Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 365. Powrót. Pełny ekran. Zamknij. Koniec

Transkrypt

1 Strona z 365

2 Przedmowa Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej. Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje, twierdzenia, przykłady i zadania) oraz z rozdziału jedenastego zawierającego rozwiązania i odpowiedzi do zadań. Materiał zawarty w podręczniku w rozdziałach od drugiego do dziewiątego obejmuje program wykładu z matematyki na pierwszym roku studiów w SGH. Przedstawione w nich są kolejno następujące tematy: własności funkcji rzeczywistych jednej zmiennej; ciągi i ich własności, granice ciągów; funkcje ciągłe; rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej; całki nieznaczone i oznaczone, elementy algebry liniowej, funkcje dwóch i wielu zmiennych. Dwa rozdziały, pierwszy i dziesiąty, zawierają materiał wykraczający poza program wykładu z matematyki. dresowane są one do studentów wybierających wykłady z zastosowań matematyki w różnych zagadnieniach ekonomicznych. Rozdział pierwszy zawiera elementy logiki i rachunku zbiorów. Wprowadzone jest w nim również pojęcie relacji, w szczególności relacji porządku i relacji Strona z 365

3 równoważności oraz definicja odwzorowania jako relacji. W rozdziale dziesiątym przedstawione są podstawy rachunku prawdopodobieństwa. Elektroniczna forma podręcznika pozwala na łatwe odnalezienie odpowiednich definicji i twierdzeń. Kolorem niebieskim wyróżnione są aktywne linki (spis treści, skorowidz, odsyłacze w tekście). Również łatwo można przejść, klikając na znak () przy numerze zadania, do strony zawierającej rozwiązanie tego zadania. Mamy nadzieję, że podręcznik ten ułatwi studentom poznanie i zrozumienie podstawowych pojęć z matematyki wyższej oraz umożliwi lepsze przygotowanie się do kolokwiów i egzaminów z tego przedmiotu. utorzy Strona 3 z 365

4 Elementy logiki i rachunku zbiorów, relacje i odwzorowania (Maria Ekes, Jacek Kłopotowski) 9. Rachunek zdań Rachunek zbiorów Rachunek kwantyfikatorów Relacje Odwzorowania Strona 4 z 365 Własności funkcji (Monika Dędys) 35. Dziedzina, zbiór wartości, wykres Funkcje różnowartościowe, funkcje na, funkcje wzajemnie jednoznaczne Monotoniczność funkcji

5 .4 Ekstrema lokalne funkcji Obraz i przeciwobraz Złożenie funkcji Funkcja odwrotna Ciągi liczbowe (Maria Ekes) 6 3. Ciągi liczbowe i ich własności Zbieżność ciągów Granica i ciągłość funkcji (Maria Ekes) Granica funkcji Ciągłość funkcji Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej (Maria Ekes, Jacek Kłopotowski) Pierwsza pochodna funkcji Interpretacje pochodnej Interpretacja geometryczna Interpretacja fizyczna Interpretacja ekonomiczna Zastosowania pochodnej Strona 5 z 365

6 5.3. Obliczanie granic wyrażeń nieoznaczonych Monotoniczność funkcji Ekstrema lokalne Ekstrema globalne funkcji Druga pochodna funkcji Zastosowania drugiej pochodnej Wyznaczanie ekstremów lokalnych Wypukłość i wklęsłość funkcji Tempo zmian wartości funkcji Badanie przebiegu zmienności funkcji i Całki (Monika Dędys) 3 6. Całka nieoznaczona Całka oznaczona Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Strona 6 z Przestrzeń liniowa R n (Jacek Kłopotowski) Punkty i wektory w R i w R Struktura liniowa w przestrzeni R n iniowa niezależność, baza przestrzeni

7 8 Macierze (Jacek Kłopotowski) Określenie macierzy, działania na macierzach Operacje elementarne Wyznacznik macierzy Układy równań liniowych Rozwiązywanie układów równań za pomocą operacji elementarnych Wzory Cramera Funkcje wielu zmiennych (Sławomir Dorosiewicz) Pojęcia wstępne Uzupełnienie. Ciągłość funkcji Pochodne cząstkowe Uzupełnienie. Pochodne kierunkowe. Różniczkowalność funkcji Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Uzupełnienie. Ekstrema funkcji wielu zmiennych Rachunek prawdopodobieństwa (Jacek Kłopotowski) 0. Własności prawdopodobieństwa Jednowymiarowe zmienne losowe Zmienne losowe o rozkładzie skokowym Strona 7 z 365

8 0.. Zmienne losowe o rozkładzie ciągłym Przybliżenia asymptotyczne rozkładu Bernoulliego Rozwiązania i odpowiedzi 48. Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Rozwiązania i odpowiedzi do rozdziału Strona 8 z 365

9 Rozdział Elementy logiki i rachunku zbiorów, relacje i odwzorowania.. Rachunek zdań Zdaniem nazywamy w matematyce wypowiedź oznajmującą, dla której można jednoznacznie stwierdzić, czy jest prawdziwa, czy fałszywa. Zdania oznaczamy małymi literami p, q, r,.... Jeśli zdanie p jest prawdziwe, to mówimy, że ma wartość logiczną równą. Jeśli zdanie p jest fałszywe, to mówimy, że ma wartość logiczną równą 0. Korzystając z funktorów zdaniotwórczych, -,,,, (nazywanych odpowiednio: negacją, alternatywą, koniunkcją, implikacją, równoważnością) z danych zdań możemy tworzyć nowe zdania (nazywane zdaniami złożonymi). Zdanie p, które czytamy nie p lub nieprawda, że p, nazywamy negacją albo zaprzeczeniem Strona 9 z 365

10 zdania p; zdanie p - q, które czytamy p lub q, nazywamy alternatywą zdań p, q; zdanie p, q, które czytamy p i q, nazywamy koniunkcją zdań p, q; zdanie p q które czytamy jeśli p, to q, nazywamy implikacją zdań p, q; zdanie p q, które czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q albo p jest równoważne q nazywamy równoważnością zdań p, q. Zauważmy, że negacja jest funktorem jednoargumentowym, pozostałe funktory są dwuargumentowe. Reguły działania kwantyfikatorów określone są w poniższej tabeli (0 oznacza, że zdanie w nagłówku jest fałszywe, a oznacza, że zdanie w nagłówku jest prawdziwe). p q p p - q p, q p q p q Z podanych reguł działania kwantyfikatorów wynika, że: negacja zmienia wartość logiczną zdania p na przeciwną, Strona 0 z 365 alternatywa p - q jest zdaniem prawdziwym wówczas, gdy co najmniej jedno ze zdań p, q jest prawdziwe, koniunkcja p, q jest zdaniem prawdziwym tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są prawdziwe, implikacja p q jest zdaniem fałszywym tylko wtedy, gdy p jest zdaniem prawdziwym, a q jest zdaniem fałszywym,

11 równoważność p q jest zdaniem prawdziwym wtedy, gdy oba zdania mają jednakową wartość logiczną. Definicja.. Prawem rachunku zdań lub tautologią nazywamy takie zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe bez względu na wartości logiczne zdań, z których jest utworzone. Przykład.. Udowodnimy, że zdanie złożone ˆp - q ˆ p, ˆ q (prawo de Morgana dla zaprzeczenia alternatywy) jest tautologią. Rozwiązanie. W dowodzie wykorzystamy tak zwaną metodę zero-jedynkową. Wypiszemy w tabelce zdania wchodzące w skład rozpatrywanego wyrażenia i zbadamy ich wartości logiczne w zależności od wartości logicznych zdań p i q. p q p - q ˆp - q p q ˆ p, ˆ q ˆp - q ˆ p, ˆ q Strona z 365 W ostatniej kolumnie otrzymaliśmy same jedynki, co oznacza, że rozważane zdanie jest prawem rachunku zdań.

12 Zadania.. () Wykazać, że podane wyrażenia są prawami rachunku zdań: a) ˆp, q ˆ p - ˆ q prawo de Morgana dla zaprzeczenia koniunkcji, b) p q ˆˆ q ˆ p prawo kontrapozycji, c) ˆp q ˆˆ p - q, d) ˆˆp q, ˆq p ˆp q, e) ˆˆp q, ˆq r ˆp r... () Sprawdzić, czy podane wyrażenia są prawami rachunku zdań: a) ˆp, q ˆp - q, b) ˆp - q ˆp, q, c) ˆ p ˆp, q, d) ˆˆ p, q ˆp - q..3. () Dla jakich wartości logicznych p i q prawdziwe są zdania: a) ˆp q q, b) ˆp q ˆq p, c) ˆp q ˆp - q..4. () Zapisać zdanie równoważne zdaniu p - q używając funktorów i,..5. () Zapisać zdanie równoważne zdaniu p, q używając funktorów i () Zapisać zdanie równoważne zdaniu p, q używając funktorów i. Strona z 365

13 .. Rachunek zbiorów Zbiory oznaczać będziemy dużymi literami, B,..., X, a ich elementy małymi literami a, b,..., x. Zapis x X oznacza, że x jest elementem zbioru X, w przeciwnym przypadku piszemy x X. Zbiór skończony złożony z n elementów x, x,..., x n zapisujemy w postaci x, x,..., x n. Zbiór, który nie zawiera żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem g. Specjalne oznaczenia przyjmiemy dla podanych niżej zbiorów liczbowych. Symbolem oznaczać będziemy zbiór wszystkich liczb naturalnych (przyjmujemy umowę, że 0 nie jest liczbą naturalną), symbolem C zbiór wszystkich liczb całkowitych, symbolem W zbiór wszystkich liczb wymiernych, symbolem R zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Zdefiniujemy dalej działania na zbiorach, wykorzystując określone w poprzednim paragrafie funktory zdaniotwórcze. Mówimy, że zbiór jest podzbiorem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x spełniony jest warunek x x B. Piszemy wówczas ` B. W przeciwnym przypadku, jeśli nie jest podzbiorem zbioru B, piszemy ~` B. Mówimy, że zbiory i B są równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x spełniony jest warunek x x B. W literaturze stosuje się również inną symbolikę, zbiór wszystkich liczb całkowitych oznacza się przez Z, a zbiór wszystkich liczb wymiernych przez Q. Strona 3 z 365

14 Piszemy wówczas B. Zauważmy od razu, że B ` B, B `. Sumą zbiorów, B nazywamy zbiór 8 B określony warunkiem x 8 B x - x B, to znaczy zbiór tych elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów, B. Częścią wspólną lub iloczynem zbiorów, B nazywamy zbiór 9 B taki, że x 9 B x, x B, czyli zbiór tych elementów, które należą do obu zbiorów, B. Różnicą zbiorów, B nazywamy zbiór B określony warunkiem x B x, x B, a więc zbiór tych elementów zbioru, które nie należą do zbioru B. a ogół rozpatrujemy podzbiory pewnego ustalonego, niepustego zbioru X. Zbiór X nazywamy wówczas przestrzenią, a różnicę X, gdzie ` X, nazywamy dopełnieniem zbioru (w przestrzeni X) i oznaczamy przez œ. Prawa rachunku zbiorów często dowodzimy korzystając z praw rachunku zdań. Przykład.3. Wykażemy, że ˆ 8 B œ œ 9 B œ Strona 4 z 365 używa się również nazwy uniwersum.

15 (prawo de Morgana dla dopełnienia sumy zbiorów). Rozwiązanie. Korzystając z prawa de Morgana dla zaprzeczenia alternatywy, otrzymujemy x ˆ 8 B œ x 8 B ˆx 8 B ˆx - x B ˆ x, ˆ x B x œ, x B œ x œ 9 B œ dla każdego elementu x, a zatem zbiory ˆ 8 B œ i œ 9 B œ są równe. Zadania.7. () Wykazać, że ˆ 9 B œ œ 8 B œ (prawo de Morgana dla dopełnienia iloczynu zbiorów)..8. () Wykazać, że dla dowolnych zbiorów, B, C ` X spełnione są warunki: a) 8 œ X, b) 9 œ g, c) B 9 B œ, d) ` 8 B, e) ˆB 8 C ˆ B 9 ˆ C, f) ˆB 9 C ˆ B 8 ˆ C, g) ` B, ` C ` B 9 C, h) ` C, B ` C 8 B ` C. Strona 5 z Rachunek kwantyfikatorów Definicja.4. iech X x g. Funkcją zdaniową zmiennej x, gdzie x X, nazywamy wyrażenie ϕˆx, które staje się zdaniem (prawdziwym lub fałszywym), gdy za zmienną x podstawimy nazwę

16 dowolnego elementu ze zbioru X. Zbiór X nazywamy zakresem zmienności funkcji zdaniowej ϕˆx. Funkcję zdaniową zmiennej x zapisujemy w postaci ϕˆx, x X, a zbiór tych wszystkich elementów x X, dla których ϕˆx jest zdaniem prawdziwym oznaczamy symbolem x X ϕˆx. Przykład.5. iech ` X, ϕˆx x, wówczas x X ϕˆx. Przykład.6. Wyrażenie x 0, x R, jest funkcją zdaniową. Podstawiając x 0 otrzymujemy zdanie prawdziwe, a podstawiając x otrzymujemy zdanie fałszywe. Łatwo można zauważyć, że x R x 0ž ˆ,. Korzystając z funkcji zdaniowych możemy zapisać sumy, iloczyny i różnice podzbiorów ustalonego zbioru X w postaci Strona 6 z B x X x - x B, 9 B x X x, x B, B x X x - x B. Z funkcji zdaniowych korzystamy często w sformułowaniach definicji i twierdzeń. Używamy wówczas zwrotów dla każdego x X spełniony jest warunek ϕˆx

17 oraz istnieje x X spełniający warunek ϕˆx. Zdania te zapisujemy odpowiednio w postaci ϕˆx oraz ϕˆx. Symbol nazywamy xx xx kwantyfikatorem ogólnym, a symbol nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym (lub egzystencjalnym). Zdanie xx ϕˆx jest prawdziwe wówczas, gdy x X ϕˆx X, a zdanie ϕˆx jest prawdziwe wówczas, gdy xx x X ϕˆx x g. Uwaga. W literaturze często używa się innych oznaczeń, kwantyfikator ogólny oznacza się symbolem, a kwantyfikator egzystencjalny symbolem. Przykład.7. Wykażemy, że ϕˆx ϕˆx xx xx (prawo de Morgana zaprzeczenia kwantyfikatora ogólnego). Rozwiązanie. ależy pokazać, że wartości logiczne zdań obu zdań xx jednakowe. Zdanie xx ϕˆx jest fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie xx ϕˆx i ϕˆx są xx ϕˆx jest prawdziwe, Strona 7 z 365

18 tzn. wtedy, gdy x X ϕˆx X; wówczas x X ϕˆx x X ϕˆx œ g, a więc zdanie ϕˆx jest również fałszywe. xx ϕˆx jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie xx Zdanie xx wtedy, gdy x X ϕˆx x X; wówczas ϕˆx jest fałszywe, tzn. x X ϕˆx x X ϕˆx œ x g, czyli zdanie ϕˆx jest również prawdziwe. xx iech ϕˆx, ψ ˆx będą funkcjami zdaniowymi zmiennej x X. Przez ψˆx zdanie ˆψ ˆx ϕˆx, xx a przez ψˆx ϕˆx zdanie ˆψ ˆx, ϕˆx. xx ϕˆx oznaczamy iech X x g, I x g. Załóżmy, że dla każdego i I jest określony zbiór i ` X. Zbiór tych wszystkich zbiorów i nazywamy indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru X i oznaczamy symbolem ˆ i ii. Definicja.8. Sumą uogólnioną indeksowanej rodziny ˆ i ii podzbiorów zbioru X nazywamy Strona 8 z 365

19 zbiór ii i œx X x i. ii Iloczynem uogólnionym indeksowanej rodziny ˆ i ii podzbiorów zbioru X nazywamy zbiór Z powyższej definicji wynika, że ii i œx X x i. ii x ii x ii i x i, ii i x i, ii suma uogólniona indeksowanej rodziny rodziny ˆ i ii jest zatem zbiorem tych elementów zbioru X, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów i, a iloczyn uogólniony indeksowanej rodziny rodziny ˆ i ii jest zbiorem tych elementów zbioru X, które należą do każdego zbioru i. Przykład.9. iech t t. tr x R tx dla każdej liczby rzeczywistej t. Wyznaczymy t oraz tr Rozwiązanie. Zauważmy, że 0 x R 0x R. Jeśli t 0, to Strona 9 z 365 t x R tx x R x t ž ª, t Ž.

20 Jeśli t 0, to t x R tx x R x t ž t, ªŽ. Stąd wynika, że t tr ª n. n R, t tr W szczególnym przypadku, gdy I Przykład.0. Jeśli n 0. Przykład.. Wykażemy, że i œ ii uogólnionej ). Rozwiązanie. Korzystając z prawa de Morgana zaprzeczenie kwantyfikatora ogólnego, otrzymujemy, zamiast n piszemy ª n, a zamiast n piszemy n n n a n, f n dla n, to ª n n œ i ii `, oraz ª n n 0. (prawo de Morgana dopełnienia sumy œ x Œ i ii x ii i Œx ii i x i ii ii ˆx i ii x œ i x œ i. ii Strona 0 z 365 Zadania.9. () Udowodnić, że ϕˆx ϕˆx xx xx (prawo de Morgana zaprzeczenia kwantyfikatora szczegółowego).

21 œ i (prawo de Morgana dopełnienia iloczynu uogól- ii.0. () Udowodnić, że i œ ii nionego)... () iech t x R x t dla każdej liczby rzeczywistej t. Wyznaczyć t oraz t. tr tr.. () Wyznaczyć ª ª n i n, jeśli: n n a) n a n, n f, b) n n, n Ž, c) n aˆ n n, n f..4. Relacje iech X x g, Y x g. Symbolem ˆx, y, gdzie x X, y Y, oznaczamy parę uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. Definicja.. Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór Strona z 365 X Y ˆx, y x X, y Y. Przykład.3. Iloczynem kartezjańskim zbiorów X,, 3 i Y a, b jest zbiór X Y ˆ, a,ˆ, a,ˆ3, a,ˆ, b,ˆ, b,ˆ3, b. Definicja.4. iech X x g, Y x g. Dowolny podzbiór ρ ` X Y nazywamy relacją określoną w iloczynie kartezjańskim zbiorów X i Y. Jeśli X Y, to relację ρ ` X X nazywamy relacją

22 w zbiorze X. Mówimy, że element x jest w relacji z elementem y, jeśli ˆx, y ρ, piszemy wówczas również xρy. Dziedziną relacji ρ nazywamy zbiór przeciwdziedziną zbiór D ρ šx X ˆx, y ρÿ, yy P ρ šy Y ˆx, y ρÿ. xx Relacją odwrotną do relacji ρ nazywamy relację ρ ˆy, x Y X ˆx, y ρ. Przykład.5. iech ρ ˆ,,ˆ, 3,ˆ, 3,ˆ3, 4,ˆ3, 5 `, wówczas D ρ,, 3, P ρ, 3, 4, 5, ρ ˆ,,ˆ3,,ˆ3,,ˆ4, 3,ˆ5, 3. Zajmiemy się obecnie wybranymi relacjami określonymi w zbiorze X. Definicja.6. Relację ρ ` X X nazywamy: a) zwrotną ˆx, x ρ, xx b) przeciwzwrotną xx c) symetryczną x,yx ˆx, x ρ, d) przeciwsymetryczną x,yx e) przechodnią x,y,zx f) antysymetryczną x,yx ˆx, y ρ ˆy, x ρ, ˆx, y ρ ˆy, x ρ, ˆˆx, y ρ, ˆy, z ρ ˆx, z ρ, ˆˆx, y ρ, ˆy, x ρ x y, Strona z 365

23 g) spójną x,yx ˆx, y ρ - ˆy, x ρ. Przykład.7. Określona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych R relacja niewiększości B jest zwrotna, przechodnia, antysymetryczna i spójna, a relacja mniejszości jest przeciwzwrotna, przeciwsymetryczna i przechodnia. Przykład.8. Określona w przestrzeni R relacja x B y x x B y, x B y y jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, ale nie jest spójna. Definicja.9. Relację ρ ` X X nazywamy częściowym porządkiem wtedy i tylko wtedy, gdy ρ jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. Jeśli ponadto ρ jest spójna, to ρ nazywamy porządkiem liniowym. Parę ˆX, ρ nazywamy wówczas odpowiednio przestrzenią częściowo (lub liniowo) uporządkowaną. Definicja.0. Relację ρ ` X X nazywamy nazywamy relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy ρ jest zwrotna, przechodnia i symetryczna. Jeśli xρy, to mówimy, że elementy x i y są równoważne. Definicja.. Klasą abstrakcji o reprezentancie x X relacji relacji równoważności ρ ` X X nazywamy zbiór x ρ y X xρy. Zbiór klas abstrakcji relacji równoważności ρ nazywamy przestrzenią ilorazową i oznaczamy symbolem X~ρ. Strona 3 z 365

24 Definicja.. Rodzinę ˆ i ii niepustych i parami rozłącznych podzbiorów przestrzeni X taką, że i X nazywamy podziałem zbioru X. ii Twierdzenie.3. Jeśli ρ jest relacją równoważności w zbiorze X, to zbiór klas abstrakcji relacji ρ jest podziałem zbioru X. Przykład.4. W zbiorze wszystkich liczb naturalnych określamy relację nρk n k p. p Wykażemy, że ρ jest relacją równoważności i wyznaczymy klasy abstrakcji tej relacji. Rozwiązanie. Relacja ρ jest oczywiście zwrotna i symetryczna, wykażemy, że jest również przechodnia. Załóżmy, że nρk i kρm, tzn. n k p i k m q, gdzie p, q, wówczas n m n k k m k ˆp q k, Strona 4 z 365 przy czym p q k. Relacja ta ma dwie klasy abstrakcji: ρ, 3, 5,..., ρ, 4, 6,....

25 Zadania.3. () Wykazać, że jeśli niepusta relacja ρ ` X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna..4. () Zbadać czy relacja ρ ` X X jest zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna, przeciwsymetryczna, przechodnia, antysymetryczna, spójna, jeśli: a) X, kρn nsk, 3 b) X R,xρy SxS SyS, c) X R, xρy x y, d) X R, xρy x y, e) X R, xρy sgn x sgn y, f) X R, xρy x y..5. () Sprawdzić, czy określona w zbiorze R, relacja ρb ` B jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem..6. () W zbiorze R określamy relację x ρ y Sx x S Sx S B Sy S Sy S. y Sprawdzić, czy ρ jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem. Strona 5 z Zapis nsk oznacza, że liczba n jest dzielnikiem liczby k.

26 .7. () W zbiorze R określamy relację Sprawdzić, czy ρ jest: x ρ y x x y - ˆx y, x y - ˆx y, x y. y a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem..8. () iech f R R będzie dowolną funkcją. Sprawdzić, czy określona w zbiorze R relacja xρy f ˆx B f ˆy jest: a) częściowym porządkiem, b) liniowym porządkiem..9. () W zbiorze X a, b, c, d, e określona jest relacja ρ ˆa, a,ˆb, b,ˆb, c,ˆc, c,ˆc, b,ˆd, d,ˆd, e,ˆe, d,ˆe, e. Wykazać, że ρ jest relacją równoważności i podać podział na klasy abstrakcji..0. () Sprawdzić, czy ρ ` X X jest relacją równoważności, jeśli: a) X, kρn k n 3p, pc b) X, kρn k n 3p, p c) X R, xρy x y, d) X R, xρy sin x sin y, e) X R, xρy x x y y. Jeśli ρ jest relacją równoważności, to podać podział na klasy abstrakcji. Strona 6 z 365

27 .. () iech f R R będzie dowolną funkcją. Sprawdzić, czy określona w zbiorze R relacja xρy fˆx fˆy jest relacją równoważności... () W zbiorze R określamy relację x ρ x y y kc a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji..3. () W zbiorze R określamy relację a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Podać ilustrację graficzną klasy abstrakcji ˆx y k, x y k. x ρ y x x y x y y..4. () W zbiorze X R 0 określamy relację. Strona 7 z 365 xρy ˆx y Šx y 0. a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności.

28 b) Wyznaczyć klasę abstrakcji..5. () W zbiorze R określamy relację xρy x y k. kc a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji º..6. () W zbiorze W określamy relację a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji. xρy x y k. kc Strona 8 z () W zbiorze R określamy relację xρy x y w. ww a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji º.

29 .8. () W zbiorze określamy relację a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji..9. () W zbiorze R określamy relację a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji () W zbiorze R określamy relację a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji x ρ y x x y x y. y x ρ y ˆx x x ˆy y. y x ρ y sinˆx x x sinˆy y. y π π. Strona 9 z 365

30 .3. () W zbiorze R określamy relację a) Wykazać, że ρ jest relacją równoważności. b) Wyznaczyć klasę abstrakcji.5. Odwzorowania x ρ y cosˆx x x cosˆy y. y 4 π 4 π. Definicja.5. Relację ρ ` X Y nazywamy: a) prawostronnie jednoznaczną wtedy i tylko wtedy, gdy xx y,y Y ˆx, y ρ, ˆx, y ρ y y, b) lewostronnie jednoznaczną wtedy i tylko wtedy, gdy Strona 30 z 365 x,x X yy ˆx, y ρ, ˆx, y ρ x x. Definicja.6. Odwzorowaniem zbioru X w zbiór Y (lub funkcją przekształcającą X w Y ) nazywamy prawostronnie jednoznaczną relację f ` X Y taką, że D f X. Zamiast f ` X Y piszemy wówczas f X Y, a zamiast ˆx, y f piszemy y f ˆx.

31 Jeśli f X Y jest odwzorowaniem i ` X, to przez fs oznaczamy odwzorowanie fs Y określone wzorem fs ˆx f ˆx dla x. Odwzorowanie fs nazywamy obcięciem odwzorowania f do zbioru. Definicja.7. iech f X Y, ` X, B ` Y. a) Obrazem zbioru przy odwzorowaniu f nazywamy zbiór f ˆ šy Y y f ˆx Ÿ f ˆx x. x b) Przeciwobrazem zbioru B przy odwzorowaniu f nazywamy zbiór f ˆB šx X y f ˆx Ÿ x X f ˆx B. yb Definicja.8. Odwzorowanie f X Y nazywamy: a) suriekcją lub odwzorowaniem zbioru X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy Strona 3 z 365 yy y f ˆx, xx b) iniekcją lub odwzorowaniem różnowartościowym wtedy i tylko wtedy, gdy x x x f ˆx x f ˆx, x,x X c) bijekcją lub odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym wtedy i tylko wtedy, gdy f

32 jest suriekcją i iniekcją. Uwagi:. Odwzorowanie f X Y jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy P f Y, tzn., gdy f ˆX Y.. Warunek na różnowartościowość odwzorowania f można zapisać w równoważnej postaci f ˆx f ˆx x x. x,x X Twierdzenie.9. Jeśli f X Y jest bijekcją, to relacja odwrotna f : a) jest odwzorowaniem zbioru Y na zbiór X, b) jest bijekcją. Odwzorowanie f Y Y nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do odwzorowania f. Związek między wartościami f i f można zapisać w postaci xx yy y f ˆx x f ˆy. Definicja.30. Złożeniem lub superpozycją odwzorowań f X Y, g Y Z nazywamy odwzorowanie g X f X Z określone wzorem ˆg X f ˆx g ˆf ˆx. Twierdzenie.3. Jeśli odwzorowania f X Y, g Y Z są suriekcjami, to gxf jest suriekcją. Strona 3 z 365

33 Twierdzenie.3. Jeśli odwzorowania f X Y, g Y Z są iniekcjami, to g X f jest iniekcją. Twierdzenie.33. Jeśli odwzorowania f X Y, g Y Z są bijekcjami, to: a) g X f jest bijekcją, b) ˆg X f f X g. Zadania.3. () Sprawdzić, czy relacja f jest odwzorowaniem: a) f ˆn, y W n y 3 0, b) f ˆn, k n k, c) f ˆx, y R x y, d) f ˆx, y R x y, e) f ˆx, y R sin x sin y..33. () iech f R R, f ˆx x SxS. Wyznaczyć f ˆ`, e, f ˆR, f ˆ`, e, f ˆ 0, f ˆ`0, ª. Strona 33 z () iech f R R, f ˆx x x. Wyznaczyć f ˆ`, e, f ˆR, f ˆ`, 0e, f ˆ 0, f ˆR..35. () iech f R R, f ˆx sin x. Wyznaczyć f a π, πfž, f ˆR, f ˆ 0, f a0, fž, f ˆR..36. () Wyznaczyć złożenie g X f funkcji:

34 a) f R R, f ˆx x, g R R, g ˆx x ; º b) f R R, f ˆx x, g R R, g ˆx x..37. () Wyznaczyć złożenie g X f i f X g funkcji f R 0 R, f ˆx log x, g R R 0, g ˆx 00 x..38. () Zbadać różnowartościowość funkcji: x a) f R R, f ˆx x, b) f ˆ0, ª R, f ˆx ln x, c) f R 0 R, f ˆx arc tg x Ž, d) f `, e R, f ˆx arc sin x arc cos x..39. () iech f R π, πž, f ˆx arc tgˆ3x. a) Wykazać, że f jest bijekcją. b) Wyznaczyć f..40. () iech f R R, f x x x x. x x a) Wykazać, że f jest bijekcją. b) Wyznaczyć f. c) Wyznaczyć 4 f ˆR, f ˆ y R y y B 0. Strona 34 z R n x R n x j C 0 dla j,,..., n.

35 Rozdział Własności funkcji.. Dziedzina, zbiór wartości, wykres Jak pamiętamy, w szkole definiowaliśmy pojęcie funkcji w następujący sposób. Jeżeli każdemu elementowi x zbioru X przyporządkowany jest dokładnie jeden element y zbioru Y, to mówimy, że w zbiorze X określona jest funkcja f zmiennej x o wartościach ze zbioru Y. Bardziej formalnie, na funkcję możemy patrzeć jako na pewien podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y (por. rozdział ). Powtórzymy dla przypadku, gdy X, Y ` R sformułowane w rozdziale definicje dotyczące odwzorowań. Strona 35 z 365 Definicja.. iech X, Y ` R, X x g,y x g. Funkcją ze zbioru X w zbiór Y nazywamy podzbiór f zbioru X Y taki, że dla każdego x X istnieje dokładnie jeden y Y taki, że ˆx, y f.

36 Uwagi:. Zamiast ˆx, y f piszemy zwykle y fˆx.. Funkcję nazywamy też przekształceniem lub odwzorowaniem. Mówimy, że funkcja f przekształca (odwzorowuje) zbiór X w zbiór Y. Stosujemy przy tym zapisy: f X Y, y fˆx ; y fˆx dla x X; x ( fˆx dla x X. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji (oznaczamy go również symbolem D f ), a elementy x tego zbioru argumentami funkcji. Z kolei y 0 fˆx 0 nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x 0. Mówimy też, że y 0 jest wartością funkcji f w punkcie x 0. Zbiór tych y Y, dla których istnieje x X, takie że y fˆx nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez fˆx. Funkcję f X Y, gdzie X, Y ` R, nazywamy funkcją rzeczywistą jednej zmiennej rzeczywistej. Często, określając funkcję podaje się sam wzór y fˆx. Za dziedzinę funkcji przyjmujemy wtedy zbiór tych wszystkich x, dla których wyrażenie fˆx jest dobrze określone. Dla funkcji rzeczywistej jednej zmiennej możemy podać ilustrację graficzną wykresu funkcji, a więc zbioru tych punktów ˆx, y płaszczyzny kartezjańskiej, których współrzędne spełniają warunek y fˆx dla x X. Zważywszy na definicję., wykres funkcji utożsamiać możemy ze zbiorem f. a rysunkach.-.6 przypominamy wykresy wybranych funkcji znanych ze szkolnego kursu matematyki. Strona 36 z 365

37 Rysunek.: f R R, fˆx ax b Strona 37 z 365 (a) f R R, fˆx x (b) f R R, fˆx x 3 Rysunek.: Wykresy wybranych funkcji

38 (a) f R 0 R, fˆx x (b) f `0,ª R, fˆx Rysunek.3: Wykresy wybranych funkcji º x Strona 38 z 365 (a) f R R, fˆx a x (b) f ˆ0,ª R, fˆx log a x Rysunek.4: Wykresy wybranych funkcji

39 (a) f R R, fˆx sin x (b) f R R, fˆx cos x Rysunek.5: Wykresy wybranych funkcji Strona 39 z 365 (a) f R π kπ k C, fˆx tgx (b) f R kπ k C, fˆx ctgx Rysunek.6: Wykresy wybranych funkcji

40 Wraz z funkcją f X R możemy rozważać funkcje: y fˆx dla x X, y fˆx dla x x x R, x X, y fˆx q dla x X i q R, y fˆx p dla x x x R, x p X. Łatwo zauważyć, że wykresy powyższych funkcji można otrzymać przekształcając w odpowiedni sposób wykres funkcji f. Tabela.: Przekształcenia wykresu funkcji przekształcenie v obraz wykresu funkcji f w przekształceniu v symetria osiowa względem osi Oy y fˆx symetria osiowa względem osi Ox y fˆx translacja o wektor 0, q y fˆx q translacja o wektor p, 0 y fˆx p Strona 40 z 365 Przykład.. arysujemy wykres funkcji g ˆª, 4e R, gˆx S º 4 x S. Kolejne etapy rysowania wykresu przedstawiamy na rysunku.7. W pierwszym kroku wykres º funkcji f `0, ª R, fˆx x przekształcamy, stosując symetrię osiową względem osi 0y.

41 Otrzymujemy w ten sposób wykres funkcji y tego przesunięcia dostajemy wykres funkcji y wektor 0,. Trzeba jeszcze zauważyć, że º» x, który przesuwamy o wektor 4, 0. W wyniku ˆx 4, który znowu przesuwamy, tym razem o Shˆx S hˆx gdy hˆx C 0, hˆx gdy hˆx 0. Jeśli zatem część wykresu funkcji y względem tej osi, to otrzymamy wykres funkcji g. º 4 x znajdującą się pod osią 0x odbijemy symetrycznie Strona 4 z 365 º 4 x (a) Przekształcenia º wykresu funkcji (b) Przekształcenia wykresu funkcji fˆx x fˆˆx 4 Rysunek.7: Kolejne etapy rysowania wykresu funkcji y S º 4 x S z przykładu.

42 .. Funkcje różnowartościowe, funkcje na, funkcje wzajemnie jednoznaczne Definicja.3. Funkcję f X Y nazywamy różnowartościową lub iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy ˆx x x fˆx x fˆx. x,x X Uwaga. Warunek z definicji jest równoważny następującemu warunkowi: ˆfˆx fˆx x x. x,x X Przykład.4. a) Funkcja f R R, fˆx fˆ fˆ 4. x nie jest funkcją różnowartościową. a przykład b) Funkcja g R R, gˆx 3x jest różnowartościowa. Jeśli bowiem gˆx gˆx, czyli 3x 3x, to oczywiście x x. Przypominamy, że jeśli mamy do dyspozycji wykres funkcji, to badanie różnowartościowości sprowadza się do wyznaczania punktów przecięcia wykresu funkcji z prostymi równoległymi do osi 0x. Jeśli dla każdego a R prosta o równaniu y a ma z wykresem funkcji co najwyżej jeden punkt wspólny, to rozważana funkcja jest różnowartościowa. Patrz rysunek.8. Przykład.5. Zbadamy, czy funkcja f R jest różnowartościowa. Przypuśćmy, że fˆx fˆx, czyli x x R, fˆx x x x x dla pewnych x, x R. Przekształcając ostatnią Strona 4 z 365

43 (a) Funkcja nie jest różnowartościowa (b) Funkcja jest różnowartościowa Rysunek.8: Pojęcie funkcji różnowartościowej. Przykład.4 równość, otrzymujemy x ˆx x ˆx x x x x x x x x. Strona 43 z 365 zatem f jest funkcją różnowartościową. Definicja.6. Mówimy, że funkcja f X Y przekształca zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego y Y istnieje x X takie, że y fˆx. Uwaga. Funkcja f X Y przekształca zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wartości funkcji f jest równy Y. Funkcję, która przekształca zbiór X na zbiór Y będziemy nazywać krótko funkcją na albo suriekcją.

44 Przykład.7. a) Funkcja f R R, fˆx x nie jest funkcją na. a przykład, dla y nie istnieje x R takie, że y fˆx, bowiem równanie x nie ma rozwiązania w zbiorze R. b) Weźmy teraz pod uwagę funkcję g R `0, ª, gˆx x. Zauważmy, że dla dowolnego y C 0 istnieje x R takie, że y fˆx. Dla y 0 mamy y x wtedy i tylko wtedy gdy x x º y. Dla y 0 mamy x 0, czyli x 0. zatem funkcja g jest na. Przykład.8. Funkcja g R R, gˆx º y lub 3x jest funkcją na. Dla dowolnego y R znajdziemy x R takie, że y gˆx. Wystarczy zauważyć, że y 3x wtedy i tylko wtedy, gdy x x Przykład.9. Zbadany czy funkcja f R R, fˆx x Szukamy x R takiego, że y. Przekształcając kolejno, mamy yˆx x x y 3. jest na. Weźmy dowolne y R. x wtedy i tylko wtedy, gdy yx x y, czyli ˆy x y. Zauważmy, że dla y równanie jest sprzeczne (0x. zatem funkcja f nie jest na. Dodatkowo, biorąc pod uwagę to, że dla y x równanie ˆy x do wniosku, że zbiór R jest zbiorem wartości funkcji f. y ma rozwiązanie, dochodzimy Definicja.0. Funkcję f X Y nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy f przekształca zbiór X na zbiór Y i jest różnowartościowa. Przykład.. W przykładach.4 i.8 pokazaliśmy, że funkcja g R R, gˆx różnowartościowa i na. Jest zatem funkcją wzajemnie jednoznaczną..3. Monotoniczność funkcji 3x jest Strona 44 z 365 Definicja.. iech f X Y, mówimy, że funkcja f jest:

45 (a) Funkcja malejąca (b) Funkcja niemalejąca Rysunek.9: Funkcje monotoniczne rosnąca ˆx x fˆx fˆx ; x,x X malejąca ˆx x fˆx fˆx ; x,x X ˆx x fˆx B fˆx ; niemalejąca x,x X nierosnąca x,x X stała x,x X ˆx x fˆx C fˆx ; fˆx fˆx. Uwaga. Mówimy, że funkcja f jest monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia któryś z powyższych warunków. W sytuacji, gdy któryś z powyższych warunków jest spełniony dla dowolnych x i x należących do pewnego przedziału zawartego w dziedzinie mówimy, że funkcja f jest rosnąca (malejąca itp.) w tym przedziale. Strona 45 z 365

46 x x. Pokażemy, że funkcja f maleje w przedziale ˆ, ª. Weźmy pod uwagę dowolne x, x ˆ, ª takie, że x x. Oczywiście Przykład.3. iech f R R, fˆx fˆx fˆx x x x x ˆx x ˆx ˆx. Z nierówności x x wynika, że x x 0. Z kolei dla x, x ˆ, ª mamy x 0 oraz ˆx x ˆx ˆx 0 i tym samym fˆx fˆx 0. Zauważmy jeszcze, że dla x, x ˆª, takich, że x x, mamy x 0 oraz x 0. x 0. zatem Tak więc fˆx fˆx 0 i funkcja f maleje także w przedziale. Warto podkreślić, że funkcja f nie jest malejąca. a przykład fˆ fˆ fˆ4 mimo, że 4. 3, fˆ4. zatem Własności funkcji f badaliśmy w przykładach.5 oraz.9. Oczywiście własności te można łatwo odczytać z wykresu funkcji. by wykonać wykres (patrz rysunek.0) wystarczy zauważyć, że Strona 46 z 365 fˆx x x x x x..4. Ekstrema lokalne funkcji Definicja.4. iech funkcja f X Y, x 0 X.

47 Rysunek.0: Wykres funkcji z przykładu.5,.9,.3. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne r0 xx9ˆx 0 r,x 0 r fˆx B fˆx 0. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne Strona 47 z 365 r0 xx9ˆx 0 r,x 0 r fˆx C fˆx 0. Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi. Ilustrację ekstremów lokalnych przedstawia rysunek.. Uwaga. Jeśli dla każdego x X 9ˆx 0 r, x 0 r x 0 spełniona jest nierówność fˆx fˆx 0, to mówimy o właściwym maksimum lokalnym. Podobnie definiujemy pojęcie właściwego minimum lokalnego.

48 Rysunek.: Maksimum lokalne Przykład.5. Funkcja f R R, fˆx x ma w punkcie x 0 0 maksimum lokalne (patrz rysunek.). Zauważmy, że w tym punkcie f ma jednocześnie wartość największą (tzn. fˆx 0 C fˆx dla każdego x należącego do dziedziny funkcji f). Funkcja g R R, gˆx S x S ma również w punkcie x 0 0 maksimum lokalne. Tym razem gˆx 0 nie jest największą wartością funkcji. Zauważmy jeszcze, że funkcja g ma w punktach x oraz x minima lokalne. Przykład.6. Rozważmy funkcję f R R, fˆx oraz funkcję g R R, gˆx x dla x C 0 x dla x 0. x dla x 0 x dla x B 0 Strona 48 z 365

49 (a) Funkcja ma w punkcie x 0 maksimum lokalne i osiąga w tym punkcie wartość największą (b) Funkcja ma w punkcie x 0 maksimum lokalne i nie ma w tym punkcie wartości największej Strona 49 z 365 Rysunek.: Maksimum lokalne a największa wartość funkcji

50 0 maksi- (a) Funkcja ma w punkcie x mum lokalne 0 mini- (b) Funkcja ma w punkcie x mum lokalne Rysunek.3: Ekstrema lokalne funkcji Funkcja f ma w punkcie x 0 0 maksimum lokalne. Funkcja g ma w punkcie x 0 0 minimum lokalne (patrz rysunek.3). Strona 50 z Obraz i przeciwobraz Definicja.7. iech f X Y oraz ` X. Obrazem zbioru względem funkcji f nazywamy zbiór Definicja.8. iech f X fˆ šy Y y x fˆx Ÿ. Y oraz B ` Y. Przeciwobrazem zbioru B względem funkcji f

51 (a) Obraz zbioru (na zielono) (b) Przeciwobraz zbioru B (na zielono) Rysunek.4: Obraz i przeciwobraz. Przykład.9 nazywamy zbiór f ˆB šx X y yb fˆx Ÿ. Uwaga. Mówimy też o obrazie (przeciwobrazie) zbioru wyznaczonym przez funkcję f lub o obrazie (przeciwobrazie) zbioru przy odwzorowaniu f. Strona 5 z 365 Przykład.9. iech f R R, fˆx x. iech `, oraz B ˆ, 4e. Wykorzystując wykres funkcji f (patrz rysunek.4), łatwo zauważyć, że fˆ `0, 4e oraz f ˆB `, 8 ˆ, e. Przykład.0. Weźmy pod uwagę funkcję f R R określoną następująco:

52 (a) Obraz zbioru (na zielono) (b) Przeciwobraz zbioru B (na zielono) Rysunek.5: Obraz i przeciwobraz. Przykład.0 fˆx 3 Sx S dla x ˆª,, dla x `,, x dla x `, ª. Wyznaczymy obraz zbioru `4, e oraz przeciwobraz B ˆ,. Wykres funkcji f przedstawiamy na rysunku.5. a podstawie wykresu funkcji f łatwo stwierdzić, że fˆ `, 3e 8 oraz f ˆB ˆ6, 4 8 `, ª. Przykład.. Rozpatrujemy funkcję f R R, fˆx x. Znajdziemy obraz zbioru ˆ, e. Zauważmy, że jeśli x ˆ, e, to x `0, 4 i tym samym x `, 5. Dla y `, 5 mamy ˆ y 5, e. Ostatecznie fˆ ˆ 5, e. Wyznaczymy teraz przeciwobraz zbioru B ` 4,. Szukamy rozwiązania nierówności 4 B fˆx Strona 5 z 365

53 dla x należących do dziedziny funkcji f (w naszym przypadku dla x R). W kolejnych krokach otrzymujemy: Ostatecznie fˆb x x C 4 ` º 3, º 3e Złożenie funkcji x B 4 x x B 3 x 0 º º x ` 3, 3e x x 0. Zajmiemy się teraz sytuacją, w której wartość jednej funkcji staje się argumentem drugiej funkcji. Definicja.. iech f X Y oraz g Ỹ Z, gdzie fˆy ` nazywamy funkcję g X f X Z określoną wzorem: Ỹ. Złożeniem funkcji f i g ˆg X f ˆx gˆfˆx. Strona 53 z 365 Uwaga. Złożenie funkcji nazywamy także superpozycją funkcji. Przykład.3. Weźmy pod uwagę funkcję f R R, fˆx cos x oraz g R R, gˆx x. Oczywiście zbiór wartości funkcji f zawiera się w dziedzinie funkcji g. Możemy zatem określić złożenie funkcji f i g. Mamy ˆg X f ˆx gˆfˆx gˆcos x ˆcos x dla x R. Podobnie gˆr zawiera się w dziedzinie funkcji f. Tak więc możemy wyznaczyć funkcję f X g. Mamy ˆf X g ˆx fˆgˆx fˆx cosˆx dla x R.

54 Przykład.4. iech funkcja f `0, ª R będzie określona wzorem fˆx º x, zaś funkcja g ˆ, ª R wzorem gˆx log 3ˆx. Biorąc pod uwagę to, że fˆ`0, ª `0, ª ` ˆ, ª, mamy ˆg X f ˆx gˆfˆx log 3ˆfˆx log 3ˆºx dla x `0, ª. Zauważmy też, że zbiór wartości funkcji g nie zawiera się w dziedzinie funkcji f, gdyż (gˆˆ, ª R,) i tym samym nie możemy określić złożenia funkcji f X g. Oczywiście, gdybyśmy zamiast funkcji g, wzięli pod uwagę na przykład funkcję g `, ª R, gˆx log 3ˆx, to mielibyśmy ˆf X g ˆx fˆ gˆx fˆlog 3ˆx» log3ˆx dla x `, ª..7. Funkcja odwrotna Rozważania rozpoczniemy od przykładu. Przykład.5. Weźmy pod uwagę funkcję f,, 3, 3, 5 określoną następująco, fˆ 5, fˆ 3 oraz fˆ3. Oczywiście funkcja f jest różnowartościowa. Rozważmy funkcję g, 3, 5,, 3 określoną następująco: gˆ 3, gˆ3 oraz gˆ5. Zauważmy, że fˆx y wtedy i tylko wtedy, gdy gˆy x dla x,, 3 i y, 3, 5. iech teraz zˆx gˆfˆx dla x,, 3. Oczywiście zˆ gˆ5 i ogólnie zˆx x dla x,, 3. Łatwo sprawdzić, że również fˆgˆy y dla y, 3, 5. Strona 54 z 365

55 Definicja.6. iech f X Y. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję g X Y spełniającą następujący warunek: xx yy fˆx y gˆy x. Uwaga. Funkcję odwrotną do funkcji f oznaczamy przez f. Przykład.7. a) Weźmy pod uwagę funkcję f `0, ª `0, ª, fˆx każdego x C 0 oraz y C 0 mamy: y x wtedy i tylko wtedy, gdy x x. Zauważmy, że dla º y. zatem funkcją odwrotną do funkcji f jest funkcja przekształcająca zbiór `0, ª w zbiór `0, ª i określona wzorem f ˆy º y. b) Rozważmy teraz funkcję g ˆª, 0e `0, ª, gˆx x. Dla każdego x B 0 oraz y C 0 mamy: y x wtedy i tylko wtedy, gdy x º y. W tym przypadku g `0, ª ˆª, 0e, g ˆy º y. Twierdzenie.8. Funkcja f X Y ma funkcję odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Przykład.9. Funkcja f R `0, ª, fˆx x nie jest różnowartościowa. zatem f nie ma funkcji odwrotnej. Przykład.30. Funkcja f R R, fˆx x jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wyznaczymy funkcję odwrotną do f. Dowolnemu y chcemy przyporządkować x takie, że y zatem takiego x, że y f ˆy y. x. Z tego równania wyznaczamy x fˆx. Szukamy y. Mamy f R R, Strona 55 z 365

56 Rysunek.6: Wykresy funkcji f i f Przykład.3. Funkcja f ˆ0, ª R, fˆx log x jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Zauważmy, że y log x wtedy i tylko wtedy, gdy x y. zatem f R ˆ0, ª, f ˆy y. Omówimy teraz związek między wykresem funkcji f i funkcji odwrotnej f. Jeśli punkt o współrzędnych ˆa, b należy do wykresu funkcji f, to punkt o współrzędnych ˆb, a należy do wykresu funkcji f. I na odwrót. zatem wykresy funkcji f i f są symetryczne względem prostej o równaniu y x (patrz rysunek.6). Sformułujemy teraz najważniejsze własności funkcji odwrotnej. Twierdzenie.3. Jeśli funkcja f X Y ma funkcję odwrotną f Y X, to: a) f ˆfˆx x dla x X. b) f ˆf ˆy y dla y Y. c) Funkcja f ma funkcję odwrotną. Funkcją odwrotną do f jest funkcja f. Strona 56 z 365

57 Zadania.. () iech f R R, fˆx a) Sprawdzić, czy fˆ fˆ. ˆx 3 dla x º x dla x B. b) arysować wykres funkcji f. c) Podać zbiór wartości funkcji f. d) Czy f jest funkcją na e) Podać przedziały, w których funkcja f maleje. f) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f... () iech f R R, fˆx a) arysować wykres funkcji f. Slog ˆx S dla x C x x dla x. b) Podać zbiór wartości funkcji f. c) Dla jakich x R funkcja przyjmuje wartości dodatnie d) Dla jakich x R spełniona jest nierówność fˆx C e) Podać przedziały, w których funkcja rośnie. f) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f. Strona 57 z () Wyznaczyć dziedzinę funkcji: º x a) fˆx º x ; b) fˆx c)fˆx log 3 ˆ x ; d)fˆx ¼ x x ; log 4x Ž ˆlog x 3 log x.

58 .4. () Sprawdzić, czy funkcja f jest różnowartościowa, na, wzajemnie jednoznaczna, gdy: a)f R R, fˆx x 3 ; b) f R R, fˆx c)f R `0, ª, fˆx x3 x ;» Sx S..5. () iech f X Y, fˆx cos x. Podać przykład takich zbiorów X i Y, że: a) funkcja f jest różnowartościowa i jest funkcją typu na ; b) funkcja f nie jest różnowartościowa i jest funkcją typu na ; c) funkcja f jest różnowartościowa i nie jest funkcją typu na ;. d) funkcja f nie jest różnowartościowa i nie jest funkcją typu na..6. () Sprawdzić, czy funkcja f jest monotoniczna. Odpowiedź uzasadnić. a)f R R, fˆx x 5; b) f ˆ 3, ª R, fˆx log 0,5ˆ3x ; º c) f ˆª, e 8 `0, ª R, fˆx x x..7. () iech f X R oraz g X R. Czy funkcja f g X R,gdzie ˆf g ˆx fˆx gˆx jest: a) różnowartościowa, jeśli funkcje f i g są różnowartościowe b) jest na, jeśli funkcje f i g są na c) rosnąca, jeśli funkcje f i g są rosnące.8. () Wyznaczyć obraz zbioru i przeciwobraz zbioru B wyznaczone przez funkcję f. a) f,,..., 0, fˆn 3n,, 3, 4, B 6n n. Strona 58 z 365

59 b) f R R, fˆx x 4x 5, `0, 3, B ˆª, e. c) f R R, fˆx 3 ŽSxS, ˆª,, B ` 9, 3 e. d) f R R, fˆx Sx 9S, `4, 8 ˆ3, 3 º ), B ˆ5, 7e. e) f R R, fˆx Sx S SxS, `3, 8 `3, 4, B,. f) f R R, fˆx tgx dla x ˆ0, π 8 ˆ π, π x w p.p., g) f R R, fˆx 3x dla x ˆ, e log Sx S w p.p., h)*f ˆ0, π R, fˆx log ˆsin x, ` 4 π, 3 4πe, B `, e. ˆ, 3 πe, B `º3, ª. ˆ6, 6, B ˆ0,..9. () Wyznaczyć, o ile to możliwe, funkcje f X g oraz g X f, gdy: a) f R R, fˆx x, g R R, gˆx sin x cos x; b) f R R, fˆx x, g ˆª, 0 R, gˆx c)f R R, fˆx x, g R R, gˆx log 3ˆx ; 3x dla x x dla x C..0. () iech f X Y oraz g Y Z. Czy g X f jest: a) funkcją różnowartościową, jeśli funkcje f i g są różnowartościowe b) funkcją na, jeśli funkcje f i g są funkcjami na c) funkcją rosnącą, jeśli funkcje f i g są rosnące d) funkcją malejącą, jeśli funkcje f i g są malejące e) funkcją malejącą, jeśli funkcja f jest malejąca, zaś g rosnąca Strona 59 z 365

60 .. () iech f X Y oraz g Y Z. Funkcja g Xf jest różnowartościowa. Czy z tego wynika, że: a) f jest funkcją różnowartościową b)g jest funkcją różnowartościową.. () iech f X Y oraz g Y Z. Funkcja g X f jest funkcją na. Czy z tego wynika, że: a) f jest funkcją na b) g jest funkcją na.3. () Dana jest funkcja f X Y. Wyznaczyć zbiór Y taki, że f jest bijekcją, a następnie znaleźć funkcję odwrotną do funkcji f, gdy:.a) f R Y, fˆx 3x ; º b)f `, ª Y, fˆx x ; c) f R Y, fˆx 5 x ; d) f ˆ 3, ª Y, fˆx log 3ˆx 3 ; e) f `, ª Y, fˆx x x 3; f) f ˆª, e Y, fˆx x x 3; g) f R Y, fˆx x4 x. Strona 60 z 365

61 Rozdział 3 Ciągi liczbowe 3.. Ciągi liczbowe i ich własności R, gdzie jest zbio- Definicja 3.. Ciągiem liczbowym nazywamy dowolną funkcję a rem liczb naturalnych, a R jest zbiorem liczb rzeczywistych. Wartość aˆn a n nazywamy n-tym wyrazem ciągu. Ciąg oznaczamy symbolem ˆa n, a zbiór jego wyrazów symbolem a n. Przykład 3.. Ciąg o początkowych wyrazach, 3, 5, 7, 9,... możemy zapisać za pomocą wzoru a n n i jest to ciąg liczb nieparzystych. Podobnie ciąg liczb parzystych, 4, 6, 8, 0,... będzie dany wzorem a n n. Ciągi możemy także opisywać w sposób rekurencyjny, co oznacza, że wyznaczamy wzór na n-ty wyraz ciągu, korzystając z wartości wyrazów poprzedzających oraz podając wartości odpowiedniej liczby wyrazów początkowych, np. a, a, a n a n a n dla n C 3. Wówczas kolejne wyrazy ciągu będą równe: a 3 0, a 4 ˆ 0 4 i tak dalej. Strona 6 z 365

62 Ważnym przykładem jest ciąg postaci a n n! dla n 8 0 (jest to silnia kolejnych liczb naturalnych). Jego wyrazy są równe odpowiednio a 0 0!, a!, a!, a 3 3! 3 6 i ogólnie a n n! ˆn n. Zauważmy, że ciąg ten można zdefiniować w sposób rekurencyjny następująco: a 0, oraz a n a n n dla n. Definicja 3.3. Mówimy, że ˆa n jest ciągiem: a) rosnącym a n a n, n b) niemalejącym a n C a n, n c) malejącym a n a n, n d) nierosnącym a n B a n, n e) stałym a n a n. n Ciąg mający jedną z tych własności nazywamy ciągiem monotonicznym. Zauważmy, że ciąg monotoniczny charakteryzuje się tym, że różnica między jego kolejnymi wyrazami ma stały znak (to znaczy jest stale niedodatnia, albo stale nieujemna). Strona 6 z 365 Przykład 3.4. Sprawdzimy, czy ciąg o wyrazie ogólnym danym wzorem a n monotonicznym. W tym celu badamy znak różnicy n 3n jest ciągiem a n a n ˆn 3ˆn n 3n n C 0

63 dla n. Różnica a n a n jest dodatnia dla wszystkich n naturalnych większych od, a dla n wynosi 0, co oznacza, że ciąg a n jest niemalejący. Co więcej możemy stwierdzić, że ciąg a n dla n, 3, 4,... jest ciągiem rosnącym. Przykład 3.5. Ciąg a n ˆ n n n 4 ujemne i dodatnie. Definicja 3.6. Ciąg ˆa n nazywamy a) arytmetycznym rrn nie jest monotoniczny, ponieważ jego wyrazy są na przemian a n a n r, b) geometrycznym qr 0 a n a n q. n iczbę r w definicji ciągu arytmetycznego nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego, a liczbę q w definicji ciągu geometrycznego nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Z definicji ciągu arytmetycznego wynika, że jest on zawsze ciągiem monotonicznym rosnącym dla r 0, malejącym dla r 0 i stałym dla r 0. Wartość n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego zależy od wartości jego pierwszego wyrazu i od różnicy tego ciągu i daje się zapisać wzorem Strona 63 z 365 a n a ˆn r dla n. Wyrazy ciągu arytmetycznego spełniają zależność a n ˆa n a n

64 dla n, czyli wyraz o numerze n jest średnią arytmetyczną jego wyrazów sąsiednich - poprzedzającego a n i następnego a n. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem S n n Q a i i n a a n. Dla ciągu geometrycznego można także zapisać wzór uzależniający wartość wyrazu a n od wartości a i ilorazu q: a n a q n dla n. º Wyrazy ciągu geometrycznego, w którym a 0 i q 0 spełniają warunek a n an a n dla n, czyli każdy wyraz ciągu geometrycznego o numerze większym od jest średnią geometryczną dwóch sąsiednich wyrazów. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest dana wzorem S n n Q a i i a q n q. Strona 64 z 365 Przykład 3.7. Sprawdźmy, czy ciąg ˆa n jest ciągiem arytmetycznym lub geometrycznym, jeśli a) a n 3n, b) a n 3 n Dla ciągu z punktu a) mamy: a n a n 3ˆn ˆ3n 3, czyli jest to ciąg arytmetyczny o różnicy r równej 3. W przypadku ciągu z punktu b) zachodzi: a n 3 n a n 3n 3, czyli jest to ciąg geometryczny o ilorazie q równym 3. Zauważmy, że w obu przypadkach są to ciągi rosnące. Definicja 3.8. Mówimy, że ciąg ˆa n jest:

65 a) ograniczony z góry b) ograniczony z dołu c) ograniczony m,m Rn M Rn mrn a n B M, a n C m, m B a n B M. Powyższe warunki interpretujemy w następujący sposób: ciąg jest ograniczony z góry, jeśli wszystkie jego wyrazy są nie większe od pewnej liczby rzeczywistej M, ciąg jest ograniczony z dołu, jeśli wszystkie jego wyrazy są nie mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej m oraz ciąg jest ograniczony, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu, czyli wszystkie jego wyrazy należą do przedziału `m, Me, dla liczb rzeczywistych m,m takich, że m M. n6 Przykład 3.9. Ciąg a n n3 jest ciągiem ograniczonym. Zauważmy, że wyrazy tego ciągu można n33 zapisać w następujący sposób a n n3 3 n3. Ponieważ ciąg b 3 n n3 jest ciągiem malejącym i jego pierwszy wyraz jest równy 3 4, ciąg ˆa n jest ograniczony z góry przez 7 4. Widać też, że wszystkie wyrazy ciągu ˆa n są większe od, zatem ciąg ˆa n ) jest ograniczony z dołu przez liczbę. Przykład 3.0. Zauważmy, że każdy ciąg niemalejący jest ograniczony z dołu przez swój pierwszy wyraz, a każdy ciąg nierosnący jest ograniczony z góry przez swój pierwszy wyraz. Strona 65 z 365 Zadania 3.. () Ciąg ˆa n jest ciągiem arytmetycznym takim, że a oraz a 6 a 3 6. Podać wzór ogólny ciągu a n oraz obliczyć sumę jego pierwszych dziesięciu wyrazów.

66 3.. () Ciąg ˆa n jest ciągiem geometrycznym, którego pierwszy wyraz jest równy oraz spełniony jest warunek a 4 a 9. Podać wzór ogólny ciągu ˆa n oraz zbadać, czy ciąg ten jest monotoniczny () Obliczyć piąty wyraz ciągu 3 x, 3 x, 3 x 3,... wiedząc, że jest to ciąg geometryczny oraz, że x x x 9 9 i x x 8. Czy jest to ciąg ograniczony 3.4. () Zbadać, czy poniższe ciągi są monotoniczne i ograniczone. a) a n 3n 4, b) b n ˆ n n 3 n, c) c n 5n n, d) d n n n, e) e n n! () Sprawdzić, czy poniższe ciągi są ciągami geometrycznymi. a) a n 4 5 Žn, b) b n n! 3n, ˆ n c) n () iech a 3 n n 5 n 3. Wykazać, że a n n 5 n 3 n oraz sprawdzić, czy ˆa n jest ciągiem arytmetycznym oraz czy jest monotoniczny. 3.. Zbieżność ciągów Definicja 3.. Mówimy, że liczba g R jest granicą (właściwą) ciągu ˆa n wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek Strona 66 z 365 ε0 ε Sa n gs ε. n ε Warunek zbieżności oznacza, że w każdym otoczeniu granicy ciągu znajdują się prawie wszystkie (czyli wszystkie za wyjątkiem skończonej liczby) wyrazy ciągu. Jeśli ciąg ˆa n ma granicę g R, to

67 mówimy, że jest on zbieżny (do g) i zapisujemy to w następujący sposób lim n ª a n g, lub a n g. Jeżeli ciąg nie ma granicy, czyli nie istnieje liczba g spełniająca warunek podany w definicji 3., to mówimy, że ciąg jest rozbieżny. Przykład 3.. Pokażemy, że ciąg z przykładu 3.9 jest zbieżny do. Weźmy dowolne ε 0. Mamy 3 ε Sa n S T 3 n3 T 3 n3 ε n 3 ε 3. Jeżeli zatem weźmiemy ε 3, gdzie x oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej x, to dla wszystkich n ε będzie spełniony warunek Sa n S ε, dla dowolnego ε 0. Oznacza to, że liczba jest granicą ciągu ˆa n. Przykład 3.3. Rozważmy ciąg a n ˆ n. Łatwo stwierdzić, że ten ciąg nie ma granicy, czyli jest ciągiem rozbieżnym. Jego wyrazy są na przemian równe oraz, więc w dowolnym otoczeniu liczby znajdują się wszystkie wyrazy ciągu o numerach nieparzystych, a w dowolnym otoczeniu liczby znajdują się wszystkie wyrazy ciągu o numerach parzystych, ale w żadnym z tych przypadków nie są to prawie wszystkie wyrazy ciągu. ie istnieje zatem żadna liczba rzeczywista g, która spełnia warunek z definicji 3., czyli ciąg ˆa n jest rozbieżny. Przykład 3.4. Jeżeli iloraz ciągu geometrycznego ˆa n spełnia warunek SqS, to ciąg sum częściowych S n P n i a i tego ciągu jest zbieżny do S P ª a i a i q. Warunek SqS jest warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności ciągu sum częściowych ciągu geometrycznego. Twierdzenie 3.5 (arytmetyka granic właściwych). Jeżeli a n a i b n b, gdzie a, b R, to Strona 67 z 365 a) a n b n a b,

68 b) a n b n a b, c) an a b n b, gdy b x 0, d) Sa n S SaS. Twierdzenie 3.6 (wybrane własności granic). a) n 0, b) a n 0 SaS, c) nº n d) a n a, b 0 b an b a, e) a n a, a 0, n a n 0 pr a p n a p. Twierdzenie 3.7 (Twierdzenie o trzech ciągach). Jeśli spełnione są warunki a) c n B a n B b n, n b) lim n ª c n lim b n g, n ª to lim n ª a n g. Przykład 3.8. Pokażemy, że ciąg a n ciągu spełniają nierówność ˆ n 3n jest zbieżny do 0. Zauważmy, że wszystkie wyrazy 3n B a n B 3n. Strona 68 z 365

69 Ciągi 3n oraz 3n są zbieżne do zera, zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach, ciąg ˆa n jest także zbieżny do 0. Twierdzenie 3.9. Ciąg zbieżny jest ograniczony. Twierdzenie 3.0. Jeśli ciąg ˆa n jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny. Przykład 3.. Rozważmy ciąg postaci a n n Žn. Wykażemy, że jest to ciąg niemalejący i ograniczony, a zatem zbieżny. Jego granicą jest liczba Eulera e W tym celu skorzystamy z dwumianu ewtona. Zauważmy, że a n n n n 0 n nˆn n n!! n Ž n n! n Ž. n n! n! n n Podobnie a n n n ˆn! ˆn! n n n 0 ˆn ˆn n n! n! n Porównując kolejne wyrazy sum łatwo widać, że a n B n n Ž n! n Ž Ž n n ˆn! n Ž a n, czyli ciąg ˆa n jest niemalejący. Wykażemy teraz, że jest on ograniczony z góry (jest ograniczony z dołu przez swój pierwszy wyraz. Strona 69 z 365

70 jako ciąg niemalejący). Zauważmy, że a n n! n B 3 n n Ž Ž n B n!! 3! n! Žn B Wynika stąd, że ciąg ˆa n jest monotoniczny i ograniczony, a więc zbieżny. 3. Definicja 3.. Mówimy, że ciąg ˆa n ma granicę niewłaściwą ª (odpowiednio ª) wtedy i tylko wtedy, gdy M R M a n M odpowiednio a n M. n M Jeśli ciąg ma granicę niewłaściwą ª (ª), to mówimy, że jest rozbieżny do ª, (rozbieżny do ª) i piszemy lim n ª a n ª lub a n ª (odpowiednio lim n ª a n ª lub a n ª ). Przykład 3.3. Pokażemy, że ciąg a n 3 n n jest rozbieżny do ª. Weźmy dowolną liczbę dodatnią M. Wówczas a n M 3 n n M. Zauważmy, że jeśli znajdziemy takie n, że 3 n M, to będziemy także mieć spełnioną nierówność 3 n n M. Z nierówności 3 n M wynika, że n log 3 M. Zatem dla n M, gdzie M rozbieżny do ª. log 3 M zachodzi a n M, czyli ciąg ˆa n jest Przykład 3.4. Każdy ciąg arytmetyczny o dodatniej różnicy jest to rozbieżny do ª, a każdy ciąg arytmetyczny o ujemnej różnicy jest rozbieżny do ª. Każdy ciąg geometryczny o ilorazie Strona 70 z 365

71 większym od jest rozbieżny do ª, jeśli jego pierwszy wyraz jest dodatni oraz jest rozbieżny doª, jeśli jego pierwszy wyraz jest ujemny. Twierdzenie 3.5 (arytmetyka granic niewłaściwych). iech ˆa n, ˆb n będą ciągami liczbowymi. a) Jeśli a n ª i b n ª, to a n b n ª oraz a n b n ª; b) jeśli a n ª i b n ª, to a n b n ª oraz a n b n ª; c) jeśli a n ª i b n ª, to a n b n ª, b n a n ª oraz a n b n ª; d) jeśli a n a, gdzie a R i b n ª, to a n b n ª oraz an b n 0; e) jeśli a n a, gdzie a 0 i b n ª, to a n b n ª ; f) jeśli a n a, gdzie a 0 i b n ª, to a n b n ª. Istnieją także przypadki ciągów (złożonych z innych ciągów), których granicy nie da się określić, znając granice ciągów składowych. a przykład, jeśli ciągi ˆa n i ˆb n są rozbieżne do ª, to nie jesteśmy w stanie powiedzieć w przypadku ogólnym jaka będzie granica ilorazu tych ciągów an b n, którą możemy umownie zapisać jako ª ª. Tego typu granice nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi, ich wartość zależy od konkretnych przypadków rozważanych ciągów. Poniżej przedstawiamy listę wyrażeń nieoznaczonych (wypisane wartości rozumiemy zawsze jako umowne znaki, opisujące granice rozważanych ciągów, a nie działania arytmetyczne). Strona 7 z 365 ª ª lub ª ª

72 0 0 ª ª 0 ª ª ª n Przykład 3.6. Obliczymy granicę ciągu a 3n n n 7n3. Granicą licznika jest ª, a granicą mianownika jest ª, zatem mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym w granicy. Jednak jeśli podzielimy licznik i mianownik ułamka przez n otrzymamy a n licznika jest, a granicą mianownika jest, czyli lim n ª a n. 3 n n 7 n 3 n. Widać teraz, że granicą Twierdzenie 3.7. Jeśli ciąg ˆa n jest rozbieżny do ª lub do ª, to lim n ª a n an Zadania 3.7. () Obliczyć granicę ciągu: a) 3n 5n, b) n3 n 3, c) n3 3n n 3n, d) n n 4, e) ˆn ˆn 4 ˆn 4, 4 4 e. f) º nˆn ˆn 3 n º n 3, g) º n º n 3, h)» n º n» n º n, i) n n5 nˆn 3, j) 3n 5 n 5 n, k) n Pn k k, l) n3 n Žn, m) n Žn3, q) sin n n, r*) a n º an, a. n) n6 n4 Žn, o*)š ˆn n, p*) nº n 3 4 n 7 n, Strona 7 z 365

73 3.8. () Rozwiązać równanie x x Ž x Ž3 x () Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym a n 3 n. Obliczyć lim a n n ª a. n 3.0. () Wyznaczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym a n 3.. () Dla jakich wartości parametru p R granica ciągu a n 505 5n n5 n 5. log ˆp n n jest większa od Strona 73 z 365

74 Rozdział 4 Granica i ciągłość funkcji 4.. Granica funkcji Definicja 4.. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru X ` R wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg ˆx n zbieżny do x 0 o wyrazach należących do zbioru X x 0. Punkt x 0 X ` R nazywamy punktem izolowanym zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest on punktem skupienia zbioru X. Przykład 4.. iech X ˆ, e 8, 8. Wówczas zbiór punktów skupienia zbioru X to `, e, natomiast zbiór punktów izolowanych to, 8. Strona 74 z 365 Definicja 4.3 (Heinego zbieżności funkcji w punkcie). iech x 0 R będzie punktem skupienia zbioru X ` R oraz f będzie funkcją, której dziedziną jest zbiór X, czyli f X R. Mówimy, że

75 funkcja f ma granicę właściwą g w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ˆx n zbieżnego do x 0 o wyrazach należących do zbioru X x 0 zachodzi równość lim n ª fˆx n g. Jeśli g jest granicą funkcji f w punkcie x 0, to piszemy lim x x 0 fˆx g. Jeżeli zbiór X zawiera przedział ˆa, ª (odpowiednio ˆª, a ) dla pewnego a R i dla każdego ciągu ˆx n rozbieżnego do ª (odpowiednio do ª ) o wyrazach należących do X zachodzi lim fˆx n g, n ª to mówimy, że funkcja f ma granicę właściwą w ª (odpowiednio w ª ) i piszemy lim fˆx fˆx g). x ª x ª Jeżeli dla każdego ciągu ˆx n zbieżnego do x 0 o wyrazach należących do zbioru X x 0 zachodzi g (odpowiednio lim równość lim fˆx n n ª ª odpowiednio lim n ª fˆx n to mówimy, że funkcja f ma granicę niewłaściwą w punkcie x 0 i piszemy lim (odpowiednio lim x x 0 fˆx ª). ª, x x 0 fˆx ª Uwaga. Jeżeli w definicji Heinego założymy, że rozpatrujemy jedynie takie ciągi ˆx n zbieżne do x 0, których wszystkie wyrazy należą do X i są mniejsze od x 0 (odpowiednio są większe od x 0 ), to otrzymamy definicję granicy lewostronnej (odpowiednio prawostronnej ) w x 0, którą oznaczamy w następujący sposób lim fˆx (odpowiednio lim fˆx ). x x 0 x x 0 x Przykład 4.4. iech fˆx 4x 3. Obliczymy lim o wyrazach różnych od. Mamy wtedy b n fˆx n x fˆx. Weźmy dowolny ciąg ˆx n zbieżny do x n 4x n3. Ciąg b n jest ilorazem dwóch zbieżnych Strona 75 z 365

76 ciągów, przy czym ciąg w liczniku jest zbieżny do a ciąg w mianowniku jest zbieżny do 7. Wynika stąd, że lim b n n ª 7, czyli lim x fˆx 7. Przykład 4.5. Obliczymy lim b n fˆx n Wyrażenia x i n x n x zatem lim x x ª x. Weźmy dowolny ciąg ˆx n rozbieżny do ª. Mamy wtedy x n x n. Jeżeli podzielimy licznik i mianownik ciągu b n przez x n, dostaniemy b n x ª x. Przykład 4.6. Obliczymy lim x n. x n są zbieżne do 0, gdyż ciąg ˆx n jest rozbieżny do ª. Wynika stąd, że lim n ª b n, x x 3 x3. Zauważmy, że mianownik tego wyrażenia dąży do 0 i jest ujemny (rozważamy tylko ciągi zbieżne do 3 o wartościach mniejszych od 3). Granicę mianownika możemy więc symbolicznie zapisać jako 0. icznik jest zbieżny do 3, zatem nasza granica jest postaci 3 0, czyli dzielimy wyrażenie dodatnie przez ujemne dążące do 0, a to daje ª. Obliczając w ten sam sposób granicę prawostronną dostaniemy ª. Twierdzenie 4.7. Jeżeli lim x x 0 fˆx a) limˆ x x 0 fˆx gˆx a b; b) limˆ x x 0 fˆx gˆx a b; c) lim fˆx x x 0 gˆx a oraz lim x x 0 fˆx b, gdzie a, b R, to a b, jeśli gˆx ~ 0 w pewnym otoczeniu punktu x 0 i b x 0. Powyższe wzory są także prawdziwe dla granic jednostronnych oraz w przypadku, gdy zastąpimy granicę w punkcie x 0 przez granicę w ª lub w ª. Strona 76 z 365

77 4.. Ciągłość funkcji Definicja 4.8. Funkcję f X R, gdzie X ` R nazywamy ciągłą w punkcie x 0 X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ˆx n zbieżnego do x 0 o wyrazach w zbiorze X zachodzi lim fˆx n fˆx 0. n ª Mówimy, że funkcja f X R jest ciągła w zbiorze X, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Jeżeli x 0 jest punktem skupienia zbioru X, to warunek ciągłości w punkcie x 0 jest równoważny warunkowi lim x x 0 fˆx fˆx 0. Jeżeli x 0 jest punktem izolowanym zbioru X, to zbieżność ciągu ˆx n ` X do tego punktu oznacza, że musi to być od pewnego miejsca ciąg stale równy x 0. Zatem dowolna funkcja jest ciągła w punktach izolowanych dziedziny. Przykład 4.9. iech f R R, fˆx x 3. Wykażemy, że funkcja f jest ciągła w swojej dziedzinie. Weźmy dowolny ciąg ˆx n zbieżny do punktu x 0. Mamy wówczas lim fˆx x x 0 lim n ª x n 3Ž Š lim n ª x n 3 x 0 3 fˆx 0. Wynika stąd, że granica funkcji f w dowolnym punkcie dziedziny jest równa jej wartości w tym punkcie, a zatem funkcja f jest ciągła w swojej dziedzinie. Strona 77 z 365

78 Przykład 4.0. Dana jest funkcja f R R, określona wzorem fˆx Zbadamy, czy funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 jednostronne funkcji f w x 0. Mamy więc: lim fˆx x 3» Sx 3S x x 3 x 3.» lim Sx x 3 3S 3. W tym celu obliczymy najpierw granice» lim ˆx 3 0. x 3 Wynika stąd, że lim lim fˆx x 3» lim Sx x 3 3S º lim x 3 0. x 3 fˆx 0. Zauważmy jednak, że funkcja f nie jest ciągła w punkcie x x 0, 3 fˆx fˆ3, gdyż fˆ3. ponieważ nie jest spełniona równość lim x 3 Przykład 4.. Wielomiany, funkcje potęgowe, wykładnicze, wymierne, logarytmiczne i trygonometryczne są ciągłe w swoich dziedzinach. Uwaga: Jeżeli obliczając granicę funkcji otrzymujemy jedno z wyrażeń nieoznaczonych, omawianych na stronie 3., to musimy starać się tak je przekształcić, aby otrzymać wyrażenie, którego granicę potrafimy obliczyć (podobnie jak w przypadku ciągów). Twierdzenie 4. (działania na funkcjach ciągłych). a) Jeżeli funkcje f X R, g X R są ciągłe w zbiorze X ` R, to funkcje f g, f g, f g są ciągłe w zbiorze X. Strona 78 z 365

79 b) Jeśli funkcje f X R, g X R są ciągłe w zbiorze X ` R, to funkcja f g ciągła w zbiorze X œ x R gˆx x 0. jest określona i c) Jeżeli funkcja f X Y jest ciągła w zbiorze X ` R oraz funkcja g Y Z jest ciągła w zbiorze Y ` R, to złożenie tych funkcji, czyli g X f X Z jest ciągła w zbiorze X. Przykład 4.3. Funkcja h ˆ0, ª R, hˆx ˆlog 3 x 3 jest ciągła jako złożenie ciągłych funkcji f ˆ0, ª R, fˆx log 3 x oraz g R R, gˆy y 3. Definicja 4.4. Jeśli przynajmniej jedna z granic jednostronnych lim fˆx, lim fˆx jest niewłaściwa, to prostą o równaniu x x 0 nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji f X x x 0 x x 0 R. Jeśli lim c ( lim x ª asymptotą poziomą wykresu funkcji f X x ª fˆx jest warunek lub gdzie a, b R, a x 0, to prostą o równaniu y funkcji f X R odpowiednio w ª lub w ª. Twierdzenie 4.5. Jeżeli granice: fˆx c odpowiednio), gdzie c R, to prostą o równaniu y c nazywamy a lim ˆax x ªˆfˆx b 0 lim ˆax x ªˆfˆx b 0, fˆx lim x ª x, b lim x R w ª (odpowiednio w ª). Jeżeli spełniony ax b nazywamy asymptotą ukośną wykresu ªˆfˆx ax Strona 79 z 365

80 odpowiednio: istnieją i są właściwe, to prosta y ax b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w ª (odpowiednio w ª). a fˆx lim x ª x, b lim x ªˆfˆx ax Przykład 4.6. Wyznaczymy asymptoty wykresu funkcji fˆx najpierw, czy prosta o równaniu x funkcji f w tym punkcie, otrzymujemy: x x dla x x. Sprawdzimy jest asymptotą pionową. Obliczając granice jednostronne lim fˆx x x lim x x ª oraz lim fˆx x x lim x x ª, podobnie jak w przykładzie 4.6. Ponieważ obie granice w punkcie x x są niewłaściwe, prosta jest asymptotą pionową (obustronną) wykresu funkcji f. Obliczymy teraz granice funkcji f w ª i w ª. Mamy więc Podobnie dostajemy, że lim x x ª x lim x ª x x lim x ª x x ª ª. ª. Wynika stąd, że wykres funkcji f nie ma asymptoty poziomej w ª, ani w ª. W tej sytuacji powinniśmy jeszcze sprawdzić, czy wykres funkcji f ma Strona 80 z 365

81 asymptotę ukośną. Obliczamy najpierw granicę fˆx lim x ª x lim x ª x x x lim x ª. x Taki sam wynik otrzymamy wyznaczając granicę wyrażenia fˆx x w ª. Stąd otrzymujemy, że a. Wyznaczamy teraz granicę lim x ª x x x lim x x x x ª x lim x ª x x lim x ª x. Znowu łatwo zauważyć, że w ª otrzymamy tę samą granicę. Wynika stąd, że prosta y asymptotą ukośną wykresu funkcji f w ª oraz w ª. x jest Zadania 4.. () Obliczyć granice funkcji a) lim x3 x x, x 3 3 x 3 x x6, f) lim j) lim x b) lim 9 x 3 g) lim x3, x ª c) lim x x ª º x 5x º x 8x 4Ž, l) lim x 0 sin 3x x q) lim x ª ex,, m) lim x 0 sin x 8x x x x 3 x, d) lim x 3 x 4x x 4x3, h) lim, n) lim r) lim x ª lnˆx, sin 5x x 0 sin 9x, k) lim x 0 x 5 x ª 3x 3 6x8, x 3 x 3x 3 5x º x, i) lim x ª e) lim x x x x, 4x 4 3x x3 x 4 6x, x ª º x 3 4x 8 º x 3 x Ž, o) lim e x, x 0 s) lim x ª lnˆx 3, 4.. () Wykazać, że poniższe granice nie istnieją: p) lim e x, x 0 t*) lim x sin x 0 x. Strona 8 z 365

82 a) lim sin x, x ª b) lim cos x, x ª c) lim sin x π x π 4 4, d) limsxs x x () Zbadać ciągłość funkcji: x dla x B 0, a) fˆx b) gˆx c) hˆx x dla x 0 x dla x B 0, 0 dla 0 x, ln x dla x C ln ˆx 4 Ž dla x `5; 5e, x 5 dla x `5; 5e 4.4. () Dla jakich wartości parametrów a, b R funkcja f jest ciągła 3 x3 dla x B º a) fˆx ax 3 dla x B 3 ax b dla x 3 e 3x dla x 3 x dla x C 3, b) fˆx 4.5. () Wyznaczyć dziedzinę podanych funkcji oraz ich granice na krańcach dziedziny. a) fˆx lnˆx 4, b) gˆx 4.6. () Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji: a) fˆx e*) pˆx ¼ 3x5 x6, b) gˆx ex4, c) hˆx sin x x 4.7. () Wiadomo, że lim x x 0 fˆx 3, lim x x3, c) hˆx e x 4 3, d) kˆx x x 0 gˆx 0, lim lnsx 4S ¼ 3 4 Sx S, d) kˆx 3x 3 x 4, x x 0 hˆx przypadkach, w których jest to możliwe, obliczyć następujące granice: ª oraz lim x x 0 pˆx ª. W tych Strona 8 z 365

83 a) lim x x 0 ½ x x 0 f) lim fˆx fˆx gˆx, U hˆx pˆx U, b) lim fˆx hˆx x x 0 gˆx pˆx, g) lim ln x x 0 f ˆx p ˆx c) lim x x 0 gˆx fˆx pˆx, d) lim e fˆx gˆx, x x 0 e) lim x x 0 e hˆx pˆx, Strona 83 z 365

84 Rozdział 5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 5.. Pierwsza pochodna funkcji Definicja 5.. Mówimy, że funkcja f ˆa, b R jest różniczkowalna w punkcie x 0 ˆa, b wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica właściwa Strona 84 z 365 f œˆx 0 lim h 0 fˆx 0 h fˆx 0. h iczbę f œˆx 0 nazywamy pochodną funkcji w punkcie x 0. Funkcję f œ określoną w tych punktach x ˆa, b dla których istnieje f œˆx nazywamy pochodną pierwszego rzędu lub pierwszą

85 pochodną funkcji f. Wyrażenie fˆx 0h fˆx 0 h nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0. Jeśli funkcja f ˆa, b R ma pochodną w każdym punkcie x ˆa, b, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale ˆa, b. Twierdzenie 5.. Jeśli funkcja f ˆa, b ciągła w x 0. R jest różniczkowalna w punkcie x 0 ˆa, b, to f jest Przykład 5.3. Obliczymy pochodną funkcji fˆx x w dowolnym punkcie x R. Rozwiązanie. f œˆx fˆx h fˆx lim h 0 lim h 0 h x xh h x h ˆx h lim x h 0 lim h 0 h xh h Otrzymany wynik zapisujemy symbolicznie w postaci ˆx œ x. h ˆx h lim x h 0 h lim h h x. 0ˆx nalogicznie do definicji pochodnej funkcji f w punkcie x 0 określamy pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x 0. Pochodną lewostronną funkcji f ˆa, b R w punkcie x 0 ˆa, b nazywamy granicę f œ ˆx 0 a pochodną prawostronną granicę f œ ˆx 0 lim h 0 lim h 0 fˆx 0 h fˆx 0, h fˆx 0 h fˆx 0. h Strona 85 z 365

86 Twierdzenie 5.4. Funkcja f ˆa, b wtedy, gdy istnieją obie pochodne jednostronne i są równe. R jest różniczkowalna w punkcie x 0 ˆa, b wtedy i tylko Przykład 5.5. Pokażemy, że funkcja f R R, fˆx SxS nie jest różniczkowalna w punkcie x 0 0. Rozwiązanie. Obliczając pochodne jednostronne, otrzymujemy f œ ˆ0 f œ ˆ0 fˆ0 h fˆ0 lim h 0 lim h 0 h fˆ0 h fˆ0 h ShS lim h 0 h lim h 0 ShS h,. Wynika stąd, że f œˆ0 nie istnieje. Pochodne funkcji obliczamy korzystając ze wzorów na pochodne funkcji elementarnych i z tzw. reguł różniczkowania. Przedstawimy najpierw pochodne wybranych funkcji elementarnych: Tabela 5.: Pochodne wybranych funkcji elementarnych ˆC œ 0 pochodna funkcji stałej ˆx α αx α pochodna funkcji potęgowej ˆe x e x pochodna funkcji wykładniczej ˆln x œ x pochodna funkcji logarytmicznej ˆsin x œ cos x pochodna funkcji sinus ˆcos x œ sin x pochodna funkcji cosinus Przykład 5.6. Obliczymy pochodną funkcji fˆx Rozwiązanie. f œˆx ˆºx œ Šx œ x x º x. º. x Strona 86 z 365

87 Twierdzenie 5.7 (reguły różniczkowania). Jeśli f i g są funkcjami różniczkowalnymi, to: a) ˆcfˆx œ cf œˆx pochodna iloczynu funkcji przez stałą, b) ˆfˆx gˆx œ f œˆx g œˆx pochodna sumy (różnicy) funkcji, c) ˆfˆx gˆx œ f œˆx gˆx fˆx g œˆx pochodna iloczynu funkcji, d) Œ fˆx œ gˆx f œˆx gˆx fˆx g œˆx g ˆx pochodna ilorazu funkcji, e) ˆgˆfˆx œ g œˆfˆx f œˆx pochodna funkcji złożonej. Przykład 5.8. Korzystając z podanych wzorów i reguł różniczkowania obliczymy pochodne funkcji: a) ˆ3x sin x œ 3ˆx œ ˆsin x œ 6x cos x, b) ˆ4x 5 cos x œ ˆ4x 5 œ cos x 4x 5 ˆcos x œ 0x 4 4x 5 sin x, c) x ˆx œ ˆx x ˆx œ 4xˆx x x œ ˆx ˆx d) ˆtg x œ sin x ˆsin x œ cos x sin xˆcos x œ cos x sin x cos x cos x œ e) ˆctg x œ cos x sin x œ sin x cos x sin x cos x, sin x, cos x ˆcos x œ sin x cos xˆsin x œ sin x º x 4. f) º x 4Ž œ º x 4 x x x 4x, ˆx cos x cos x sin xˆ sin x cos x ˆ sin x sin x cos x cos x cos x Strona 87 z 365

88 5.. Interpretacje pochodnej 5... Interpretacja geometryczna Prosta przechodząca przez leżące na wykresie funkcji y fˆx (patrz rysunek 5.) punkty ˆx 0, f ˆx 0, B ˆx 0 h, f ˆx 0 h, ma równanie y fˆx 0 fˆx 0 h fˆx 0 ˆx x 0. h y y f ( x ) f( x 0 + h) Strona 88 z 365 f ( x 0 ) x0 x 0+ h x Rysunek 5.: Interpretacja geometryczna pochodnej

89 Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x 0 jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej przechodzącej przez punkty i B. Jeśli h dąży do 0, to punkt B dąży do punktu i otrzymujemy styczną do wykresu funkcji w punkcie ˆx 0, fˆx 0. Różniczkowalność funkcji f w punkcie x 0 jest zatem równoważna warunkowi, że istnieje styczna do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x 0. Styczna ta ma równanie y fˆx 0 f œˆx 0 ˆx x 0, a więc pochodna f œˆx 0 jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej, tzn. f œˆx 0 tg α, gdzie α jest miarą kąta, jaki tworzy styczna z osią 0x. Przykład 5.9. Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji fˆx odciętej x 0. x 5 3x w punkcie o Rozwiązanie. Mamy fˆ, f œˆx 0x 4 6x oraz f œˆ 4. Wstawiając do wzoru na styczną, otrzymujemy y ˆ 4ˆx y 4x Interpretacja fizyczna Jeśli przyjmiemy, że fˆt, gdzie t C 0, oznacza długość drogi jaką przebył pewien obiekt od chwili 0 do chwili t, to różnica fˆt 0 h fˆt 0 jest równa długości przebytej drogi od chwili t 0 do chwili t 0 h. Iloraz różnicowy fˆt 0h fˆt 0 h jest zatem równy średniej prędkości rozważanego obiektu między chwilami t 0 i t 0 h, a granica tego ilorazu (przy h 0) f œˆt 0 jest równa prędkości rozważanego obiektu w chwili t 0. Rozszerzając tę interpretację na inne funkcje różniczkowalne możemy przyjąć, że wartość pochodnej f œˆx 0 określa prędkość zmian wartości funkcji f w pewnym otoczeniu punktu x 0. Strona 89 z 365

90 5..3. Interpretacja ekonomiczna Wprost z definicji pochodnej wynika, że dla wartości h x 0 bliskich 0 mamy: f œˆ x fˆ x h fˆ x lim h 0 h fˆ x h fˆ x,. h czyli, że f œˆ x h fˆ x h fˆ x. Zakładając, że wartości funkcji nie zmieniają się zbyt szybko, możemy podstawić h, otrzymując f œˆ x fˆ x fˆ x. Wartość f œˆ x jest więc w przybliżeniu równa przyrostowi wartości funkcji w przypadku, gdy wartość argumentu wzrośnie o jednostkę (licząc od początkowej wartości x). Wartość f œˆ x, zgodnie z interpretacją fizyczną, może być uznana za miarę szybkości zmian wartości funkcji. Przykład 5.0. iech x oznacza wielkość produkcji w pewnym przedsiębiorstwie, a Kˆx całkowity koszt jej wytworzenia. Funkcję Kˆx, gdzie x C 0, nazywamy funkcją kosztów całkowitych, funkcję k pˆx Kˆx x, określoną dla x 0, nazywamy funkcją kosztów przeciętnych, a funkcję K œˆx, x 0 (o ile istnieje) nazywamy funkcją kosztów krańcowych. Przykład 5.. Załóżmy, że funkcja kosztów ma postać Kˆx 0, x 6x 00, x 0. Wtedy K œˆx 0, 4x 6 i w szczególności K œˆ0 0 oznacza przybliżony wzrost kosztów w przypadku, gdy wielkość produkcji wzrośnie z poziomu 0 do. Dokładna wartość jest równa Kˆ Kˆ0 0,. Strona 90 z 365

91 Definicja 5.. Współczynnikiem elastyczności funkcji f w punkcie x nazywamy liczbę (jeśli istnieje) E x f xf œˆ x fˆ x. Elastyczność dodatniej funkcji różniczkowalnej w punkcie x 0 określa przybliżoną względną zmianę wartości funkcji przy zmianie argumentu o % (przy początkowej wartości x). To znaczy, jeśli argument x zmieni się o %, to wartość funkcji zmieni się w przybliżeniu o E x0 f %. Przykład 5.3. Współczynnik elastyczności funkcji kosztów z przykładu 5. w punkcie x 0 jest równy około 0, 36. Jeżeli więc wielkość produkcji x zwiększymy o % (z początkowego poziomu x 0), to koszt wzrośnie w przybliżeniu o 0, 36%. Podobne zastosowanie ma pochodna w odniesieniu do innych funkcji występujących w ekonomii. I tak na przykład, z funkcji utargu całkowitego można uzyskać funkcję utargu krańcowego i przeciętnego, z funkcji produkcji, funkcję produkcji krańcowej i przeciętnej itp. Strona 9 z Zastosowania pochodnej Pochodną funkcji wykorzystujemy między innymi przy obliczaniu granic wyrażeń nieoznaczonych oraz do badania monotoniczności funkcji i wyznaczania ekstremów lokalnych.

92 5.3.. Obliczanie granic wyrażeń nieoznaczonych Twierdzenie 5.4 (Reguła de l Hospitala). Jeśli funkcje f i g są określone i różniczkowalne w przedziale ˆx 0 ε, x 0 ε, gdzie ε 0, gˆx ~ 0, g œˆx ~ 0 dla x ˆx 0 ε, x 0 ε, x ~ x 0, lim fˆx x x 0 lim x gˆx 0 x 0 oraz istnieje granica lim x x 0 f œˆx g œˆx a, to fˆx lim x x 0 gˆx f œˆx lim x x 0 g œˆx a. Uwaga. Twierdzenie jest również prawdziwe, gdy: a) x 0 ª, b) lim x x 0 fˆx lim x x 0 gˆx ª, c) a ª. ln x Przykład 5.5. Obliczymy lim x ª x. Rozwiązanie. Funkcje fˆx ln x i gˆx x spełniają warunki lim x ª ln x ª, lim x ª x ª, ponadto ln x zatem lim x ª x 0. ˆln x œ lim x ª ˆx œ x lim x ª lim x ª x 0, Strona 9 z 365

93 Uwaga. Założenie twierdzenia de l Hospitala o istnieniu granicy ilorazu pochodnych jest istotne. Istnieją takie funkcje f i g, że istnieje granica ilorazu f ~g, a nie istnieje granica ilorazu pochodnych f œ ~g œ. Przykład 5.6. Rozważmy granicę Grupując odpowiednio wyrażenia, otrzymujemy x sin x lim x 0 sin x ie istnieje jednak granica ilorazu pochodnych x sin x lim x 0 sin x. lim x x 0 sin x x sin x 0 0. x sin x lim Žœ x 0 ˆsin x œ lim x 0 x sin x cos x, cos x Strona 93 z 365 ponieważ nie istnieje granica lim x 0 cos x Monotoniczność funkcji Twierdzenie 5.7. iech f ˆa, b R będzie funkcją różniczkowalną. a) Funkcja f jest niemalejąca (odpowiednio nierosnąca) w przedziale ˆa, b wtedy i tylko wtedy, gdy f œˆx C 0 (odpowiednio f œˆx B 0) dla każdego x ˆa, b. b) Funkcja f jest stała w przedziale ˆa, b wtedy i tylko wtedy, gdy f œˆx 0 dla każdego x ˆa, b.

94 c) Jeśli f œˆx 0 dla każdego x ˆa, b, to f rośnie w przedziale ˆa, b. d) Jeśli f œˆx 0 dla każdego x ˆa, b, to f maleje w przedziale ˆa, b. Przykład 5.8. Wyznaczymy przedziały monotoniczności funkcji fˆx x 3 5x 3x. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji jest zbiór R, funkcja jest ciągła i różniczkowalna w swojej dziedzinie, a jej pochodna jest równa f œˆx x 3 5x 3x Ž œ x 3 Ž œ 5 x Ž œ 3ˆx œ ˆ œ 3x 0x 3. Badając znaki pochodnej, otrzymujemy f œˆx 0 x 3 - x 3, f œˆx 0 x ª, 3 f œˆx 0 x 3, 3Ž. Ž 8 ˆ3, ª, Wynika stąd, że funkcja f rośnie w przedziale ª, Ž 3 i w przedziale ˆ3, ª, a maleje w przedziale 3, 3Ž. Strona 94 z Ekstrema lokalne W rozdziale podana została definicja ekstremów lokalnych funkcji jednej zmiennej. Korzystając z pochodnej funkcji możemy podać efektywną metodę wyznaczania ekstremów funkcji różniczkowalnych.

95 Twierdzenie 5.9 (warunek konieczny na ekstremum). Jeśli funkcja f ˆa, b różniczkowalna i ma w punkcie x 0 ˆa, b ekstremum lokalne, to f œˆx 0 0. R jest Punkty x, w których f œˆx punktami stacjonarnymi. 0, nazywamy punktami podejrzanymi o ekstremum lub Twierdzenie 5.0 (warunek dostateczny na ekstremum). iech f ˆa, b R będzie funkcją różniczkowalną, x 0 ˆa, b i f œˆx 0 0. Jeśli istnieje takie r 0, że: a) f œˆx 0 dla x ˆx 0 r, x 0 i f œˆx 0 dla x ˆx 0, x 0 r, to funkcja f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne; b) f œˆx 0 dla x ˆx 0 r, x 0 i f œˆx 0 dla x ˆx 0, x 0 r, to funkcja f ma w punkcie x 0 minimum lokalne; c) f œˆx C 0 dla x ˆx 0 r, x 0 r albo f œˆx B 0 dla x ˆx 0 r, x 0 r, to funkcja f nie ma w punkcie x 0 ekstremum lokalnego. Przykład 5.. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji fˆx 3x 5 5x 3. Strona 95 z 365 Rozwiązanie. Funkcja f określona jest na całej osi liczbowej, a jej pochodna f œˆx 5x 4 5x jest wielomianem czwartego stopnia. Badamy znak pochodnej rozkładając ją na na czynniki 5x 4 5x 5x ˆx 5x ˆx ˆx. Miejscami zerowymi pochodnej są punkty x, x 0, x 3, przy czym x, x 3 są pierwiastkami pojedynczymi, a x jest pierwiastkiem podwójnym. Znak pochodnej najłatwiej można zbadać korzystając z jej wykresu (patrz rysunek 5.).

96 Rysunek 5.: Wykres pochodnej f œˆx 5x 4 5x Otrzymane wyniki zapisujemy w tabeli postaci x ˆª, ˆ, 0 0 ˆ0, ˆ, ª f œˆx fˆx 0 a podstawie tej tabeli możemy stwierdzić, że funkcja f ma w punkcie maksimum lokalne, w punkcie ma minimum lokalne, w punkcie 0 (mimo, że pochodna jest równa 0) nie ma ekstremum lokalnego. Strona 96 z Ekstrema globalne funkcji ajwiększą i najmniejszą wartość w przedziale domkniętym `a, be funkcja może przyjąć w punktach, w których ma ekstrema lokalne lub na końcach przedziału. Stąd wynika metoda wyznaczania

97 wyznaczania ekstremów globalnych w przedziale `a, be funkcji różniczkowalnej y fˆx. Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej (nie musimy sprawdzać, czy są to ekstrema lokalne) leżące wewnątrz przedziału, a następnie obliczamy wartość funkcji w wyznaczonych punktach i na końcach przedziału. Z otrzymanych liczb wybieramy wartość największą i najmniejszą. Przykład 5.. Wyznaczymy największą i najmniejszą wartość funkcji fˆx x 3 9x 4x w przedziale `, e. Rozwiązanie. Mamy f œˆx 6x 8x 4 oraz f œˆx 0 x - x 4. Obliczając wartości funkcji w punktach,, 3 (4 ~ `, e), otrzymujemy fˆ 3, fˆ 3, fˆ3 4. ajwiększą wartość równą 3 funkcja osiąga w punkcie, a najmniejszą równą 3 w punkcie. Odpowiedź zapisujemy w postaci Strona 97 z 365 f max max x`,3e fˆx fˆ 3, f min x`,3e min fˆx fˆ 3. Zadania 5.. () Obliczyć pochodną funkcji: a) fˆx x 3x, b) fˆx 3º x, c) gˆx 3x sin x, d) fˆx x 4 x cos x, e) fˆx x x 3,

98 f) hˆx k) gˆz º x x 5 z 3, l) hˆt z 3 4z, g) fˆt t, h) fˆx 3 x x, i ) hˆx ctg x, j) fˆt t3 sin t, sin t cos t, ł) fˆy sin y cos y, m) fˆx x sin x x cos x. 5.. () Obliczyć pochodną funkcji złożonej: a) fˆx º x, b) fˆx sin x, c) fˆx sin x, d) gˆx f) hˆv cosˆ v, g) fˆx º x x. º x 4, e) hˆt ˆt 3 5 t 4, 5.3. () Wyznaczyć dziedzinę funkcji określonej wzorem fˆx x. Zbadać, czy równanie x ma rozwiązanie. x f œˆx 5.4. () Wykazać, że pochodna funkcji określonej wzorem fˆx x sin x, x R jest funkcją nieparzystą () Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji fˆx x 3x w punkcie o odciętej x () Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji fˆx 5.7. () W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji fˆx x x 4 w punkcie o odciętej x 0. 3 x3 x ma równanie Strona 98 z 365 6x 3y () Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i stycznej do wykresu funkcji fˆx x x.

99 5.9. () Obliczyć granice: 3x a) lim 4 x x ª ˆx 3x, xe b) lim x x 0 e x, g) lim x º x, h) lim x xž tg x, ª x π π c) lim x 0 x e, d) lim x e x x x 0 sin x, i) lim x 0 x tg x, j) lim a x ª x x () Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: a) fˆx x x 5, b) fˆt t 4 t, c) fˆx x x, d) fˆx 3x f) fˆx x 3 x 5. ln 3x e) lim x 0 ctg x, f) lim x x, x 0 x, e) fˆx 6 x x, 5.. () Wyznaczyć b tak, aby funkcja określona wzorem fˆx cos x bx, x R była funkcją malejącą. x 5.. () iech fˆx a. Dla jakich a R funkcja f: x a) jest przedziałami rosnąca, b) ma ekstremum lokalne w punkcie x 5.3. () Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: a) fˆx 4x x, b) fˆx x 6x 5, c) fˆx 3xˆx, d) fˆx x x, e) fˆx f) fˆx x x. x, 5.4. () Cena p, jaką uzyskuje się za jednostkę pewnego towaru zależy od wielkości dostawy x 00 według wzoru p. Przy jakiej wielkości dostawy uzyska się największy utarg x 00 Strona 99 z 365

100 5.5. () W pewnym zakładzie produkcyjnym koszt całkowity wytworzenia x jednostek towaru wyraża się wzorem Kˆx x 3 50x 3, gdzie x C 0. Przy jakiej wielkości produkcji koszt przypadający na jednostkę wytworzonego produktu jest najmniejszy 5.6. () Wyznaczyć taką liczbę a, żeby funkcja fˆx x 3 3ax 4 miała ekstremum lokalne w punkcie x. astępnie zbadać, czy jest to maksimum czy minimum () iech fˆx ax 3 3x, x R. Dla jakich wartości parametru a R funkcja f: a) ma ekstremum lokalne w punkcie x 5, b) ma dokładnie jedno ekstremum lokalne 5.8. () Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji fˆx xˆx w przedziale `, e () Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji fˆx x 3 6x w przedziale `, 3e () Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji fˆx x x w przedziale `; 4e. 5.. () Wydajność pracy pewnego robotnika zmienia się w ciągu 8-godzinnego dnia pracy i po t godzinach osiąga wartość w 00t9t 4t 3. O której godzinie jego wydajność jest największa, jeżeli pracę rozpoczyna o godzinie siódmej Strona 00 z Druga pochodna funkcji Definicja 5.3. Pochodną drugiego rzędu lub drugą pochodną funkcji f ˆa, b R nazywamy funkcję f œœ ˆf œ œ, o ile taka funkcja istnieje. Funkcję, która w każdym punkcie przedziału ˆa, b

101 ma drugą pochodną, nazywamy funkcją dwukrotnie różniczkowalną, a jeśli f œœ ˆa, b jest funkcją ciągłą, to mówimy, że f jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły. R Przykład 5.4. Wyznaczymy drugą pochodną funkcji f R R, fˆx x 3 cos x. Rozwiązanie. f œ ˆx 3x cos x x 3 sin x oraz f œœ ˆx 6x cos x 6x sin x x 3 cos x. Przykład 5.5. Wykażemy, że nie istnieje f œœˆ0, gdzie f R R, fˆx Rozwiązanie. Dla x 0 funkcja f jest określona wzorem fˆx x, zatem fˆx x; dla x 0 mamy fˆx x, a więc w tym przypadku f œˆx x. Pochodną w 0 obliczamy z korzystając z definicji: f œˆ0 fˆh fˆ0 lim h 0 h hshs lim h 0 h lim h ShS 0. 0 Ostatecznie mamy f œˆx SxS, a ta funkcja nie jest różniczkowalna w x 0 (por. przykład 5.5). xsxs Zastosowania drugiej pochodnej Strona 0 z Wyznaczanie ekstremów lokalnych Drugą pochodną stosujemy do wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji, wyznaczania przedziałów wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji f oraz do badania tempa zmian wartości funkcji. Twierdzenie 5.6 (Warunek dostateczny na ekstremum). iech f ˆa, b R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły, a x 0 ˆa, b takim punktem, że f œ ˆx 0 0. a) Jeśli f œœˆx 0 0, to f ma w x 0 minimum lokalne. b) Jeśli f œœˆx 0 0, to f ma w x 0 maksimum lokalne.

102 Przykład 5.7. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji fˆx x 4 x. Rozwiązanie. Dziedziną funkcji jest zbiór D f ˆª, 0 8 ˆ0, ª. Pierwsza pochodna jest równa f œˆx 4 x oraz f œˆx 0 x - x. Druga pochodna jest równa f œœˆx 8 x. 3 Ponadtof œœˆ 0, f œœˆ 0. Funkcja f w punkcie x ma maksimum lokalne, a w punkcie x ma minimum lokalne Wypukłość i wklęsłość funkcji Definicja 5.8. Mówimy, że funkcja f ˆa, b R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek f ˆˆ t x tx B ˆ t fˆx tfˆx dla dowolnych x, x ˆa, b, t `0, e. Jeśli ponadto f ˆˆ t x tx ˆ t fˆx tfˆx dla t ˆ0,, to mówimy, że funkcja f jest ściśle wypukła. Mówimy, że funkcja f ˆa, b R jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek Strona 0 z 365 f ˆˆ t x tx C ˆ t fˆx tfˆx dla dowolnych x, x ˆa, b, t `0, e. Jeśli ponadto f ˆˆ t x tx ˆ t fˆx tfˆx dla t ˆ0,, to mówimy, że funkcja f jest ściśle wklęsła.

103 Rysunek 5.3: Wykres funkcji wypukłej Warunek podany w definicji 5.8 oznacza, że dla dowolnych x, x ˆa, b odcinek łączący punkty ˆx, fˆx, ˆx, fˆx w przestrzeni R (cięciwa wykresu funkcji f) funkcji wypukłej (odpowiednio wklęsłej) leży na lub powyżej (odpowiednio leży na lub poniżej) wykresu funkcji f (por. rys. 5.3). Bezpośrednio z definicji wynika również, że jeśli funkcja f jest wklęsła (ściśle wklęsła), to funkcja f jest wypukła (ściśle wypukła) i na odwrót. Definicja 5.9. Punkt ˆx 0, f ˆx 0, gdzie x 0 ˆa, b, nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie r 0, że w jednym z przedziałów ˆx 0 r, x 0, ˆx 0, x 0 r funkcja jest wypukła, a w drugim wklęsła. Twierdzenie iech f ˆa, b R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły. Wówczas: a) funkcja f jest wypukła na ˆa, b wtedy i tylko i wtedy, gdy f œœˆx C 0 dla każdego x ˆa, b ; Strona 03 z 365

104 b) funkcja f jest wklęsła na ˆa, b wtedy i tylko i wtedy, gdy f œœˆx B 0 dla każdego x ˆa, b ; c) jeśli f œœˆx 0 (odpowiednio f œœˆx 0) dla każdego x ˆa, b, to funkcja f jest ściśle wypukła (odpowiednio ściśle wklęsła) na ˆa, b. Twierdzenie 5.3. iech f ˆa, b R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły, x 0 ˆa, b. Jeśli ˆx 0, f ˆx 0 jest punktem przegięcia wykresu funkcji f, to f œœ ˆx 0 0. Twierdzenie 5.3. iech f ˆa, b R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły, x 0 ˆa, b, f œœˆx 0 0. Jeśli istnieje takie r 0, że w jednym z przedziałów ˆx 0 r, x 0, ˆx 0, x 0 r mamy f œœˆx B 0, a w drugim f œœˆx C 0, to ˆx 0, f ˆx 0 jest punktem przegięcia wykresu funkcji f. Przykład iech fˆx punkty przegięcia jej wykresu. równa: xe x. Wyznaczmy przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f oraz Rozwiązanie. Dziedziną funkcji f jest zbiór R. Pierwsza i druga pochodna jest odpowiednio f œ ˆx e x xe x, f œœ ˆx e x xe x. Strona 04 z 365 Mamy: f œœˆx 0 x, f œœˆx 0 x, f œœˆx 0 x. Stąd wynika, że f jest wypukła w przedziale ˆ, ª, wklęsła w przedziale ˆª,, a punkt ˆ, e jest punktem przegięcia wykresu funkcji.

105 Tempo zmian wartości funkcji W tym paragrafie przedstawimy zastosowanie pierwszej i drugiej pochodnej do badania tempa zmian wartości funkcji. Rozważmy na początku funkcję liniową fˆx axb, która jest jednocześnie wypukła i wklęsła. Jeśli a 0, to funkcja jest stała (jej wartości nie zmieniają się). Jeśli a 0, to funkcja jest rosnąca, ale tempo zmian jej wartości jest stałe (jednakowym przyrostom argumentów odpowiadają jednakowe przyrosty wartości funkcji). W ostatnim przypadku, gdy a 0, funkcja jest malejąca, ale również tempo zmian wartości jest stałe (jednakowym przyrostom argumentów odpowiadają jednakowe spadki wartości funkcji). Zajmijmy się teraz funkcjami nieliniowym. Definicja iech f ˆa, b R. a) Jeśli funkcja f jest rosnąca i ściśle wypukła, to mówimy, że funkcja f rośnie coraz szybciej w przedziale ˆa, b. b) Jeśli funkcja f jest rosnąca i ściśle wklęsła, to mówimy, że funkcja f rośnie coraz wolniej w przedziale ˆa, b. c) Jeśli funkcja f jest malejąca i ściśle wypukła, to mówimy, że funkcja f maleje coraz wolniej w przedziale ˆa, b. d) Jeśli funkcja f jest malejąca i ściśle wklęsła, to mówimy, że funkcja f maleje coraz szybciej w przedziale ˆa, b. Strona 05 z 365 Twierdzenie iech f ˆa, b R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły. a) Jeśli f œˆx 0 i f œœˆx 0 dla każdego x ˆa, b, to funkcja f rośnie coraz szybciej w przedziale ˆa, b.

106 (a) Funkcja rośnie coraz szybciej (b) Funkcja rośnie coraz wolniej Rysunek 5.4: Tempo zmian funkcji rosnącej b) Jeśli f œˆx 0 i f œœˆx 0 dla każdego x ˆa, b, to funkcja f rośnie coraz wolniej w przedziale ˆa, b. c) Jeśli f œˆx 0 i f œœˆx 0 dla każdego x ˆa, b, to funkcja f maleje coraz wolniej w przedziale ˆa, b. d) Jeśli f œˆx 0 i f œœˆx 0 dla każdego x ˆa, b, to funkcja f maleje coraz szybciej w przedziale ˆa, b. Strona 06 z 365 Przykład Zbadamy tempo zmian wartości funkcji f ˆ0, π R, fˆx sin x. Rozwiązanie. Mamy f œˆx cos x, f œœˆx sin x, oraz f œˆx 0 cos x 0, x D f x f œœˆx 0 sin x 0, x D f x π. π - x 3 π,

107 (a) Funkcja maleje coraz wolniej (b) Funkcja maleje coraz szybciej Rysunek 5.5: Tempo zmian funkcji malejącej Ponadto f œˆx 0 cos x 0 x 0, πž - 3 π, πž, f œˆx 0 cos x 0 x π, 3 πž, f œœˆx 0 sin x 0 x ˆπ, π, f œœˆx 0 sin x 0 x ˆ0, π. Strona 07 z 365 Zestawiamy znaki pochodnych w tabeli.

108 x 0, πž π π, πž π π, 3πŽ 3 π 3 π, πž f œˆx 0 0 f œœˆx 0 fˆx ¼ 0 Ç Ä Wynika stąd, że funkcja f rośnie coraz wolniej w przedziale 0, πž, maleje coraz szybciej w przedziale π, πž, maleje coraz wolniej w przedziale π, 3 πž, rośnie coraz szybciej w przedziale 3 π, πž Badanie przebiegu zmienności funkcji i W tym paragrafie omówimy badanie przebiegu zmienności funkcji i szkicowanie jej wykresu. Badanie funkcji dwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągły przeprowadzamy według następującego schematu: wyznaczamy dziedzinę funkcji oraz (jeśli istnieją) punkty w których wykres funkcji przecina osie układu współrzędnych, tzn. wartość fˆ0 i rozwiązania równania fˆx 0; obliczamy granice funkcji na końcach przedziałów określoności i wyznaczamy równania asymptot; wyznaczamy pierwszą pochodną i badamy jej znaki; wyznaczamy drugą pochodną i badamy jej znaki; Strona 08 z 365 w tabeli zestawiamy znaki pochodnych i zaznaczamy tempo zmian wartości funkcji;

109 na podstawie tabeli szkicujemy wykres funkcji. Przykład Zbadamy przebieg zmienności funkcji f ˆx Rozwiązanie. Dziedziną funkcji jest zbiór D f x x 4. ˆª, 8 ˆ, ª. Obliczając fˆ0 i rozwiązując równanie fˆx 0, otrzymujemy fˆ0 4, fˆx 0 x - x, zatem wykres przecina osie układu współrzędnych w punktach 0, Ž, 4 ˆ, 0, ˆ, 0. Obliczamy granice na końcach przedziałów określoności. W ª mamy Podobnie lim ª. ie istnieje zatem asymptota pozioma. Sprawdzamy, czy istnieje asymptota ukośna y lim fˆx x ª x ª fˆx lim x x ª x 4 x lim x ª x 4 x Ž x x Ž lim x ª x 4Ž x lim x ª x 4Ž ª. x ax b. W ª mamy a b fˆx lim x ª x lim x ªˆfˆx ax lim x lim x ª x x 4, x x ª x 4 x. Strona 09 z 365 nalogiczne wartości granic otrzymujemy w ª. Prosta y w ª i w ª. Obliczamy granice jednostronne w punkcie x. x jest asymptotą ukośną zarówno lim fˆx x ª, lim x fˆx ª.

110 Prosta x jest asymptotą pionową wykresu funkcji. Pierwsza pochodna funkcji jest równa f œ ˆx x 4x ˆx. Badając jej znaki otrzymujemy f œˆx 0 x º 3 - x º 3, f œˆx 0 x Šª, º 3 8 Š º 3, ª, f œˆx 0 x Š º 3, 8 Š, º 3. Druga pochodna funkcji jest równa f œœˆx 3 ˆx 3. Strona 0 z 365 Druga pochodna nie zeruje się w żadnym punkcie, ponadto f œœˆx 0 x ˆ, ª. f œœˆx 0 x ˆª,. Tabelka przebiegu zmienności funkcji.

111 Rysunek 5.6: Wykres funkcji f ˆx x x4 º º x ª ª f œˆx 0 0 f œœˆx fˆx ª ¼ º 3 max Wykres funkcji przedstawiony jest na rysunku 5.6. ª ª Ç º 3 min Ä ª Strona z 365 Zadania 5.. () Wyznaczyć pochodną drugiego rzędu funkcji f i obliczyć jej wartość w punkcie x 0 : a) fˆx x 3 x 4x º x x 3, x 4 0, b) fˆx d) fˆx x e x, x () Wyznaczyć przedział, w którym funkcja fˆx ln x x, x 0 e, c)fˆx ex x, x 0 0, 3 x x 3 :

112 a) maleje coraz szybciej, b) rośnie coraz wolniej () Wyznaczyć przedział, w którym funkcja fˆx º 4 x : a) rośnie coraz szybciej, b) rośnie coraz wolniej, c) maleje coraz szybciej, d) maleje coraz wolniej () Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji: a) fˆx x e x x, b) fˆx x, c) fˆx º x ln x, d) fˆx x ln x () Zbadać tempo zmian wartości funkcji: a) fˆx e x x, b) gˆx º x 3, c) hˆx x 3 x, d) pˆx cos x * () Zbadać, dla jakich wartości parametrów α, β, γ R funkcja fˆx x α βx γ jest wklęsła, a dla jakich wypukła w przedziale ˆ0, ª. Czy istnieją takie wartości parametrów, przy których funkcja rośnie coraz wolniej w przedziale ˆ0, ª 5.8. * () Zbadać tempo zmian wartości funkcji fˆx e ax e ax w zależności od wartości parametru a R 0. Strona z () Zbadać przebieg zmienności funkcji f: a) fˆx ˆx x, b) fˆx e, x c) fˆx x ln x, d) fˆx. xex * () Dla funkcji z zadania 5.9 wyznaczyć fˆˆ, ª, f ˆˆª, 0, fˆd f.

113 Rozdział 6 CŁKI 6.. Całka nieoznaczona Mając daną funkcję f wyznaczaliśmy jej pochodną (o ile taka istniała). Obecnie zajmiemy się nieco innym, w pewnym sensie odwrotnym działaniem. Dla danej funkcji f będziemy poszukiwać funkcji, której pochodną jest funkcja f. Definicja 6.. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f w (niepustym) przedziale I ˆa, b wtedy i tylko wtedy, gdy F œˆx fˆx dla każdego x I. Uwaga. Możemy również definiować funkcję pierwotną funkcji f w przedziale domkniętym `a, be i w dowolnym innym przedziale, żądając dodatkowo aby F œ ˆa fˆa oraz F œ ˆb fˆb.. Strona 3 z 365 Przykład 6.. Funkcją pierwotną funkcji fˆx 3x w dowolnym przedziale I jest na przykład

114 funkcja Fˆx x 3, ale też funkcja Fˆx x 3 5. Ogólnie, każda funkcja postaci Fˆx x 3 C, gdzie C jest pewną stałą należącą do zbioru R, jest funkcją pierwotną funkcji f w dowolnym przedziale I. Dla każdego x R mamy bowiem F œˆx ˆx 3 C œ ˆx 3 œ 0 3x. Przykład 6.3. Funkcją pierwotną funkcji fˆx Fˆx cos x 3x C, gdzie C R. Przykład 6.4. Funkcją pierwotną funkcji fˆx Fˆx lnx C, gdzie C R. Zauważmy również, że ˆlnˆx œ Fˆx lnˆx C jest funkcją pierwotną funkcji fˆx x sin x 3 w dowolnym przedziale I jest funkcja w dowolnym przedziale I ` ˆ0, ª jest funkcja x Ž x x. zatem funkcja w dowolnym przedziale I ` ˆª, 0. Łatwo zauważyć, że jeśli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f, to również funkcja F C, gdzie C R, jest funkcją pierwotną funkcji f. Pojawia się pytanie, czy wszystkie funkcje pierwotne funkcji f są tej postaci. Twierdzenie 6.5. iech funkcja F będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I. Wtedy: a) Dla każdego C R funkcja G F C jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I. b) Jeśli G jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I, to istnieje C R takie, że G F C. zatem wyznaczając jedną funkcję pierwotną danej funkcji, znajdujemy wszystkie funkcje pierwotne tej funkcji. Operację wyznaczania funkcji pierwotnych nazywamy całkowaniem, zaś rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji całką nieoznaczoną. Definicja 6.6. Całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale I nazywamy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale I. Strona 4 z 365

115 Uwaga. Całkę nieoznaczoną oznaczamy przez R fˆx dx. Mamy zatem: S fˆx dx Fˆx C F œˆx fˆx. Poniżej przedstawiamy przydatne wzory, które wynikają wprost ze wzorów na pochodne wybranych funkcji. R x a dx R x dx R a x dx R e x dx R cos xdx R sin xdx Przykład 6.7. R 3x dx x 3 C, gdyż ˆx 3 œ 3x. Przykład 6.8. R x dx Przykład 6.9. R x dx a xa c, a ~ lnsxs C ln a ax C e x C sin x C cos x C 3 x C, gdyż ˆ 3 x3 œ 3ˆx3 œ x. lnsxs C w każdym przedziale, do którego nie należy 0, gdyż ˆlnSxS œ ˆlnx œ x dla x 0 oraz ˆlnSxS œ ˆlnˆx œ x Przykład 6.0. R ˆtg x dx R ˆ sin x cos x dx dla x 0. R sin xcos x cos x dx R cos xdx tgx C. Twierdzenie 6.. Jeśli funkcje f i g mają funkcje pierwotne w przedziale I, to funkcje f g, af, gdzie a R, mają funkcje pierwotne w tym przedziale, przy czym: a) R afˆx dx a R fˆx dx; b) R ˆfˆx gˆx dx R fˆx dx R gˆx dx. Strona 5 z 365

116 Przykład 6.. R 5xdx 5 R xdx 5 x Ž C 5 x C. Przykład 6.3. R º 3 x dx 3 R x dx 3 x C 6 º x C. Przykład 6.4. R ˆx 4 sin x dx Przykład 6.5. R x3 3 x3 x x C. x dx R x 4 dx R sin xdx 5 x5 cos x C. R ˆx ˆx x x R ˆx x dx R x dx R xdx R dx Twierdzenie 6.6. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale I (otwartym lub domkniętym), to f ma funkcję pierwotną w tym przedziale. Uwaga. Całkowanie jest na ogół przedsięwzięciem znacznie trudniejszym od wyznaczania pochodnej. Co więcej, istnieją funkcje ciągłe, których funkcje pierwotne nie są funkcjami elementarnymi. Do takich funkcji należy między innymi funkcja fˆx e x. Obecnie przedstawimy twierdzenie, które w wielu wypadkach ułatwia całkowanie. Twierdzenie 6.7. (Twierdzenie o całkowaniu przez części) Jeśli funkcje f i g mają w przedziale I ciągłe pochodne f œ i g œ, to Strona 6 z 365 S fˆx g œˆx dx fˆx gˆx S f œˆx gˆx dx. Uwaga. Teza twierdzenia wynika bezpośrednio ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji. Przykład 6.8. R xe x dx R xˆe x œ dx xe x R ˆx œ e x dx xe x R e x dx xe x e x C. Czasem wygodniej wykonywać rachunki, wypisując wszystkie kroki pośrednie. a przykład można to zrobić w następującej postaci.

117 R xe x dx fˆx x f œˆx g œˆx xe e x gˆx e x x R e x dx xe x e x C. Przykład 6.9. R x sin xdx R xˆ cos x œ dx x cos x R ˆx œ cos xdx x cos x R cos xdx x cos x sin x C. Przykład 6.0. R lnx º xlnx R º x dx R lnxˆ º x œ dx º xlnx R º xˆlnx œ dx º xlnx R º x x º dx x dx º xlnx 4 º x C. Przykład 6.. R lnxdx R ˆx œ lnxdx xlnx R xˆlnx œ dx xlnx R x x dx xlnx R dx xlnx x C. Innym ważnym twierdzeniem ułatwiającym całkowanie jest twierdzenie związane ze wzorem na pochodną funkcji złożonej. Twierdzenie 6.. (Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie) Jeśli funkcja g ma w przedziale I ciągłą pochodną g œ, zaś funkcja f ma w przedziale gˆi funkcję pierwotną F, to Strona 7 z 365 S fˆgˆx g œˆx dx Fˆgˆx C w przedziale I. Zauważmy, że R fˆt dt Fˆt C. Tym samym wzór możemy zapisać w następującej postaci: R fˆgˆx g œˆx dx R fˆt dt, gdzie t gˆx. Innymi słowy stosujemy podstawienie t gˆx i obliczanie całki sprowadzamy do wyznaczenia R fˆt dt.

118 Przykład 6.3. Znajdziemy całkę nieoznaczoną funkcji hˆx xˆx 0. Zauważmy, że we wzorze funkcji h występuje funkcja gˆx x wraz ze swoja pochodną g œˆx x. Przyjmując dodatkowo, że fˆx x 0, mamy fˆgˆx ˆx 0. Tak więc hˆx fˆgˆx g œˆx. Funkcja Fˆx x jest funkcją pierwotną funkcji f w dowolnym przedziale I. Mamy zatem Fˆgˆx ˆx i tym samym R xˆx 0 dx ˆx C. Wykorzystując notację t gˆx oraz dt g œˆx dx, powyższe rachunki możemy przedstawić w nieco bardziej zwartej postaci. R xˆx t x 0 dx dt xdx R t 0 dt Przykład 6.4. R cosˆ5x dx Przykład 6.5. R x e x3 dx Przykład 6.6. R tgxdx dt t 5x dt t x 3 5dx 5dt dx 3x dx 3 dt x dx R sin x cos x dx dt t dt t C R 3 et dt cos x sin xdx sin xdx ˆx C. R 5 cos tdt 5 sin t C 5 sinˆ5x C. 3 et C 3 ex3 C. R t dt lnsts C lns cos xs C. Strona 8 z 365

119 6.. Całka oznaczona Definicja 6.7. iech f będzie funkcją ciągłą w przedziale `a, be. Całką oznaczoną funkcji f w przedziale `a, be nazywamy liczbę S a b fˆx dx Fˆb Fˆa, gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale `a, be. Uwaga. iczbę a nazywamy dolną granicą całkowania, liczbę b zaś górną granicą całkowania. W dalszych rozważaniach będziemy posługiwać się następującym oznaczeniem: Fˆx b a Przykład 6.8. R ˆx 4 dx 3 x3 4x Ž 3 ˆ 3 4ˆ Ž 5. Fˆb Fˆa. Przykład 6.9. Wyznaczymy całkę R 0 xex dx. Po zastosowaniu twierdzenia o całkowaniu przez części (patrz przykład 6.8) otrzymujemy R xe x dx xe x e x C. zatem R 0 xex dx xe x e x 0 ˆ e e ˆ0 e 0 e 0. Łatwo pokazać, że całka oznaczona ma następujące własności. Strona 9 z 365 Twierdzenie Jeśli funkcje f i g są ciągłe w przedziale `a, be, to: a) R b a αfˆx dx α R b a fˆx dx dla dowolnego α R ; b) R b a ˆfˆx gˆx dx R b a fˆx dx R b a gˆx dx; c)r b a fˆx dx R c a fˆx dx R b c fˆx dx dla dowolnego c ˆa, b.

120 6.3. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Poznamy teraz jedno z ważnych zastosowań całki oznaczonej. Weźmy pod uwagę funkcję f ciągłą w przedziale `a, be taką, że fˆx C 0 dla x `a, be. Rozważamy zbiór ˆx, y x R, y R, x `a, be, 0 B y B fˆx. Interpretację geometryczną zbioru przedstawia rysunek 6.. Można udowodnić, że pole powierzchni zbioru (oznaczane dalej przez SS ) jest równe R b a fˆx dx. Strona 0 z 365 Rysunek 6.: Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Wykorzystując powyższy fakt, możemy także wyznaczać pole powierzchni B zbioru ograniczonego prostymi o równaniach x a i x b, osią 0x oraz wykresem funkcji f, która w przedziale `a, be jest ciągła i niedodatnia. Odbijając wykres funkcji f symetrycznie względem osi 0x, otrzymujemy wykres funkcji g zauważyć, że SBS f, która w przedziale `a, be jest ciągła i nieujemna (patrz rysunek 6.). Łatwo R b a gˆx dx R b a ˆfˆx dx R b a fˆx dx.

121 Rysunek 6.: Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Przykład 6.3. Obliczymy pole powierzchni zbioru ograniczonego wykresem funkcji fˆx x x, osią 0x oraz prostymi o równaniach x i x (patrz rysunek 6.3). Zauważmy, że w przedziale `, e funkcja f jest nieujemna i ciągła. Mamy zatem SS R x3 3 x x 6. ˆx x dx Strona z 365 Rysunek 6.3: Interpretacja geometryczna całki. Przykład 6.3