są wielomianami nie jest wielomianem zerowym. Rozwiązując załoŝenie otrzymujemy dziedzinę wyraŝenia wymiernego.

Transkrypt

1 6.. WYRAśENIE WYMIERNE W ( ) WyraŜenie wymierne wyraŝa się wzorem y, gdzie W () i P() są wielomianami P( ) i P () nie jest wielomianem zerowym. Dziedziną wyraŝenia wymiernego jest zbiór D { : P( ) 0} Przykład 6.. Określ dziedzinę wyraŝenia wymiernego: + a) ZałoŜenie: 0 Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. PoniewaŜ nie dzielimy przez zero, zatem mianownik musi być róŝny od zera. / : Rozwiązując załoŝenie otrzymujemy dziedzinę wyraŝenia wymiernego. D : R \ Dziedziną wyraŝenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem miejsc zerowych mianownika. b) + + ZałoŜenie: + 0 Mianownik nie moŝe być zerem. a ; b ; c D : R \ {,0} Aby rozwiązać załoŝenie obliczamy miejsca zerowe mianownika korzystając ze wzorów: b 4 a c b a ; b + a Dziedziną wyraŝenia wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem miejsc zerowych mianownika.

2 Przykład 6... Oblicz wartości wyraŝenia wymiernego dla i. 9 ( ) + 5 Obliczamy wartość wyraŝenia wymiernego dla 9 9 ( ) sprzeczność 9 0 Wartość wyraŝenia dla nie istnieje. Obliczamy wartość wyraŝenia wymiernego dla nie naleŝy do dziedziny wyraŝenia wymiernego. 9 Skracanie wyraŝenia wymiernego polega na podzieleniu licznika i mianownika przez takie samo wyraŝenia róŝne od zera. Przykład 6... Skróć wyraŝenie wymierne: a) /: WyraŜenie wymierne skracamy przez 5 b) 6 Aby skrócić dane wyraŝenie wymierne musimy rozłoŝyć na czynniki mianownik i licznik. ( ) Rozkładając licznik przed nawias. wyciągamy czynnik ( ) 6 + Rozkładając mianownik 6 stosujemy wzór skróconego mnoŝenia a b a ab + b ( ) 6 ( ) ( ) /:( ) WyraŜenie 6 skracamy przez

3 c) a ; b ; c ( )( ) ( + ) + ( + ) ( + )( + ) Aby skrócić dane wyraŝenie wymierne musimy rozłoŝyć na czynniki mianownik i licznik. Rozkładając licznik + + korzystamy z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej. Obliczmy miejsca zerowe wyraŝenia + + korzystając ze wzorów b 4 a c b b + ; a a > + + a PoniewaŜ 0, to zapisując wyraŝenie w postaci iloczynowej stosujemy wzór ( )( ) Rozkładając mianownik stosujemy metodę grupowania wyrazów. WyraŜenia + nie moŝna rozłoŝyć na czynniki liniowe, poniewaŝ < ( + )( + ) + /: + ( + )( + ) ( ) + WyraŜenie przez skracamy Rozszerzanie wyraŝenia wymiernego polega na pomnoŝeniu licznika i mianownika przez takie samo wyraŝenia róŝne od zera. Przykład Rozszerz wyraŝenie wymierne tak, aby otrzymać wyraŝenie o wskazanym mianowniku: a) 6 ( ) / 6 9 Aby w mianowniku zamiast wyraŝenie otrzymać musimy rozszerzyć przez 6,.

4 b) 4 ( )( ) 4 + Aby zauwaŝyć przez ile musimy rozszerzyć ( ) ( + ) 4 + ( )( + ) / + 4 wyraŝenie, mianownik 4 rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru skróconego mnoŝenia a b ( a b)( a + b) Aby w mianowniku zamiast otrzymać 4, wyraŝenie musimy rozszerzyć przez +. Przykład Rozszerz wyraŝenia wymierne tak, aby miały jak najprostszy wspólny mianownik. + a) i + Najmniejszym wspólnym mianownikiem obu ( ) 6 wyraŝeń jest ( + )( ). Dlatego wyraŝenie + / ( ) ( + )( ) rozszerzamy przez ( ), natomiast + + ( + )( + ) / ( + ) ( )( + ) wyraŝenie przez ( +) b) i ( + ) ( ) ( ) Aby znaleźć najmniejszy wspólny mianownik danych wyraŝeń, ich mianowniki musimy rozłoŝyć ma czynniki Rozkładając mianownik wyciągamy czynnik przed nawias Rozkładając mianownik stosujemy wzór skróconego mnoŝenia a b a ab + b ( ) 9 ( ) ( ) ( )( ) ( ) / ( ) Najmniejszym wspólnym mianownikiem obu wyraŝeń jest ( ). Dlatego wyraŝenie rozszerzamy przez ( ),

5 9 6 + ĆWICZENIA ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ćwiczenie 6... (pkt.) Określ dziedzinę wyraŝenia: 5 natomiast wyraŝenie przez Podanie dziedziny wyraŝenia. Ćwiczenie 6... (pkt.) Dla jakich wartości parametrów a, b dziedziną wyraŝenia jest zbiór R /{,}. + a + b UłoŜenia układu równań z niewiadomymi a, b. Podanie a, b. Ćwiczenie 6... (pkt.) Oblicz wartość wyraŝenia Podanie wartości wyraŝenia dla dla. Ćwiczenie (pkt.) Skróć wyraŝenie RozłoŜenie licznika na czynniki. RozłoŜenie mianownika na czynniki. Podanie wyraŝenia po skróceniu. Ćwiczenie (pkt.) Rozszerz wyraŝenie wymierne tak, aby otrzymać wyraŝenie + wskazanym liczniku: +

6 RozłoŜenie licznika + na czynniki. Podanie wyraŝenia po rozszerzeniu.