Dodatek. Dr Jacek Gosk

Transkrypt

1 Dr Jacek Gosk Dodatek Wstęp W dodatku odpowiem na ptanie: Jaki rozkład prędkości mają elektron emisji termoelektronowej z metalu do próżni? Dodatkowo podam uproszczon opis charakterstki napięciowo prądowej diod próżniowej. Załóżm że, w przewodniku elektron z zewnętrznch powłok atomowch mogą poruszać się swobodnie w całej jego objętości. Uproszczając, przjmijm że, elektron są zamknięte w studni potencjału o nieskończonej barierze potencjału. Zaniedbując odziałwania miedz elektronami i jonami, elektron można traktować jako gaz swobodnch cząstek. Podobnie jak cząstki gazu doskonałego (podlegające statstce klascznej -rozkład makswellowski) elektron w metalu ulegają zderzeniom/rozproszeniom. Jednak, w przewodniku poziom energii zajmowane przez elektron, w odróżnieniu od cząstek gazu idealnego, mają charakter dskretn. Dodatkowo elektron obowiązuje zasada Pauliego. Prz tch założeniach energie/prędkości elektronów opisuje rozkład Fermiego-Diraca. Nieunormowan rozkład prędkości elektronów na jednostkę objętości opisuje wzór: N(v) = 2 ( m h ) 3 4πv 2 exp[(e E F )/] + v Gdzie: E = mv 2 /2 oraz v 2 = vx 2 + v 2 + vz 2. Stąd łatwo przejść do rozkładu energii elektronów na jednostkę objętości: N(E) = 8π 2m 3 2h 3 E 2 E = g(e) E exp[(e E F )/] + Opisując zjawisko termoemisji elektronowej z metalu do próżni wgodnie jest stosować rozkład prędkości wrażon za pomocą składowch prędkości w postaci: N = f(v x, v v z ) v x v v z = 2 ( m 3 h x v v z exp[(e E F )/] + Wstępująca we wzorze wielkość EF to Poziom Fermiego wnikając z warunku unormowania: g(e)de = N, 0 gdzie: N oznacza liczbę swobodnch elektronów w jednostce objętości. Interpretację poziom Fermiego jest prosta dla temperatur T= 0. Analizując cznnik P(E)= /( exp[(e-ef)/]+) widzim że, elektron zajmują wszstkie poziom energetczne dla E < EF natomiast poziom dla E>EF są puste. Dla T > 0 i EF E >> cznnik ten jest bliski jedności, dla E=EF równ /2, i co ważne dla E-EF > zmienia się jak exp[-(e-ef)/]. Uwaga. W dalszch rozważaniach przjmiem mniej widealizowaną stuację. W metalu istnieje skończona barierę potencjału, tak więc elektron o dostatecznie dużej energii kinetcznej mogą opuszczać metal. Zakładam że, dla elektronów o energiach większej od barier potencjału, obowiązuje rozkład Fermiego-Diraca. W tm zakresie energii rozkład Fermiego-Diraca pokrwa się z rozkładem Maxwella. Położenie poziomów energetcznch układu metal-próżnia, oraz wkresu funkcji P=P(E) przedstawia rsunek. Energia W - to różnica miedz energią elektronu w spocznku (z dna pasma przewodnictwa) a energią elektronu znajdującego się w spocznku na zewnątrz metalu. Praca wjścia jest zdefiniowana jako różnica: = W EF. ( )

2 P(E) 0 E F W E Metal Próżnia Poziom próżni W E F Dno pasma przewodnictwa Rs.. Wkres poziomów energetcznch układu metal-próżnia oraz odpowiadając mu dla temperatur T > 0 wkres zależności P=P(E). Przjmijm układ współrzędnch tak b oś X bła prostopadła do płaszczzn metalu i skierowana na zewnątrz niej. Elektron przechodzące przez powierzchnię rozdziału metalpróżnia powinn mieć dostateczną energię b pokonać barierę potencjału W tj. mvx 2 /2 W. Dla elektronów obowiązuje zasada zachowania energii (w kierunku X) i zasada zachowania pędu (dla składowch w kierunku Y i Z). m 2 v 2 x = m 2 2v 2 2x + W, m v = m v 2, m v z = m v 2z Gdzie indeks odnosi się do elektronów w metalu (np. m to masa efektwna elektronu w metalu) natomiast indeks 2 do elektronów w próżni. Dla W- Ef >>, słuszne jest przbliżenie: E + E F P(E) = exp ( E E exp ( ) ( ) F ) + Wzór na gęstość szbkich elektronów o składowch prędkości zawartch w przedziałach (vx, vx+ vx), (v, v+ v), (vz, vz+ vz) dostajem z zależność (*). W tm celu należ wkorzstać (**) oraz zastosować podstawienie E = (mvx 2 + mv 2 + mvz 2 ) /2. Stąd mam: N = 2 h 3 exp [(E F 2 m v 2 x 2 m v 2 2 m v 2 ) ] m v x m v m v z Liczba elektronów dochodzącch do jednostkowej powierzchni rozdziału w ciągu czasu t mającch składowe prędkości z przedziałów (vx, vx+ vx), (v, v+ v), (vz, vz+ vz) wnosi: v x t N = 2 h 3 exp (E f 2 m 2 v x v x t v x exp ( 2 m 2 v v exp ( 2 mv 2 z v z 2

3 Tm elektronom odpowiada liczba elektronów N emitowanch w jednostkowm czasie z jednostkowej powierzchni o składowch prędkości z przedziałów (v2x, v2x+ v2x), (v2, v2+ v2), (v2z, vz+ v2z). Przjmując, że liczba elektronów odbitch od barier potencjału (efekt kwantow) jest do pominięcia oraz wkorzstując kolejno zależności: E F 2 m v 2 x = E F ( 2 m 2v 2 2x + W) = (E F W) 2 m 2v 2 2x = 2 m 2 2v 2x otrzmujem: N = 2 exp ( 2 m 2 2v 2x h3 2 v 2x t v 2x ( 2 m 2 2v 2 2 v 2 exp ( 2 m2v 2 2z 2 v 2z ( ) Składowa v2x może zmieniać się w zakresie od 0 do, podczas gd składowe v2 i v2z mają zakres zmienności od - do. Dalej w tekście, rozważając elektron w próżni, będziem pomijać indeks rozróżniając elektron w próżni i metalu. Liczbę elektronów Nx o składowch prędkości w kierunku X zawartch w przedziale (vx, vx+ vx) emitowanch z jednostkowej powierzchni i w jednostkowm czasie otrzmam całkując wrażenie (***) względem v i vz. I ostatecznie: N x = 2 exp ( h3 v x v x exp ( 2 mv 2 exp ( 2 mv z 2 z N x = 4m2 π h 3 exp ( ) v x v x ( ) Wkonując analogiczne podwójne całkowanie względem vx i v oraz vx i vz dostajem: N = 2 2π(m)3 h 3 exp ( 2 mv 2 N z = 2 2π(m)3 h 3 exp ( 2 mv z 2 Zwróćm uwagę na istotną różnicę pomiędz rozkładem dla składowej prędkości vx i rozkładami dla składowch prędkości v i vz. Pierwsz zawiera dodatkowo wraz vx. Ponadto dla składowej prędkości vx przedziałem zmienności jest 0 vx (mówim w tm przpadku o tzw. rozkładzie prędkości w strumieniu) podczas gd dla v i vz są to przedział ( v, v z + ). 3

4 Wzór Richardsona Emisji elektronów z metalu towarzsz przepłw prądu. Całkowita gęstość prądu j (ładunek elektrczn przechodząc przez powierzchnie jednostkową w jednostkowm czasie) z powierzchni metalu otrzmujem mnożąc przez ładunek elektronu wrażenie (***) wsumowane po wszstkich możliwch prędkościach elektronów: j = en e = 2e exp ( ) exp ( v h3 x dv x 0 exp ( 2 mv 2 exp ( 2 mv z 2 z W rezultacie dostajem wzór Richardsona-Dushmana (922r.) na emisję elektronów z metalu do próżni: j = en e = 4πem()2 h 3 exp ( ) = AT2 exp ( ) UWAGA. W przedkwantowej teorii metali Drudego Lorentza zakładano że, elektron podlegają statstce klascznej (rozkład Maxwella) otrzmując nieco inn wzór. 4 j = ne k 2πm T 2 exp ( W ) = at 2exp ( W ) Gdzie n to koncentracja elektronów. Zauważm, w tm wzorze temperatura jest w potędze ½ a nie w potędze drugiej i W zastępuj =W-EF. Wzór w tej postaci podał Richardson (90r.). Rozkład składowch prędkości elektronów termicznch Całkowita liczba elektronów Ne emitowanch w jednostkowm czasie z jednostkowej powierzchni równa jest j/e. Wobec tego korzstając ze wzoru Richardsona -Dushmana możem podać wzor na prawdopodobieństwa że, składowe prędkości vx, v i vz emitowanch elektronów są zawarte w przedziałach odpowiednio (vx, vx+ vx), (v, v+ v) i (vz, vz+ vz): P x (v x ) = N x N e = m P (v ) = N N e = m 2π P z (v ) = N z N e = m 2π exp ( ) v x v x exp ( 2 mv 2 exp ( 2 mv z 2 z Tak więc składowe prędkości v i vz są opisane maxwellowskim rozkładem prędkości natomiast składową vx, jak zauważono wżej, opisuje zmodfikowan rozkład maxwellowski. Charakterstka napięciowo prądowa diod planarnej. Opis ilościow charakterstki napięciowo-prądowej diod próżniowej nawet prz dużch uproszczeniach wmaga dość zaawansowanch metod obliczeniowch (I. Langmuir

5 Phs. Rev. 2 (923) ). Dlatego omawiając zjawiska zachodzące w diodzie próżniowej ograniczm się głównie do opisu jakościowego. Opis ilościow podam jednie dla przpadku nie wmagającego zaawansowanej matematki tj. zakresu dużch ujemnch napięć anodowch. Zakres ten obejmują pomiar prowadzone w ćwicz. 27. Przjrzjm się zjawiskom zachodzącm w diodzie planarnej. W opróżnionej z powietrza bańce szklanej umieszczone są dwie elektrod. Z podgrzanej do wsokiej temperatur katod emitowane są elektron. W wniku tego międz elektrodami powstaje niejednorodn ładunek przestrzenn ('chmura elektronowa'). Jednocześnie na skutek emisji/ubtku elektronów z katod polarzuje się ona dodatnio. W polu elektrcznm wtworzonm przez dodani ładunek katod i ujemn ładunek przestrzenn, głównie zgromadzon blisko katod, najwolniejsze z wemitowanch elektronów będą zawracane do katod. Natomiast szbkie elektron pokonując barierę potencjału dotrą do anod polarzując ją ujemnie. Tak więc, po połączeniu elektrod płnie międz nimi prąd. Dla niewielkich bezwzględnch wartości napięcia anodowego (rs. 2. krzwe IV, III, II) rozkład potencjału międz katodą i anoda ma lokalne minimum (stanowiącą barierę potencjału dla najwolniejszch wemitowanch elektronów). W tm zakresie napięć istotną rolę odgrwa ładunek przestrzenn. U K a t o d a V IV III II I A n o d a U IV min U I a Rs. 2. Krzwe rozkładu potencjału w planarnej diodzie próżniowej prz różnch napięciach anodowch. Rozkład potencjału dla tch samch napięć anodowch ale bez ładunku przestrzennego przedstawiają krzwe przerwane. Na czarno krzwe dla dodatnich napięć na anodzie. Podanie dodatniego napięcia na anodę powoduje przciąganie/ściąganie przez nią elektronów z chmur elektronowej. Wzrostowi napięcia anodowego towarzsz przesuwanie się w kierunku katod i zanikanie lokalnej barier potencjału prz jednoczesnm wzroście prądu anodowego. Gd napięcie na anodzie jest dostatecznie duże (powżej punktu nascenia Pn, rs. 3, krzwa I na rs. 2) wszstkie wemitowane elektron są przspieszane i docierają do anod. Obserwujem tzw. 'nascenie' prądu anodowego tj. płaski odcinek charakterstki. Tak naprawdę stosujem tu duże uproszczenie tj. pomijam efekt Schottk eg, któr powoduje dalsz powoln wzrost prądu anodowego prz rosnącm napięciu na diodzie. Generalnie omawiając charakterstkę diod próżniowej wgodnie jest podzielić ją na trz zakres co pokazuje rsunek 3. Uwaga. Charakterstka na rs. 3 zakłada brak istnienia napięcia kontaktowego tj. przpadek kied anoda i katoda są wkonane z tego samego metalu (prace wjścia z anod i katod są jednakowe). Na wkresie obserwujem przecinanie się prostch przerwanch dla Ua=0. Do określenia napięcia kontaktowego należ dsponować pełną charakterstką napięciowo prądową. Ponieważ w ćwiczeniu 27 mierzm charakterstkę jednie dla ujemnch napięć anodowch to nie dsponujem pełnmi danmi dla określenia napięcia kontaktowego. Pełne omówienie zjawiska znajdziem w literaturze specjalistcznej. 5

6 lnia lni nas Zakres nascenia P w Zakres wkładnicz P n U a Rs. 3. Wkres charakterstki napięciowo prądowej diod plenarnej. P w i P n, odpowiednio, punkt wkładnicz i punkt nascenia. Międz punktami P w i P n znajduje się zakres wstępowania ładunku przestrzennego. Rozpatrzm zakres charakterstki napięciowo-prądowej badan w ćwiczeniu tj. dla ujemnch napięć anodowch Ua. Prz zwiększaniu ujemnego napięcia anodowego elektron są hamowane również bliżej anod, zwiększa się tu ładunek przestrzenn, lokalne minimum potencjału przesuwa się w kierunku anod (rs. 2 krzwa IV). Tak więc, prąd anodow maleje. Dalsz wzrost ujemnego napięcia na anodzie prowadzi do postania napięcia hamującego w całej przestrzeni międz elektrodami (krzwa V z rs. 2). Znikaniu lokalnego minimum potencjału odpowiada na charakterstce z rsunku 3 punkt wkładnicz Pw. Dla jeszcze większch ujemnch napięć anodowch do anod docierają jednie elektron, dla którch energia początkowa spełnia warunek mvx 2 /2 > -eua. Dla wgod obliczeń zdefiniujm napięcie Vo, dla którego zachodzi mvx 2 /2=eVo. Liczbę elektronów emitowanch w jednostkowm czasie z jednostkowej powierzchni o energiach odpowiadającch napięciom z zakresu (Vo, Vo+dVoożna policzć z podstawowego wzoru (***) w postaci, w której wkorzstano wzór Richardsona-Dushmana: Co po podstawieniu evo= mvx 2 /2 daje : N x = j e exp ( ) v x ( ) N(V o )dv o = j e exp ( ev o ) (ev o ) Całkowitą liczbę elektronów docierającch do anod, a stąd całkowitą gęstość prądu, otrzmam sumując liczbę elektronów o energiach z zakresu od evo do. j a = U a e N(V o )dv o = {x = ev o } = j 6 eu a/ exp( x) dx = j exp (eu a ) Pamiętajm, napięcie Ua w tm wzorze uważa się za ujemne. Zgodnie z worem Richardsona - Dushmana gęstość prądu ja(0) = j zależ od temperatur T i prac wjścia. Reasumując, pokazano że, dla napięć poniżej punktu wkładniczego Pw charakterstkę napięciowo-prądową można opisać funkcją wkładniczą. W rozpatrwanm zakresie napięć powinniśm obserwować zależność liniową pomiędz ln(ja/j) i Ua (rs. 3). Dla małch ujemnch napięć Ua tj. powżej punktu Pw charakterstka leż poniżej prostej opisanej wzorem teoretcznm. Jest to tzw. zakres ładunku przestrzennego. Do anod nie docierają najwolniejsze elektron zatrzmane przez lokalną barierę potencjału związaną z powstaniem ładunku przestrzennego. Zakres ten jest stosunkowo mał (punkt Pw i Pn leża blisko siebie) dla małch prądów emisjnch.