Vybrané kapitoly z matematiky

Transkrypt

1 Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava Vybrané kapitoly z matematiky / 11

2 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky / 11

3 Parametricky zadaná křivka v R 3 : k : X (t) = [x(t), y(t), z(t)], t a, b, kde x(t), y(t), z(t) jsou spojité funkce Definice Křivka k je orientována kladně, jestliže její orientaci voĺıme souhlasně s průběhem parametru t, píšeme k +. V opačném případě je křivka k orientována záporně, píšeme k. Křivka k se nazývá jednoduchá, jestliže neprotíná sebe sama, t.j. pro t 1, t 2 (a, b), t 1 t 2 platí X (t 1 ) X (t 2 ) Pro kladně orientovanou křivku k + jsou A = [x(a), y(a), z(a)] a B = [x(b), y(b), z(b)] její počáteční a koncový bod. Je-li A = B, nazývá se křivka k uzavřená. Je-li derivace X spojitá a nenulová, pak se křivka k nazývá hladká. Spojitá křivka, kterou lze rozdělit na hladké křivky, nazývá se počástech hladká. Vybrané kapitoly z matematiky / 11

4 Příklady Napište parametrické rovnice: úsečky kružnice elipsy Vybrané kapitoly z matematiky / 11

5 Křivkový integrál I. druhu Zavádí se pro skalární funkci u = u(x, y, z) podél jednoduché počástech hladké křivky k: I = u(x, y, z) ds. Definuje se jako limita částečných součtů: k I = lim s i 0 m m u(x i ) s i, kde a = t 0 < t 1 < < t m = b, X i = X (t i ), s i = X i X i 1 a bod X i = (x i, y i, z i ) leží na úsečce X i X i 1. i=1 představuje velikost plochy prostorového listu nezávisí na orientaci křivky Vybrané kapitoly z matematiky / 11

6 Křivkový integrál II. druhu Zavádí se pro vektorovou funkci f (x, y, z) = [P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)] podél jednoduché počástech hladké kladně orientované křivky k + : I = f (x, y, z) ds k + = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz, k + kde ds = [dx, dy, dz]. představuje velikost práce vykonané působením síly f podél křivky k + závisí na orientaci křivky (při změně orientace se mění znaménko) Vybrané kapitoly z matematiky / 11

7 Definuje se jako limita částečných součtů: I = lim s i 0 m = lim s i 0 m m f (X i ) s i i=1 m ( ) P(X i ) x i + Q(X i ) y i + R(X i ) z i i=1 kde a = t 0 < t 1 < < t m = b, X i = X (t i ), s i = X i X i 1 = [ x i, y i, z i ] a bod X i = (x i, y i, z i ) leží na úsečce X i X i 1. výraz za sumou je skalární součin Vybrané kapitoly z matematiky / 11

8 Vlastnosti (jsou standardní) konstantu lze vytknout před integrál integrál součtu funkcí je součet integrálů integrál lze rozložit na součet integrálů po částech křivky Výpočet integrál I. druhu, X (t) = [x(t), y(t), z(t)], t a, b k u(x, y, z) ds = b a u(x (t)) X (t) dt integrál II. druhu k + f (x, y, z) ds = b a b P(X (t)) x (t) dt + Q(X (t)) y (t) dt + a + b a R(X (t)) z (t) dt Vybrané kapitoly z matematiky / 11

9 Příklady k : x(t) = 4 cos t, y(t) = 4 sin t, z(t) = 3t, t 0, 2π vypočítejte křivkový integrál I. druhu: I = (x + y + z) ds vypočítejte křivkový integrál II. druhu: I = x dx + y dy + z dz k + k Vybrané kapitoly z matematiky / 11

10 Křivkový integrál II. druhu po uzavřené křivce se značí: f ds = P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz k + k + Věta (Greenova) Necht f je diferencovatelná vektorová funkce v Ω R 2, jejíž hranicí je dostatečně hladká uzavřená křivka k +. Pak platí: [ ] Q(x, y) P(x, y) P(x, y) dx + Q(x, y) dy = dxdy k + Ω x y Příklad Pomocí Greenovy věty vypočítejte integrál: k + (x + y) dx + (x y) dy, k : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Vybrané kapitoly z matematiky / 11

11 Shrnutí křivkový integrál I. druhu (plocha) a jeho výpočet křivkový integrál II. druhu (práce) a jeho výpočet Greenova věta, použití pro výpočet integrálu po uzavřené křivce Zdroj skripta Matematika III str Vybrané kapitoly z matematiky / 11