Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Transkrypt

1 Wymgni edukcyjne, kontrol i ocen w nuczniu mtemtyki w zkresie podstwowym dl uczniów technikum część II

2 Figury n płszczyźnie krtezjńskiej L.p. Temt lekcji Uczeń demonstruje opnownie umiejętności rozwiązując zdni, w których potrfi: 1 Wektory n płszczyźnie krtezjńskiej obliczć współrzędne wektor orz jego długość, wyznczć współrzędne wektorów równych i przeciwnych, obliczć współrzędne środk wektor, zznczć wektory n płszczyźnie krtezjńskiej, gdy znne są jego skłdowe. Dziłni n wektorch wyznczć współrzędne wektor, który jest sumą, różnicą orz iloczynem wektor przez liczbę, interpretowć geometrycznie dziłni n wektorch, rozwiązywć zdni z prmetrem, których rozwiąznie sprowdz się do rozwiązni równń liniowych lub kwdrtowych. 3 Współczynnik kierunkowy prostej obliczć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dw dowolne punkty orz pisć równnie tej prostej w postci kierunkowej i ogólnej, pisć równnie prostej przechodzącej przez dny punkt, gdy znny jest jej współczynnik kierunkowy (w postci ogólnej i kierunkowej).

3 4 Wzjemne położenie prostych n płszczyźnie bdć równoległość i prostopdłość prostych, których równni podne są w postci kierunkowej, bdć równoległość i prostopdłość prostych, których równni podne są w postci ogólnej lub kierunkowej, rozwiązuje zdni prowdzące do rozwiązywni równń z prmetrem, w których wykorzystuje włsności prostych prostopdłych lub prostych równoległych. 5 Środek odcink i symetrln odcink obliczć długość odcink, wyznczć współrzędne środk odcink, pisć równnie symetrlnej odcink (o zdnych włsnościch), rozwiązywć zdni prowdzące do rozwiązywni równń liniowych lub kwdrtowych z prmetrem, w których wykorzystuje włsności symetrlnej odcink.

4 6 Odległość punktu od prostej i odległość dwóch prostych równoległych pisć równnie prostej prostopdłej do dnej prostej i przechodzącej przez dny punkt, obliczć współrzędne punktu przecięci się dwóch prostych obliczć odległość d punktu x 0, y 0 P od prostej Ax By C 0 korzystjąc z wzoru d Ax By C 0 0 A B obliczć odległość dwóch prostych równoległych określonych równnimi Ax By C 1 0, Ax By C 0 korzystjąc z C1 C wzoru d, A B rozwiązywć zdni z prmetrem, w których stosuje się wzór n odległość punktu od prostej, których rozwiąznie prowdzi do rozwiązni równń liniowych lub kwdrtowych. 7 Równnie okręgu i nierówność koł pisć równnie okręgu, gdy znne są współrzędne jego środk i promień, sprwdzć, czy dny punkt leży n okręgu o znnym równniu, obliczć współrzędne środk okręgu i jego promień, gdy równnie okręgu m postć ogólną, określć wzjemne położenie okręgów, gdy znne są ich równni, rysowć figury (koł i ich części) n płszczyźnie krtezjńskiej opisne ukłdem nierówności, opisywć figury ukłdmi równń i nierówności, które są kołmi ich częścią lub figurmi do których nie nleżą części koł, rozwiązywć zdni z prmetrem prowdzące do rozwiązywni równń liniowych lub kwdrtowych, w których wykorzystuje włsności wzjemnego położeni okręgów.

5 8 Wzjemne położenie prostej i okręgu obliczć odległość środk okręgu od prostej, czyli określć położenie prostej względem okręgu, obliczć współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu, obliczć njwiększą i njmniejszą odległość punktu leżącego n zewnątrz okręgu, rozwiązywć zdni z prmetrem prowdzące do rozwiązywni równń liniowych i kwdrtowych, w których wykorzystuje się włsności wzjemnego położeni prostej i okręgu.

6 9 Wyzncznie równń stycznych do okręgu korzystć z włsności stycznej do okręgu, określć położenie prostej względem okręgu, npisć równnie prostej l równoległej (prostopdłej) do prostej odległej od prostej l o zdną odległość, npisć równnie stycznej do okręgu w punkcie leżącym n okręgu o środku S i promieniu r, npisć równnie() stycznych do okręgu przechodzących przez punkt odległy od jego środk o więcej niż długość promieni, pisć równni stycznych do okręgu, które są równoległe lub prostopdłe do dnej prostej, obliczć współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu rozwiązując ukłd równń, z których jedno jest równniem prostej drugie równniem okręgu, rozwiązywć zdni z prmetrem dotyczące wzjemnego położeni prostej i okręgu orz prowdzące do równń z bezwzględną wrtością, równń kwdrtowych lub liniowych. 10 Trójkąt n płszczyźnie krtezjńskiej obliczć obwody trójkątów, sprwdzć, czy trójkąt jest prostokątny, gdy znne są jego wierzchołki lub proste, w których zwierją się boki, obliczć współrzędne wierzchołków trójkąt, wyznczć równni symetrlnych boków trójkąt, wyznczć równni prostych zwierjących środkowe trójkąt (środek ciężkości trójkąt), wyznczć równni prostych zwierjących wysokości trójkąt, obliczć pole i obwód trójkąt, gdy dne są współrzędne jego wierzchołków.

7

8 11 Czworokąty n płszczyźnie krtezjńskiej bdć równoległość i prostopdłość prostych (sprwdzć, czy czworokąt jest trpezem, równoległobokiem, prostokątem), obliczć współrzędne wierzchołków czworokątów i punkt przecięci przekątnych, wyznczć równni prostych zwierjących boki czworokąt, jego przekątne orz równni symetrlnych jego boków, wyznczć równni prostych zwierjących wysokości czworokąt, obliczć pole i obwód czworokąt, gdy znne są jego wierzchołki. 1 Symetri osiow względem osi ukłdu współrzędnych znjdowć obrzy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcink, okręgu, trójkąt itp.) w symetrii osiowej względem osi ukłdu współrzędnych, npisć równnie osi symetrii figury (jeśli on istnieje). 13 Symetri środkow względem początku ukłdu współrzędnych obliczyć współrzędne środk symetrii (o ile istnieje) figur n płszczyźnie krtezjńskiej, znjdowć obrzy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcink, okręgu, trójkąt itp.) w symetrii środkowej względem początku ukłdu współrzędnych.

9 Przeksztłcnie wykresów funkcji L.p. Temt lekcji Uczeń demonstruje opnownie umiejętności rozwiązując zdni, w których potrfi: 14 Obrz wykresów funkcji w symetrii względem osi ukłdu współrzędnych f x ) osi x i pisze wzór y f x, b) osi y i pisze wzór y f x mjąc dny wykres y szkicuje obrzy tych wykresów przeksztłcjąc je przez symetrię względem: 15 Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi ukłdu współrzędnych obliczyć współrzędne punktu przesuniętego równolegle do: ) osi x o p jednostek w prwo (lewo), b) osi y o q jednostek w dół (górę), obliczyć współrzędne punktu przesuniętego o wektor u p, 0 obliczyć współrzędne punktu przesuniętego o wektor w 0, q, gdzie p 0,, gdzie q 0, npisć wzór funkcji przesuniętej o wektor u p, 0 lbo o wektor w 0, q gdy m wzór funkcji przesunięci. y f x npisć wzory funkcji y f x p orz y f x q, i odwrotnie i podć wektor

10 16 Wykresy funkcji f x y k f x, y f k x gdzie k 0 y,, obliczyć bezwzględną wrtość liczby, gdzie R określić znk wrtości funkcji n podstwie wykresu, dl poszczególnych rgumentów, mjąc wykres funkcji nrysowć wykres funkcji gx f x y f x npisć wzór funkcji g x f x f x, f x, gdy gdy f f x x 0 0 dl kżdego punktu o współrzędnych x, f x obliczyć współrzędne punktu x, k f x, gdzie k R \ 0 mjąc wykres funkcji y f x nrysowć wykres gx f k x, czyli wiedzieć że obrz punktu 1 x, f x, k x x, f w powinowctwie prostokątnym o osi y i skli k jest punkt o współrzędnych y f x rysuje i pisze wzory funkcji y f x p, y f x q, y f x, y f x q orz wykresy funkcji y f x, y k f x i y f k x mjąc wykres funkcji p R i R, gdzie Funkcj kwdrtow L.p. Temt lekcji Uczeń demonstruje opnownie umiejętności rozwiązując zdni, w których potrfi: 17 Wykres i włsności funkcji wśród wzorów funkcji rozpoznć wzory funkcji kwdrtowych,

11 kwdrtowej y x rysowć wykresy funkcji y x, gdzie R \ 0, określić dziedzinę, zbiór wrtości, podć równnie osi symetrii wykresu, nzwć krzywą orz przyporządkowć wzór postci y x do wykresu funkcji, rysowć wykresy funkcji kwdrtowej y x, które są: ) symetryczne względem osi x, b) symetryczne względem osi y, c) przesunięte wzdłuż osi ukłdu współrzędnych. 18 Postć knoniczn funkcji kwdrtowej rysowć wykres i npisć wzór funkcji kwdrtowej określonej wzorem x x ) u p, 0, b) 0, q, c) w p, q f przesuniętej o wektor: podć wektor przesunięci, wierzchołek prboli i zwrot jej rmion, gdy wzór funkcji kwdrtowej m postć knoniczną y x p q, gdzie, p i q są liczbmi rzeczywistymi, funkcję kwdrtową zpisną w postci knonicznej zpisć w postci ogólnej i odwrotnie, interpretowć współczynniki, p i q we wzorze funkcji kwdrtowej zpisnej w postci knonicznej. 19 Postć knoniczn postć ogóln funkcji kwdrtowej wyrzić współrzędne wierzchołk W prboli, gdzie W p, q kwdrtowej zpisnej w postci ogólnej, w zleżności od współczynników liczbowych funkcji

12 szkicowć wykresy funkcji podnej w postci ogólnej zpisując jej wzór w postci knonicznej, interpretowć współczynniki występujące we wzorze funkcji kwdrtowej w postci ogólnej: ) obliczć współrzędne wierzchołk wykresu funkcji, b) podć współrzędne punktu przecięci się wykresu funkcji z osią y ( f 0 c ). 0 Miejsc zerowe funkcji kwdrtowej i jej postć iloczynow obliczyć miejsce zerowe funkcji kwdrtowej w postci ogólnej lub knonicznej, odczytć z wykresu funkcji kwdrtowej jej miejsc zerowe i zbiór wrtości, odróżnić miejsc zerowe funkcji kwdrtowej od punktów przecięci się jej wykresu z osią x, obliczyć współrzędne wierzchołk wykresu (prboli) funkcji kwdrtowej, gdy znne są jej miejsc zerowe i współczynnik, szkicowć wykres funkcji kwdrtowej korzystjąc z wzoru zpisnego w postci iloczynowej. 1 Njmniejsz i njwiększ wrtość funkcji kwdrtowej w przedzile domkniętym obliczć wrtość funkcji kwdrtowej n końcch przedziłu ( yw ymin lub yw ymax ), porównywć liczby gdy x W ; b ). f, b ; b, czyli f i b f, któr z wrtości jest njmniejsz, któr njwiększ ( f orz bdć czy x ; b W W f x porównywć z f i b f, Wyzncznie wzoru funkcji odczytć z wykresu funkcji kwdrtowej miejsc zerowe (o ile istnieją),

13 kwdrtowej n podstwie informcji o niej odczytć współrzędne wierzchołk wykresu funkcji kwdrtowej, npisć wzór funkcji kwdrtowej, gdy znne są jej miejsc zerowe i współrzędne wierzchołk W p, q, npisć wzór funkcji kwdrtowej, gdy znne są współrzędne wierzchołk wykresu funkcji i jeden punkt różny od wierzchołk, npisć oś symetrii wykresu funkcji kwdrtowej, gdy dny jest jej wzór lub współrzędne wierzchołk wykresu, npisć wzór funkcji kwdrtowej, gdy dne są trzy punkty leżące n jej wykresie, w tym jeden n osi x,. 3 Przeksztłcnie wykresów funkcji kwdrtowej mjąc wykres funkcji kwdrtowej y f x nszkicowć wykres funkcji g, gdzie: ) gx f x p, który powstje przez przesunięcie wykresu funkcji f o p jednostek wzdłuż osi x, czyli o wektor u p, 0, b) gx f x q, który powstje przez przesunięcie wykresu funkcji f wzdłuż osi y (w górę lub w dół), czyli o wektor 0, q c) gx f x, który powstje z przeksztłceni wykresu funkcji f przez symetrię względem osi x, d) gx f x, który powstje z przeksztłceni wykresu funkcji f względem osi y, e) gx k f x, gdzie k R \ 0, który powstje z przeksztłceni wykresu funkcji f przez powinowctwo prostokątne o osi x, f) gx f k f x, gdzie k R \ 0 powstje z przeksztłceni wykresu funkcji f przez powinowctwo prostokątne o osi x,, opisć przeksztłcenie, gdy n rysunku dne są wykresy funkcji f i g, z których jeden jest obrzem drugiego. 4 Nierówności kwdrtowe sprwdzć, czy dn liczb spełni nierówność kwdrtową, odczytć zbiory rozwiązń nierówności kwdrtowych z wykresu funkcji kwdrtowej,

14 rozwiązć zdni prowdzące do nierówności kwdrtowych. 5 Funkcj kwdrtow w zstosownich opisywć związek pomiędzy wielkościmi liczbowymi z pomocą nierówności, wykorzystywć włsności funkcji kwdrtowej do interpretcji zgdnień geometrycznych, fizycznych itp. (tkże osdzonych w kontekście prktycznym), posługiwć się poznnymi metodmi rozwiązywni równń kwdrtowych do obliczni, dl jkich rgumentów funkcj przyjmuje określone wrtości, rozwiązywć zdni prowdzące do rozwiązywni nierówności lub równń kwdrtowych. 6 Ukłdy równń, z dwiem niewidomymi, z których przynjmniej jedno jest stopni pierwszego podć ilustrcję grficzną równni okręgu, hiperboli x y i równni prboli, sporządzć ilustrcję grficzną ukłdów równń, z których przynjmniej jedno jest stopni drugiego, odczytć (jeśli jest to możliwe) współrzędne przecięci się figur, które są ilustrcją grficzną równń w ukłdzie równń, rozwiązć lgebricznie ukłdy równń, z których przynjmniej jedno jest stopni drugiego, rozwiązć prosty ukłd równń z prmetrem, w których obliczenie prmetru sprowdz się do rozwiązni równni (nierówności) liniowego lbo kwdrtowego, rozwiązć proste zdnie tekstowe prowdzące do rozwiązni ukłdów równń, z których jedno jest stopni drugiego.

15 7 Równnie kwdrtowe z prmetrem określić stopień równni w zleżności od wrtości współczynników przy niewidomej w równniu kwdrtowym i liniowym, tj. równnie x bx c jest kwdrtowe, gdy 0 orz jest liniowe, gdy 0 określić liczbę pierwistków równni kwdrtowego w zleżności od wyróżnik Δ, rozwiązywć ukłd nierówności (równń) typu 0 0 lub lub, 0 stosowć wzory Viete do wyznczni prmetru w równniu kwdrtowym, stosując wzory Viete obliczć wrtości wyrżeń, np.: 1 1 x, x x x itp. 8 Nierówność kwdrtow z prmetrem określć stopień trójminu kwdrtowego po sprowdzeniu go do postci x bx c, wykorzystuje włsności funkcji kwdrtowej do interpretcji zgdnień geometrycznych, bdć wrunki rozwiązni nierówności kwdrtowej w zleżności od wyróżnik Δ i współczynnik zleżnych od dnego prmetru, sporządzć wykres trójminu kwdrtowego, czyli funkcji kwdrtowej f x x bx c (1) 0, () 0, (3) 0, gdzie Δ zleży od prmetru. przy uwzględnieniu przypdków:

16 Wielominy L.p. Temt lekcji Uczeń demonstruje opnownie umiejętności rozwiązując zdni, w których potrfi: 9 Sum, różnic i iloczyn wielominów jednej zmiennej uporządkowć wielomin jednej zmiennej orz określć jego stopień, dodwć, odejmowć i mnożyć wielominy jednej zmiennej, określć wrunki jkie spełniją wielominy równe (zgdnieni z prmetrem) prowdzące do rozwiązywni równń kwdrtowych lub liniowych. 30 Dzielenie wielominów jednej zmiennej z resztą porządkowć wielomin mlejąco lub rosnąco, dzielić wielomin jednej zmiennej przez jednomin, dzielić wielominy jednej zmiennej przez dwumin postci x m i x b, gdzie R rozkłdć wielomin zeru ( R x 0 ) i wyłączjąc wspólny czynnik przed nwis, m, R \ 0 i b R, W x n czynniki, gdy przy dzieleniu wielominu przez dwumin x b reszt R z dzieleni jest równ rozkłdć wielomin n czynniki stosując wzoru skróconego mnożeni,

17 obliczć resztę z dzieleni wielominu W x przez r o reszcie z dzieleni wielominu przez dwumin x, x jko wrtość wielominu W r ( x W r rozwiązywć zdni z prmetrem, w których określ się dl jkiego prmetru wielomin (zdni te sprowdzją się do rozwiązywni równń kwdrtowych lub liniowych). R ), stosując twierdzenie W x jest podzielny przez x r 31 Pierwistki wielominu i twierdzeni o nich sprwdzć, czy dn liczb jest pierwistkiem wielominu, korzystć z tw. Bèzout (jeśli r jest pierwistkiem wielominu W x, to W x Qx x r i odwrotnie), stosowć twierdzeni o pierwistkch wymiernych wielominu o współczynnikch cłkowitych, rozwiązywć zdni z prmetrem i szukć pierwistków cłkowitych wśród wyrzu wolnego wielominu, rozwiązywć równni wielominowe djące się łtwo sprowdzić do równń kwdrtowych lub liniowych, wskzywć pierwistek wielokrotny wielominu, rozwiązywć zdni z prmetrem prowdzące do prostych równń wielominowych, kwdrtowych lub liniowych. 3 Rozkłdnie wielominów n czynniki Przypomnieć rozkłdnie niektórych wielominów przez stosownie: ) wzorów skróconego mnożeni, b) wyłączni wspólnego czynnik przed nwis, c) stosownie wzorów n oblicznie pierwistków trójminu kwdrtowego,

18 d) grupownie wyrzów i wyłącznie wspólnego czynnik przed nwis, e) stosowć tw. o dzieleniu wielominu przez x r. 33 Równni wielominowe określić czy dne równnie jest równniem jednej zmiennej, sprwdzć czy dn liczb jest rozwiązniem równni stopni wyższego niż, korzystć z włsności iloczynu b c 0 0 lub b 0 lub c 0 przy rozwiązywniu równni typu x x 1x 4x 9 0, 3 rozwiązywć równni typu 3x 0 x x 4 x kżde równnie postci x 0 x rozkłdjąc lewą jego stronę n czynniki x 3 0 x lub typu W zpisć tk, by lew stron był iloczynem trójminów kwdrtowych i wielominu I stopni lbo iloczynem trójminów kwdrtowych, rozwiązywć równni wielominowe djące się łtwo sprowdzić do równń kwdrtowych lbo równń kwdrtowych i liniowych, rozwiązywć równni wielominowe przez wprowdzenie pomocniczej niewidomej (np. równni dwukwdrtowe), rozwiązywć równni wielominowe z prmetrem. 34 Nierówności wielominowe sprwdzć czy dn liczb spełni nierówność wielominową, rozwiązywć proste nierówności wielominowe postci W x 0, W x 0, W x 0 i x 0 W metodą:

19 ) sitki znków, b) rysując linię znków, c) rysując wykresy funkcji f i g, gdy W x gx f x d) określ znk ilorzu lub iloczynu funkcji f i g,, gdzie funkcje f i g są co njwyżej drugiego stopni, rysowć przy pomocy komputer lub klkultor grficznego wykres x y W i odczytywć z rysunku znki tej funkcji. Wyrżeni wymierne L.p. Temt lekcji Uczeń demonstruje opnownie umiejętności rozwiązując zdni, w których potrfi: 35 Wyrżenie wymierne i jego dziedzin określć dziedzinę wyrżeni wymiernego z jedną niewidomą, w którego minowniku występuje wielomin djący się W x sprowdzić do iloczynu wielominów stopni pierwszego (np. dziedziną wyrżeni jest zbiór tych liczb dl Px których P x 0 ), określć dziedzinę wyrżeni wymiernego, gdy jego minownik jest iloczynem wielominów pierwszego lub drugiego stopni z prmetrem, wskzć wyrżeni wymierne równe.

20 36 Skrcnie i rozszerznie wyrżeń wymiernych W x określić dziedzinę wyrżeni P x, skrócić wyrżenie wymierne skrócić wyrżenie wymierne x x W, P x x W, P 37 Mnożenie i dzielenie wyrżeń wymiernych określć dziedzinę kżdego z wyrżeń, które mnożymy lub dzielimy, nim pomnoży wyrżeni rozłoży liczniki i minowniki n czynniki, skrcć, jeżeli to możliwe mjąc iloczyny wyrżeń wymiernych, np. x 4 x x x x x 3 x 8 x x x x 4 x x x 4 dzielić wyrżeni wymierne, gdzie P W x Qx Px M x :, przy czym zkłd, że W x 0 i M x 0 i x 0 x M x W x Qx Q. 38 Dodwnie i odejmownie wyrżeń wymiernych przypomnieć dziłni n wyrżenich lgebricznych, ustlić wspólny minownik wyrżeń wymiernych, które dodjemy lub odejmujemy i podć ich dziedzinę,

21 dodwć i odejmowć proste wyrżeni wymierne (nlogicznie jk wyrżeni lgebriczne). 39 Rozwiązywnie równń wymiernych rozwiązywć proste równni wymierne, których rozwiąznie sprowdz się do rozwiązywni równń kwdrtowych lub x 3x 5 x 1 x liniowych, np.: 0,, 4 x, 3 itp. x x 3 x x x 1 określ dziedzinę kżdego równni wymiernego, rozwiązywć ukłdy równń wymiernych prowdzących do rozwiązywni ukłdów równń, z których przynjmniej jedno jest stopni drugiego, rozwiązywć równni i ukłdy równń wymiernych przez wprowdzenie pomocniczej niewidomej, rozwiązuje zdni prowdzące do rozwiązywni równń lub ukłdów równń wymiernych. 40 Nierówności wymierne kżdą nierówność wymierną zpisć w jednej z postci: W x 0 P W x x 0 lub P W x x 0 lub P W x x 0 lub P W x x 0, gdzie

22 określić dziedzinę nierówności wymiernej orz korzystć z twierdzeń: Px Px ) 0 P xw x 0, b) 0 P xw x 0, W x W x P c) W P d) W x x x x 0 0, gdy P xw x 0 i x 0 W,, gdy P xw x 0 i x 0 W, rozwiązywć proste nierówności wymierne (po określeniu dziedziny nierówności) rozwiązywć ją jk nierówność wielominową (lub jko ukłd nierówności) 3x 1 1 x 5 3x Np.: lub itp. x x x 9 x 3x Funkcj wykłdnicz L.p. Temt lekcji Uczeń demonstruje opnownie umiejętności rozwiązując zdni, w których potrfi: 41 Potęg o wykłdniku rzeczywistym 3 szcowć wrtość potęgi, np.:, 3, itp. przedstwić w postci potęgi o zdnej, jednej podstwie wyrżeni, np.: 1 x x 1, 9 3 x 3 x, 1 1, wykonując dziłni n potęgch o wykłdnikch niewymiernych stosowć twierdzeni dotyczące dziłń n potęgch o wykłdnikch wymiernych,

23 rozwiązywć ukłdy prostych równń wykłdniczych prowdzących do równń kwdrtowych lub liniowych. 4 Wzór i wykres funkcji wykłdniczej wśród wzorów np. x y, x3 y, 1 x y 3, x y 3 itp. wskzć te, które są funkcjmi wykłdniczymi, szkicowć wykresy funkcji wykłdniczych o różnych podstwch, odczytć z wykresu x y, gdzie R i 1 włsności funkcji wykłdniczej, obliczć, dl jkiego rgumentu funkcj wykłdnicz przyjmuje dną wrtość, sprwdzć, czy punkt o dnych współrzędnych leży n wykresie funkcji wykłdniczej, obliczć ze wzoru wrtość funkcji dl dnego rgumentu orz posługując się poznnymi metodmi obliczć dl jkiego rgumentu funkcj wykłdnicz przyjmuje dną wrtość. 43 Przeksztłcnie wykresu funkcji wykłdniczej x mjąc wykres funkcji wykłdniczej x x ) gx x b) gx w symetrii względem osi x, w symetrii względem osi y, f, gdzie x p c) gx w przesunięciu o wektor u p, 0, x R i x 1 rysuje wykresy funkcji g tkich, że: d) gx x q w przesunięciu o wektor 0, q,

24 x mjąc wykres funkcji f x rysuje wykresy funkcji g tkich, że: gx f x, gx c f x i gx f c x Funkcj logrytmiczn L.p. Temt lekcji Uczeń demonstruje opnownie umiejętności rozwiązując zdni, w których potrfi: 44 Dziłni n logrytmch (powtórzenie) stosowć twierdzeni n: ) logrytm iloczynu: log x y log x log y x b) logrytm ilorzu: log log x log y n c) logrytm potęgi: log x n log x, gdzie n N y 1 d) zmienić podstwy logrytmu log x log i x log log b log c c b w prostych przykłdch obliczć niewidomą, któr jest pod znkiem logrytmu, np.: log x log log 5 log 3 szcuje wrtość logrytmów, np.: log 7, log 5 15 itp.

25 45 Funkcj logrytmiczn i jej włsności rysowć wykresy funkcji logrytmicznych o różnych podstwch np.: y log x, y log 0, 5 x itp. określć dziedzinę, zbiór wrtości funkcji logrytmicznej, miejsce zerowe orz określ monotoniczność w zleżności od podstwy logrytmu, korzystjąc z wykresu odpowiedniej funkcji logrytmicznej ) szcuje wrtość wyrżeni, np.: log 7, log 5 100, log 3 5 itp. b) porządkuje rosnąco lub mlejąco wrtości wyrżeń, np.: log 6, log 3 6, log 4 6 itp. 46 Przeksztłcnie wykresu funkcji logrytmicznej y i mjąc wykresy funkcji logrytmicznej f x y g x, gdzie funkcj g jest obrzem funkcji f określ jkie przeksztłcenie wykonno, by z wykresu funkcji g otrzymć wykres funkcji f (lub odwrotnie), mjąc wykres funkcji y log x szkicuje wykresy: y log x p, ) y log x p, b) c) y x p q log i podje wektor przesunięci, mjąc wykres funkcji ) y log x y log x rysuje wykres funkcji: y log x, c) y log x,, b) d) y log x, e) y k log x, f) y log k x, gdzie k 0 i opisuje to przeksztłcenie, mjąc wykres funkcji f x log x, gdzie R \ 1 ) gx log x i x R w symetrii względem osi x, szkicuje wykres funkcji g, gdzie

26 b) gx x log i x R i g x log x c) gx log x p i g x log x 1, d) gx log x q i g x log x q e) x f x g, f) gx c log x, h) g x log c x 1,, gdzie c x 0, 1, określć dziedzinę funkcji logrytmicznej orz tej, któr jest obrzem funkcji f x log x przeksztłcenich opisnych powyżej,, gdzie x R i R \ 1 w odczytć z wykresu funkcji logrytmicznej pewne dne i pisć jej wzór. Przykłdy zstosowni potęg i logrytmów L.p. Temt lekcji Uczeń demonstruje opnownie umiejętności rozwiązując zdni, w których potrfi: 47 Rozwiązywnie równń typu n x korzystć z definicji pierwistk do rozwiązywni równń typu ) gdy 0 i n jest liczbą nturlną dodtnią, b) gdy 0 i n jest liczbą nturlną nieprzystą, x n, gdzie n N orz:

27 n szkicuje wykres funkcji x x f dl liczb nturlnych: ) n przystych, b) n nieprzystych, określ liczbę rozwiązń równni x n, 6 3 rozwiązuje równni wielominowe np.: x 1 x x 1 0 x 3 3 x 1x 1 0 x itp. obliczć podstwę logrytmu, gdy dne są współrzędne punktu leżącego n wykresie funkcji dne są y i, y log x orz rgument x, gdy zpisuje potęgi liczb nturlnych w notcji wykłdniczej, korzystć przy obliczniu wrtości wyrżeń z twierdzeń o logrytmch ze szczególnym uwzględnieniem twierdzeni dotyczącego zminy podstwy logrytmu. 48 Wzrost, znik wykłdniczy i skl logrytmiczn zrozumieć omówienie włsności funkcji wykłdniczej przy jednkowych przyrostch rgumentu wrtość funkcji wykłdniczej rośnie (mleje) tyle smo rzy, sporządzć wykresy np.: t 0 3 ) f t f t znik wykłdniczy, b) f t f t 0 1,06 t wzrost wykłdniczy, gdzie 0 t chwil, w której rozpoczęto obserwcję, f t 0 wrtość początkow obserwcji, funkcje y f t opisują zjwisk fizyczne, chemiczne orz zgdnieni osdzone w kontekście prktycznym (spłcnie kredytu lub odsetki przy lokcie), opisć zjwisk zmienijące się wykłdniczo, przedstwienie n wykresie przy zstosowniu skli logrytmicznej,

28 opisć zjwisk np.: ) przy obliczniu głośności dźwięku, b) skli Richter przy trzęsieniu ziemi, c) odczynu ph w roztworch, d) stężeni leku we krwi itp. Ciągi liczbowe L.p. Temt lekcji Uczeń demonstruje opnownie umiejętności rozwiązując zdni, w których potrfi: 49 Pojęcie ciągu liczbowego, jego rodzje i sposoby określni wyznczć wyrzy ciągu określonego wzorem ogólnym, rozróżnić ciągi skończone i nieskończone, wyznczć wyrzy ciągu, które ilustruje grf, czyli odkryw reguły tworzeni kolejnych wyrzów ciągu, rozróżnić ciągi stłe, rosnące, mlejące i nprzemienne, wyznczć wzór n n-ty wyrz ciągu, gdy sum jego n początkowych wyrzów jest określon wzorem S n, obliczć wyrzy ciągu, gdy jest on określony wzorem rekurencyjnym, npisć wzór rekurencyjny ciągu określonego wzorem ogólnym, przedstwić ciąg określony wzorem w postci grfu, tbelki i wykresu.

29 50 Ciąg rytmetyczny i jego włsności zbdć, czy ciąg określony wzorem ogólnym jest rytmetyczny, ) npisć wzór n n-ty wyrz ciągu, gdy znne są 1 i r ciągu rytmetycznego, b) obliczyć w ciągu rytmetycznym jedną wielkość, gdy dne są trzy spośród: n, n, 1 i r, określić związek między oszczędzniem bez kpitlizcji odsetek ciągiem rytmetycznym, gdy stop oprocentowni jest stł. 51 Sum n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego stosowć wzory n n i S n ciągu rytmetycznego, gdy: ) oblicz się sumę wyrzów ciągu rytmetycznego równooddlonych od wyrzu początkowego i osttniego, b) oblicz się sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego, gdy: 1 ) znn jest wrtość 1, n i n, ) znn jest wrtość 1, n i r, c) wyznczć wzór n n-ty wyrz ciągu rytmetycznego, gdy sum S n określon jest wzorem, d) rozwiązywć proste równni, gdy lew jego stron jest sumą wyrzów ciągu rytmetycznego. 5 Ciąg geometryczny i jego włsności bdć czy ciąg jest geometryczny: ) podć wrunki, które powinny być spełnione, by trzy liczby w podnej kolejności tworzyły ciąg geometryczny orz: b) odróżnić ciąg rytmetyczny od geometrycznego, c) odróżnić różnicę ciągu rytmetycznego od ilorzu ciągu geometrycznego,

30 obliczyć dowolny wyrz ciągu geometrycznego określonego wzorem ogólnym, podć związek ciągu geometrycznego z wrtością kpitłu K 1, K,..., kpitlizcją odsetek (w jednkowych okresch czsowych), K n, gdy dochód z kpitłu K jest rozliczny łącznie z rozwiązywć proste zdni umieszczone w kontekście prktycznym, wymgjące znjomości wzoru n n-ty wyrz ciągu geometrycznego, wyznczć wzór ogólny ciągu geometrycznego n, gdy znne są jego dw wyrzy, które są podne lub zznczone n wykresie. 53 Sum n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego stosowć wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego, obliczć sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego, gdy znne są: ) 1 i q, b) wzór n wyrz ogólny ciągu geometrycznego, c) gdy znne są trzy kolejne wyrzy ciągu geometrycznego, obliczć jedną spośród czterech wielkości 1, q, n, S n, gdy znne są wrtości trzech, rozwiązuje zdni umieszczone w kontekście prktycznym z wykorzystniem wzoru n sumę S n.