Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.
|
|
|
- Ksawery Brzeziński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Robotika Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.,
2 Řízení stacionárních robotů P P z q = f 1 (P) q z Pøímá úloha q U ROBOT q P R q = h(u) P = f (q)
3 DH: Denavit-Hartenberg (4DOF/kloub) A i = T rans(z, d i )Rot(z, θ i )T rans(x, a i )Rot(x, α i ) HARTENBERG, R. DANAVIT, J.: Kinematic Synthesis of Linkages, 1964 SPONG, M. VIDYASAGAR, M.: Robot dynamics and control, 1989, 1st ed. SPONG, M. HUTCHINSON S....: Robot dynamics and control 2004, 2nd ed. LEWIS F....: Robot Manipulator Control: Theory and Practice 2004, 2nd ed. KK: Khalil-Kleinfinger (4DOF/kloub, uzavřené a paralelní) A i = T rans(x, a i )Rot(x, α i )T rans(z, d i )Rot(z, θ i ) KHALIL W. KLEINFINGER J.: A new geometric notation for open and closed-loop robots, 1986 SVEJDA M.: Kinematika robotických architektur, doktorát ZCU, 2011 SU: Sheth-Uicker (6DOF/kloub, paralelní) SHETH P. UICKER J.:A generalized Symbolic notation for mechanisms, 1971 BONGARDT B.: Sheth-Uicker convention revisited, 2013 HR: Hayati-Roberts (6DOF/kloub) BRUYNINCKX, H.:Robot Kinematics and Dynamics, 2011, kap 2.5.4
4 Denavit-Hartenberg: Parametry A i = Rot(z, θ i )T rans(z, d i )T rans(x, a i )Rot(x, α i ) = f(θ i, d i, a i, α i ) Kloub i Kloub i + 1 Kloub i 1 Podmínky kladení os DH: Osa X i musí být kolmá k Z i 1 Osa X i musí protínat Z i 1 z i x i Parametry DH: θ i Kloubový úhel, Joint angle h i 1 z i 1 h i d i o i 1 a i θ i x i 1 x i o i α i d i Délka ramene, Link offset a i Předsunutí, Link Length α i Otočení, Link twist z i 1
5 Postup DH konvence 1. Očíslovat jednotlivé klouby od 1 2. i (0,, n): Nalézt osy z i 3. Definovat s.s rámu (x 0, y 0, z 0 ) i efektoru, pravotočivě. *4. i (1,, n): Nalézt společnou příčku n i os z i 1 a z i *5. i (1,, n): Nalézt o i a h i jako průsečíky n i a os z i a z i 1 *6. i (1,, n 1): Položit x i a y i tak aby systém byl pravotočivý. 7. Vytvořit tabulku DH parametrů (θ i, d i, a i, α i ) α i = xi (z i 1, z i ) a i = h i o i d i = o i 1 h i θ i = zi 1 (x i 1, x i ) 8. Spočítej A i za pomocí DH parametrů 9. Spočítej T 0n = A 1 A 2 A n za pomocí DH parametrů
6 DH: postup 1. Očíslovat jednotlivé klouby od
7 DH: postup 1. Očíslovat jednotlivé klouby od 1 2. i (0,, n 1): Nalézt osy z i Osa rotace rotačního kloubu i + 1 Osa posuvu translačního kloubu i + 1 Směr dle uvážení (obě varianty možné) z n zatím vynecháme z 2 z 1 z 0
8 DH: postup 1. Očíslovat jednotlivé klouby od 1 2. i (0,, n 1): Nalézt osy z i 3. Definovat s.s. báze a konce. Výchozí bod s.s. o 0 musí být na ose z 0 Poloha o 0 je dána vnějšími omezeními (dno manipulačního prostoru) Osu x 0 volíme volně, (ve směru robotu dopředu ) o n obvykle uprostřed efektoru Osa x n musí být kolmá k z n 1 Osa z n libovolně y n = z n x n a y 0 = z 0 x 0 Systémy os jsou pravotočivé z 2 z 1 z 0 y 0 z 3 o 3 x 3 y 3 o 0 x 0
9 DH: postup z 0 y 0 1. Očíslovat jednotlivé klouby od 1 2. i (0,, n 1): Nalézt osy z i 3. Definovat s.s. báze a konce. 4. i (1,, n): Nalézt n i z i 1 a z i kolmé: n i = z i 1 z i z i 1 a z i rovnoběžné: libovolný kolmý vektor z i 1 a z i mimoběžné: nejkratší příčka z 2 z 1 n 2 n 3 n 1 z 3 o 3 x 3 y 3 o 0 x 0
10 DH: postup z 0 y 0 1. Očíslovat jednotlivé klouby od 1 2. i (0,, n 1): Nalézt osy z i 3. Definovat s.s. báze a konce. o 2, h 3 z 2 n 2 n 3 z 3 o 3 x 3 y 3 4. i (1,, n): Nalézt n i o 1, h 1, h 2 5. i (1,, n): Nalézt o i a h i o i je průsečík n i a z i h i je průsečík n i a z i 1 z 1 n 1 o 0 x 0
11 DH: postup 1. Očíslovat jednotlivé klouby od 1 2. i (0,, n 1): Nalézt osy z i 3. Definovat s.s. báze a konce. 4. i (1,, n): Nalézt n i 5. i (1,, n): Nalézt o i a h i 6. i (1,, n 1): Nalézt x i a y i x i klademe podél n i x i vychází z o i směr od z i 1 y i = z i x i Systém os (x i, y i, z i ) je pravotočivý z 0 y 0 o 1, h 1, h 2 z 1 o 2, h 3 n 3 z 2 y 2 n x 2 2 y 1 x 1 n 1 z 3 o 3 x 3 y 3 o 0 x 0
12 DH: postup 1. Očíslovat jednotlivé klouby od 1 2. i (0,, n 1): Nalézt osy z i 3. Definovat s.s. báze a konce. 4. i (1,, n): Nalézt n i 5. i (1,, n): Nalézt o i a h i 6. i (1,, n 1): Nalézt x i a y i 7. Vytvoř tabulku DH parametrů q z 2 3 o 1, h 1, h 2 q 2 d 1 d 2 z 1 o 2, h 3 d 3 y 2 x 2 y 1 x 1 q 1 z 3 o 3 x 3 y 3 α i = xi (z i 1, z i ) a i = h i o i d i = o i 1 h i θ i = zi 1 (x i 1, x i ) z 0 y 0 o 0 x 0 i α i a i d i θ i d 1 q d 2 0 q d 3 0 q
13 DH: postup 1. Očíslovat jednotlivé klouby od 1 2. i (0,, n 1): Nalézt osy z i 3. Definovat s.s. báze a konce. 4. i (1,, n): Nalézt n i 5. i (1,, n): Nalézt o i a h i q z 2 3 o 1, h 1, h 2 q 2 d 1 d 2 z 1 o 2, h 3 d 3 y 2 x 2 y 1 x 1 q 1 z 3 o 3 x 3 y 3 6. i (1,, n 1): Nalézt x i a y i 7. Vytvoř tabulku DH parametrů 8. Sestav matice transformace z parametrů A i = Rot(z, θ i )T rans(z, d i )T rans(x, a i )Rot(x, α i ) z 0 y 0 o 0 x 0 i α i a i d i θ i d 1 q d 2 0 q d 3 0 q
14 DH: postup 1. Očíslovat jednotlivé klouby od 1 2. i (0,, n 1): Nalézt osy z i 3. Definovat s.s. báze a konce. 4. i (1,, n): Nalézt n i 5. i (1,, n): Nalézt o i a h i 6. i (1,, n 1): Nalézt x i a y i 7. Vytvoř tabulku DH parametrů 8. Sestav matice transformace z parametrů 9. Spočítej H 0n za pomocí DH parametrů H 0n = A 1 A 2 A n q z 2 3 d 1 d 2 o 1, h 1, h 2 q 2 z 1 o 2, h 3 y 2 x 2 y 1 x 1 q 1 z 0 y 0 d 3 z 3 y 3 o 3 x 3 o 0 x 0 i α i a i d i θ i d 1 q d 2 0 q d 3 0 q
15 p 0 = H 0n (q)p n Matici H 0n (q) lze po roznásobení zpátky rozložit na jednotlivé komponenty následovně: [ ] R0n (q) d H 0n (q) = 0n (q) 0 1 d 0n (q) je poloha koncového bodu vůči rámu robotu R 0n (q) je orientace koncového bodu vůči rámu robotu možno převést na úhly za pomocí Eulerových úhlů
16 - příklad yb L1 q1 y1 x1 L2 q2 yk P xk Matici H BK (q) lze po roznásobení zpátky rozložit na jednotlivé komponenty následovně: xb i α i a i d i θ i 1 0 L 1 0 q L 2 0 q 2 x = L 1 cos(q 1 ) + L 2 cos(q 1 q 2 ) y = L 1 sin(q 1 ) + L 2 sin(q 1 q 2 ) z = 0 ϕ = q 1 q 2 H BK = H B1 (q)h 1K (q) = Rot(z, q 1 )T rans(l 1, 0, 0)Rot(z, q 2 )T rans(l 2, 0, 0) = c 1 s 1 0 l 1 c 1 c 2 s 2 0 l 2 c 2 c 12 s 12 0 l 1 s 1 + l 2 c 12 = s 1 c 1 0 l 1 s 1 s 2 c 2 0 l 2 s = s 12 c 12 0 l 1 s 1 + l 2 s
17 Řešení numericky H RH (q) Rameno a zápěstí H HK Efektor s nástrojem H RS Póza objektu H SO Póza otvoru Aby se nástroj dotkl otvoru pod správným úhlem, musí platit: K = O H RH (q)h HK = H RS H SO Musíme vyřešit pózu manipulátoru, konstanty přesuneme doprava: H RH (q) = H RS H SO H 1 HK
18 Řešení numericky 1. Rozdělíme si rameno a zápěstí: H RH (q) = H RS H SO H 1 HK = H R3(q)H 3H (q) H R3 (q) Rameno udává polohu a orientaci H 3K (q) Zápěstí udává orientaci
19 Řešení numericky 1. Rozdělíme si rameno a zápěstí: H RH (q) = H RS H SO H 1 HK = H R3(q)H 3H (q) H R3 (q) Rameno udává polohu a orientaci H 3K (q) Zápěstí udává orientaci 2. To přepíšeme maticově: d x p R3x (q) 0 R RH d y d z = R R3 (q) p R3y (q) R 3H (q) 0 p R3z (q)
20 Řešení numericky 3. Řešíme soustavu: d x = p R3x (q) d y = p R3y (q) d z = p R3z (q) 1. Rozdělíme si rameno a zápěstí: H RH (q) = H RS H SO H 1 HK = H R3(q)H 3H (q) H R3 (q) Rameno udává polohu a orientaci H 3K (q) Zápěstí udává orientaci 2. To přepíšeme maticově: d x p R3x (q) 0 R RH d y d z = R R3 (q) p R3y (q) R 3H (q) 0 p R3z (q)
21 Řešení numericky 3. Řešíme soustavu: d x = p R3x (q) d y = p R3y (q) d z = p R3z (q) 1. Rozdělíme si rameno a zápěstí: H RH (q) = H RS H SO H 1 HK = H R3(q)H 3H (q) H R3 (q) Rameno udává polohu a orientaci H 3K (q) Zápěstí udává orientaci 2. To přepíšeme maticově: d x p R3x (q) 0 R RH d y d z = R R3 (q) p R3y (q) R 3H (q) 0 p R3z (q) nalezené kloubové souřadnice ramene vytkneme ven a řešíme: R 3H (q) = R 1 R3 R RH(q)
22 Řešení numericky 4. nalezené kloubové souřadnice ramene vytkneme a řešíme (RPY zápěstí): R 3H (q) = R 1 R3 R RH(q) = R ZY Z (α, β, γ) r 11 r 12 r 13 c α c β c γ s α s γ c α c β s γ s α c γ c α s β r 21 r 22 r 23 = s α c β c γ c α s γ s α c β s γ + c α c γ s α s β r 31 r 32 r 33 s β c γ s β s γ c β
23 Řešení numericky 4. nalezené kloubové souřadnice ramene vytkneme a řešíme (RPY zápěstí): R 3H (q) = R 1 R3 R RH(q) = R ZY Z (α, β, γ) r 11 r 12 r 13 c α c β c γ s α s γ c α c β s γ s α c γ c α s β r 21 r 22 r 23 = s α c β c γ c α s γ s α c β s γ + c α c γ s α s β r 31 r 32 r 33 s β c γ s β s γ c β Porovnáním prvků nalezneme r 33 = cos β jež má triviální řešení β = arccos(r 33 ) To ale nejde použít, funkce arccos má dvě řešení na intervalu ( π, π)!
24 Řešení numericky 4. nalezené kloubové souřadnice ramene vytkneme a řešíme (RPY zápěstí): R 3H (q) = R 1 R3 R RH(q) = R ZY Z (α, β, γ) r 11 r 12 r 13 c α c β c γ s α s γ c α c β s γ s α c γ c α s β r 21 r 22 r 23 = s α c β c γ c α s γ s α c β s γ + c α c γ s α s β r 31 r 32 r 33 s β c γ s β s γ c β Porovnáním prvků nalezneme r 33 = cos β jež má triviální řešení β = arccos(r 33 ) To ale nejde použít, funkce arccos má dvě řešení na intervalu ( π, π)! Jediná použitelná goniometrická funkce která nalezne úhel přes všechny kvadranty je tan ϕ = sin ϕ. Musíme tedy tento poměr v matici cos ϕ nalézt.
25 Řešení numericky 4. nalezené kloubové souřadnice ramene vytkneme a řešíme (RPY zápěstí): R 3H (q) = R 1 R3 R RH(q) = R ZY Z (α, β, γ) r 11 r 12 r 13 c α c β c γ s α s γ c α c β s γ s α c γ c α s β r 21 r 22 r 23 = s α c β c γ c α s γ s α c β s γ + c α c γ s α s β r 31 r 32 r 33 s β c γ s β s γ c β Sice z goniomerie víme, že sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 2, tedy platí: r r232 = sin 2 β cos 2 γ + sin 2 β sin 2 γ = 1 sin β ± r r2 32 r 33 = sin β cos β ± r 2 = tan β β = arctan 31 + r32 2 r 33 Více řešení!
26 Řešení numericky r 11 r 12 r 13 c α c β c γ s α s γ c α c β s γ s α c γ c α s β r 21 r 22 r 23 = s α c β c γ c α s γ s α c β s γ + c α c γ s α s β r 31 r 32 r 33 s β c γ s β s γ c β sin(β > 0) r 23 + r r2 32 r 33 sin α cos β = r 13 cos α cos β = sin α cos α = tan α α = arctan r 23 r 13 r 32 sin β sin γ = r 31 sin β cos γ = sin γ cos γ = tan γ γ = arctan r 32 = sin β cos β r 31 + r 2 = tan β β = arctan 31 + r32 2 r 33...s výhodou používáme funkce programovacích jazyků atan2(y,x) která počítá ve všech kvadrantech (vrací úhel v rozsahu π π)
27 Řešení numericky r 11 r 12 r 13 c α c β c γ s α s γ c α c β s γ s α c γ c α s β r 21 r 22 r 23 = s α c β c γ c α s γ s α c β s γ + c α c γ s α s β r 31 r 32 r 33 s β c γ s β s γ c β sin(β < 0) r 23 r r2 32 r 33 sin α cos β = r 13 cos α cos β = sin α cos α = tan α α = arctan r 23 r 13 r 32 sin β sin γ = r 31 sin β cos γ = sin γ cos γ = tan γ γ = arctan r 32 r 31 = sin β cos β = tan β β = arctan r r32 2 r 33...s výhodou používáme funkce programovacích jazyků atan2(y,x) která počítá ve všech kvadrantech (vrací úhel v rozsahu π π)
28 Singularity Řešení numericky r 11 r 12 r 13 c α c β c γ s α s γ c α c β s γ s α c γ c α s β r 21 r 22 r 23 = s α c β c γ c α s γ s α c β s γ + c α c γ s α s β r 31 r 32 r 33 s β c γ s β s γ c β sin β = 0, tedy že β = 0, a cos β = +1 r 11 r 12 r 13 cos(α + γ) sin(α + γ) 0 r 21 r 22 r 23 = sin(α + γ) cos(α + γ) 0 r 31 r 32 r a řešení je nekonečně mnoho: r 21 r 11 = sin(α + γ) cos(α + γ) = tan(α + γ) (α + γ) = arctan r 21 r 11
29 Singularity Řešení numericky r 11 r 12 r 13 c α c β c γ s α s γ c α c β s γ s α c γ c α s β r 21 r 22 r 23 = s α c β c γ c α s γ s α c β s γ + c α c γ s α s β r 31 r 32 r 33 s β c γ s β s γ c β sin β = 0, tedy že β = 180, a cos β = 1 r 11 r 12 r 13 cos(α γ) sin(α γ) 0 r 21 r 22 r 23 = sin(α γ) cos(α γ) 0 r 31 r 32 r a řešení je nekonečně mnoho: r 21 r 11 = sin(α γ) cos(α γ) = tan(α γ) (α γ) = arctan r 21 r 11
30 Numerické (iterativní) řešení Řešení numericky Hledáme neznámé q v rovnici: p R = H RH (q)p H
31 Děkuji za pozornost 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.
GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Inverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Vybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Numerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
2.12. Zadania odwrotne kinematyki
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów str. 1 2.12. Zadania odwrotne kinematyki Określenie zadania odwrotnego kinematyki T 0 N = [ ] n s a p = r 11 r 12 r 13 p x r 21 r 22 r 23
kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
(4) (b) m. (c) (d) sin α cos α = sin 2 k = sin k sin k. cos 2 m = cos m cos m. (g) (e)(f) sin 2 x + cos 2 x = 1. (h) (f) (i)
(3) (e) sin( θ) sin θ cos( θ) cos θ sin(θ + π/) cos θ cos(θ + π/) sin θ sin(θ π/) cos θ cos(θ π/) sin θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ sin(θ ± π) sin θ cos(θ ± π) cos θ (f) cos x cos y (g) sin x sin
Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Podstawy robotyki wykład III. Kinematyka manipulatora
Podstawy robotyki Wykład III sztywnego Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Manipulator typu PUMA ogniwo 2 ogniwo 3 ogniwo 1 PUMA układy
FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Úvod, opakování, soustavy sil Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.broovsky@vsb.c WWW:
Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Podstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska
Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne
Paradoxy geometrické pravděpodobnosti
Katedra aplikované matematiky 1. června 2009 Úvod Cíle práce : Analýza Bertrandova paradoxu. Tvorba simulačního softwaru. Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 Osnova 1 2 3 4 V rovině je zadán kruh
Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Geometrická nelinearita: úvod
Geometrická nelinearita: úvod Opakování: stabilita prutů Eulerovo řešení s využitím teorie 2. řádu) Stabilita prutů Ritzovou metodou Stabilita tenkých desek 1 Geometrická nelinearita Velké deformace průhyby,
Matematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Funkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
![x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].](/thumbs/94/121813288.jpg "x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].")
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
GAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:
Internetová matematická olympiáda 8. ročník, 24. 11. 2015 1. Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem: Kamarád: Co jsi tak veselý? Něco slavíš? Student FSI: Já přímo ne,
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień
Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,
Matematyczne Metody Fizyki I
Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Obsah 1 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref. plocha je rovina - souřadnice X, Y, případně ρ, ɛ Zobrazovaná ref. plocha je eliposid
Rovnice proudění Slapový model
do oceánského proudění Obsah 1 2 3 Co způsobuje proudění v oceánech? vyrovnávání rozdílů v teplotě, salinitě, tlaku, ρ = ρ(p, T, S) vítr - wind stress F wind = ρ air C D AU 2 10 slapy produkují silné proudy,
Kristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Referenční plochy. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah 1 2 Souřadnice na elipsoidu Zeměpisné souřadnice Kartografické souřadnice Izometrické (symetrické) souřadnice Pravoúhlé a polární souřadnice 3 Ortodroma Loxodroma
Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / 3 1 3 ctg α 3 1 3 / 3 Związki między funkcjami
δ δ δ 1 ε δ δ δ 1 ε ε δ δ δ ε ε = T T a b c 1 = T = T = T
M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 8 9 6-7 7 X M O D E L O W A N I E P A S Z C Z Y Z N B A Z O W Y C H K O R P U S W N A P O D S T A W I E P O M W S P R Z D N O C I O W Y C H
1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Matematyka kompendium 2
Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o
Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów
Politechnika Poznańska, Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów str. 1 2.9. Kinematyka typowych struktur manipulatorów 2.9.1. Manipulator planarny 3DOF Notacja DH Rys. 28 Tablica 1 Parametry DH Nr ogniwa
Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6
Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok
Lineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Obsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn
Obsah 1 2 3 Použití Zobrazení rozsáhlého území, ale hodnoty zkreslení nesmí přesáhnout určitou hodnotu Rozdělením území na menší části a ty pak zobrazíme zvlášť Nevýhodou jsou však samostatné souřadnicové
MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Kapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Výzvy, které před matematiku staví
1 / 21 Výzvy, které před matematiku staví výpočetní technika Edita Pelantová Katedra matematiky, FJFI, České vysoké učení technické v Praze 25. pledna 2018 Praha Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský
(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Kolorowa płaszczyzna zespolona
Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek
Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných
Příklad k procvičení : Průřeové charakteristik Zadání: Vpočítejte hlavní moment setrvačnosti a vkreslete elipsu setrvačnosti na adaných obracích. Příklad. Zadání: Rokreslení na jednoduché obrace: 500 T
Podstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości
Podstawy robotyki Wykład V Jakobian manipulatora i osobliwości Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Metoda bezpośrednia uzyskania macierzy
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice
Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1 Přetvárná
Sekantooptyki owali i ich własności
Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r. Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy
Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża
Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża D.1 e używane w załączniku D (1) Następujące symbole występują w Załączniku D: A' = B' L efektywne obliczeniowe pole powierzchni
Manipulatory i roboty mobilne AR S1 semestr 5
Manipulatory i roboty mobilne AR S semestr 5 Konrad Słodowicz MN: Zadanie proste kinematyki manipulatora szeregowego - DOF Położenie manipulatora opisać można dwojako w przestrzeni kartezjańskiej lub zmiennych
Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu
Co byste měl/a zvládnout po 1. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: Lineární algebra, ZS 2017 Zvládnutá látka po 1. týdnu 1/5 Upozornění Řada z následujících
Edita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
DFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Matematické modelování elmg. polí 2. kap.: Magnetostatika
Matematické modelování elmg. polí 2. kap.: Magnetostatika Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl
Mechanika. Použité pojmy a zákony mohou být použity na jakékoliv mechanické stroje.
Mechanika Kinematika studuje geometrii pohybu robotu a trajektorie, po kterých se pohybují jednotlivé body. Klíčový pojem je poloha. Použité pojmy a zákony mohou být použity na jakékoliv mechanické stroje.
Linea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)
Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne
WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 2 WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE, I ROK Wykonał:
Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych
Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
DOPLŇKY PRO STAVBU DOPLNKY PRE STAVBU ELEMENTY DODATKOWE NÁVRH PLYNOVÉ VZPĚRY / NÁVRH PLYNOVEJ VZPERY / SPOSÓB DZIAŁANIA
2010/06/08 DOPLŇKY PRO STVBU DOPLNKY PRE STVBU ELEMENTY DODTKOWE Vzpěry plynové / Vzpery plynové / Siłowniki NÁVRH PLYNOVÉ VZPĚRY / NÁVRH PLYNOVEJ VZPERY / SPOSÓB DZIŁNI CZ Tímto vztahem se vypočte potřebná
Co to znamená pro vztah mezi simultánní a marginální hustotou pravděpodobnosti f (x) (pravděpodobnostní funkci p(x))?
Ondřej Pokora M5120 Lineární statistické modely I poznámky do cvičení podzim 2011 1 / 36 12.12.2011 Maximálně věrohodné odhady Náhodný výběr X 1,..., X n rosahu n z rozdělení pravděpodobnosti P: X i P
Úvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi
Zjawisko interferencji fal Interferencja to efekt nakładania się fal (wzmacnianie i osłabianie się ruchu falowego widoczne w zmianach amplitudy i natęŝenia fal) w którym zachodzi stabilne w czasie ich
D l. D p. Rodzaje baz jezdnych robotów mobilnych
ERO Elementy robotyki 1 Rodzaje baz jezdnych robotów mobilnych Napęd różnicowy dwa niezależnie napędzane koła jednej osi, dla zachowania równowagi dodane jest trzecie koło bierne (lub dwa bierne koła)
Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Ś Ś Ś ż Ł Ą Ą Ń Ś ż Ś ż Ą ż ż Ó Ź Ź ć ć ż ć Ą ć ć Ś ć ŚÓ ć ć ć ż ź Ł ż Ś Ł Ą Ó ż Ź ż ć Ś Ą Ó ż ć ż ź ż ć Ś ć Ź ż Ń Ł Ł ż ż Ą Ś ź ż ć ć Ł Ą Ą Ś Ś ż ć Ó Ó Ś Ź ź ź ż Ą ż ż ć Ść Ó ż ć Ś ź Ś Ś Ł Ś Ł Ł Ł Ł Ł
Ń ŚÓ Ź Ś ź Ś Ś ć Ą ć Ź ć ć Ś ć Ś ź ć Ś ź Ś ć ź ć Ś ź Ę ć ć Ś Ś Ą ź Ś Ś Ś Ś ć Ś Ś Ś ź Ś Ś Ś Ś Ż ć Ś Ć ć ć ź ć Ś Ś Ś ŚĆ Ś ź Ś Ś ć ć ć Ś Ć ć ć Ć Ś Ś Ś ŚĆ Ś Ś Ś ć ć ź Ś Ż Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ą Ż Ś Ś Ś Ś Ś ć ć Ó ź
ó ś ń Ś Ó Ó Ó Ó ś Ó ż Ó Ś Ę Ó ó Ó ó Ś Ó óó Ś ś Ó ć Ź Ó ś ś ż ó ó ś Ó Ó ń Ś ś Ó ń ż ś ś Ó Ę Ó Ó Ó ś ó ś Ó Ś Ó Ś ń ń Ó ó ń ż ś Ó Ó ż ń Ś ó ż ń Ó Ś ż ń Ś ść ż ó ń ż Ś ż Ś Ś Ś Ó ń ś Ś Ó ń Ó Ą Ó Ą ć ż Ą ś ń
ń ń ś Ś Ó Ó ń ń ść ś ś ś ś ś ś ś ś ć ś ść ś ś ć ś Ż ć ś ś ś ść ć ś ń ć Ź Ż ń ń ś Ż Ą ć ń ń ś śó Ż ś ć Ź ś Ó ś Ż ś Ź ś ś ś Ż ś ś ś Ź ś ń ś Ę ć ś ś ń ś ś ś ń Ż Ż ś ś ś ń ć ć Ż ś ń Ż ś ń Ą ś ś ć ś ś Ż ś ś
Ó ź Ó ź Ź Ó Ź Ó Ó Ę Ź Ą Ć Ó Ó Ź Ś Ź ź Ę Ź ŚÓ Ś Ó ź Ó Ę Ź Ó Ó Ó ŚÓ Ź Ó ź ź Ź ź ź Ę Ś ź Ą Ś Ź ź Ę Ł Ś Ź Ś ź ź Ł Ś ź Ś Ś Ś Ę Ę Ł Ł Ą Ś Ę Ą Ę Ź Ę Ę Ó Ś Ę Ń Ś Ć Ś Ś Ó Ś Ę Ę Ł Ą Ę Ą Ś Ź Ć Ó Ł ź Ń Ź Ą ź Ę Ź Ź