Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Transkrypt

1 Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 2. století (reg. č. CZ..7/2.2./7.332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni

2 Motivace: Kvadratické formy popisují potenciální energii Rozložení hustoty nábojů Mějme elektrodu nabitou jednotkovým nábojem. Hledáme (po trojúhelnících konstantní) hustotu povrchového náboje q R n, která minimalizuje potenciální energii min { E(q) := q T A q } n vzhledem k q i =,,Obsah, kde (A) i,j := /(4πε ) T i T j x i x j dv (x j)dv (x i ) vychází z Coulombovské síly mezi nabitými trojúhelníky T i a T j. A je symetrická matice. i=

3 Motivace: Kvadratické formy popisují potenciální energii Rozložení proudové hustoty ve vodiči Mějme vodič protékaný jednotkovým proudem. Hledáme (po trojúhelnících konstantní) proudovou hustotu j R n, která minimalizuje potenciální energii min { E(j) := j T A j } n vzhledem k j i =,,Obsah, kde (A) i,k := µ /(4π) T i T k x i x k dv (x k)dv (x i ) vychází z Lorentzovy magnetické síly mezi proudovodiči s trojúhelníkovými profily T i a T k. A je symetrická matice. i=

4 Lineární zobrazení Princip superpozice 2A(v 2 ) A(v ) + A(v 2 ) A(v 2 ) A(v ) v = v 2 = 2 v + v 2 2v 2 Lineární zobrazení Mějme vektorové prostory V, U. Zobrazení A : V U je lineární, pokud. v,v 2 V : A(v + v 2 ) = A(v ) + A(v 2 ), 2. α R v V : A(αv) = αa(v).

5 Lineární zobrazení = matice Každou matici lze chápat jako lineární zobrazení. Mějme matici A R m n, pak následující zobrazení A : R n R m je lineární A(x) := A x. Matice lineárního zobrazení Mějme lineární zobrazení A : V U, bázi E := (e,...,e n ) prostoru V a bázi F := (f,...,f m ) prostoru U. Vezměme v V a jeho souřadnice [v] E = (α,...,α n ) R n v bázi E, tj. v = α e + + α n e n. Vyjádřeme obraz A(v) U v bázi F [A(v)] F = [A(α e + + α n e n )] F = [α A(e ) + + α n A(e n )] F = ([A(e )] F,...,[A(e n )] F ) [v] }{{} E, =:A E,F kde A E,F R m n je matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím E a F.

6 Lineární formy Definice Mějme vektorové prostory V a U. Lineární zobrazení A : V U je lineární forma, pokud U = R. Příklad: A(x) := a x = a x + a 2 x 2 je lineární forma na R x x 2.5

7 Lineární formy = aritmetické vektory Každý aritmetický vektor lze chápat jako lineární formu. Mějme vektor a R n, pak následující zobrazení A : R n R je lineární n A(x) := a x = a i x i. i= Vektor lineární formy Mějme lineární formu A : V R a bázi E := (e,...,e n ) prostoru V. Vezměme v V a jeho souřadnice [v] E = (α,...,α n ) R n v bázi E, tj. Vyjádřeme obraz A(v) R v = α e + + α n e n. A(v) = A(α e + + α n e n ) = α A(e ) + + α n A(e n ) = (A(e ),...,A(e n )) [v] }{{} E, =:a E kde a E R n je vektor lineární formy vzhledem k bázi E.

8 Bilineární formy Definice Mějme vektorový prostor V. Zobrazení B : V V R je bilineární forma, pokud pro libovolné a V. B (v) := B(v,a) je lineární forma na V a 2. B 2 (v) := B(a,v) je lineární forma na V. Příklad: B(x,y) := xy je bilineární forma na R y x

9 Bilineární formy = čtvercové matice Každou čtvercovou matici lze chápat jako bilineární formu. Mějme matici B R n n, pak následující zobrazení B : R n R n R je bilin. forma n n B(u,v) := u T B v = (B) ij v j. Matice bilineární formy Mějme bilineární formu B : V V R a bázi E := (e,...,e n ) prostoru V. Vezměme u,v V a jejich souřadnice [u] E = (α,...,α n ) R n, [v] E = (β,...,β n ) R n, tj. i= u i j= u = α e + + α n e n, v = β e + + β n e n. B(u,v) = B(α e + + α n e n,v) =. α B(e,v) + + α n B(e n,v) n n B(e,e )... B(e,e n ) 2. = α i β j B(e i,e j )= [u] T E..... [v] E, i= j= B(e n,e )... B(e n,e n ) }{{} =:B E kde B E R n n je matice bilineární formy vzhledem k bázi E.

10 Kvadratické formy Definice Mějme vektorový prostor V a bilineeární formu B : V V R. Zobrazení Q : V R je kvadratická forma, pokud Q(v) := B(v,v). Příklady kvadratických forem na R Q(x) := x 2 Q(x) := x 2 Q(x) := Q(x) x Q(x) x Q(x) x

11 Kvadratické formy Příklady kvadratických forem na R 2 Q(x) := (x ) 2 + (x 2 ) 2 Q(x) := (x ) 2 Q(x) := (x ) 2 (x 2 ) 2 Příklad: Q(x) := x T Q x, kde Q R n n je kvadratická forma, nebot Q(x) = B(x,x), kde B(x,y) := x T Q y je bilineární forma. Jsou kvadratické formy libovolné čtvercové matice?

12 Kvadratické formy = symetrické matice Antisymetrická bilineární forma dává nulovou kvadratickou formu. Mějme vektorový prostor V a antisymetrickou bilineární formu B A : V V R, pak a tedy v V : B A (v,v) = B A (v,v), B A (v,v) =. Matice kvadratické formy je vždy symetrická. Mějme bilineární formu B : V V R, pak příslušná kvadratická forma je určena pouze symetrickou částí Q(v) := B(v,v) = B S (v,v) + B A (v,v) = B }{{} S (v,v). = Mějme dále bázi E := (e,...,e n ) prostoru V a vektor v V, pak Q(v) = [v] T E B E [v] E = [v] T E (B S E + B A E) [v]e = = [v] T E B }{{} S E [v] E + [v] T E B A E [v] E. }{{} =:Q E =

13 Kvadratické formy = symetrické matice Matice kvadratické formy Mějme bilineární formu B : V V R, k ní příslušející kvadratickou formu Q(v) := B(v,v) = B S (v,v) a bázi E := (e,...,e n ) prostoru V. Pak pro každý v V platí: Q(v) = [v] T E Q E [v] E, kde Q E := B S E = ( ) BE + B T E 2 je matice kvadratické formy v bázi E. Příklad: Najděte matici kvadratické formy Q(x) := (x ) 2 x x 2 2(x 2 ) 2 na R 2 v kanonické bázi. Příslušná bilineární forma je např. B(x,y) := x y x y 2 2x 2 y 2, její matice v kanonické bázi E := ((, ), (, )) je ( ) B E = 2 a matice kvadratické formy tedy je Q E = 2 ( BE + B T E ( ) ) + = 2 = 2 2 ( ) 2 2 2

14 Kvadratické formy = symetrické matice Příklad: Najděte matici kvadratické formy Q(x) := (x ) 2 x x 3 (x 2 ) 2 + x 2 x 3 + (x 3 ) 2 na R 3 v kanonické bázi. Příslušná bilineární forma je např. B(x,y) := x y x y 3 x 2 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 3, její matice v kanonické bázi E := ((,, ), (,, ), (,, )) je B E = a matice kvadratické formy tedy je Q E = ( ) BE + B T E = =

15 Kvadratické formy = symetrické matice Příklad: Najděte matici kvadratické formy Q(p(x)) := (p(x))2 dx na P v kanonické bázi E := (, x). Příslušná bilineární forma je např. B(p(x),q(x)) := p(x)q(x)dx. Napočítejme si její matici v kanonické bázi E := (, x): a tedy B(, ) = B(x, ) = což je zároveň i matice kvadratické formy. dx =, B(,x) = x dx = 2 x dx = 2, B(x,x) = x x dx = 3, ( ) B E = = Q E, 2 2 3

16 Klasifikace kvadratických forem Kladné, záporné, neurčité formy Q(x) := (x ) 2 + (x 2 ) 2 Q(x) := (x ) 2 (x 2 ) 2 Q(x) := (x ) 2 (x 2 ) 2 pozitivně definitní x : Q(x) > negativně definitní x : Q(x) < indefinitní x : Q(x) >, y : Q(y) <

17 Nezáporné, nekladné formy Klasifikace kvadratických forem Q(x) := (x ) 2 Q(x) := (x ) 2 pozitivně semidefinitní x : Q(x), y : Q(y) = negativně semidefinitní x : Q(x), y : Q(y) =

18 Klasifikace kvadratických forem Definice Mějme vekt. prostor V. Řekneme, že kvadratická forma Q : V R je pozitivně definitní, pokud v V \ {} : Q(v) >, negativně definitní, pokud v V \ {} : Q(v) <, indefinitní, pokud v V : Q(v) > a w V : Q(w) < pozitivně semidefinitní, pokud v V : Q(v) a w V \ {} : Q(w) =, negativně semidefinitní, pokud v V : Q(v) a w V \ {} : Q(w) =.

19 Klasifikace kvadratických forem Klasifikace kvadratických forem = klasifikace symetrických matic Mějme vektorový prostor V o dimenzi n, bázi E prostoru V a kvadratickou formu Q : V R. Pro v V označme α := [v] E R n, pak platí Q(v) = α T Q E α =: Q(α) a klasifikace kvadratické formy Q : V R je shodná s klasifikací kvadratické formy Q, tedy s klasifikací matice Q E. Řekneme, že symetrická matice Q E je pozitivně (negativně) definitní, pokud indefinitní, pokud α R n \ {} : α T Q E α > (<), α R n : α T Q E α > a β R n : β T Q E β <, pozitivně (negativně) semidefinitní, pokud α R n : α T Q E α ( ) a β Rn \ {} : β T Q E β =.

20 Klasifikace kvadratických forem = klasifikace symetrických matic Klasifikace diagonálních matic Má-li kvadratická forma v nějaké bázi E diagonální matici, tj. d... Q E = D = d ,... d nn pak pro libovolný v V, resp. pro jeho souřadnice [v] E =: (α,...,α n ) R n platí n Q(v) = [v] T E D [v] E = d ii (α i ) 2 a znaménko Q(v) je určeno znaménky diagonálních prvků. I := {, 2,...,n}. D je pozitivně (negativně) definitní, pokud i I : d ii > (<), indefinitní, pokud i,j I : d ii >, d jj <, pozitivně (negativně) semidefinitní, pokud i I : d ii ( ) a j I : d jj =, i=

21 Klasifikace kvadratických forem = klasifikace symetrických matic Příklady: Klasifikujte následující diagonální matice (kvadrat. forem) a) b) c) D := je indefinitní (neurčitá), nebot d = > a d 22 = <. D := 2 je negativně semidefinitní (nekladná), nebot d, d 22, ale d 33 =. D := 2 3 je pozitivně definitní (kladná), nebot d, d 22,d 33 >.

22 Klasifikace kvadratických forem = klasifikace symetrických matic Kongruentní matice Mějme vektorový prostor V a jeho báze E := (e,...,e n ) a F := (f,...,f n ). Uvažujme identické zobrazení I : V V a jeho matici vzhledem k bázím E a F označme T := I E,F. Ta realizuje přechod mezi bázemi v V : [v] F = T [v] E. Mějme dále kvadratickou formu Q : V R. Matice Q E a Q F jsou kongruentní: Q(v) = [v] T F Q F [v] F = (T [v] E ) T Q F (T [v] E ) = [v] T E (T T Q F T ) [v] }{{} E. =Q E Klasifikace ostatních symetrických matic kongruencí na diagonální Mějme kvadratickou formu Q : V R. Hledáme bázi E prostoru V tak, aby v ní byla matice kvadratické formy diagonální, tj. Q(v) = [v] T E Q E [v] E, kde Q E je diagonální matice.

23 Klasifikace kvadratických forem = klasifikace symetrických matic Algoritmus: Gaussova eliminace + kongruentní transformace. Začneme s maticí kvadratické formy Q F v libovolné bázi F a provedeme Gaussovu eliminaci bez záměny řádků (Q F I) Gauss bez záměn řádků (U T T ) T T Q F = U, kde U je horní trojúhelníková a T T dolní trojúhelníková. 2. Následující kongruentní transformace nám dá diagonáĺní matici D := Q E := T T Q F T= U T. Oba kroky lze sjednotit. Rozepišme Gaussovu eliminaci T T = T n T 2 T, pak Q E = T n T 2 (T ) Q F T T T T 2 T T n. }{{} } kongruence {{ } } kongruence 2 {{ } kongruence n

24 Klasifikace kvadratických forem = klasifikace symetrických matic Příklad: Klasifikujte ( ) 2. 2 Ad. ( 2 2 Ad 2. ) D := U L T = r 2 :=r 2 2r ( ) 2 5 a jelikož d >, d 22 <, matice je indefinitní. ( ( ) 2 = ) =: (U L), ( ), 5 Oba kroky lze sjednotit takto: ( ) ( ) ( ) r 2 :=r 2 2r 5 s 2 :=s 2 2s 5 }{{} kongruence

25 Klasifikace kvadratických forem = klasifikace symetrických matic 4 2 Příklad: Klasifikujte r 2:=2r 2 r 4 s 2:=2s 2 s 8 4 r 2 3 :=4r 3 r s :=4s 3 s 4 28 }{{} kongruence , r 3 :=2r 3 +r 2 s 52 3 :=2s 3 +s 2 4 }{{} kongruence 2 a jelikož d, d 22,d 33 >, matice je pozitivně definitní. r 3 :=2r 3 +r 2

26 Klasifikace kvadratických forem = klasifikace symetrických matic 2 Příklad: Klasifikujte r := r +r s := s +s 2 3 výroba pivota }{{} kongruence r 2 :=r 2 +r 4 s 2:=s 2 +s 4 r 3 :=r 3 r s 3 3 :=s 3 s 3 }{{} kongruence 2 r 2 :=r 2 +r r 3 :=r 3 r r 3 :=4r 3 +r 4 4, r 3 :=4r 3 +r s 3 :=4s 3 +s 44 }{{} kongruence 3 a jelikož d < a d 22 >, matice je indefinitní.

27 Gaussova eliminace pro symetrické matice Choleského (LDL T ) rozklad Uvažujme soustavu se symetrickou matici A x = b. Po kongruentních transformacích dostáváme ekvivalentní soustavu s diagonální maticí D = T T A T: =T {}} T =T {{}}{ T } n T {{ 2 T A } T T T T 2 T T n y }{{} =U =x = } T n T {{ 2 T b }. =:c Odtud vidíme, že řešení soustavy lze provést v následujících krocích:. (A b I) 2. D y = c y, 3. x := T y. Gauss bez záměn řádků (U c T T ), D := U T

28 Gaussova eliminace pro symetrické matice Příklad: Řešte soustavu Choleského (LDL T ) rozkladem. ( ) T T = ( ) 2 5 ( 2 r 2 :=r 2 2r ( ), T = 2 s 2 :=s 2 2s ) ( 5 ), y =, y 2 =,, x = y 2y 2 =,x 2 = y 2 =.

29 Gaussova eliminace pro symetrické matice Příklad: Řešte soustavu Choleského (LDL T ) rozkladem T T = r 2:=r 2 +r r 3 :=r 3 r r 3 :=r 3 r s 2:=s 2 +s s 3 :=s 3 s s 3 :=s 3 s 2, T = x := y =, x := x + x 2 x 3 = 2, x 2 := y 2 y 3 = 2, x 2 := x 2 = 2 x 3 := y 3 =, x 3 := x 3 =., y =,, y 2 = 3 y 3 =