunku nie jest zawsze wygodna, szczególnie, gdy istnieje potrzeba przechowywania dużych grafów. Graf można przestawić w postaci macierzy sąsiedztwa o wymiarze n n (n jest liczbą wierzchołków), każda komórka z wiersza i-tego i j-tej kolumny tej tablicy pokazuje ile jest krawędzi łączących i z j. Można również przedstawienie macierzy incydencji. Komórka z wiersz i-tego i j-tej kolumny w tej macierzy pokazuje czy wierzchołek i jest incydentny z krawędzią j (zazwyczaj wpisuje się 1 jeśli jest albo 0 jeśli nie jest).

21 Reprezentacja macierzowa M = 4 A =

22 Reprezentacja grafów w postaci komputerowej 1. Przykład prezentuje graf zapisany za pomocą języka C Zaimplementowano klasę Graph. 3. Graf jest przechowywany w pamięci komputera jako wektor wektorów liczb całkowitych dodatnich. 4. W celu oszczędzenia pamięci przechowywana jest w pamięci górna macierz trójkątna (dlaczego jest to możliwe?).

23 Literatura Do napisania materiałów wykorzystano: 1. R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów, PWN R. Sedgewick Algorytmy w C++ - grafy, Wydawnictwo RM 2003