Wspomaganie Decyzji. Roman Słowiński. Zakład Inteligentnych Systemów Wspomagania Decyzji. Instytut Informatyki. Politechniki Poznańskiej

Transkrypt

1 Wspomaganie Decyzji Roman Słowiński Zakład Inteligentnyc Systemów Wspomagania Decyzji Instytut Informatyki Politecniki Poznańskiej Roman Słowiński

2 Problem decyzyjny Istnieje cel lub cele do osiągnięcia Istnieją alternatywne sposoby osiągnięcia tego celu (celów) Wybór najlepszego sposobu nie jest trywialny 2

3 Modele problemów decyzyjnyc Modele teorio-decyzyjne (matematyczne): optymalizacyjny (badania operacyjne) wielokryterialny (wielokryterialne wspomaganie decyzji) Modele sztucznej inteligencji: logiczny (maszynowe uczenie się) neuronowy (sztuczne sieci neuronowe) 3

4 Modele problemów decyzyjnyc Modelowanie matematyczne: Reprezentacja problemu decyzyjnego z użyciem funkcji rzeczywistyc (której argumentami są zmienne modelu), lub z użyciem relacji porządkującyc Forma reprezentacji: programowanie matematyczne, relacja preferencji w zbiorze wariantów decyzyjnyc Modele sztucznej inteligencji: Budowanie reprezentacji problemu decyzyjnego na drodze analizy przykładów decyzji (przykładów uczącyc) Forma reprezentacji: funkcje rzeczywiste, reguły decyzyjne, drzewa decyzyjne, sieci semantyczne

5 Modelowanie problemów decyzyjnyc a niedoskonałość informacji Racunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna [Bernoulli, 7] niepewność wynikająca z przypadkowej zmienności parametrów (werystyczna) Aksjomat o addytywności prawdopodobieństw zdarzeń rozłącznyc: P(A) + P( A) Teoria zbiorów rozmytyc [Zade, 9] niepewność natury subiektywnej (posybilistyczna) i nieostrość pojęć: ( ) + µ ( ) µ A A Teoria zbiorów przybliżonyc [Pawlak, 982] niepewność wynikająca z granularności informacji (niespójność, dwuznaczność): obiekt albo na pewno należy, albo być może należy, albo na pewno nie należy do zbioru A

6 Model programowania matematycznego ) rozwiązanie (wariant decyzyjny): [,..., n ] 2) funkcja celu (kryterium): f(,..., n ) 3) ograniczenia definiujące zbiór A rozwiązań dopuszczalnyc (wariantów decyzyjnyc): g i (,..., n ), i,...,m Problem programowania matematycznego: Należy: z f(,..., n ) MIN (lub MAX) przy ograniczeniac: g i (,..., n ) (lub ) b i, i,...,m

7 Problem programowania liniowego (PL) 7 { },...,n j,...,m i b,, a MIN c z j i n j j ij n j j j,, przy ograniczeniac:

8 Wielokryterialny problem PL (WPL) 8 { },...,n j,...,m i b,, a MIN c z c z j i n j j ij n j j k j k n j j j,, przy ograniczeniac:

9 Problemy decyzyjne modelowane w kategoriac programowania matematycznego, sprowadzalne do programowania liniowego Problem programowania ilorazowego c + c z d + d MIN przy ograniczeniac : A b, d + d > gdzie c T [,..., n], b [ b,...,bm ] [ c,...,c ], d [ d,...,d ] n n T Transformacja Carnesa-Coopera 9

10 Transformacja Carnesa-Coopera Wprowadzamy zmienne pomocnicze: u d + d u d + d, czyli u,...,n Podstawiając te zmienne do funkcji celu i ograniczeń, otrzymujemy: j j, j d + d c + c c + c d + d d + d d + d A b A b d + d d + d u d + d ponieważ d + d >, to d + cu + c d u Au bu > u >

11 Transformacja Carnesa-Coopera Ponadto dla powiązania u i u : u d d + d + u d d + d d + d du + du d + d Otrzymaliśmy następujący problem zastępczy równoważny problemowi programowania ilorazowego: z cu + cu MIN przy ograniczeniac : Au bu du + du u, u >

12 Transformacja Carnesa-Coopera Problem ten byłby problemem PL, gdyby u, a nie u > Tw. Jeżeli istnieje rozwiązanie optymalne problemu zastępczego ( ) z warunkiem u (czyli problemu PL) postaci u,u, takie że ( ), to wektor u > u,u jest rozwiązaniem optymalnym wyjściowego problemu programowania ilorazowego W zagadnieniac praktycznyc zazwyczaj spełniony jest warunek u >, dlatego stosowanie metody Carnesa-Coopera i rozwiązywanie problemu zastępczego jako problemu PL kończy się powodzeniem. 2

13 Problem programowania celowego z przy A gdzie c k w c ograniczeniac : b MIN T [,..., n], b [ b,...,bm ] [ c,...,c ],,...,k n c gdzie c są wartościami pożądanymi funkcji c,,..,k (cele) T 3

14 Wprowadzamy zmienne oznaczające odcyłki od celów: Mamy Otrzymujemy zastępczy równoważny problem PL: { } { } k,..., c,c ma y c,c ma y,, +,...,k y y y y y y c c y y c c,,, ( ),...,k,y y b A y y c c ograniczeniac : przy MIN y y w z k,,

15 + ( ) Tw. Jeśli, y, y jest rozwiązaniem optymalnym zastępczego problemu PL, to + y y,,...,k

16 Problem programowania min-ma (problem Czebyszewa) z przy A gdzie c MAX,...,k { w ( c c )} ograniczeniac : b MIN T [,..., n], b [ b,...,bm ] [ c,...,c ],,...,k n T

17 Wprowadzamy zmienną pomocniczą: funkcji typu α c można także sprowadzić do problemu PL w podobny sposób, wprowadzając dla każdej z tyc funkcji osobną zmienna typu α c c c,,...,k Otrzymujemy zastępczy równoważny problem PL: α MIN przy ograniczeniac : α,,..,k A b (zmienna α nie musi być nieujemna) Problem, w którym należy minimalizować sumę skończonej liczby MAX,...,k { w ( c c )} 7

18 Problem transportowy m liczba punktów nadawczyc (magazyny) n liczba punktów odbiorczyc (klienci) koszt transportu jednostki towaru z magazynu i do odbiorcy j d j zapotrzebowanie odbiorcy j s i ilość towaru w magazynie i Należy zminimalizować łączne koszty transportu Zmienna decyzyjna: ij ilość towaru przesłana z magazynu i do odbiorcy j 8

19 Problem transportowy z ij n j m i gdzie m i m n i j przy ograniczeniac : i,...,m, j,...,n s i ij ij s d i j c n j ij d MIN i,...,m j,...,n j ij Problem ten można rozwiązać metodą sympleksów 9

20 Problem przydziału m liczba zadań (programy) m liczba wykonawców (procesory) koszt wykonania i przez wykonawcę j Elementy tworzą macierz efektywności C[ ] o wymiarac m m Każde zadanie może być wykonywane przez co najwyżej jednego wykonawcę Każdy wykonawca może wykonać tylko jedno zadanie Należy tak przydzielić do wykonawców, by zminimalizować łączny koszt wykonania wszystkic zadań 2

21 Zmienna decyzyjna: ij,, gdy wykonawca i nie w przeciwnym razie jest przydzielony do j z m m i j c ij ij MIN przy ograniczeniac : m j ij i,...,m m i ij j,...,m ij {, } i,...,m, j,..., m Jest to problem - programowania liniowego Jest to także przypadek szczególny problemu transportowego, gdzie s i d j, nm i zmienna decyzyjna jest - 2

22 Problem transportowy ma tę korzystną własność, że jeżeli s i i d j są liczbami całkowitymi i istnieje coćby jedno rozwiązanie dopuszczalne, to istnieje rozwiązanie optymalne, w którym ij są wszystkie liczbami całkowitymi lub zerami Metoda sympleksowa znajduje to całkowitoliczbowe rozwiązanie optymalne Dzieje się tak dlatego, gdyż macierz współczynników ograniczeń A problemu transportowego jest unimodularna (wyznacznik dowolnej podmacierzy kwadratowej macierzy A jest, lub -), a wektor prawyc stron ograniczeń b jest złożony z liczb całkowityc (B - b) Problem przydziału ma zatem tę samą własność Istnieje jednak prostsza metoda rozwiązania problemu przydziału 22

23 Macierz efektywności C[ ] o wymiarac m m przydział niedopuszczalny Przydział do polega na wyborze konkretnego elementu Tyc m wybranyc elementów ma dać minimalną sumę 23

24 Operacje arytmetyczne na macierzy efektywności C[ ] nie powodujące zmiany rozwiązania optymalnego: Dodanie lub odjęcie dowolnej stałej od dowolnego wiersza lub kolumny macierzy C[ ] Np. odejmując 3 od wiersza i oraz dodając 2 do kolumny j otrzymamy: z gdyż m i j m m j c ij ij ij 3 m i ij m j ij + 2 m i ij m i j 3 + 2, tzn. funkcja celu ulega tylko przesunięciu o pewna stałą m c ij ij 2

25 Odejmijmy zatem najmniejszy element różny od zera w każdym wierszu i w każdej kolumnie:

26 Odejmijmy zatem najmniejszy element różny od zera w każdym wierszu i w każdej kolumnie:

27 Otrzymujemy macierz efektywności C[ ] z co najmniej m elementami zerowymi: Warunkiem koniecznym optymalnego przydziału jest dokonanie go według współrzędnyc elementów zerowyc macierzy C[ ] Warunkiem dostatecznym optymalnego przydziału jest niezależność m wybranyc elementów zerowyc macierzy C[ ], według któryc nastąpił przydział (para elementów niezależnyc elementy w dwóc różnyc wierszac i w dwóc różnyc kolumnac) 27

28 Twierdzenie Königa: Maksymalna liczba niezależnyc elementów zerowyc dowolnej macierzy C równa jest minimalnej liczbie linii koniecznyc do pokrycia wszystkic elementów zerowyc tej macierzy Na powyższyc elementac zerowyc macierzy C nie da się stworzyć optymalnego przydziału (3 linie 3 elementy zerowe niezależne < ) 28

29 Algorytm metody węgierskiej (dla minimalizacji łącznego kosztu przydziału). W każdym wierszu wyznacz minimalny element i odejmij go od każdego elementu tego wiersza

30 2. W każdej kolumnie wyznacz minimalny element i odejmij go od każdego elementu tej kolumny Jeśli w danym wierszu jest dokł. jedno nienaznaczone zero, to naznacz je symbolem i skreśl inne zera w odpowiadającej mu kolumnie.. Jeśli w danej kolumnie jest dokł. jedno nienaznaczone zero, to naznacz je symbolem i skreśl inne zera w odpowiadającym mu wierszu. 3

31 . Kroki 3 powtarzaj do wyczerpania. Jeśli znaleziono przydział do m zer, to jest on optymalny STOP.. Jeśli są jeszcze nienaznaczone zera, to naznacz jedno z nic symbolem ( północno-zacodnie ) i skreśl inne zera w odpowiadającej mu kolumnie i wierszu np. # # # # # # # # # # Zaznacz wiersze bez przydziału. 8. Zaznacz kolumny, które mają zero w dowolnym zaznaczonym wierszu. 9. Zaznacz wiersze, które mają przydział w zaznaczonyc kolumnac.. Powtarzaj kroki 8 9 do wyczerpania. 3

32 . Pokryj liniami niezaznaczone wiersze i zaznaczone kolumny Jeśli liczba linii pokrywającyc wszystkie zera jest równa liczbie naznaczonyc zer, to znajdź minimalny niepokryty element, odejmij go od niepokrytyc (zaznaczonyc) wierszy i dodaj do pokrytyc (zaznaczonyc) kolumn, po czym wróć do kroku 3. W przeciwnym razie przejdź do kroku 3. 32

33 . Pokryj liniami niezaznaczone wiersze i zaznaczone kolumny Jeśli liczba linii pokrywającyc wszystkie zera jest równa liczbie naznaczonyc zer, to znajdź minimalny niepokryty element, odejmij go od niepokrytyc (zaznaczonyc) wierszy i dodaj do pokrytyc (zaznaczonyc) kolumn, po czym wróć do kroku 3. W przeciwnym razie przejdź do kroku 3. 33

34 Kroki 3,, : Optymalny przydział: wykonawca zadanie koszt w z3 9 + w2 z2 + w3 z + w z 28 3

35 3. Skonstruuj graf skierowany o 2m+2 wierzcołkac: s, w,,w m, z,,z m, t. Dla każdego naznaczonego zera ( ) o współrzędnyc (i,j) utwórz łuk z j w i ; dla zer skreślonyc ( ) o współrzędnyc (i,j) łuk w i z j ; dla wierszy i bez przydziału łuk s w i ; dla kolumn j bez przydziału łuk z j t. np Konieczne są linie do pokrycia wszystkic zer, czyli istnieją zera niezależne, a przydziału dokonano tylko do 3 zer. 3

36 3. Skonstruuj graf skierowany o 2m+2 wierzcołkac: s, w,,w m, z,,z m, t. Dla każdego naznaczonego zera ( ) o współrzędnyc (i,j) utwórz łuk z j w i ; dla zer skreślonyc ( ) o współrzędnyc (i,j) łuk w i z j ; dla wierszy i bez przydziału łuk s w i ; dla kolumn j bez przydziału łuk z j t. w z s w2 w3 w z2 z3 z t wiersz (wykonawca) kolumna (zadanie) 3

39 . Z otrzymanego grafu utwórz sieć warstwową: do pierwszej warstwy wstaw wierzcołek s, do warstwy i+ wstaw każdy wierzcołek, którego nie ma w warstwie wcześniejszej, i do którego docodzi łuk z dowolnego wierzcołka warstwy i. W ostatniej warstwie znajdzie się wierzcołek t. w z s w2 w3 w z2 z3 z t wiersz (wykonawca) kolumna (zadanie) 39

40 . Z otrzymanego grafu utwórz sieć warstwową: do pierwszej warstwy wstaw wierzcołek s, do warstwy i+ wstaw każdy wierzcołek, którego nie ma w warstwie wcześniejszej, i do którego docodzi łuk z dowolnego wierzcołka warstwy i. W ostatniej warstwie znajdzie się wierzcołek t. w z s w2 z2 t w3 z3 w z sieć warstwowa s w z w z3 w2 z t z2 w3

41 . Przesuwając się po dowolnej ścieżce od t do s utwórz tzw. ścieżkę powiększającą przepływ. Naznacz ( ) zera skreślone o współrzędnyc (i,j), odpowiadające łukowi w i z j na tej ścieżce; cofnij ( ) przydział zer naznaczonyc o współrzędnyc (i,j), odpowiadającyc łukowi z j w i na tej ścieżce. W poniższej sieci są ścieżki powiększające przepływ sieć warstwowa s w z w z3 w2 z t z2 w3

42 . Przesuwając się po dowolnej ścieżce od t do s utwórz tzw. ścieżkę powiększającą przepływ. Naznacz ( ) zera skreślone o współrzędnyc (i,j), odpowiadające łukowi w i z j na tej ścieżce; cofnij ( ) przydział zer naznaczonyc o współrzędnyc (i,j), odpowiadającyc łukowi z j w i na tej ścieżce. ścieżka powiększająca przepływ s w z w z3 w2 z t 2

43 . Przesuwając się po dowolnej ścieżce od t do s utwórz tzw. ścieżkę powiększającą przepływ. Naznacz ( ) zera skreślone o współrzędnyc (i,j), odpowiadające łukowi w i z j na tej ścieżce; cofnij ( ) przydział zer naznaczonyc o współrzędnyc (i,j), odpowiadającyc łukowi z j w i na tej ścieżce.. Jeśli znaleziono przydział do m zer, to jest on optymalny STOP. 7. Wróć do kroku 7. w z w z3 w2 z z w z3 w2 3 Przydział optymalny 3

44 Uwagi uzupełniające: Ten sam algorytm można zastosować dla problemu maksymalizacji funkcji celu (zysku), jeśli zamieni się znaki elementów macierzy C[ ] na przeciwne. Jeśli macierz C[ ] nie jest kwadratowa, to można ją uzupełnić elementami zerowymi w kolumnac lub wierszac, tak aby uzyskać macierz kwadratową. Jeśli przydział i do j jest zakazany, to przyjmujemy.